2025年高考數(shù)學(xué)題型分類練解答題

一.解答題(共25小題)

1.(2024?瀘州模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-2|+|x+2|.

(I)解不等式.f(x)(6—x；

(2)令/(x)的最小值為??；正數(shù)a,b,c滿足a+〃+c=T,證明：

abc3

2.(2024?長安區(qū)一模)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)屈sinA=a(2+cosB).

(I)求8；

(2)若AA8C的面積等于6，求A4BC的周長的最小值.

3.(2024?天津)在AA8C中，COS8=2,b=5,-=

16c3

(I)求a;

(2)求sinA；

(3)求cos(32A).

4.(2024?天津)設(shè)函數(shù)/(工)二同心.

(I)求/(幻圖像上點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)若在xw(0,+8)時(shí)恒成立，求a的值;

(3)若X，x,e(0J),證明|/(/)-/(.)1於IF-￡產(chǎn)?

5.(2024?西城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC—A4G中，側(cè)面AAC￡為正方形，AB±AC,AH=AC=2,

。為8C的中點(diǎn).

(I)求證：4。//平面AB1。;

(II)若ACJ.A8,求二面角。-A4-A的余弦值?

6.(2024?撫州模擬)已知四棱錐尸-ABCD的底面是一個(gè)梯形,ABf/DC.6ABe=90°,AB=BC=4,

CD=2,PA=PD=3,PB=PC=舊.

(I)證明：平面HAOJ_平面ABC。；

(2)求二面角的余弦值.

7.(2024?鹽湖區(qū)一模)己知耳、乃是雙曲線/-三二1的左、右焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)耳，

與雙曲線左、右兩支分別相交于A、8兩點(diǎn).

(I)求直線/斜率的取值范圍；

(2)若打分=：AZ/,求AAOB的面積.

8.(2024?一模擬)已知AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且AO是8c邊上的

高.(sin4—sin/?)(〃+/?=(r—\/2Z>)sinC.

(1)求角A；

(2)若sin(8—C)=^,a=5,求AD.

9.(2024?梅州模擬)已知橢圓C:；+]=l(a>b>0)的離心率為L且經(jīng)過點(diǎn)丁(|2).

crb~22

(1)求橢圓。的方程；

(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線/:y=2x的距離的最大值.

10.(2024?江西模擬)我們約定，如果一個(gè)橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它

們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓。|：?+今=1(0<〃<2),雙曲線G是橢圓G的“姊妹”圓錐曲線,

4,.分別為G，C?的離心率，且0內(nèi)，點(diǎn)”，N分別為橢圓C]的左、右頂點(diǎn).

(I)求雙曲線。2的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)G(4,0)的動(dòng)直線/交雙曲線G右支于A,〃兩點(diǎn)，若直線AM,0N的斜率分別為￡皿，kBN.

⑴試探究心w與&凱的比值必是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；

kBN

(〃)求卬=%，的取值范圍.

11.(2024?貴州模擬)已知函數(shù)/Xx)=皿優(yōu).

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)-a有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)已知A(x1,x),B[X2,y2).C(x3,%)(其中不<芻<七且內(nèi)，x2,x3成等比數(shù)列)是由線y=f{x)

2

上三個(gè)不同的點(diǎn)，判斷直線AC與曲線)，=/(用在點(diǎn)3處的切線能否平行？請(qǐng)說明理由.

12.(2024?德城區(qū)校級(jí)三模)設(shè)函數(shù)/(%)=/+acosx,aeR.曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方

程為y=x+2.

(I)求a的值；

(1【)求證：方程/(%)=2僅有一個(gè)實(shí)根；

(10)對(duì)任意工€(0,+8),有/*)>ksinx+2,求正數(shù)上的取值范圍.

13.(2024?天津)已知四棱柱ABC?！?4GA中，底面A8CQ為梯形，AB//CD,平面A3CQ,

ADYAB,其中48=蝴=2,AD=DC=\.N是8c的中點(diǎn)，M是。R的中點(diǎn).

(I)求證：RN//平面CB】M；

(2)求平面CB|M與平面38cC的夾角余弦值;

(3)求點(diǎn)B到平面的距離.

B

14.(2024?畢節(jié)市模擬)某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工

會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)(千步為單位)，并將樣本數(shù)據(jù)分為[3,5),

[5,7),[7,9),...?[17,19),[19,21]九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(I)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；

(II)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)[3,9),|9,15),[15,21]的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為■!■」上,

535

3

15.(2024?南開區(qū)校級(jí)模擬)已知A48C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、力、c,滿足已知

ccosB+Z?cosC----.

2cosA

(I)求角A的大??；

(2)若cosB=?,求sin(23+A)的值：

3

(3)若AA3C的面積為生巨，a=3,求A48C的周長.

3

16.(2024?開福區(qū)校級(jí)三模)如圖，在四棱錐P-/WC。中，Q4J.底面人8c。，底面人BCO是矩形，

PA=2AD=4,且尸。=26，點(diǎn)E在PC上.

(I)求證：8OJ.平面PAC；

(2)若石為PC的中點(diǎn)，求直線尸。與平面AEO所成的角的正弦值.

17.(2024?保定三模)如圖，在三棱柱ABC-AAC中，CA=CB,四邊形為菱形，乙ABB、.,

AQJ.B.C.

(I)證明：BC=

(2)已知平面A3C_L平面A44A，求二面角4-CG-A的正弦值.

18.(2024?東湖區(qū)校級(jí)一模)已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,邑=空色里

4

(I)求｛a,J的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)于任意〃wN,成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

19.（2024?如皋市模擬）如圖，在三棱柱ABC-AAC中，AC=BB.=2BC=2,NCBB】=2NCAB=三,

且平面ABC_L平面BgCB.

（I）求證：平面A4C_L平面ACS；

（2）設(shè)點(diǎn)P為直線8C的中點(diǎn)，求直線與平面ACg所成角的正弦值.

20.（2024?回憶版）已知雙曲線。:.12-）,2=皿加>0）,點(diǎn).5,4）在。上，4為常數(shù)，0cA<1,按照如下

方式依次構(gòu)造點(diǎn)匕（〃=2,3,…），過乙_1斜率為女的直線與C的左支交于點(diǎn)Q,i，令2為2*關(guān)于），軸的

對(duì)稱點(diǎn)，記匕的坐標(biāo)為（x“,yn）.

（I）若k=；,求勺，%；

（2）證明：數(shù)列｛玉-”）是公比為上攻的等比數(shù)列：

\-k

（3）設(shè)s.為的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)〃，s.=Sm.

21.（2024?長安區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且4=3,\=a?+/72-l.

（1）求他,J的通項(xiàng)公式；

（2）若"=,，（=他+她+...+〃%，求（?

%

22

22.（2024?江西一模）已知橢圓匕5+/=1的左右頂點(diǎn)分別為4、3,點(diǎn)。在七上，點(diǎn)用（6,居），N（6?%）

分別為直線AC、8c上的點(diǎn).

（I）求加PR的值；

（2）設(shè)直線8M與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為。，求證：直線CO經(jīng)過定點(diǎn).

23.（2024?河南模擬）設(shè)任意一人無窮數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)之積為7；,若V〃eN<7；e｛a“｝,則稱｛q｝是7

數(shù)列.

（I）若｛對(duì)｝是首項(xiàng)為-2,公差為I的等差數(shù)列，請(qǐng)判斷他”｝是否為丁數(shù)列？并說明理由；

（2）證明：若｛4｝的通項(xiàng)公式為勺=小2式則｛q｝不是T數(shù)列；

5

（3）設(shè)｛%｝是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)4=5,公比為式4>0）,若｛q｝是7數(shù)列，求q的值.

24.（2024?江西一模）在A/WC中，己知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、〃、c,且AA8C的面積為G，

點(diǎn)。是線段5c上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，AD=\.

（I）若Z4OC=X,求c：

3

（2）若〃+402=]1,求sin/BAC的值.

25.（2024?河南模擬）如圖所示，在△人8C中，點(diǎn)。在邊8C上，且CO=28O,石為邊A8的中點(diǎn).S是

平面ABC外一點(diǎn)，且（誣+SB）-SC=（而+2AC）-SC=（）.

（I）證明：SC_LSO；

（2）已知。E=l,SD=瓜SE=3,直線BC與平面SUE所成角的正弦值為迫.

⑴求△SDE的面積；

（”）求三棱錐S-ABC的體積.

6

2025年高考數(shù)學(xué)題型分類練解答題

參考答案與試題解析

一.解答題(共25小題)

1.(2024?瀘州模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-2|+|x+2|.

<1)解不等式/(x)<6-x；

(2)令/“)的最小值為T；正數(shù)〃，gc滿足a+〃+c=7,證明：-+-+-^—.

abc3

a

【答案】(1)｛人|-太在柒；(2)證明見解析.

【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；不等式的證明

【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算：不等式的解法及應(yīng)用；推理和證明：對(duì)應(yīng)思想；分析法

【分析】(1)分類討論X的取值，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式，可得答案；

(2)分類討論x的取值，求出/(幻的最小值為了，將(_L+_L+3m+/；+c)展開，利用基本不等式證明

abc

|IA

(_L+_L+M)g+〃+c)>16,即可證明結(jié)論.

abc

【解答】解：(/)當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)^6—x?即-2x+2-x-246-x,解得x2-3,故-3^x<-2；

當(dāng)—時(shí)，/(x)W6—x,即—2,v+2+x+2^6--x>4<6,則一；

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)46-x,OP2%-2+x+2^6-x,解得W。，故/<W?，

22

綜上所述，原不等式的解集為｛x-買運(yùn)|｝;

(2)證明:若xv-2,則f(x)=-3x>6；

若一七運(yùn)1，則/(X)=-X+423；

若x>1,則/(.r)=3x>3,

所以函數(shù)f(x)的最小值丁=3,故a+〃+c=3.

又。、b,c為正數(shù)，

ni||114...114、/,bac4ac4b、右_lba_lc4a_lc4b

則(z一+—+—)x3=(—+—+-)(a+%+c)=6+—+—+—+—+—+—+2.---+2J----+2J----=16?

abcabcabacbc\ab\acc

當(dāng)且僅當(dāng)a=h=2,c=3時(shí)等號(hào)成立，

42

g、i114、16

abc3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的證明，基本不等式的換一法，屬于中檔題.

2.(2024?長安區(qū)一模)A/WC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)GbsinA=a(2+cos8).

(1)求B；

7

(2)若AABC的面積等于G，求的周長的最小值.

【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；解三角形

【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；轉(zhuǎn)化法；解三角形；不等式

【分析】(1)先利用邊角互化將回sinA=”(2+cosB)轉(zhuǎn)化為關(guān)于8的方程，求出

(2)因?yàn)?已知，所以求面積的最小值即為求收的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得.

【解答】解：(1)因?yàn)?加小4=。(2+854).

由正弦定理得VJsinBsinA=sinX(2+cosB).

顯然sinA>0,所以百sinB-cosB=2.

所以2sin(B-2)=2,vBe(O^).

6

所以B—2=工，3=生.

623

(2)依題意巫竺二6，/.nc=4.

4

所以a+02疝=4,當(dāng)且僅當(dāng)。=c=2時(shí)取等號(hào).

又由余弦定理得護(hù)=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac^3>ac=12..

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào).

所以AA8C的周長最小值為4+2、萬.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考行解三角形、基本不等式等知識(shí)，意在考杳邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核

心素養(yǎng)，屬于中檔題.

oaO

3.(2024?天津)在&4BC中，COS5=3,b=5,-=

16c3

(I)求a；

(2)求sinA；

(3)求cos(8-2A).

【答案】⑴4；(2)也：(3)—.

464

【考點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；余弦定理

【專題】邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：綜合法

【分析】(I)設(shè)。=24,則c、=3￡,A>0,利用余弦定理能求出a；

(2)由同角三角函數(shù)關(guān)系式，先求出sinB.再由正弦定理求出sinA.

(3)利用二倍角公式求出sin2A,再山同角三角函數(shù)關(guān)系式求出cos2A,利用兩角差三角函數(shù)能求出

8

cos(B-2A).

oa2

【解答】解：（1）在AA8C中,cos8=—，b=5,-=—?

16c3

設(shè)ci=2k,則c3k,%>0,

9公+4F-259

cosBn=------------=一,

2x3kx2k16

解得k=2,

.a=2k=4i

5夕

(2)由(1)得。=4,c=6?sinB=

16

由正弦定理得‘一=一2一,即/

sinAsinBsin

16

解得sinA=^

4

(3)?.?〃<〃，sinA=—<—=sin^,是銳角，且A<2,

4244

sin2A=2sinAcosA=2xx

4

cos2A=

8

，cos(13-2A)=cosBcos2A+sin8sin2A

9\5折3幣

=-X—H-------x------

168168

57

=—.

64

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

4.（2024?天津）設(shè)函數(shù)=

(I)求/（%）圖像上點(diǎn)（1,f（1））處的切線方程;

(2)若fixy^a{x-\[x）在xe（0,十⑼時(shí)恒成立，求。的俏.;

(3)若X，X,€（0,1）,證明|/（七）一一工2|2?

【答案】＜1）y=x

(2)2；

（3）詳見解答過程.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

9

【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；

(2)設(shè)g(/)=a(l-1)-2/"，命題等價(jià)于對(duì)任意/?((),+00),都有g(shù)(/)》0,利用特殊值賦值法，即可求解；

(3)結(jié)合重要不等式可先證明對(duì)0<〃<力，有+1</(")一八")<心+1,然后結(jié)合王，看的

b-a

各種情況進(jìn)行證明即可.

【解答】解：(1)由于/(x)=x/nr,故/'。)=/小+1,

所以f(1)=0,f'(1)=1,

所以所求的切線經(jīng)過(1,0),且斜率為I，

故其方程為y=x-1；

(2)設(shè)/??)=/-1一而，則/⑺=1一！=上1,從而當(dāng)0</<1時(shí)/⑺<0,當(dāng)/>1時(shí)/⑺>0,

tt

所以力⑺在(0,1］上遞減，在［1,+8)上遞增,這就說明力⑺陰(1),

即，-白尿，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，=1,

設(shè)g(r)-a(i1)2?！保?/p>

則f(x)~-4x)=xbix-a[x-7x)=x(a(+-1)-2ln-j=)=x-

當(dāng)xw(0,+oo)時(shí),的取值范圍是(0,+oo),

忑

所以命題等價(jià)于對(duì)任意，€(0,出)，都有g(shù)(/)20.

一方面,若對(duì)任意，€(0,+oo),都有g(shù)⑴20,則對(duì)，￡(0,+<?),

[12

有Mg。)=a(t—1)—2bH-=a(t-1)4-2bi-—1)+2(—1)=,〃+二—〃一2?

取，=2,得貝〃-1,故?l>0.

再取，=「，得冬入J+24-。-2=2而一〃-2二—(右-五尸，

所以a=2.

另一方面，若4=2,則對(duì)任意/€(0,+8)都有g(shù)(/)=2(—1)—2/"=2/々)》()，滿足條件.

綜合以上兩個(gè)方面知a=2.

證明：(3)先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)Ova<〃，有/〃a+1</(")一：(")<//力+1.

h-a

證明：前面已經(jīng)證明不等式，-吟/“，

,,blub-alnaalnb-alna,.〃,.,,,

故---------=----------+bib=-j■衛(wèi)+bib<1+bib

b-ab-ab

10

-In__（￡_n

□blnh-alnablub-blna,Ah,,,

且---------=----------+Ina=-----—+Ina>---------+Ina=1+Ina,

b-ah-a1。、a

bb

g、i,,blnb-alna,,,

所以Ina+1<-------------<bib+1,

b-a

即溫+1v/（"）二?<Inb+1.

b-a

由r（x）=〃a+i,可知當(dāng)ovx〈l時(shí)，r（A）<o,當(dāng)時(shí)r@）>o.

ee

所以/（A）在（oj]上單調(diào)遞減，在P，田）上單調(diào)遞增.

ee

不妨設(shè)內(nèi)（々，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.

情況一：當(dāng)令,<1時(shí)，有|/（X|）-f（x）|=/（占）一/（內(nèi)）〈（加%,+1）（%,-%）<x,-<Jx-x,結(jié)論成

e"22t

立；

情況二：當(dāng)0<內(nèi)，時(shí)，有I/a）-/'（X,）1=f（xi）-f（xy）=x/av（-xjnx、

-e

對(duì)任意的cc（0,1],設(shè)（p（x）=xltv:-clnc-\/c-x,則（p\x）=lrix+1+—J

e2\/c-x

由于/*）單調(diào)遞增，且有

C-.C

（p{—T）=ln——<In—+1+J=-1--L+I+-4==0,

志后反疝

2e辰2e市J2

19

且當(dāng)。c-------——e時(shí)，由》仇W-1可知,

4（/〃11）222y/c-AC

C

I［1。

（p［x）=bvc+\+—,>ln—+\+—.=—.-（In——1）>0.

27^7214c^x14c^xc

所以“(x)在(0,c)上存在零點(diǎn)4o,再結(jié)合d(x)單調(diào)遞增,即知Ovxv/時(shí)”(,)<0,/vxvc時(shí)e'(x)>0

故8(x)在(0,?。萆线f減，在［小，c］上遞增.

①當(dāng)內(nèi)時(shí)，有Mx)《夕(C)=0；

②當(dāng)Ovxv%時(shí)，由于丘〃J=-2/(G)W-2屋)=2<1,故我們可以取q￡(&//??!?』).

ceec

從而當(dāng)()<x<—二時(shí)，由Jcr,

i-q-

可得(p(x)=xlnx-clnc-\lc-x<-clnc->Jc-x<-clnc-q4c=\［c(4clnq)v0,

c

再根據(jù)e(x)在(0,.%］上遞減，即知對(duì)0cx都有夕(x)<。：

11

綜合①?可知對(duì)任意0<，都有W(x)W。，即0(x)=xhvc-chic-.

根據(jù)ce(0,-］和0cx?的任意性，取c=占，x=玉，就得到x/3-x21nx?--內(nèi)。

所以I/(芭)一/(&)1=/U1)-/(工2)=嗎一x2lnx2^yjx2-xy

情況三：當(dāng)0<xW4令2Vl時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，

e“

—XXX

可得If(xt)—/(―)|~內(nèi)'?/(工)/(2)I4小X2~~^J2~\'

而根據(jù)/(人)的單調(diào)性，知I/(%)-f(X)IWIfix.)-/(-)I或I/(8)-/?)IWI/(-)-f02)I.

2ee

故一定有I)-/(王)I於J馬一X成立.

綜上，結(jié)論成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切削方程求解中的應(yīng)用，還考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍,

及不等式的證明，屬于難題.

5.(2024?西城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱ABC—A5G中，側(cè)面AACG為正方形，AB1AC,AB=AC=2t

。為8c的中點(diǎn).

(I)求證：4。//平面ABQ；

(II)若ACJ,A3,求二面角。-44一/\的余弦值.

【答案】(/)證明過程請(qǐng)見解答；(II)-也.

3

【考點(diǎn)】直線與平面平行；二面角的平面角及求法

【專題】空間位置關(guān)系與距離；遺輯推理；向量法；空間角；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】(/)連接設(shè)4彳|蝴=￡,連接OE,由中位線的性質(zhì)知。E//AC,再由線面平行的判定

定理，即可得證；

(II)先證AB,AC,A4t兩兩相互垂直，再以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角,

即可得解.

12

【解答】(1)證明：連接A3,設(shè)4冷做=七，連接￡>E,則E為A8的中點(diǎn),

因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，

所以O(shè)E//AC，

又AC仁平面入與。，OEu平面人片。，

所以AC//平面Ago.

y

(H)解：因?yàn)锳8_LA。，ABLAC,且ACp］AC=C,

所以平面A4CC；,

又A4,u平面AAC￡,所以AB1A4,,

又A4,_LAC,

所以A4,AC,AA,兩兩相互垂直，

故以人為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),*2,0,2),。(1,1,0),C(0,2,0),

所以福=(2,0,2),而=(1JO),

設(shè)平面AB】D的法向量為虎=(x,y,z),

則口的=。,即［2x+2z=0,

［冊(cè)?4/5=0,1x+)，=0.

令x=-l,所以流=(-1,1,1),

因?yàn)锳C_L平面448勺，

所以AC=(0,2,0)是平面AAg的一個(gè)法向量,

13

m-ACx/3

所以cos〈防,AC)=

I制而I

由題意知，二面角O-Aq-A的平面角為鈍角，

所以二面角/)一人用-A的余弦值為-等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定、性質(zhì)定理，以

及利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

6.(2024?撫州模擬)已知四棱錐P-4B8的底面是一個(gè)梯形，AB//DC.NABC=90。，AB=BC=4,

CD=2,PA=PD=3,PB=PC=歷.

(I)證明：平面尸4)_L平面ABC。；

(2)求二面角。-七4-。的余弦值.

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；二面角的平面角及求法

【專題】空間角；向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算

【分析】(I)分別取AO，BC的中點(diǎn)O,E,連接OP,OE,PE,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理,

可證OP±OE,從血知_L平面A/CT),再由面面垂直的判定定理，即可得證；

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解.

【解答】(1)證明：分別取AO,8c的中點(diǎn)0,E,連接OP,0E,PE,

在直角梯形A8CD中，OE=-(AB+CD)=3,4Q=J(/W-O))?+BC?=26,

因?yàn)樯?=。。=3,

所以kOP=JPA2-(-AD)2=2,

又PB=PC=布，￡是3C的中點(diǎn),

所以PE=JPB2-(LBC)2=岳，

所以O(shè)P?+0E2=PE2,即OPLOE,

又從彳|0￡=0,AD.0￡u平面43cO,

所以O(shè)P_L平面A9C/),

因?yàn)镺Pu平面0A。，所以平面PAOJ_平面ABC。.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(4,4,0),C(0,0,0),3(2,0,0),尸(3,2,2),

所以4戶=(-1,-2,2),04=(4,4,0),DA=(2,4,0),

/八……0=nim-AP=-x-2y2z=0

設(shè)平面P4c的法向量為加=(x,y,z),則｛_

m-CA=4x+4y=0

取x=-2,則y=2,z=l,所以肪=(-2,2,I),

n?AP=-a-2b+2c=0

設(shè)平面EA。的法向量為后=(a,b,c),則nil，一

"?DA=2。+4)=0

取〃=1,則〃=一2,c=0?所以萬=(一2,1,0)?

rh-n4+22石

所以cos<m,

I所H"I,4+4+1x65

由弱可知，二面角。一24-。為銳角，

故二面角C—PA—D的余弦值為正.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向最法求二面角是解

題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

2

7.(2024?鹽湖區(qū)一模)已知匕、人是雙曲線/-《=1的左、右焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)￡,

與雙曲線左、右兩支分別相交于A、B兩點(diǎn).

(I)求直線/斜率的取值范圍；

(2)若4月=(Ag,求A4OB的面積.

【答案】(1)(-73,73)；

⑵場(chǎng).

5

15

【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量

【專題】數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；綜合法

【分析】(1)設(shè)直線/的方程為,=A(x+2),將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位

置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)&的不等式組，即可解得左的取值范圍；

<2)設(shè)直線/的方程為x=6)，-2,設(shè)點(diǎn)4%，X)、伙巧，y2)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出y2=5y,

將直線/的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出〃2的值，可得出|y|的值，然后利用三角形的面

積公式可求得AAO8的面積.

【解答】解：(1)在雙曲線/一匕=1中，a=\,b=￡,則。="2+從="75=2,

3

該雙曲線的左焦點(diǎn)為”(-2,0),若直線/的斜率不存在，則直線/與雙曲線交于左支上的兩點(diǎn)，不合乎題意，

設(shè)直線/的方程為y=2(x+2),設(shè)點(diǎn)AC/,y)、B(x2,y2)?

22

聯(lián)立《'；”+2)可得(/_3)x-4^X+(4&+3)=0,

3x2-y2=3

因?yàn)橹本€/與雙曲線左、右兩支分別相交于A、8兩點(diǎn)，

公-3。0

所以,?△=163-4(公一3)(4Y+3)=36(F+D>。，解得一G<RVJ5，

4公+3八

回=左不。

因此，直線/的斜率的取值范圍是(-6,6).

(2)因?yàn)樵略?(X2+2,%)，AB=(X2-x1,y2-yj?

由￡方=*48可得y2=-(y,-y)),則％=5K，

44

當(dāng)直線/與x軸重合時(shí)，則點(diǎn)A(—1,O)、例1,0),了涓=(3,0),/m=(2,0),

此時(shí)，用工?A片,不合乎題意，

16

',’2可得(3〃?2-l)jr-12my+9=0?

設(shè)直線/的方程為x=/”，-2(〃?工0),聯(lián)立'

3x-y-3

由(1)可得，二丘(—x/5,0)U(0，G)，則加＜一8咚

2m

由韋達(dá)定理可得y+K=6K=,貝Uy=

3m-13/n2-1

2

2n95x4/nAZ,ZB,3\/72in3不

的2=5c不即0藐口二而匚甲解得‘…〒’m則h|”茄匚|二而,

所以，=5"=：|0尸卜|)，2rl=4|y|=第.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于

中檔題.

8.(2024?一模擬)已知AA8C的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,且AO是8C邊上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-\/2Z?)sinC.

(I)求角A；

(2)gsin(B-C)=—,a=5,求AD.

10

【答案】⑴

4

(2)6.

【考點(diǎn)】正弦定理：余弦定理；解三角形

【專題】解三角形；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想

【分析】(1)利用正弦定理化簡已知等式可得〃2+《2-/=0秘，利用余弦定理可得cosA=也，結(jié)合

2

Ae(O^),即可求解A的值；

(2)由題意利用三角函數(shù)恒等變換可求tan8=?tanC,設(shè)AO=x,8。=y,OC=z,可得tan^=—=-,

2BDy

tanC=-,由題意可得3y=2z,又)，+z=5,解得：z=3,v=2,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可求

z

解.

【解答】解：(1)因?yàn)?sinA-sin8)(a+〃)=(c-\Z5Z?)sinC,

利用正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-\t2b)c＞可得正+1?-/=應(yīng)be?

利用余弦定理cosA==—=—,

2bc2bc2

由于Aw(0,;r),

所以A=C;

4

17

(2)因?yàn)閟in(B-C)=V,可得sinAcosC-cosAsinC="j^■①，

又sin(8+C)=sinA=sinM="^：可得sinAcosC+cosAsinC=②,

422

由①②得：sinBcosC=2^,cosZ^sinC=,

1010

所以sin"cosC=3,可得2tan8=3tanC,即tan4='tanC③,

cosBsinC22

在AA8C中，AD±BC,設(shè)八￡>=x,BD=y,DC=z,

ADX

則lanB=---

HDy

tanC=^=X

CD

所以由③可得V=3x2,整理得：3），=2z,

），2z

由于：y+z=5,

解得：z=3,y=2,

m工，34「、-1-tanC

由于：tanB=tan(----C)=---------

41-tanC

T一T」

所以：A=——可得￡=——1,整理可得f-5x-6=0,

>I-2

z3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)

算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

9.（2024?梅州模擬）已知橢圓。:￡+今=1（〃>〃>0）的離心率為1,且經(jīng)過點(diǎn)丁（1士）.

crb~22

（I）求橢圓。的方程；

（2）求橢圓C上的點(diǎn)到直線/:y=2x的距離的最大值.

【答案】（1）—；（2）叵.

45

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題；設(shè)而不求法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想

18

【分析】（i）由橢圓的離心率，可得。，8的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)r的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得

參數(shù)的值，即可得〃的值，求出橢圓的方程；

（2）設(shè)與），=2]平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0,可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直

線為距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離.

【解答】解：（1）由橢圓的離心率為g,可得c=5

可得3/=4/，設(shè)橢圓的方程為：=十二二1,『〉（）,

4廣3r

又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)7（1,3）,所以」^+上=1,

24r4廣

解得產(chǎn)=],

所以橢圓的方程為：—+^-=1；

43

（2）設(shè)與直線y=2x平行的直線的方程為），=2x+〃?，

y=2x+m

聯(lián)立/y2，整理可得：19/+16〃1￥+4〃『-12=0,

143

△=162m2—4x19x（4m2—12）=0,可得tn2=19,則/〃=±>/19，

所以直線），=2x+m到直線），=2A的距離"=半=叵.

v55

所以橢圓C上的點(diǎn)到直線l:y=2》的距離的最大值為建.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

10.（2024?江西模擬）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它

們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓05+5=1（0</，<2）,雙曲線是橢圓G的“姊妹”圓錐曲線,

4，6分別為C，G的離心率，且弓弓二^^，點(diǎn)M，N分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn).

（I）求雙曲線G的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)G（4,0）的動(dòng)直線/交雙曲線G右支于A,5兩點(diǎn)，若直線AM,8N的斜率分別為砥”，kHN.

⑴試探究3H與&礎(chǔ)的比值旦是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；

%

（//1）求卬=+;左期的取值范圍.

2

【答案】（1）--/=!;

4

19

(2)(Z)-1l：(Z/)(34,-1巳1)口1盛3，57).

3436364

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合

【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法

【分析】(1)由題意可設(shè)雙曲線=利用的2=乎，可求生

Qf

(2)⑴設(shè)AQ,y),B(x,,必)，直線他的方程為“W+4,與雙曲線聯(lián)立方程組可得y+%=-吏—，

'r-4

)，舊二4一，進(jìn)而計(jì)算可得魯為定值.

，-4kBN

(，)設(shè)直線AM:)，=&(1+2),代入雙曲線方程可得乙=2￡?，進(jìn)而可得k.e(—g，；)，kBNe(-00,

--)0(1,+oo),進(jìn)而由⑴可得心“w(—L進(jìn)而求得卬的取值范圍.

2226623

22

【解答】解：(1)由題意可設(shè)雙曲線Q：工一1=1，

一4b“

則平二在王x叵L巫：解得從=i,

224

雙曲線G的方程為！-丁=1；

(2)(i)設(shè)4%,y),8(w，>2)>直線AB的方程為x=)+4,

x=(y+4

由，消去x得(12-4)>/+8)+12=0,則r±2,A>0,

—~y2=\

4-

口&12

且—事)

y’2=Z2-4

凹12/16/14/

k.=X+2=y(第+2)=%乃+2)1=+2()[+%)-2%=2g^必=」；

12r

kBN%為(》+6)ty,y2+6.y2ty\y2+6y2_!2r_.+6v3

X2-2r-4力/_4X

(")設(shè)直線AM:y=k[x+2),代入雙曲線方程并整理得。一4F￡一抬工_]6k2_4=0(1-4有*0),

由于點(diǎn)M為雙曲線的左頂點(diǎn)，.?.此方程有一根為-2,

16犬+42(4-+1)

解得相=

I-4A21-4公

?.?點(diǎn)A在雙曲線的右支上—告外。,

解得女￡(一；,即心加￡(一；,

同理可得女臥,e(YO,-g)U(g,+8),

20

由(/)&湎=-gk.e(f‘一》D(*,+8),

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