2025年上海市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.下列代數(shù)式中，計(jì)算正確的是（）

A.m'+w5=2m3B.nr+nr=ni'

C.D.=/H6

2.用代數(shù)式表示。與/，差的平方，正確的是（）

A.a'-b2B.（a-bfC.a2-bD.a-b~

3.下列函數(shù)中，為正比例函數(shù)的是（）

3x

A.y-3x+1D.y=3x2C.y=-D.y=—

x'3

4.某學(xué)校組織了一場(chǎng)體育測(cè)試，現(xiàn)抽出60個(gè)人的體育考試分?jǐn)?shù),并對(duì)?此進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所

示.關(guān)于這6（）人的分?jǐn)?shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.中位數(shù)是12B.中位數(shù)是75C.眾數(shù)是21D.眾數(shù)是85

5.在正方形力8c。中，|方+而|：|而|的值為（）

A.當(dāng)B.IC.41

D.2

6.在銳角三角形力4c中，AB=AC,5C=8,V48c的外接圓為。。，且半徑為5,這4c

中點(diǎn)為。，如果以。為圓心的圓與。O相交，那么的半徑可以為（）

A.2B.5C.8D.9

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.分解因式：ab2+a2b=.

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

——1>0

8.不等式組2的解集為.

2x+3>x

9.已知關(guān)于x的一元二次方程2/+x—m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則M的取值范圍是.

10.已知一個(gè)反比例函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)，V隨x的增大而減小，那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析

式可以是.（只需寫(xiě)出一個(gè)）

11.方程Jx-6=2的解為.

12.將函數(shù)y=3.d的圖像向下平移2個(gè)單位后，得到的新函數(shù)的解析式為.

13.小明與小杰在玩卡牌游戲，已知小明手里有1.2,3,4四張牌，小杰手里有2,4,6,8

四張牌，小明從小杰手里抽出一張牌，如果抽到小杰手中四張卡牌中的任意一張概率都相等，

那么小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為—.

14.某公司需要員工上班時(shí)通過(guò)門(mén)禁，在門(mén)禁上方設(shè)置了人臉掃描儀，已知掃描儀（線段

AB）的豎直高度2.7米，某人（線段C。）身高為1.8米，掃描儀測(cè)得乙4=53。，那么該人

與掃描儀的水平距離為米.（備用數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,COS53°?0.6,tan53°?1.33,

精確到0.1米）

15.為了解乘客到達(dá)高鐵站后離開(kāi)的方式.某地開(kāi)展問(wèn)卷調(diào)查，共收到有效答復(fù)2000張，

調(diào)查結(jié)果如圖所示.如果當(dāng)?shù)孛刻祀x開(kāi)高鐵站的人數(shù)約為1.8萬(wàn)人，那么當(dāng)?shù)孛刻斐俗鲎?/p>

車(chē)離開(kāi)的人數(shù)大約為一.

（\□公交車(chē)（60%）

□步行（15%）

□自行車(chē)（15%）

□出租車(chē)

16.據(jù)報(bào)道，我國(guó)某科研團(tuán)隊(duì)近期成功研制出一種新閃存器件，其快速擦寫(xiě)速度全球領(lǐng)先.已

知一皮秒等于1x10"秒，該器件執(zhí)行一次擦寫(xiě)需要400皮秒，則該器件一秒可以擦寫(xiě)

次（科學(xué)記數(shù)法表示）.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

17.在矩形川?CO中，E在邊CD上,￡關(guān)于直線4。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為尸，聯(lián)結(jié)8E,AF,如果

四邊形力年》是菱形，那么彳8:力。的值為.

18.已知?個(gè)圓與?個(gè)角的兩邊各有兩個(gè)公共點(diǎn)，且在兩邊上截得的兩條弦正好是該圓內(nèi)接

正五邊形的兩條邊，那么這個(gè)角的大小是一

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

4

19.計(jì)算：、一-202+"四+（；）.

V5+1

x-32_2

20.解方程:-------------

x-2x2-3x+2x-1

21.已知學(xué)校熱水器有一個(gè)可以?xún)?chǔ)200升（L）水的儲(chǔ)水裝置，且水在裝滿儲(chǔ)水裝置時(shí)會(huì)自

動(dòng)停止，如圖所示為儲(chǔ)水量y與加水時(shí)間》的關(guān)系，已知溫度，（單位：℃）與x的關(guān)系為:

20x+100

（1）求y關(guān)于r的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域；

（2）當(dāng)水加滿時(shí)，儲(chǔ)水裝置內(nèi)水的溫度為多少？

22.小明正在進(jìn)行探究活動(dòng)：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請(qǐng)你幫他一起探究.

（1）如圖（1）所示，在梯形力8c。中，AD〃BC,ABLBC.設(shè)E為邊48中點(diǎn)，將V4OE

繞點(diǎn)上旋轉(zhuǎn)180。，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)尸的位置，得到的△OEC是等腰三角形，其中=。。,

設(shè)力。=。，求邊8C的長(zhǎng)（用。表示）；

（2）如圖（2）所示，已知梯形MQPV中，MN//QP,且MN<PQ,MQ=NP.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一

種方案，用一條或兩條直線將梯形M0〃N分割，并使得分割成的幾個(gè)部分可以通過(guò)圖形運(yùn)

動(dòng)拼成與剩余部分不重疊無(wú)縫隙的等腰二角形.請(qǐng)寫(xiě)出兩腰的線段，以及這兩條或?條直線

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

1.A

【分析】本題考查代數(shù)式的運(yùn)算，涉及合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)第相乘、幕的乘方等基本法則;

逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的正確性即可.

【詳解】解：A：渥+渥=2〃乙合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加,字母部分不變，〃/的系數(shù)為1,

故1+1=2,結(jié)果為2/,計(jì)算正確；

B：加法運(yùn)算中，指數(shù)不改變，僅系數(shù)相加；正確結(jié)果應(yīng)為2〃/，而非〃計(jì)算錯(cuò)誤；

C：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變,指數(shù)相加；3+3=6,結(jié)果應(yīng)為一,而非加底計(jì)算錯(cuò)誤;

D：塞的乘方運(yùn)算中，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；3x3=9,結(jié)果應(yīng)為而非〃計(jì)算錯(cuò)誤；

故選：A.

2.B

【分析】本題考查了列代數(shù)式，理解題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；“。與力差的平方''指

先求,7減6的差，再將這個(gè)差整體平方，即（a-A）?.

【詳解】解：鼠護(hù)：這是平方差公式的結(jié)果，表示。的平方減去力的平方，而非差的平

方，錯(cuò)誤，不符合題意；

B.（a-b）\表示先求差再平方，正確，符合題意；

C./一方：僅對(duì)。平方后減去未對(duì)差整體平方，錯(cuò)誤，不符合題意；

D.a-b\表示。減去b的平方，運(yùn)算順序錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

3.D

【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義，形如y=h（々為常數(shù)且女=0）的函數(shù)是正比例函

數(shù)；根據(jù)此定義逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)是否符合該形式即可.

【詳解】解：A：y=3x+i,該函數(shù)含常數(shù)項(xiàng)“+1”，不符合正比例函數(shù)y=履的形式，不

符合題意；

B：夕=3/，該函數(shù)為二次函數(shù)（最高次數(shù)為2）,而正比例函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意；

C：>'=1,該函數(shù)可寫(xiě)為y=3xT,屬于反比例函數(shù)，不符合一次函數(shù)的形式，不符合題意

D：?=該函數(shù)可化簡(jiǎn)為y=符合），=去（上=1）的形式，是正比例函數(shù)，符合題

33△

意；

故答案為：D.

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

4.D

【分析】本題考查了眾數(shù)與中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)把一組數(shù)據(jù)按

大小排列，最中間一個(gè)（奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）或兩個(gè)（偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)）數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，按照

這兩個(gè)概念進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：從統(tǒng)計(jì)圖知，85分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是85；把分?jǐn)?shù)按大小排列，最中

間的兩個(gè)數(shù)是第30與31個(gè)數(shù)，而5+12V5+I2+21,故中位數(shù)是夕85+的=85；故只有

選項(xiàng)D正確；

故選：D.

5.C

【分析】本題考查了向量、向量的加法及向量模，理解這些知識(shí)是關(guān)鍵在正方形中，向量

相加的模長(zhǎng)即為正方形對(duì)角線的長(zhǎng)，它與邊長(zhǎng)的比值可通過(guò)勾股定理直接計(jì)算即可.

【詳解】解設(shè)正方形邊長(zhǎng)為明由勾股定理得ACfB'BC?=口；在正方形力8CQ

中，AB+BC表示從4到4再到C的路徑，其結(jié)果為向量刀，即|祝卜缶；

故選：C.

6.B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩圓相交的條件等知識(shí)，掌握兩圓相交

的條件是關(guān)鍵；根據(jù)題意，等腰V48C的外接圓半徑為5,由等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理

求得。。=3：當(dāng)。。與。。相交時(shí)，圓心距需滿足條件+/?，代入數(shù)值求解廠

的范圍，進(jìn)而確定選項(xiàng).

【詳解】解：如圖，連接/。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,

-AB=AC,。為4c中點(diǎn),，

：.BD=DC=4,OD1BC；

???銳角三角形48c中，AB=AC,

???外接圓心O在力。上，

連接。8,由勾股定理得：OD=yJ（）B2-BD2=3：

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

A

設(shè)以。為圓心的圓的半徑為「，。。，。0相交應(yīng)滿足：|5-，］<。。<5+，

gp|5-r|<3<5+r,解得：2<r<8；

在此范圍的半徑只有選項(xiàng)&

故選：B.

7.cih(a+b)

【分析】原式提取"進(jìn)行分解即可.

【詳解】解：原式="(a+b)

故答案為：ab(a+b)

【點(diǎn)睛】此題考查了提公i1式法的運(yùn)用，熟練掌握因式分解的提公因式方法是解本題的關(guān)

鍵.

8.x>2

【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分,

即為不等式組的解集.

【詳解】解：2

2x+3>x?

由①，得：x>2；

由②，得：x>-3；

???不等式組的解集為：x>2：

故答案為：x>2.

9.m<--

8

【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，得到△<0,進(jìn)行求解即可.熟練掌

握根的判別式與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意，得：A=12-4X2(-W)<0,

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

解得：〃?＜一）；

O

故答案為：小

X

10.y=-（答案不唯一）

X

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的增減性，根據(jù)增減性可知該反比例函數(shù)的比例系數(shù)大

于0,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：???一個(gè)反比例函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)，y隨工的增大而減小，

??.該反比例函數(shù)的比例系數(shù)大于0,

符合題意的反比例函數(shù)解析式可以為），=,，

X

故答案為：，=L（答案不唯一）.

X

11.x=10

【分析】本題考查解無(wú)理方程，利用平方法將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進(jìn)行求解，檢驗(yàn)即

可.

【詳解】解：「JT二不=2,

x-6=4,

???x=10；

經(jīng)檢險(xiǎn)，x=10是原方程的解，

故答案為：x=10.

12.y=3x2-2

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，平移法則是：左加右減，上加下減；據(jù)此法則即

可求解.

【詳解】解：?.?函數(shù)y=3/的圖像向下平移2個(gè)單位，

???平移后的新函數(shù)的解析式為J，=3--2；

故答案為：歹=3.d-2.

13.j

【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，直接用小杰手中卡牌上的數(shù)字與小明手中卡牌上

的數(shù)字相同的卡牌數(shù)除以小杰的卡牌總數(shù)即可得到答案.

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

【詳解】解???小杰一共有4種卡牌，其中有2張卡牌上的數(shù)字與小明手中卡片的數(shù)字相同,

2I

二小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為^=5，

故答案為：y.

14.1.2

【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)C作CE工48于點(diǎn)E,由題意，得

BE=CD=1.8,線段的和差求出力E的長(zhǎng)，解RJ/ICE,求出CE的長(zhǎng)即可.添加輔助線構(gòu)

造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)、C作CEJ.4B于點(diǎn)、E,則：8E=CZ)=1.8米，

???"=2.7米，

.'.AE=AB-BE=0.9^:,

CFCF

在Rt△力CE中，tanA=---=------a1.33,

AE0.9

.?.CEal.2米；

故答案為：1.2.

15.1800A

【分析】本題考查利用樣本估計(jì)總體，扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出樣本中當(dāng)?shù)孛刻斐?/p>

坐出租車(chē)離開(kāi)的人數(shù)所占的比例，再用總?cè)藬?shù)乘以這個(gè)比例，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：1.8x0—60%—15%—15%)=0.18(萬(wàn)人)=1800(人)；

故答案為：1800人.

16.2.5x109

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)題意可得1秒等于lx??皮秒，再由該器件執(zhí)行

?次擦寫(xiě)需要400皮秒列式求解即可.

【詳解】解：1x1012+400=2.5x1()9,

,該器件一秒可以擦寫(xiě)2.5xKT次，

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

故答案為：2.5xl09.

17.述

33

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，由軸對(duì)稱(chēng)的

性質(zhì)可得0b=OE,設(shè)DF=DE=)n,則EF=DE+DF=2小，由菱形的性質(zhì)得到

AB=AF=EF=2m,證明￡)H=90°,利用勾股定理可得NO=后〃，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：???￡?關(guān)于直線力。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為尸，

???DF-DE?

設(shè)DF=DE=m,則EF=DE+DF=2〃］，

???四邊形力在8是菱形，

???AB=AF=EF=2m,

???四邊形48CO是矩形，

:.ZADC-90。，

ZADF=180°-AADC=90°,

???AD=JAF2-DF2=島，

L

???AB:AD=2m:y/3m=,

3

故答案為：”

3

18.36c或108c

【分析】本題考查正多邊形與圓，如圖，分兩種情況，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓上時(shí)，如248C,

弦為4法8。時(shí)，此時(shí)/月8C恰好是正五邊形的一個(gè)內(nèi)角，進(jìn)行求解即可，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓

外部時(shí)，即。。交/力叱的兩邊，截取的兩條弦為/瓦。時(shí)?，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓上時(shí)，如。。交N48C的兩邊，截取的兩條弦為

AB.BC,此時(shí)。恰好是正五邊形的一個(gè)內(nèi)角，

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

A

（5-2）x180°

："ABC=——------=108°；

5

當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外部，即。。交N/”的兩邊，截取的兩條弦為力乙。。時(shí)，

,,,（5-2）x180°

則：NAED=NCDE=-——1-----=108°,

??"FED=NFDE=180°-108°=72°,

.-.ZF=180°-2x72°=36°;

綜上：這個(gè)角的大小是36?；?08。：

故答案為：36?；?08。.

19.5

【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，分?jǐn)?shù)指數(shù)箱的含義，先分母

有理化，計(jì)算分?jǐn)?shù)指數(shù)基，絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，再合并即可.

4一2()5+|2一四+(￡)

【詳解】解：臼

4(V5-1)

—J20+\/5-2+8

(V5+l)(V5-I)

=>/5—1—2^5+>/5—2+8

20.x=5

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)即

可得到答案.

x-322

【詳解】解:

x—2-3x+2x-\

方差兩邊同時(shí)乘以（x-2）（x-l）得：（萬(wàn)一3）。,1）-2=2（4-2）,

去括號(hào)得：X2-3X-X+3-2=2X-4,

移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：x2-6x+5=0,

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

.-.（x-l）（x-5）=0,

.,?x-l=0s￡x-5=0,

解得x=l或x=5,

檢驗(yàn)，當(dāng)x=l時(shí)，x-l=D,此時(shí)x=l是原方程的增根，

當(dāng)x=5時(shí)，（X-2）（X-1）=12H0,此時(shí)x=5是原方程的解，

原方程的解為x=5.

21.（））^=40x+80（0<x<3）

⑵32c

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求分式的值，正確求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是

解題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.再求出函數(shù)值為200時(shí)白變量的值即可求出

定義域；

（2）根據(jù)（1）所求可得加滿水時(shí)，x的值，據(jù)此代值計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)N關(guān)于x的函數(shù)解析式為區(qū)+可〃工0）,

/、/、/、（2%+力=160

把（0,80）,（2,160）代入》=依+可〃工0）中得6=8（），

4=40

16=80，

??.）'關(guān)于X的函數(shù)解析式為y=4（）x+80,

當(dāng)J,=40X+80=200時(shí)，x=3,

0<x<3；

（2）解；由（1）可得當(dāng)y=200時(shí)，x=3,

二加滿水時(shí)，x=3,

20x4-10020x3+100一

:.t=-----------=----------------=32

x+23+2

答：當(dāng)水加滿時(shí)，儲(chǔ)水裝置內(nèi)水的溫度為32c.

22.（l）8C=3a

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了變換：旋轉(zhuǎn)、平移與軸對(duì)稱(chēng)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)：

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

(1)過(guò)點(diǎn)、D作DHd.BC于H,則由等腰三角形的性質(zhì)得bC=2可；證明四邊形48HQ是

矩形，則有=力。=〃；再由旋轉(zhuǎn)知8尸=力。=”，則可求得F"的長(zhǎng)，最后求得結(jié)果：

(2)連接QV,把△△力V。通過(guò)平移變換，再軸對(duì)稱(chēng)變換得到ANPG,則4NOG為滿足條件

的等腰三角形.

【詳解】(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作?！?BC于，，

?:DF=DC,

:.FC=2FH-

vAD//BC,ABLBC,

=180°-ZJ5C=90°.

Z.A=AABC=Z.DHB=90°,

二四邊形力片"。是矩形，

:.BH=AD=a：

由旋轉(zhuǎn)知8/=力。=4,

/.FH=BH+BF=2a,

:.FC=2FH=Aa,

???BC=FC-FB=4a-a=3a；

(1)

(2)解：如圖(2),連接0MA〃，把△A/N0沿MP平移使M與P對(duì)應(yīng)，得到APG”；

再把APG，沿。G對(duì)折，得到ANOG,〃與N是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則aNOG是等腰三角形，其中兩腰

分別為N。，NG,點(diǎn)N、0分別是梯形的頂點(diǎn).

(2)

23.(1)見(jiàn)解析

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦與圓心角之間的關(guān)系，全等三角

形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接。C,OD,由等邊對(duì)等角得到=利用SAS證明廠,

得到尸，證明△OE尸s△。力8,得到=則可證明

(2)連接ODBD,由々=而，得至lj4O8=N8OO,AB=BD,證明

△408g△BOQ(SAS),得到NO8O=NO48,則可證明NOA4=/8FQ,進(jìn)而證明

△OABsADBF,推出力私八/二^^^'再證明/力用=/。^/?得到8。二。/，則可

證明/爐=?？?".

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接OC,0D,

?：OC=OD,

:.乙0CD=40DC,

在△OCE和△OO產(chǎn)中，

OC=OD

?NOCE=NODF,

CE=DF

.?.△0C石空aO。尸(SAS),

OE=OF,

?：OA=OB,

OEOF

：'~OA~'OB，

又???NEOF=ZAOB,

:?△OEFS^OAB,

："OEF=/OAB,

:.AB，CD：

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

BD，

=俞，

Z.AOB=Z.BOD,AB=BD,

又,：OA=OB=OD,

.?."O6-8OO（SAS）,

,?"OBD=/OAB；

由（1）可得,4B〃CO,

；"OFE=/OBA,

又?：/OFE=/BFD,

：.NOBA=NBFD,

:.△OABs^DBF,

OBAB

二---=---,

DFBF

:.ABDF=OBBF；

?：OA=OB,

Z.OAB=NOBA,

:./DFB=/DBF,

???BD=DF,

???DF=AB,

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

--AB1=OBBF.

24.⑴8=T,c=4

⑵①3；②噂或|.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）①先把拋物線y=V-4x+4的解析式化為頂點(diǎn)式求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再求出點(diǎn)。坐標(biāo)；把

點(diǎn)力和點(diǎn)4坐標(biāo)代入y=ax2++〃（a工1）中可得拋物線y=ax2+mx+〃ew1）的解析式為

據(jù)此可求出點(diǎn)。和點(diǎn)。的坐標(biāo)，再表示出CD即可得到答

案；

②可證明P0〃N軸，即尸?！?,則當(dāng)四邊形COP。是直角梯形時(shí)，只有P。，。?；?/p>

PQ-LDP,據(jù)此畫(huà)出對(duì)應(yīng)的示意圖，討論求解即可.

【詳解】（1）解：???拋物線y=/+bx+c過(guò)月（1,1）,8（3,1）,

1+6+c=1

9+3力+c=1'

b=-4

二V45

c=4

（2）解：①由（1）得拋物線y=/+&+c得解析式為》=/一41+4=（X-2）2,

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0）,

在y=x2—4x+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,4）；

???拋物線），=。/+掰x+"（awl）過(guò)點(diǎn)A,B,

a+〃?+〃=1

[9a+3ni+n=1'

m=-4a

〃=3a+1'

2

.，?拋物線y=ax+mx+〃（aw1）的解析式為y=ad-4QX+3。+1（a工1）,

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

???拋物線y=a/—4aI+3〃+1/1）的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-券=2,

在y=加-4。工+3a+1（。=1）中，當(dāng)工=2時(shí)，y=4a-8a+3a+l=-a+l,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a+1,

.?.Q（0,3a+l）,0（2,-a+1）,

.?<0=|3〃+1-4|=|3〃-3|=3|〃-||,PQ=\-n+]-（｝\=\a-\\,

CD_3\a-]\_

：'~PQ~|^-i|~；

②?.?0（2,31）,尸（2,0）,

??.PQ〃y軸，即PQ〃C。，

???當(dāng)四邊形COP。是直角梯形時(shí)，只有尸。_hC?；?/p>

:.-a+1=4,

???a=-3,

:.3。+1=-8,

???。（0,-8）,

???OD=8,

vP（2,0）,

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

：.0P=2,

在Rt△。尸。中，PD=JoD2+OP?=J4+22=2717,

.”。。人"一=姮;

PD2V1717

"(2,0),。(0,34+1),

3。+1=0,

1

a---,

?4

~ci+1=一

3

(4、

，。2,-:

/

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作軸于兄則"(og)，

48

：.CH=4——=工QH=2,

33

在Rtac?！敝?，由勾股定理得欠Jc〃2+0〃2=J(|J

S吟

?—QH23

sinZ.HCQ=--=-777="

??C0105.

3

綜上所述，當(dāng)四邊形。。尸。是直角梯形時(shí)，該直角梯形中最小內(nèi)角的正弦值為近或"

175

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，求角的正弦值，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

幾何綜合等等，利用分類(lèi)討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

2

25.⑴①見(jiàn)解析；②行

(2)AF=5幣+6

2

【分析】(1)①延長(zhǎng)"54B交于H,可證明會(huì)/(AAS),得到

EH=EF,/H=/CFE,則可證明力E=￡77,得到/，=/84七，則N84E=NCbE；

②如圖所示，延長(zhǎng)8兄力。交于M,由平行四邊形的性質(zhì)得到力。〃8。，AD=BC,證明

BEGE_BGBC_BF_CF

YBEG3MAG,^BCF^MDF,得至lj=1,則

AMAGGMDMMFDF

BF=MF,BC=DM；設(shè)CE=BE=m,則8C=OM=2〃？，AM=AD+DM=4m,進(jìn)而

GEBGBE1_.^BG2_^._GE

==—-=-,即pn可得5到||二=:；可證明-------------C-F-fc--下一二，

AGMGAM4GF3§△哂S4GFA4G4

沁二期二白，設(shè)$上=4”，則S）GL"，SMG=6〃，則S—=￡，據(jù)此可得答案

'△AFG7032

(2)延長(zhǎng)4。，EF交于M,由平行四邊形的性質(zhì)可得/1O〃8C,CD=AB=3,證明

ECEFCF

△AEFS、ME4,4AEFS4ECF,再證明△EC/S'MW,得到一^_==,求出

DMFMDr

DF=CD—CF=2,設(shè)CE=s,月？=/,則由相似三角形的性質(zhì)可得=AF=t2,

DM=2s,FM=2/,進(jìn)而可得AM=AD+DM=5+2s；再由"EFs^MEA,得到

i_st

'=/-='一，貝""'+”2，解方程即可得到答案.

stf+2/5+2ssi_廠

7+2/5+2.s

【詳解】（1）解：①如圖所示，延長(zhǎng)M，4B交于H,

???四邊形48CQ是平行