第02講垂直

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①垂直的定義

1.掌握垂線的定義及其表示。

②垂直的畫法

2.能夠利用三角板或兩角器畫垂線。

③垂線的性質(zhì)

3.掌握垂線的性質(zhì)并且能夠運用性質(zhì)進行相關(guān)的計算。

④點到直線的距離

思維導(dǎo)圖

，

垂直

知識清單

知識點01垂直的定義

1.垂直的定義:

兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是..時，就說這兩條直線,其中

一條直線叫做另一條直線的,它們的交點叫做.O若直線。與直線〃垂直，表

示為.

由鄰補角與對頂角的性質(zhì)可知，若相交線形成的角中有一個角是直角，則四個角均是

【即學(xué)即練1】

1.（2023?封丘縣二模）如圖，直線48、CO相交于點。，過點。作。EJ_。。，若/AOO=4NA。。，則N

4?！甑亩葦?shù)為（）

A.48°B.54°C.64°D.72°

知識點（）2垂線的畫法

1.利用三角板過已知點作直線的垂線的具體步驟：

（1）三直角三角板的一半與已知直線O

（2）沿已知直線平移直角三角形邊，使另一邊經(jīng)過o

（3）沿與已知直線不重合的邊畫,這條直線即為已知直線的垂線。

【即學(xué)即練1】

2.（2023春?梁平區(qū)期末）下列選項中，過點。畫A8的垂線CD,三角板放法正確的是（）

知識點03垂線的性質(zhì)

1.性質(zhì)1：

在同一平面內(nèi)，過一點作已知直線的垂線，條直線與已知直線垂直。

有且只有：存在且唯一。

2.性質(zhì)2：

過一點作已知直線的,點到之間的部分叫做垂線段。直線外一點連接

直線上所有點的連線中，最短。

注意：若不是直線外一點，則不存在垂線段。

【即學(xué)即練1】

3.：2023春?裕華區(qū)期中）如圖，在直線/外任取一點Q,過點Q畫直線/的垂線，可畫出的垂線有（）

Q

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

【即學(xué)即練2】

4.（2023春?博羅縣期末）春節(jié)過后，某村計劃挖一條水渠將不遠處的河水引到農(nóng)田（記作點O）,以便對

農(nóng)田的小麥進行灌溉，現(xiàn)設(shè)計了四條路段OB,OC,OD,如圖所示，其中最短的一條路線是（）

A.OAB.OBC.OCD.OD

知識點04點到直線的距離

1.點到直線的距離：

百線外一點到這條直線的垂線段的是直線外一點到該百.線的距離C

【即學(xué)即練1】

5.（2023春?寶坡區(qū)校級月考）戶為直線機外一點，A,B,C為更線加上三點，PA=4cm,PB=5cm,PC

=6cm,則點P到直線in的距離（）

A.等于5c〃？B.等于4c〃？C.小于4cmD.不大于4c7〃

題型精講

題型01與垂直有關(guān)的計算

【典例1】（2022秋?新都區(qū)期末）如圖，OCLAB,垂足為O,直線DE經(jīng)過點。，ZCOD=50°,則N8OE

C.50°D.60°

【變式1］（2023春?呼和浩特期末）如圖，三條直線A從CD,比相交于點O,KCDLEF,/AOE=70：

若。G平分NBOENOOG的度數(shù)為（

C.60°D.65°

【變式2］（2023春?自貢期末）如圖，直線AB,C。相交于點。，EO1CD,垂足為O.若/￡。8=50°,

求NA。。和ZAOC的度數(shù).

CE

AOB

D

【變式3］（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，直線A8、CO相交于點O,。。平分N4OF,EO1OD,ZEOA

=55°,求N8。r的度數(shù).

C

B

題型02垂線段最短的應(yīng)用

【典例1】（2023春?棲霞市期末）如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距

離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）

一

起

時

區(qū)

一

A.兩點之間，線段最短

B.垂線段最短

C.兩點確定一條直線

D.經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【變式1］（2023春?東明縣期中）如圖，小李計劃把河中的水引到水池C進行蓄水，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿線段

挖渠，能使水渠最短，其中蘊含的數(shù)學(xué)原理是（）

A.過兩點有且僅有一條直線二二二二二二二

B.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線AB

C.垂線段最短工

C

D.兩點之間，線段最短

【變式2］（2023?吉秀區(qū)校級模擬）如圖，有三個快遞員都從位于點。的快遞站取到快遞后，同時以相同

的速度把取到的快遞分別送到位于筆直公路/旁的三個快遞點4B、C、結(jié)果送到B快遞點的快遞員先到.理

由是（）

A.垂線段最短

B.兩點之間線段最短ABC

C.兩點確定一條直線

D.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線

【變式3］（2022秋?榆樹市期末）如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路A8、4C、AO可走,

將軍沿著A8路線到的河邊，他這樣做的道理是（）

A.兩點之間，線段最短

B.兩點之間，直線最短

C.兩點確定一條直線

D.直線外?點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

題型03點到直線的距離

【典例1】（2023秋?讓胡路區(qū)校級期中）如圖，NACB=90°,CDLAB,垂足為點。，則點C到直線AB

的距離是（）

A.線段AC的長度B.線段C8的長度

C.線段A。的長度D.線段C。的長度

【變式1】（2023春?新羅區(qū)期末）如圖,AB±AC,ADLBC,那么點C到直線AD的距離是指（)

A.線段4C的長B.線段AD的長

C.線段。8的長D.線段CO的長

【變式2］（2023春?天元區(qū)校級期末）如圖，筆直小路?！甑囊粋?cè)栽種有兩棵小樹CM小明測得A3

=4〃?，AC=6nh則點A到的距離可能為（）

A.6mB.5mC.4/wD.3n?

【變式3］（2023春?澄邁縣期末）已知P是直線/外一點，A是直線/上一點，若辦=2c〃?，則點P到直線

I的距離（）

A.小于B.不大于2c〃?C.等于D.大于

強化訓(xùn)練

1.（2023春?孟村縣期末）已知，如圖所示，AB±CD,垂足為。，E廣為過。點的一條直線，則Na與N0

B.互余

C.互補D.互為對頂角

2.（2023?游仙區(qū)開學(xué)）過點〃作A〃的垂線CQ,下列選項中，三角板的放法正確的是（）

3.（2023?貴州模擬）如圖，工程隊準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，讓游客飽覽山間

A.兩點確定一條直線

B.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線

C.兩點之間，線段最短

D.垂線段最短

4.（2023春?臨沂期中）如圖，在同一平面內(nèi)，。4口,（）811,垂足為O,則。4與04重合的理由是（)

A.兩點確定一條直線

B.垂線段最短

C.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.已知直線的垂線只有一條

5.（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，要把河中的水引到水池4中，應(yīng)在河岸B處開始挖渠

才能使水渠的長度最短，這樣做的依據(jù)是（）

CCpD

A

A.兩點之間線段最短B.點到直線的距離

C.垂線段最短D.兩點確定一條宜線

6.（2023春?巴南區(qū)期末）如圖，點O在直線A8上，OCLOD.若乙4。。=125°,則等于（）

C.35°D.25°

7.（2023春?泰來縣校級期末）如圖,直線BOLAO于點O,0B平分NC。。，ZAOC=70°,則NOQ4

A.110°B.120°C.125°D.130°

8.（2023春?千山區(qū)期中）如圖，。是直線/外一點，A,B,C三點在直線/上，且于點&ZAPC

=90°,則下列結(jié)論中正確的是（）

①線段8尸的長度是點P到直線/的距離；②線段AP是A點到直線PC的距離；③在附，PB,PC三條

線段中，PB最短;④線段PC的長度是點尸到直線/的距離

9.（2023春?殷都區(qū)期末）點。是直線/外一點，點A,B,C為直線/上三點，且OA=2cm,OB=5cm,

OC=3c〃i,則點。到直線/的距離（）

A.小于B.等于2c機C.不大于2c/〃D.等于

1（）.（2023春?渠縣校級期末）如圖，直線AB、C。相交于O,射線OM平分N4OC,ON_LOM,若NAQW

11.（2023春?涵江區(qū)期中）如圖：李明同學(xué)參加跳遠比賽，要測量他的跳遠成績，只要測量用的長度，其

依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：____________.

P.------------匚A

12.（2023春?通道縣期末）在直角三角形中，NACB=90°,AC=6,BC=8,AB=IO,則點C到AB

的距離為.

13.（2023春?濱州期末）如圖，已知直線/上，點。為直線/外一點，點3為直線/上的動點，依24。〃,

則點P到直線/的距離是.

14.（2023春?西寧期末）在直線上任取一點O,過點O作射線OC、0。，使OCJLO。，當(dāng)乙4。。=30°

時，NBO。的度數(shù)是

15.（2023秋?讓胡路區(qū)校級期中）已知NAO4和N40C互為鄰補角，且N4O3VN4OC,。。平分N4OC,

射線OE在NAO4內(nèi)部，且4N8O￡+N8OC=18（T,ZDOE=10°,OMLOB,則NMOE=

16.（2023春?館陶縣期中）如圖，將一塊直角三角板的直角頂點。放在直線上.

（1）若線段OC的長是點C到直線A8的距離，則點。在宜