與題08斜三龜形7種卒兒考/梗秦

五年考情?探規(guī)律

知識五年考情（2021—2025）命題趨勢

考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形

2025?天津2025?全國二卷2024?天津

2023?上海2023?天津2023?全國乙卷

2022?天津2021?全國甲卷2021?上海

2021?天津

考點(diǎn)02正余弦定理綜合

知識1正余弦

2024?全國甲卷2023?北京2022?全國乙卷

定理

（5年5考）考點(diǎn)03三角形的面積問題1.三角形正余弦定理求基本量運(yùn)算

2025?全國一卷2024?新課標(biāo)I卷2024?北京是高考必考知識點(diǎn)，邊角轉(zhuǎn)化，最

2023?全國甲卷2023?全國乙卷2023?新課標(biāo)II卷值問題與不等式相結(jié)合等都是高

2022?新高考全國II卷2022?浙江2021?全國乙卷考高頻考點(diǎn)

2021?新高考全國H卷2.解三角形在高考解答題中，周長

考點(diǎn)04三角形的周長問題面積問題是高考中?？碱}型，難度

2024?新課標(biāo)H卷2022?北京2022?全國乙卷一般，容易出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題以及

2021?北京與三線相結(jié)合，注重常規(guī)方法以及

考點(diǎn)05正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用常規(guī)技巧

2025?北京2023?新課標(biāo)1卷2023?全國甲卷

2022?全國甲卷2021?浙江

知識2解三角2021?新高考全國I卷

形的應(yīng)用考點(diǎn)06解三角形的最值問題

（5年5考）2022?新高考全國I卷

考點(diǎn)07解三角形的實(shí)際應(yīng)用

2024?上海2021?全國甲卷2021?全國乙卷

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01利用正余弦定理解三角形

1.（2025?全國二卷?高考真題）在VA4C中，BC=2,AC=1+石，48=石，則4=（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

【分析】由余弦定理=*曾產(chǎn)直接計(jì)算求解即可.

6=(")+(1+⑹2-22二a

【詳解】由題意得cosA=

2AB?AC2x>/^x([+&)2

X0<4<180\所以人=450.

故選：A

2.（2021?全國甲卷?高考真題）在V4BC中，已知3=120。，AC=曬,AB=2f則5。=（）

A.1B.&C.75D.3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到關(guān)于8c長度的方程，解方程即可求得邊長.

【詳解】設(shè)A4=c,AC=b,4C=a,

結(jié)合余弦定理：//=〃2+/-2aocos3可得：19=（/+4-2xaxcxcosl20,

即：4?+2〃_15=0，解得；。=3（。=一5舍大）,

故BC=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

⑴已知三角形的三條邊求三個(gè)角；

⑵已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

⑶已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形.

3.（2023?上海?高考真題）在V45c中，已知。=4,b=5,c=6,則sinA=

【答案】昱

4

【分析】先利用余弦定理求得cosA,再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得sinA.

【詳解】COM二堂25+36-16=45=3

--6()-60-41

???A為VABC的內(nèi)角,

sinA=5/l-

故答案為:且.

4

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.

TT

4.（2023?全國乙卷?高考真題）在V/WC中，內(nèi)角4,仇。的對邊分別是a〃，c,若俄os8-Zx2sA=c,且C=1，

則"=()

AAD.空

10B-7?5

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得/A的值，最后利用三角

形內(nèi)角和定理可得NA的值.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC?

即sinAcos8-sinBcosA=sin(A+8)=sinAcosB+sin8cosA,

整理可得sinAcosA=0,由于8?0,兀),故sinB>0,

TT

據(jù)此可得cosA=0.A=一,

2

故選：C.

5.（2023?天津?高考真題）在VA3C中,角A8,C所對的邊分別是a,b,c.已知。=回律=2,44=120°.

(1)求sinB的值;

（2）求c的值;

⑶求sin（8-C）的值.

【答案】

(2)5

⑶-型

26

【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出;

（2）根據(jù)余弦定理即可解出;

（3）由正弦定理求出sinC,再由平方關(guān)系求出cosBcosC,即可由兩角差的正弦公式求出.

【詳解】⑴由正弦定理可得，梟*即惡=熹‘解得一由好

(2)由余弦定理可得，a2=b2+c2-HJCCOSA.即39=4+/-2X2XCX

解得：c=5或c=-7（舍去）.

⑶由正弦定理可得,Ur竟即磊急解得:sg繆,而A*,

所以所。都為銳角，因此cosC=Jl-"=主竺，cos3=2>/39

V522613

而電fc。"二場巫亞工2

'，1326132626

Q?

6.（2024?天津?高考真題）在VABC中，角所對的邊分別為a,Ac,已知cosA=7,b=5,a-=-.

16c3

⑴求。的值；

（2）求sinA的值：

⑶求cos（8-2A）的值.

【答案】⑴4

釁

⑶幺64

【分析】（1）a=2f,c=3『，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；

（2）法?：求出sinB,再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA,則得到sinA：

（3）法一：根據(jù)大邊對大角確定A為銳角，則得到cosA,再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可;

法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.

【詳解】（1）設(shè)a=2f,c=3，，t>0,則根據(jù)余弦定理得》2=/+c2—2accos8，

HP25=4r+9r-2x2rx3rx-^,解得1=2（負(fù)舍）；

16

則〃=4,c=6.

，所以sin8=J1-cos2B=j，

（2）法一：因?yàn)?為三角形內(nèi)角,

4=5r

再根據(jù)正弦定理得工=3,即sinA5>/7，解得sinA=」，

sinAsinB記4

法二：由余弦定理得cosA="2-a252+62-423

217c2x5x64

因?yàn)锳￡（0,兀），則sin4='l—（w

9

（3）法一：因?yàn)閏os8=—>0,且8?0,兀），所以

16

由（2）法一知sin8=%^,

16

因?yàn)閍v/,則A<4,所以cosA

則sin2A=2sinAcosA=2x^-x--=^^-,cos2A=2cos2A-l=2xf—1-1=-

4L18⑷8

r八?r.?915773357

cos（B-2A）=cosZ?cos2A+sin2?sin2A=—x-+----x----=—.

'/16816864

法二：sin2A=2sinAcosA=2x—x-=—,

448

則cos2A=2cos?A-l=2x（；）-1

8

25x/7

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，所以sin8=cos?4=

16

8s3cos2A+sin癡】2A=234-3"57

所以cos（4—2A）=x----=——

16816864

7.（2025?天津?高考真題）在V48c中，角A8,C的對邊分別為〃也c.己知asin8=&cosA,c-2/?=l,

a=x/l.

⑴求A的值：

⑵求c的值；

⑶求sin（A+24）的值.

【答案】⑴g

（2）3

⑶孚

【分析】（1）由正弦定理化邊為角再化簡可求；

（2）由余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論與已知代人可得關(guān)于〃的方程，求解可得b,進(jìn)而求得J

（3）利用正弦定理先求3,再由二倍角公式分別求sin2氏cos2B,由兩角和的正弦可得.

【詳解】（1）已知asin8=VJbcosA,由正弦定理."=."八，

sinAsinB

得〃sin8=Z?sinA=A/5/?COSA,顯然COSAHO，

得lanA=G,由0<A<兀，

故A=/：

（2）由（1）知cos4=],fic=2/?+l,a=J7,

由余弦定理/=b-+c2-2%cos4,

則？=//+（2匕+1尸一2x,以2〃+1）=3/+3b+l,

2

解得〃=1（人=一2舍去）,

故c=3；

（3）由正弦定理―一二一々，且〃=l,a=J7,sinA=立，

sinAsinB2

得$inB="i±l=叵，且〃>〃，則4為銳角，

a14

故cosB=—>/1,故sin2B=2sin氏osB=，

1414

且cos24=l_2sin2B=l-2x|普）二￡；

n11I、n4q

故sin（A+23）=sinAcos23+cosAsin24=—^-x—+—x-~~—=—

2142147

8.（2021?上海?高考真題）已知A、B、C為V4BC的三個(gè)內(nèi)角，。、b、c是其三條邊，?=2,cosC=--.

4

（1）若sinA=2sin8,求若c；

44

（2）若cos（A-：）=w，求c.

45

【答案】（1）1,G

⑴5病

---?

2

【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解c的值.

⑵根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得sinA、sinC的值，進(jìn)而杈據(jù)正弦定理

可得C的值.

【詳解】（1）：sinA=2sinB,由正弦定理得a=%,

乂。=2,可得〃=1,

由于cosC=+；?=2：,可得c=?.

2ab2x2x14

（2）0cosC=一一,0<C<n,

4

團(tuán)sinC=Jl-cos2c,0g>A,

42

C>A=>c>a=>sinC>siaA=>sin4<

4

cos(A--)=—(cosA+sinA)=—,

425

「9—逑,

5

又cos?4+sin2A=1,

“J解得sinA='^或sin4=宣2(舍),

1010

由正弦定理三=-J,可得。=觀.

sinAsine2

9.（2021?天津?高考真題）在VA/3C,角A氏C所對的邊分別為〃，hc，已知sinA:sin4:sinC=2:1:&，〃=&.

（I）求。的值；

（II）求cost1的值；

（III）求sin（2C-的值.

【答案】（I）2>/2;（II）（川）宏史二1

【分析】（I）由正弦定理可得a:b:c=2:l:應(yīng),即可求出;

（II）由余弦定理即可計(jì)算；

（III）利用二倍角公式求出2c的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】（I）因?yàn)閟inA:sin4:sinC=2:l:&，由正弦定理可得a:〃：c=2:1:a，

：b=>/2>ci=2-j2,c=2；

）f2

E）由余弦定理可得c°sC=年產(chǎn)8+2-4=3

2x272x72-4

(III),/cosC=-7,/.sinC=x/1-cos2C=—，

44

z.sin2C=2sinCcosC=2x—x—=,cos2C=2cos2C-l=2x^-1=-i,

448168

所以sin(2C-M]=sin2CcosK-cos2Csin￥=j2/Ix^_k」=3Z7

V6J66828216

2（2。22?天津?高考真題）在V中，角A、仄C所對的邊分別為小Ac.已知會遙入2"OSA=T

⑴求c的值;

(2)求sin8的值;

(3)求sin(24-8)的值.

【答案】⑴c=l

(2)sinB=—

4

(3)sin(2A-B)=—

8

【分析】（1）根據(jù)余弦定理a2=z/+c2一處“OSA以及b=2c解方程組即可求出;

（2）由（1）可求出匕=2,再根據(jù)正弦定理即可解出；

（3）先根據(jù)二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.

【詳解】(1)因?yàn)椤?=從+才一2/2ccosA*即6=〃+/+，而〃=2c,代入得6=4(?2+c2+c2?解得：c=1.

J

(2)由(1)可求出Z?=2,而()<AV7T,所以sinA=J1-cos?4=,又-「二,所以

4sinAsinB

9際

加inA“丁Tfo

sinBD=--------=-----=-----------

?V64

(3)因?yàn)閏osA=-J,所以<冗，故0<8<g,又sinA=S-cos2A=M^,所以

4224

sin2A=2sinAcosA=2x[-l]x^^=----—,cos2A=2cos2A-l=2x—-1=--,HSsin^=.^—,所以

(41481684

cosB=Jl-sin?B=—，

4

故sin(2A-8)=sin2Acos5-cos2AsinB

考點(diǎn)02正余弦定理綜合

ITQ

11.(2024?全國甲卷?高考真題)在VA8C中，內(nèi)角A8,C所對的邊分別為。也c,若8=?,〃=；訛，則

34

siaA+sinC=()

A2739RV39c幣n3>/13

1313213

【答案】C

i1Q

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=q,再利用余弦定理有/+‘2=一"，由正弦定理得到sin?A+sin2c的

34

值，最后代入計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)锽=?,〃=；ac,則由正弦定理得sinAsinC=《sin2B=g.

o

由余弦定理可得:〃=。2十=[a。，

4

131313

即+d=—ac,根據(jù)正弦定理得sin?4+sin2C=—sinAsinC=一,

4412

7

所以(sinA+sinC)?=sin2>4+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因?yàn)锳C為三角形內(nèi)角,則s—0,MsinA+sinC=—.

故選：c.

12.(2023?北京?高考真題)在VA3C中，(a+c)(sinA-sinC)=伙sinA-sin或，則NC=()

Itc兀427rc5加

AA.—B.-C.—D.——

6336

【答案】B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因?yàn)?a+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sin8),

所以由正弦定理得(。+c)(a-c)=Ma-b),即/一才—

則(T+/『-c2=ab,故cos。="+"———=,

2ab2ab2

又OVCVTT,所以。=色.

3

故選：B.

13.(2022?全國乙卷?高考真題)記VA8c的內(nèi)角人，B,C的對邊分別為小b,c,已知

sinCsin(A-2?)=sin4sin(C-A).

(1)若A=28,求C；

(2)證明:2a2=b2+c2

【答案】⑴1；

⑵證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意可得，sinC=sin(C-A),再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得sinC(sinAcosb-cos4sin8)=sin8(sinCcosA-cosCsinA),再

根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出.

【詳解】(1)由4=24,sinCsin(A-3)=sin4sin(C-A)可得，sinCsinB=sinZ^sin(C-A),fHO＜^＜~?

所以sin(0,1),即有311。=$皿((7-人)＞(),而0＜。＜九,0＜。一/\＜兀，顯然。工。一4,所以，C+C-A=TT,

而A=23,4+3+。=兀，所以C=等.

8

(2)由sinCsin(A-B)=sin8sin(C-A)可得，

sinC(sinAcosB-cossinB)=sinB(sinCeosA-cosCsinA)，再由正弦定理可得，

accosB-becos4=becosA-abcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

-(;z2+c2+c2-a2)=^b2+c2-tz2)--(iz2+b2-c2),化簡得：

2222

2?！?/+。2,故原等式成立.

考點(diǎn)03三角形的面積問題

14.(2021?全國乙卷?高考真題)記丫43。的內(nèi)角4以。的對邊分別為％〃皿面積為石，。=60%“2+/=3.,

則/）=.

【答案】2忘

【分析】由三角形面積公式可得8=4,再結(jié)合余弦定理即可得解.

【詳解】由題意，S\SmB=@~ac=5

JBC24

所以ac=4,/+c==12,

所以Z/=a'+c'-2accos6=12-2x4xT=8,解得力=2夜（負(fù)值舍去）.

故答案為：2立.

15.（2021?新高考全國團(tuán)卷?高考真題）在V48C中，角A、B、C所對的邊長分別為。、b、c,b=a+\,

c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求VA8C的面積;

（2）是否存在正整數(shù)。，使得V48C為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）竺且；（2）存在，且。=2.

4

【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3々，結(jié)合已知條件求出〃的值，進(jìn)一步可求得/八c的值，利用余弦定

理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

（2）分析可知，角C為鈍角，由cosCvO結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)。的值.

【詳解】（1）因?yàn)?sinC=3sinA,則2c=2（〃+2）=3〃，則。=4,故〃=5,c=6,

ac

cosC=~=1,所以，C為銳角，則sinC=J1-cos?C=,

2ab88

葉c?A?r14。3"15"

因JJL,5=-absinC=—x4x5x-----=-------；

A△4曲fir2284

(2)顯然若VA9C為鈍角三角形，則。為鈍角，

由余弦定理可得cosC="'+"；/+(4+1)2一(〃+2)2

2ab24+1)2。(。+1)

解得一1<4<3,則。<”3,

由三角形三邊美?系可得4+4+1>。+2,可得。>1,,/?eZ,故4=2.

16.（2022?浙江?高考真題）在VABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4i=>/5c,cosC=g.

（1）求sin4的值;

（2）若6=11,求VABC的面積.

【答案】（1）手；

(2)22.

【分析】（1）先由平方關(guān)系求出sinC,再根據(jù)正弦定理即可解出;

（2）根據(jù)余弦定理的推論cosC=￡^W以及4〃=辰可解出。，即可由三角形面積公式他sinC求

2ab2

出面積.

【詳解】（1）由于COSC=N，0<Cv兀，MsinC=-.因?yàn)?a=石c，

JJ

由正弦定理知4sinA=^sinC，則sinA=4sinC=75

2?162??Q-

⑵因?yàn)?〃=君c，由余弦定理，得“sa2+b2-c2"F2I-“II-3.

cosC=--------------=---------------------=----------=—

2ab22a2a5

4

BPa2+6a-55=0>解得a=5,HijsinC=—,/?=11,

]14

所以V/WC的面積S=-H?sinC=-x5xllx-=22.

225

17.（2022?新高考全國回卷?高考真題〉記VA4C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小b,c,分別以小b,c為

邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S\,S?』,已知S「工+邑=3,sinB=L

23

⑴求VABC的面積；

（2）若sinAsinC=正，求。.

3

【答案】（1）監(jiān)

【分析】⑴先表示出，㈤同，再由Sf+SL亭求得〃2+。2_/=2,結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得好,

再由面積公式求解即可；

（2）由正弦定理得_之=一竺一，即可求解?.

sm-BsinAsinC

【詳解】（1）由題意得5=[八中=堂/,5,=中從S=gc2,則

22444

即/+°2_〃2=2,由余弦定理得‘os4=色士上，整理得accos8=l,則cos3>0,又sin8=,，

2ac3

McosB==—,?c=—,則S"c='acsin8=也；

Vy33cosB4"28

3a

護(hù)_ac_ac_4_9則*

⑵由正弦定理得：益=^=碇

sin2BsinAsinCsinAsinC&4

T

/7=2sinfi=-

22

18.（2022?浙江?高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方

法稱為〃三斜求積〃，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫成公式，就是

S=R—2_『+；/[I其中小仇c是三角形的三邊，s是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a==G,c=2?則該三角形的面積S=

【答案】叵.

4

【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出.

(c2+a2-b2

【詳解】因?yàn)镾=，所以5=

22

故答案為：粵

19.（2023?全國乙卷?高考真題）在VA4C中，已知NB4C=120。，AB=2,AC=\.

⑴求sin/ABC；

⑵若。為8c上一點(diǎn)，且N8AO=90。，求△AOC的面積.

【答案】（1）@：

14

喈

【分析】（1）首先由余弦定理求得邊長8C的值為=然后由余弦定理可得COSB=X2,最后由同角

14

：向函數(shù)基本關(guān)系可得sin8=叵

14

（2）由題意可得沁"=4,則據(jù)此即可求得AAOC的面積.

【詳解】（1）由余弦定理可得：

BC~=a2=b2+c2-2hccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7*

?r——ci~+c~—b~7+4—15^7

則BC=,cosB=---------------=-----------j==------，

lac2x2xV714

sinN/WC=>/1-COS2B=J1--=—.

V2814

q—xAfixADxsin90

（2）由三角形面積公式可得沁-----------------=4,

Ls-xACxADxsin30

則S△皿=京△樹

20.（2024?新課標(biāo)團(tuán)卷?高考真題）記VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。，b,c,已知sinC=JJcosB，

a2+Z?2-c2=42ab

⑴求B：

⑵若VABC的面積為3+G，求C.

【答案】（l）8=g

（2）20

【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出cosCsinC,最后結(jié)合已知sinC=V5cos/e得cosB的值即可;

（2）首先求出A及C，然后由正弦定理可將”,〃均用含有。的式子表示，結(jié)合三角形面枳公式即可列方程

求解.

【詳解】（1）由余弦定理有/+//-C2=2"8SC,對比已知/+/—/=①活,

可得cosc/+/*c2=&=亞.

2ablab2

因?yàn)?。￡?.兀）,所以sinC>0,

從而sinC=x/l-cos2C=

又因?yàn)閟inC=夜cos/?,即cos8=5,

注意到8?（）,兀）,

所以4=弓.

A=H--=

（2）由（1）可得4=四c°sC=#,Ce（O,兀），從而C=（，i7ff

3

f571冗71

而sinA=sin―+―

1五4622224

b_c

由正弦定理有如“.it.兀

sin—sin-

1234

從而戶如詈.缶=亨3與岳邛c,

由三角形面積公式可知，VA5C的面積可表示為

s…LMJ?旦旦F,

m222228

由已知VA6C的面積為3+G，可得主芭。2=3+百,

8

川f以c=2點(diǎn)?

21.（2023?全國甲卷?高考真題）記VABC的內(nèi)角4,8,C的對邊分別為。也c,已知"十.一/=2.

cos/4

⑴求〃c；

,、開acosB-/?cosAb.4______-,

（2）若——-—■一-一一=1,求V4BC面積Yr.

tzcos/i+IKOSAC

【答案】⑴1

⑵立

4

【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.

【詳解】（1）因?yàn)?u^+d—XccosA，所以廿+>一/=2尻cosA=2慶=2,解得：bc=l.

cosAcosA

4cos8cosAbsinAcos8-sinBcosAsinB

（2）由正弦定理可得

acos8+〃3s4csinAcosB+sinBcosAsinC

sin(A-B)sinBsin(A-B)-sinB1

sin(A+B)sin(A+B)sin(A+B)

變形可得：sin（A-8）-sin（A+8）=sin8,即一2cosAsinB=sin8,

而OvsinBWl,所以cosA=-'，又OVAVTT,所以sinA=立，

22

故VABC的面積為S△，而=g〃csinA=；xlx*=^.

22.（2024?北京?高考真題）在VA6C中，內(nèi)角A&C的對邊分別為。，4*上A為鈍角，?=7,

sin2B=立…

7

⑴求上4;

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已矢】，使得VABC存在，求VABC的面積.

條件①：b=7；條件②：cosB=~條件③：csinA=|6.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

【答案】（1）A吟;

（2）選擇①無解；選擇②和③△/WC面枳均為8.

4

【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；

（2）選擇①，利用止弦定理得用=[,結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出sin8=38,再代

314

入式了?得b=3,再利用兩角和的下弦公式即可求出sinC,最后利用三角形面積公式即可：選擇③，首先

得到c=5,再利用正弦定理得到$inC=X3,再利用兩角和的E弦公式即可求出sinB,最后利用三角形面

14

積公式即可；

【詳解】（1）由題意得2sinBcosB=@bcosB，因?yàn)锳為鈍角，

7

rb=2=a=7

則cosBwO,則2sinB=/。，則sin8百sinAsinA,解得sinA=」，

7T2

因?yàn)锳為鈍角，則A=/.

⑵選擇①8=7,則sinB=3b=3x7=3,因?yàn)锳=§,則8為銳角，則B=

1414233

此時(shí)八+8=兀，不合題意，舍棄；

選擇②cosB=*因?yàn)锳為三年形內(nèi)角，則sin八J1-（曾二當(dāng),

則代入2sin8=立。得2x^^=且。，解得人=3,

7147

2兀.2兀27r.

sinC=sin(A+8)=sin+B=sin——cosBD+cos——sinB

33

與上+（」卜迪=述

214I2）1414

上sinC」x7x3x^=M.

則可做

22144

選擇③csinA=￡G,則有cx#=|G，解得C=5,

則由正弦定理得號=三；，BP73=^C,解得sinC=更,

sinAsinC—14

2

因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，則cosC=2=11

I14

sinf—+C^=sin—cosC+cos—sinC

則sin8=sin(A+C)

(3,33

=旦11+14辿=逋,

214I2)1414

=Lcsin?」x7x5x"=15x/3

則3△八BC

2144

23.（2023?新課標(biāo)0卷?高考真題）記VABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,Ac,已知VA8C的面積為G，D

為BC中點(diǎn)，且A￡>=1.

（1）若NAOC=g,求tan4；

⑵若//+/=8,求氏c.

【答案】（1）步；

（2）b=c=2.

【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積公

式求出〃，作出8c邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出。，再利用三角形面積公式求出-ADC即可求解作答；方法2,利用向量

運(yùn)算律建立關(guān)系求出小再利用三角形面積公式求出-AOC即可求解作答.

【詳解】（1）方法1：在VA3C中，因?yàn)椤窞?C中點(diǎn),ZADC=j,AD=].

解得。=4,

2兀

在AABO中，ZADB=—,由余弦定理得/=瓦）2+4）2-28DA￡>cos乙4。8,

"則c。也索于智，

即C

sin

所以tan8=包包=立

cosB5

方法2：在VA3C中，因?yàn)?。?C中點(diǎn)，ZADC=y,AD=\,

則SA*=，AQQCsinNAOC」xlxLx^=g/」S,flr=—>解得a=4,

△八"i222282△八成2

在LACD中，由余弦定理得從=CD2+AD2-2CDADcos乙ADC，

K|JZ>2=4+l-2x2xlxl=3,解得力=6，有AC2+A￡>2=4=CD2，則NCAOj,

C=3，過A作AE_L3C于E,于是CE=4CcosC=2,AE=ACsinC=3,BE三

6222

所以tanB*=@.

BE5

c2=—a2+l-2x—flxlxcos(71-Z.ADC)

42

（2）方法1：在△480與△ACD中，由余弦定理得<

,101

b~=—a~+l-2x—axlxcosZ/4DC

42

整理得3"+2=b2+c2,而從+/=8,則4=26，

又SA“=’xVJxlxsinNAOC=走，解得sinZ4OC=1,而0<ZADC<兀，于是NAQC=g,

所以為MCMJAZ^+CD2=2?

方法2：在VA4C中，因?yàn)?。?c中點(diǎn)，M2AD=AB+AC.又麗=麗-祝，

于是4而?+而,=（通+痔:+（通一記2=2（6+。2）=16,即4+/=16,解得。=26,

又Ssc=LxGxlxsin/4。。=也，解得sinZADC=l,Kij0<ZADC<n,于是44。。=當(dāng)，

AA，乂222

所以/=°=，4。2+5=2.

24.（2025?全國一卷?高考真題）已知VA4C的面積為1，cos2A+cos2^+2sinC=2,cosAcosRsinC=—,

44

則（）

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=6

C.sin>4+sinB=V6口3+叱=3

2

【答案】ABC

【分析】對cos2A+cos28+2sinC=2由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確，方法一分情況比較A+/3和■的

大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，利

用和差化枳公式，回避討論過程;，然后利用cosAcos3sinC=。算出A,4取值，最后利用三角形面枳求出