2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

圓及其方程（人教B版）（非選擇題）

一、填空題

1.（2025北京人大附中高二上期末）若直線/：x+y+m=O與圓。：/+，2=1交于人，？兩點，

OAOB＞0,則實數(shù)機的取值范圍是.

2.（2025北京平谷高二上期末）生活中一些常見的漂亮圖案不僅具有藝術(shù)美，其中也有數(shù)學(xué)的對稱、和

諧、簡潔美曲線C：4-|尤卜口7.下面是關(guān)于曲線C的四個結(jié)論：

①曲線C關(guān)于原點中心對稱；

②曲線C上點的橫坐標(biāo)取值范圍是［-4,4］

③曲線C上任一點到坐標(biāo)原點的最小距離為2；

④若直線＞=丘與曲線c無交點，則實數(shù)上的取值范圍是［-

其中所有正確結(jié)論的序號是.

3.（2025北京101中高二上期末）已知圓/+/=產(chǎn)和圓（彳-5）2+/=9相交于A,2兩點，則半徑r可以

是.（寫出一個符合題目要求的取值即可）

4.（2025北京延慶高二上期末）以A（2,Y）,B（_2,2）為直徑的兩個端點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

5.（2025北京豐臺高二上期末）直線/：尤+y+2=0被圓0：V+產(chǎn)=4截得的弦筋的長為.

6.（2025北京東城高二上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線廣履+加（左H0）與x軸和y軸分別交于A,B兩

點，|期=2及,若C4LCB,則當(dāng)左，相變化時，點C到點（2,2）的距離的最大值為.

7.（2025北京懷柔高二上期末）以點4（2,1）為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

8.（2025北京房山高二上期末）直線y=mr+2機-1經(jīng)過一定點C,則點C的坐標(biāo)為,以點C為圓心

且過原點的圓的方程為.

9.（2025北京大興高二上期末）已知直線4：x-y+3=O,4：2x+y=0相交于點A,則點A的坐標(biāo)

為,圓C:x2+y2_2x+4y+l=0,過點A作圓C的切線，則切線方程為.

二、解答題

10.（2025北京密云高二上期末）已知圓C:（龍-2『+丁=4.

⑴若直線八尸》上與圓c相切，求切線/的方程；

（2）若過點P（1,T）的直線正與圓C相交于A、B兩點，且VABC為直角三角形，求直線加的方程.

11.（2025北京西城高二上期末）已知圓C經(jīng)過點A（-2,0）,8（0,2）,且圓心在直線＞=%上.

⑴求圓C的方程；

（2）若圓C與直線-6=0交于兩點瓦尸，

（i）求6的取值范圍；

（ii）若在圓C上存在點。，使四邊形OEC不為平行四邊形，其中。為坐標(biāo)原點，求6的值.

12.(2025北京懷柔高二上期末)已知圓C：x*12+34(y-2)2=4,直線/：尤+y-l=0.

(1)求過圓心且與直線/垂直的直線方程；

(2)直線/與圓C交于A,3兩點，求VA3C的面積.

13.(2025北京平谷高二上期末)已知直線/：x+Viy-l=0與圓C:Y+9-2x+4y-l=0相交于A、3兩

點.

(1)求線段的長；

(2)求線段AB的垂直平分線方程.

14.(2025北京昌平高二上期末)已知圓C:(x-l-5.

⑴過點A(2,-l)的直線/與圓C交于兩點，當(dāng)|MN|=4時，求直線/的方程；

⑵判斷直線如-丁+1-相=0與圓C的位置關(guān)系，并說明理由.

15.(2025北京101中高二上期末)已知圓C的圓心為以3,0),且過點A(l,括)，直線/的方程為

y=kx-2.

(1)求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與圓C相切，求左的值;

(3)若。為坐標(biāo)原點，點尸滿足|尸。|=2|尸。，且點尸在直線/上，求左的取值范圍.

16.(2025北京大興高二上期末)某個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20

千米的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40千米處，港口位于小島中心正北30千米處.

(1)如圖，小島中心在原點。處，取10千米為單位長度，在圖中標(biāo)出輪船和港口的位置;

峰

4-

3-

2-

1.

小島中心

I______]一]▼](II-i—?—?_>

-4-3-2-IO1234x

-1-

-2-

-3-

-4-

(2)如果輪船沿直線返港，用坐標(biāo)法判斷該輪船是否會有觸礁危險，并說明理由.

17.(2025北京石景山高二上期末)在△OAB中，。是坐標(biāo)原點，A(-2,2),8(1,3),求△OAB的外接圓

方程.

18.(2025北京北師大附中高二上期末)已知圓C：f+y2+4x_12y+24=0,過點M(-4,0)作斜率為I的

直線/交圓C于A,8兩點.

(1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心坐標(biāo)和半徑；

(2)求線段的中垂線方程；

⑶求|血

19.(2025北京東城高二上期末)已知圓C:f+y2+4y+4_a=0(a>0)與x軸相切.

(1)求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；

⑵直線/：2x+y-2=0與圓C交于A,B兩點，求線段A3的長.

20.(2025北京豐臺高二上期末)已知圓C經(jīng)過點"(4,0),且圓心C是直線x-y+2=0與y軸的交點.

⑴求圓C的方程；

(2)若直線/與圓C交于A,8兩點，且四邊形CWB為菱形，求直線/的方程.

21.(2025北京北師大附屬實驗中學(xué)高二上期末)已知A(2,4),3(-1,1),0為坐標(biāo)原點，圓C為VA03的外

接圓.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過原點的直線/被圓C截得的弦長為3直，求直線/的方程.

參考答案

1.(-V2,-l]u[l,V2)

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義確定-AQB范圍，進(jìn)而求出點。到直線/的距離的范圍，再借

助點到直線距離公式列式求出范圍.

【詳解】由OAOBNO，WIOA||OB|cosZAOB=cosZAOB>0,WO<ZAOB<7i,

則OV/AOBW],圓心。到直線/的距離d=|OA|cos筆gNcos：=等，

又直線/交圓。于兩點貝Ud<l,因此孝

解得_也<m<-lBKl</n<A/2,

所以實數(shù)m的取值范圍是(-"-1]31,五).

故答案為：(-72,-1]u[l,V2)

【分析】利用曲線的對稱性可判斷①；由4Txi=小二7目0,2]可解出x的取值范圍，可判斷②；利用二

次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出曲線C上任一點到坐標(biāo)原點的距離的取值范圍，可判斷③；作出曲線C的圖象,

數(shù)形結(jié)合可判斷④.

【詳解】對于①，在曲線上任取一點尸(％y)，則點P關(guān)于原點的對稱點為。(-%-y)，

因為4TT=4_|x|=J"1='4-(一。)2,即點。在曲線C上，

所以，曲線C關(guān)于原點對稱，①對；

對于②，由4Tx卜曲一丁目o,2]可得2V1W4,解得TWxW—2或2VxW4,

所以，曲線C上點的橫坐標(biāo)取值范圍是[Y,-2]u[2,4],②錯；

對于③，在曲線在曲線c：4-國=戶手上任取一點尸G，y)，

則”H—,可得4_/=(4_國)2,貝打？=4_(4_國丫+m|_12,

所以,\OP^x2+/-x2+8|x|-12=8|x|-12G[4,20],故2封。產(chǎn)區(qū)26，

所以，曲線C上任一點到坐標(biāo)原點的最小距離為2,③對；

對于④，在曲線C:4-國="-y2上任取一點尸(x,y),則點P關(guān)于x軸的對稱點為,

因為4-國=也一>2=J-（-y）2,即點M在曲線C上，

所以，曲線C關(guān)于x軸對稱，同理可知，曲線C也關(guān)于〉軸對稱，

當(dāng)尤20,>20時，曲線C的方程可化為4-x=j4-阿,

化簡得（尤-4）2+V=4,此時，2WXW4,作出曲線C的圖象如下圖所示:

考查當(dāng)直線y=丘與圓（尤-4）2+丁=4相切，且圓（尤-4）2+9=4的圓心為（4,0）,半徑為2,

則-/^=2,解得4=±組，

a+13

由對稱性結(jié)合圖形可知，若直線>=近與曲線C無交點，則實數(shù)上的取值范圍是，雙-孝［口［#,+。，

④對.

故答案為：①③④.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵點在于利用曲線的對稱性，化簡曲線方程，再結(jié)合對稱性作出圖形,

數(shù)形結(jié)合來求解.

3.3（答案不唯一）

【分析】由兩圓相交位置關(guān)系列出關(guān)于/?不等式即可求解.

【詳解】圓（X-5）2+/=9的圓心為（5,0）,半徑為3；圓/+/=戶的圓心為（0,0）,半徑為r,

因為圓x2+y2=產(chǎn)和圓（丈-5）2+丁=9相交于A,B兩點,

所以|一3|<J（5-0『+（0-0）2<r+3n2<r<8.

故答案為：3（答案不唯一）

4.x2+（y+l）2=13

【分析】求A8的中點坐標(biāo)，求|筋|的長度，由此可得圓心坐標(biāo)和半徑，由此可得圓的方程.

【詳解】因為A（2T）,B（—2,2）,

/2—2—4+2、

所以線段AB的中點坐標(biāo)為［一，下一）即（0,-1）,

IAB\=J（_2_2）2+（2+4）2=2岳,

所以以A（2,T）,B（-2,2）為直徑的兩個端點的圓的圓心坐標(biāo)為（0,-1）,半徑為舊，

所以以A（2,T）,B（-2,2）為直徑的兩個端點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是/+（尹1）2=13.

故答案為：x2+(y+l)2=13.

5.2A/2

【分析】根據(jù)給定條件，利用點到直線的距離公式求出弦48的弦心距即可求解.

【詳解】由圓0：x2+y2=4,可得圓心0(0,0),半徑r=2,

|0+0+2|

于是圓心。到直線/：》+>+2=0的距離〃==后,

A/1+T

從而得IAB|=2不不同=2夜，所以弦AB的長為20.

故答案為：20.

6.4應(yīng)

【分析】先求得A，3兩點坐標(biāo)，根據(jù)卜2夜得到(-?)2+,4=8,再結(jié)合C4LCB可得到C軌跡為動

K

圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.

【詳解】由>=辰+機(％20),得A(-￥，O],B(O,〃Z),

由|A3|=20,得［一?)+rn2=8,

由G4_LCB,得

設(shè)C(x,y),貝”了+7,丁|?(尤,y-m)=。,

因此點C的軌跡為一動圓，

設(shè)該動圓圓心為E(x',/),即有V=一察,y，=g,

Z.KL

則￡=_2x',m=2y'代入[一+加2=8,整理得：x'2+y'2=2,

即C軌跡的圓心在圓爐+嚴(yán)=2上(除此圓與坐標(biāo)軸的交點外)，

則|C040目+04|。0|+0+后，

當(dāng)且僅當(dāng)點C為射線DE與圓)+差:j=2的交點，點E為射線。。與圓針+嚴(yán)=2的交點時等

號成立，

5L\DO\=J(2-0『+(2-0)2=2四,

所以點C到點。(2,2)的距離的最大值為272+272=472.

故答案為：472.

7.(%-2)2+(y-l)2=l

【分析】根據(jù)題意得出半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】以點4(2,1)為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1,

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(X-2)2+(y-1)2=1.

故答案為：(x-2)z+(y-l)2=l

8.(—2,—1)(x+2)2+(y+1)2=5

【分析】通過分離參數(shù)，可求出直線所過定點；求出點C到原點的距離，即為所求圓的半徑，可求出圓的

方程.

【詳解】由y=〃a+2機一1得y=wt(x+2)-l,即y+l=77/(x+2),

由直線的點斜式方程可知，y+l=a(x+2)是斜率為加，過定點(-2,-1)的直線，

故點C的坐標(biāo)為(-2,-1)；

[x+2=0{x——2

(或由八解得1,即。的坐標(biāo)為(-2,-1))

[y+l=O[y=T

點c到原點。的距離|C0|=J(一2-0)2+(-1一0)2=遙,

即以點C為圓心且過原點的圓的半徑r=|CO|=6,

故以點C為圓心且過原點的圓的方程為：(x+2y+(y+l)2=5.

故答案為:(-2,-1)；(x+2)2+(y+l)2=5.

9.4-L2)%=一1或3x+4y-5=0

【分析】第一空兩直線方程聯(lián)立得方程組的解即為交點坐標(biāo)，第二空利用圓心到切線的距離等于半徑可

得關(guān)于k的方程.解得k值。設(shè)直線方程時注意斜率存在和不存在兩種情況。

【詳解】聯(lián)立4：元—y+3=。，4：2x+y=。得A(—1,2).

若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為y-2=左(元+1),

kx—y+2+左=0,

左+2+2+Z3

???2=-p-——,：.k=---

若斜率不存在，則切線方程為元=-1.

綜上，切線方程為x=T或3x+4y-5=0.

故答案為：4-L2),x=—1或3x+4y—5=0.

10.(l)y=x+2&-2或y=x-20-2

⑵y=一龍

【分析】(1)利用圓心到直線/的距離等于圓的半徑，可求出》的值，由此可得出直線/的方程；

(2)求出圓心到直線機的距離，對直線機的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線機的方程，結(jié)合點到

直線的距離公式可求出參數(shù)的值，即可得出直線機的方程.

【詳解】(1)由已知得圓心C的坐標(biāo)為(2,0),半徑-2.

因為直線/與圓C相切，所以圓心C(2,0)到直線/的距離〃=廠，

即2^=2,解得6=2后-2或-2后-2.

故直線/的方程為y=x+20-2或y=x-2五-2.

(2)在直角VA2C中，因為|/=|CB|=r=2,所以NC=],則VABC為等腰直角三角形,

因此直線機與圓C所截的弦長|AB|=J|G4「+3(=2A/2,

所以，圓心到直線AB的距離為fAB|=近，

顯然，當(dāng)直線加垂直于x軸時，直線加的方程為尤=1,此時圓心到直線加的距離為1,不合乎題意;

所以，直線m的斜率存在，設(shè)它的方程為y+l=Mx-l),即依-

12左一左一/—

所以,l/2=忘，解得k=-\,則直線機的方程為>=一立

42+1

綜上所述，直線加的方程為丫=一工

11.(l)x2+y2=4

(2)(i)(T,4)；(ii)b=±2

【分析】(1)先設(shè)圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間距離計算求參，即可得出圓的方程；

(2)(i)根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑得出范圍；(ii)根據(jù)平行四邊形結(jié)合已知得出菱形，再應(yīng)用

點到直線距離為1得出參數(shù).

【詳解】(1)根據(jù)圓心C在直線y=x上，設(shè)圓心C(a,“).

因為圓C經(jīng)過A(—2,0),B(0,2),所以|G41=|CB|,

所以J(a+2)2+Q2=QQ2+(々-2)2,解得。=0.

所以圓心。(0,0),所以圓。的方程為f+y2=4.

(2)(i)由題意，：^=<2,所以|“<4,

即T<%<4,所以6的取值范圍是(T,4).

(ii)因為四邊形OEDF為平行四邊形，又因為1?！陓=1。尸1,所以O(shè)EZ加為菱形.

因為|。。|=2,所以點。到直線砂的距離，^=1,

所以力=短，符合題意.

12.(1)%-y+2=0

⑵立

2

【分析】(1)由圓的方程求圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線垂直關(guān)系求所求直線的斜率，利用點斜式求直線方程;

(2)求出弦長后利用公式可求面積.

【詳解】⑴圓d+(y—2)2=4的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑r=2,

直線尤+>-1=。的斜率為一1,

與直線/垂直的直線的斜率為1,

所以過圓心且與直線/垂直的直線方程為尤-y+2=0,

(2)圓心(0,2)到直線/距離=

所以I=2y/r2-d2=2卜;=714,

所以ABC的面積S樹=342同=弓.

13.(1)273

(2)A/3X-J-V3-2=0

【分析】(1)先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線

的距離，最后根據(jù)弦長公式求出線段AB的長.(2)線段AB的垂直平分線一定過圓心且與直線AB垂直，

先求出直線的斜率，進(jìn)而得到垂直平分線的斜率，再利用點斜式求出垂直平分線方程.

【詳解】(1)圓。:/+/一2工+4、-1=0,配方可得(了-1)?+。+2-=6,所以圓心以1,一2),半徑

r=瓜.

求圓心C到直線/的距離d：

|lxl+^x(-2)-l||1-2如T|

根據(jù)點到直線的距離公式,d==6

JF+(后2

根據(jù)弦長公式|神|=2「方，把r=#,d=g代入可得|AB|=26而乙W=2后與=2

(2)直線/:x+6y-l=0,可化為》=-耳x+耳，其斜率左AB==-亭?

求線段AB垂直平分線的斜率：

因為垂直的兩條直線斜率乘積為-1,所以線段AB垂直平分線的斜率％=6.

線段A3的垂直平分線過圓心。(1，-2),由點斜式玉)((%,％)為直線上一點，化為直線斜率)

可得垂直平分線方程為y-(-2)=6(x-l),即若x-y-6-2=0.

14.(1)尤=2或15x+8y-22=0.

(2)直線儂:-y+l-：”=。與圓C相交，理由見解析

【分析】(1)易知直線x=2符合題意，當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程，利用點線距公式和幾何

法求弦長建立關(guān)于k的方程，解之即可求解；

(2)法一：求出直線恒過定點，將定點代入圓的方程，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論；

法二：利用點線距公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計算即可下結(jié)論.

【詳解】(1)由圓C：(x-l)2+(y-3)2=5可得，圓心C(l,3),半徑「=不.

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為尤=2.

圓心C(l,3)到直線I的距離為d=l,

此時［2^|=24尸-屋=4,符合題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為、+1=左5-2),

kx—y—2k—1=0.

\k-3-2k-l\\k+4\

圓心C(l,3)到直線l的距離為d=

“2+1

/-----/----伙+411

因為|AEV|=2"-『=245-筋=4,所以d=l.所以匕？,=1

解得太=-￡.所以直線/的方程為y+l=—號(x-2),即15x+8y-22=0.

Oo

2或15x+8y-22=0.

因為直線皿一y+lf”=0過定點O(LD,

又因為|C0="(1_1)2+(3_1)2=2<#,

所以點。(1,1)在圓C內(nèi).

所以直線m-y+i-〃z=。與圓c相交.

法二:

一、.T|m-3+l-m|2

圓心C至I］直線如_y+l_，"=O的距禺〃=—r^=—=~r^

\lm+17m

因為J療+121，所以0</+]41.

所以0<了軍7V2<6

7m+1

所以直線如-y+i-m=。與圓c相交.

15.⑴37+;/=9

(2)---

12

-4~

(3)p-

【分析】(1)根據(jù)半徑r=|AC|求出圓的半徑，即可求出圓的方程；

(2)根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得到方程，解得即可；

(3)設(shè)P(x,y),根據(jù)山。=2戶。求出點p的軌跡方程，依題意直線/與圓。:(x-4)2+V=4有公共點,

利用圓心到直線的距離不大于半徑得到不等式，解得即可.

【詳解】(1)因為圓C的圓心為。(3,0),且過點4(1,石)，

則圓的半徑r=\AC\=J(1-3)2+(A/5)2=3,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(*-3)2+J?=9；

佻-2|s

(2)因為直線/與圓C相切，所以圓心C(3,0)到直線的距離4=/2/丁=2解得左=-=

#+(-1)12

(3)設(shè)尸(x,y),因為儼。=2戶。，即行+、2=2而一3)?2,

BP(x-4)2+r=4,即點P在以。(4,0)為圓心，2為半徑的圓上，

又點尸在直線/上，即直線/與圓。:(尤-4)2+；/=4有公共點,

|4fc-2|/G44

所以4=42,解得0V左即左的取值范圍為0,-

j/+(T)2

16.(1)作圖見解析

(2)不會有觸礁危險，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)方位角的概念直接在圖中標(biāo)出即可.

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，求出航線的直線方程及圓的方程，利用判別式法判斷直線與圓的位置關(guān)系,

即可判斷.

【詳解】(1)

外

4-

3“港口

2

小島中和

輪船

J--1---1---A—>

-4-3-2-'101234x

-1

-2

-3

-4

(2)以小島中心為原點0,東西方向為無軸，建立上圖所示的直角坐標(biāo)系,

為了運算的簡便，取10千米為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(。，3),

輪船所在位置坐標(biāo)為(4,0),

則受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應(yīng)的圓的方程為爐+丁=4,

輪船航線所在直線/的方程為(+a=1即3x+分-12=0,

x2+y2=4

得25--72元+80=0,

3x+4y-12=0

由A=(-72)2-4X25X80<0,可知方程組無解.

所以直線/與圓0相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險.

2217c

17.尤'+y"+—x——y-0

22'

【分析】設(shè)△OAB的外接圓的方程為無2+y2+r>x+Ey+P=0(D2+E2-4F>0),則把4?的坐標(biāo)代

入求得。瓦尸的值，可得圓的方程.

【詳解】設(shè)△OA3的外接圓的方程為尤2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

8-2D+2￡+F=0

1Q+D+3E+F=O,解得＜

i7

，/\OAB的外接圓方程為x2+y2+-x--y=0.

18.⑴標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-6)2=16,圓心為(-2,6),半徑廠=4;

⑵x+y-4=0

(3)|AB|=4A/2.

【分析】(1)化圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，再寫出圓心坐標(biāo)及半徑.

(2)由圓的性質(zhì)，結(jié)合直線的點斜式方程求出線段AB的中垂線方程.

(3)利用圓的弦長公式，結(jié)合點到直線距離求解.

【詳解】(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(,-6)2=16,圓心為(-2,6),半徑「=4.

(2)由直線/的斜率為1,得線段的中垂線機的斜率為-1,

又加過圓心(-2,6),貝I］加方程為y-6=-l(x+2),

所以線段AB的中垂線方程為x+>-4=0.

所以|AB|=2y/r2-d2=2dA2-(2近了=40.

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