專題8.4直線與與圓的位置關(guān)系（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】..................................................................6

【題型2圓的弦長問題】................................................................................8

【題型3圓的切線方程、切線長問題】.................................................................10

【題型4圓上的點到直線距離個數(shù)問題】...............................................................11

【題型5直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】.............................................................13

【題型6直線與圓的實際應用】........................................................................15

【題型7圓與惻的位置關(guān)系】..........................................................................19

【題型8兩圓的公共弦】..............................................................................20

【題型9兩圓的公切線】..............................................................................21

1、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第6題，

5分

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高

2023年新高考H卷:第15題，

考的重點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情

（1）能根據(jù)給定直線、圓的方5分

況來看，直線與圓結(jié)合命題時，主要考

程，判斷直線與圓、圓與圓的2023年全國乙卷（理數(shù)）：第

察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長問題

位置關(guān)系12題，5分

等，有時會與距離公式等內(nèi)容結(jié)合考查，

⑵能用直線和圓的方程解決2024年全國甲卷（文數(shù)）：第

多以選擇題或填空題的形式考查，難度

一些簡單的數(shù)學問題與實際10題，5分

不大；有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，

問題2025年全國一卷：第7題，5

此時多與圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，

分

需要學會靈活求解.

2025年天津卷：第12題，5

分

知識梳理

知識點1直線與圓的《立置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系及判定方法

（1）直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下:

位置相交相切相離

交點個數(shù)兩個一個零個

圖形㈤

d與/?的關(guān)系d<rd=rd>r

方程組解的有兩組不

僅有一組解無解

情況同的解

(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法:通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)

解，即△>(),則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即△=(),則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即△<(),

則直線與圓相離.

②幾何法:由圓心到直線的距離d與半徑一的大小來判斷，當時，直線與圓相交；當時，直線與圓

相切；當心r時，直線與圓相離.

2.自一點引圓的切線的條數(shù)

(1)若點在圓外,則過此點可以作圓的兩條切線；

(2)若點在圓上,則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

(3)若點在圓內(nèi),則過此點不能作圓的切線.

3.求過圓上的一點(xojo)的圓的切線方程

(1)求法：先求切點與圓心連線的斜率%(原0),則由垂直關(guān)系可知切線斜率為由點斜式方程可求得切

線方程.如果"0或A不存在，則由圖形可直接得切線方程.

(2)重要結(jié)論：

①經(jīng)過圓M+歹2=〃2上一點p(丸,珀的切線方程為=r2.

②經(jīng)過圓(x-a)2-\-(y—b)2=r2上一點P(Xo,%)的切線方程為［劭一。)(工一。)+(y—b)=r2.

2

③經(jīng)過圓/+y+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,^0)的切線方程為x()x+十。+E?仁久+k=0.

4.圓的弦長問題

設(shè)直線/的方程為產(chǎn)h+匕，圓C的方程為(X—XoV+G，—J，。)？：川,求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑八圓心到直線的距離4、弦長/三者具有關(guān)系式：/+

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標分別為以足,乃).

①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組,，[:產(chǎn)+”、，，消元后得一元二次方程，由一元二次

[(x—Xo)z+(y—y0)-=r-

方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得Xi+內(nèi)必,4或K+心,凹?yi的關(guān)系式，通常把根陰=+32|為一.口|或

[4陰=+*從一H1叫作弦長公式.

知識點2圓與圓的位置關(guān)系

1.圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法

⑴圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱

為相切.

內(nèi)切內(nèi)含

(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾醛)：

設(shè)兩圓(x—。|)2+(y—6)2=,.2與(X—色)2+(V—①)2=冷的圓心距為d,則仁，(°2—0)2+(匕2—A，

兩圓的位置關(guān)系表示如卜.：

公切線條

位置關(guān)系關(guān)系式圖示

數(shù)

外離d>r\+n四條

外切d=r\irz三條

\r\-r2\<d<r\+r

相交兩條

2

p.

A

①外離時,有4條公切線,分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線;

②外切時,有3條公切線,分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線;

③相交時,有2條公切線,都是外公切線；

④內(nèi)切時,有1條公切線;

⑤內(nèi)含時,無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù)，實質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系.

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)

公切線的方程為產(chǎn)"+4最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于女力的方程組，求出人力的值即可.要注意公切線的

斜率可能不存在.

知識點3與圓有關(guān)的最值問題的解題策略

1.解與圓有關(guān)的最值問題

(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-14①，當直線/與圓C相交時,最小距離為0,最大距離為4AHd.其中，?為圓的半徑，d為圓

心到直線的距離；

②如圖2-5-14②，當直線/與圓C相切時，最小距離為0,最大距離為AD=2r；

③如圖2-5-14③，當直線/與圓C抽離時，最小距離為最大距離為

圖2-5-1-4

(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參

數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性

質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如“匕心的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.

X—a---

②形如片ai+外的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如(X—4)2+3一份2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.

【方法技巧與總結(jié)】

1.圓的切線方程常用結(jié)論

(1)過圓f上一點P(XoJo)的圓的切線方程為加葉)夢二戶.

(2)過圓x2+9二戶外一點用(w?o)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為出什兆尸,

2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論

兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.

舉一反三

【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】

【例1】(2025?陜西西安?模擬預測)直線上x+Qy—Q=0與圓G/+y2+2y—5=0的位置關(guān)系是()

A.相離B.相切C.相交D.無法確定的

【答案】C

【解題思路】先求出直線經(jīng)過的定點4(0,1),求出圓C的圓心和半徑丁=瓜,由|C*=2<遍即可判

斷.

【解答過程】因直線I:%+a(y-1)=0過定點4(0,1),

由。:/+/+2丫-5=0配方得：/+(y+l)2=6,可得圓心為。(0,-1),半徑為r=后，

因為|C*=2〈連，所以點A在圓C內(nèi)，故直線1與圓C相交.

故選：C.

【變式1-1](2025.北京.模擬預測)“a>0”是“直線工一ay+2a-1=0(aGR)與圓工2+、2=1相交”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出〃的取值范圍，再集合的包含關(guān)系得條件關(guān)系..

【解答過程】由題知，圓的圓心為(0,0),半徑為I,

設(shè)圓心到直線X-ay+2a-1=0(aeR)的距離為d

則解得：0<QV；.

Ji+(-a)23

而｛Q|0<a<m為｛a|Q>0｝的真子集，

故“a>0”是“0<a<的必要不充分條件，

即“a>0”是“直線x-ay+2a-1=0(aeR)與圓/+y2=1相交”的必要不充分條件，

故選：B.

【變式1-2](2025?遼寧?三模)已知直線=x+m和圓。:M+y2=2,則“m=2”是直線/與圓。相切”

的()

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解題思路】首先求出直線與圓相切時m的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【解答過程】由圓。：/十/二2,可得圓心0(0,0),半徑r二遮，

若直線，:y=x+m與圓相切O:/+y2=2,

則圓心。到直線/的距離d=r=&,則。=粵==夜，解得m=±2,

所以“m=2”是“直線[與圓。相切”的充分不必要條件.

故選：C.

【變式1-3](2025?江蘇?二模)已知圓C：%24-(y-2)2=y,將直線百無一y=0繞原點按順時針方向

旋轉(zhuǎn)30。后得到直線，2,則()

A.直線L過圓心CB.直線0與圓C相交，但不過圓心

C.直線L與圓C相切D.直線，2與圓C無公共點

【答案】B

【解題思路】首先得到直線。的傾斜角，即可得到直線%的傾斜角，從而求出直線%的方程，再求出圓心到直

線的距離，即可判斷.

【解答過程】直線k、&-y=0即y=斜率為V5,傾斜角為60。，

將直線。繞原點順時針方向旋轉(zhuǎn)30。得到直線，2,則直線%的傾斜角為30。，

所以直線。的方程為y=梟，即％-百y=o,

?5

圓C：x2+(y-2)2=T的圓心坐標為C(0,2),半徑r=詈,

圓心到直線辦的距離d=竽=8〈警,

?，?直線，2與圓。相交但不過圓心.

故選:B.

【題型2圓的弦長問題】

【例2】(2025?重慶?三模)直線/：V3x-V2y+5=0截圓O:/+V=9所得的弦長為()

A.2B.4C.2圾D.V5

【答案】B

【解題思路】首先求出圓心到直線的距離，然后利用圓的弦長計算公式來求解弦長.

【解答過程】因為圓。：/+必=9,圓心坐標(0,0),半徑為3.

圓心到直線的距離為：d=1儼-0。+5|=通

J(福)2+(一回2

根據(jù)弦長公式可得：弦長L=2尸=手=2R一(已)2=4.

故選：B.

【變式2-1](2025?北京?三模)已知直線y=k(x-3)+1與圓(x-I)2+(y-2)2=25交于4、8兩點，則|4B|

的最小值為()

A.5B.10C.2V5D.4V5

【答案】D

【解題思路】先求出直線所過的定點M，再根據(jù)直線[與CM垂直時，弦仍3|最小，結(jié)合圓的弦長公式即可得

解.

【解答過程】根據(jù)題意，圓(％-iy+(y-2)2=25,圓心C的坐標為(1,2),半徑r=5,

直線，:y=1(工一3)+1,恒過定點M(3,l),且點M(3,l)在圓內(nèi)，

當直線，與CM垂直時，弦|力8|最小，

此時|CM|="TI=V5,

則M8|的最小值為2^^^=4V5.

故選：D.

(變式2-2](2025?吉林?模擬預測)已知圓0:3+y2=1,過點力(2,0)的直線與圓。交于B、。兩點，且而=前,

則|BC|等于()

A.亙B.。C.這D.立

2222

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)8(%,乃)，C(x2,y2),由向量關(guān)系可得小=2/-242=2%，代入圓的方程即可

得到必，乃，再由兩點間距離公式代入計算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】設(shè)8(%,力)，。(%2，丫2)，且42,0)，

由方=近可得(％i-2,^)=(x2-xvy2-yi)?即％2=2%1—2,y2=2y「

將8c代入圓0方程可得代+4=\,

I達+羽=1

即(2%i-2)2+(2%)2=1,化簡可得4好一8%+4+4資=1,

將於=1-好代入可得4*一8%+4+4(1-*)=1,解得與=工,

8

則弁=1-G)2=小

所以|BC|=\AB\="/一2尸+百=-2丫+.=當.

故選：D.

【變式2-3］(2025?安徽合肥?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，己知直線kx-y-/c+1=0與圓/+丫2_

4相交于48兩點，則|45|的最小值為()

A.V2B.V3C.2V2D.2①

【答案】C

【解題思路】求出直線過定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解?.

【解答過程】直線kx-y-k+1=0可化為：k(x-1)-y+1=0,

令］。二11；］，得所以直線過定點0(1,1)，

圓好+=4的圓心為。(0,0),半徑r=2,

當OP1AB時，|AB|有最小值，如圖所示：

即圓心到直線的距離4曲=1。。1=應，|AB|min=2yl丫？一d^x=272,

所以|力創(chuàng)的最小值為2&.

故選:c.

【題型3圓的切線方程、切線長問題】

【例3】(2025?江西萍鄉(xiāng)?二模)過點P(3,l)作圓。:/+丫2+2%+4丫-4=0的切線，記其中一個切點為4

則|P川=()

A.16B.4C.21D.

【答案】B

【解題思路】求出圓C的圓心和半徑，再利用切線長定理求解.

【解答過程】圓C:(%+1)2+0+2)2=9的圓心C(-l,-2),半徑r=3,

則|PQ=V(-l-3)2+(-2-l)2=5,

所以伊川=,|PC|2_產(chǎn)=4.

故選：B.

【變式3-1](24-25高二上?河北石家莊?期末)過點P(l,-1)且與圓C:/+y2-4x+2=0相切的直線方程

為()

A.x+y=0B.x—y—2=0

C.x—y=0D.x—y+2=0

【答案】A

【解題思路】經(jīng)分析知點尸(1,-1)在圓上，根據(jù)過圓上點的切線勺圓心和切點所在直線垂直，得到切線斜率

為-L結(jié)合直線點斜式方程即可求解.

【解答過程】圓。：/+/-4%+2=0的標準方程為：(%-2)2+丫2=2,故圓心C(2,0),

???點P(l,-1)在圓C:+y2-4%+2=0上，

???過點〃的切線與CP垂直，且3=言=1，

二過點P(l,-1)的切線斜率為一1,

故所求直線方程為：y+l=-(r-1),

整理，得：%4-y=0.

故選:A.

【變式3-2](2024?全國?模擬預測)已知P為直線1:%-y+1=0上一點，過點P作圓。:(％-I)2+y2=1的

一條切線，切點為A,則|P川的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】A

【解題思路】根據(jù)己知條件，結(jié)合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.

【解答過程】連接C4則|P*=0PC/一1,

而|PC|的最小值為點c到直線/的距離d==&>1，

所以IP川min=J(&)2-1=1.

故選：A.

【變式3-3](25-26高二上?全國?單元測試)已知圓。的圓心為。(0,2),且經(jīng)過點(2,2),過點玖-2,-1)作圓C

的兩條切線布,PB,切點分別為4,B,則直線A8的方程為()

A.2x+3y—2=0B.2%+3y+2=0

C.2x—3y-2=0D.2%—3y+2=0

【答案】A

【解題思路】由題意求得其中一個切點的坐標，并求出的斜率即可求解.

【解答過程】由題意，圓C的半徑為J(0—2,+(2-2尸=2,.?.圓C的標準方程為“2+(y-2>=4.

當斜率不存在時，過點尸的直線為x=-2,與圓。相切于點(—2,2).

由圓的切線的性質(zhì)可知，AB1CT,.?.心8=三二七號=一3

%,3

二直線AB的方程為y—2=—1(%+2)>i'P2x+3y—2=0.

故選:A.

【題型4圓上的點到直線距離個數(shù)問題】

【例4】(2025?廣東茂名?二模)已知圓C:/+y2=i,直線x+y—m=0(m￡R),若圓C上有且僅有一點

到直線，的距離為1,則m=()

A.2B.2V2C.±2D.±2V2

【答案】D

【解題思路】利用點到直線的距離公式即可求解.

【解答過程】由題意有：圓心(0,0)到直線X+y-m=0的距離為2,

所以d=-===霍=2=\m\=2\/2=m=±2魚，

故選:D.

[變式4-1](2025?四川?三模)已知圓C:%2+y2-2%+4y-20=0上恰有兩個點到直線，:x+y4-m=

0（m>0）的距離為2,則加的取值范圍是（）

A.（3魚,7甸B.（3或+1,7&+1）

C.（2A/2,7V2）D.（2企+1,7&+1）

【答案】B

【解題思路】求得圓心到直線的距離d,由r—2<d<r+2求解即可.

【解答過程】由題意可得圓。:（又一1尸+0+2）2=25,則圓心c（i,—2）,半徑r=5,

則圓心C到直線/的距離d=智.

v2

因為圓C上恰有兩個點到直線/的距離為2,

所以r-2Vd<r+2,即3V電旦V7,又m>0,

V2

解得：3e+1VznV7遮+1.

故選：B.

【變式4-2]（2025?山東青島?三模）若圓/+y2=4上總存在兩個點到點他,1）的距離為3,則實數(shù)a取值范

圍是.

【答案】（-2倔0）U（0,2后）

【解題思路】由題意，將問題轉(zhuǎn)化為圓/+y2=4與圓（％-。）2+（丁-6）2=9有兩個公共點，即兩圓相交,

從而運用兩點間的距離公式建立不等式關(guān)系，求出實數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】根據(jù)題意，圓/+/=4的圓心為0（0,0）.半徑丁二2,

若圓/+y2=4上總存在兩個點到點（a,1）的距離為3,

則圓％2+y2=4與圓（％-a）2+（y-b）2=9有兩個公共點，即兩圓相交，

因為（%-a）2+（y—b）2=9的圓心為C（a,1）,半徑R=3,

所以|R-r|<|0C|VR+r,即3—2<JH7不1V3+2,

則0Va2<24,即一2后VQV0或0VaV2石，實數(shù)a的取值范圍是（一2后,0）U（0,2石）.

故答案為：（一2遍,0）11（。,2份）.

【變式4-3]（2025?甘肅?模擬預測）若圓C:/+y2+2%+巾=0上恰有三個不同的點到直線I：%+V3y+2=

0的距離為1,則m=.

【答案】

4

【解題思路】先求出圓C的圓心坐標和半徑，以及圓心到I的距離，結(jié)合題意可得圓C的半徑為|,進而建立方

程求解即可.

【解答過程】由圓C:/+y2+2X+m=0,BP(x+l)2+y2=1-m,則mV1,

圓C的圓心坐標為（-1,0）,半徑為r=一m,

圓心（一1,0）至"的距離為d=喏1=；，

vl+32

因為圓C」:恰有三個不同的點到1的距離為1,所以圓C的半徑為去

則41_m解得m=-*

故答案為：一］.

4

【題型5直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】

【例5】（2025?河南信陽?模擬預測）2是圓（工一。2）2+。一。）2=1上的動點，Q是直線y=%+2上的動點,

則IPQI的最小值為（）

A.V2-1B.V2C.乎-1D.舉

88

【答案】C

【解題思路】判斷圓與直線的位置關(guān)系為相離，可得IPQI的最小值為圓心到直線的距離減去半徑.

【解答過程】由題意得，圓（工一。2）2+3一。）2=1的圓心為（。2,。），半徑r=l.

因為（Q2,Q）到直線y=%+2的距離d=叵薩=，+:＞苧，

當?shù)﹥H當Q=：時，等號成立，

所以直線與該圓相離，

所以|PQ|的最小值為4一「=乎-1.

O

故選：C.

【變式5-1］（2025?北京?三模）經(jīng)過點（0,0）,半徑為2的圓的圓心為A,則點A到直線x—y+2=0的距離

最大值為（）

A.V2B.2+V2

C.2-V2D.3V2

【答案】B

【解題思路】先確定圓心力的軌跡方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心4到直線％-y+2=0的距離最

大值.

【解答過程】已知圓經(jīng)過點（0,0）,半徑為2,設(shè)圓心4的坐標為（x,y）,

可得圓心?!到點(0,0)的距離為2,

即《(％—0尸+(y—0)2=2,化簡可得/+y2=4,

所以圓心力的軌跡是以原點(0,0)為圓心，2為半徑的圓.

可得原點(0,0)到直線％-y+2=。的距離為：do=焉弟=超，

所以點上到直線x—y+2=0的距離最大值為原點到直線的距離加上圓的半徑，即dmax=&+2.

故選：B.

【變式5-2](2025?甘肅白銀?模擬預測)已知直線E：(2+。工一(1+t)y-12-8￡=0,Q是圓0：x2+y2=4

上的一動點，則點Q到宜.線/的距離d的取值范圍為()

A.[0,472-2]B.[0,4V2+2)C.[0,4724-2]D.[1,4加-2)

【答案】B

【解題思路】先將直線方程變形求出直線所過的定點P，再結(jié)合點P與圓。的位置關(guān)系，分析點P到直線/距離

的最值情況，進而確定距離d的取值范圍.

【解答過程】直線心(2+t)x-(1+-12-8t=0,可化為(x-y-8)t+2x-y-12=0,

由—l-解得x=4,y=-4,所以]過定點P(4,-4),

又因為點Q在圓。上，旦|0P|=4魚，圓。的圓心為。(0,0),半徑r=2,

所以當OPJU,且Q,。，P三點共線時，點Q到直線/的距離d最大，最大為4a+2,

此時％「二”二一1,所以直線1的斜率為1,即2+￡=1+(,無解，

4—0

故直線[不存在，所以d<4&+2；

當直線1與圓。相交或相切時，點Q到直線/的距離d最小，最小為0,

故點Q到直線Z的距離d的取值范圍為[0,4&+2).

故選：B.

【變式5-3](2025?陜西西安?一模)已知圓。的方程為：/+y2=1,點力(2,0),8(0,2),P是線段上的

動點，過P作圓。的切線，切點分別為C,0,現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形尸。。。的面積的最小值為1;②

四邊形PCO。的面積的最大值為遮；③無?麗的最小值為-1；④麗?麗的最大值為日.其中所有正確說法

的序號為()

A.①③④B.①②@C.②③④D.①④

【答案】B

【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合，將面積PCO。的最值轉(zhuǎn)化為求|。。|的最值，叩可判斷①②；利用數(shù)量積和三角

函數(shù)表示麗?麗，再轉(zhuǎn)化為利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值.

【解答過程】如圖，當點P是A8的中點時，此時0P14B,|0P|最短，最小值為遮，

當點P與點力或點B重合時，此時|0P|最長，最大值為2,

因為PC,PD是圓0的切線，所以PC10C,PD10D,

則四邊形PC。。的面積為|尸。||。。|=\PC\=y/\PO\2-l,

所以四邊形P。。。的面積的最小值為近=1=1,最大值為也=1=逐，故①@正確:

PC-PD=\PC\[PD\cosZ-CPD=|PC|2x（2cos2zOPC-1）,

=附中鬻-1）=簪-卿=嚅1時+1,

二|麗廣+曰_3,同|7[2,4],

|P0|

設(shè)y=t+：—3,tC[2,4],函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為0,最大值為玄故③錯誤，④正確.

故選：B.

【題型6直線與圓的實際應用】

【例6】（24-25高二上?四川樂山?期末）某圓拱橋的水面跨度12米，拱高4米，現(xiàn)有一船寬8米，則這條船

能從橋下通過的水面以上最大高度約為（）（參考數(shù)據(jù)后。4.6,而。2.2）.

A.2.5米B.2.7米C.2.6米D.3.1米

【答案】C

【解題思路】建立平面直角坐標系，設(shè)圖中矩形EPG”為船剛好能通過橋下時的位置，先求得圓的方程，再

將%=4代入求得縱坐標判斷.

【解答過程】解：如圖，以圓拱橋橫跨水面上的正投影為》軸，過橋的最高點垂直于％軸的直線為y軸，建立

平面直角坐標系，設(shè)圖中矩形EW”為船剛好能通過橋下時的位置,

設(shè)圓拱橋所在圓的方程為公+（y-b）2=r2,

由已知得：36+匕2=丁2；（4-6）2=丁2

解得b=-pr=y-

故圓的方程為/+卜+|）2=詈

令％=4,解得、=萼一:、2.6

結(jié)合題意可得這條船能從橋下通過的水面以上最大高度為2.6（米），

故選：C.

【變式6-1］（24-25高二上?四川眉山?期中）如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船0上配有雷達，其監(jiān)測范圍

是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東30km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北40km的

8處島嶼，速度為28km/h.這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到的時長為（）

A.I小時B.0.75小時C.0.5小時D.0.25小時

【答案】C

【解題思路】以。為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，求出直線與圓的方程，計算圓心到直線的距離和

半徑比較，可知這艘輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到；計算弦長，可求得持續(xù)時間為多長.

【解答過程】如圖，以。為原點，東西方向為入軸建立直角坐標系，

由題意可知4（30,0）,8（0,40）,國。方程/+y2=252,半徑r=25,

直線48方程：9+3=1,即4x+3y-120=0,

3040

設(shè)。到力B距離為d,

則d=右擺=24v25,故直線與圓相交，

所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，

如圖，設(shè)直線與圓交點為M,N,取MN中點〃，連接0〃，則O〃_LMN,

所以MN=2y/ON2-OH2=2\lr2-d2=2V252-242=14,

設(shè)監(jiān)測時間為t,貝亞=葛=；（小時），

282

故輪船能被海監(jiān)船檢測到的時間是0.5小時.

故選：C.

【變式6-2]（24-25高二上?北京?期中）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方

形構(gòu)成.已知隧道總寬度AQ為6V5m,行車道總寬度8C為2aLm側(cè)墻EA、高為2m,瓠頂高MN為

5m,為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m.請

計算車輛通過隧道的限制高度是.

【答案】3.5m

【解題思路】通過已知數(shù)據(jù)求出圓弧的半徑，再通過由半徑算弦心距的方法求出最大高度，最后減去安全高

度差即可.

【解答過程】如下圖，圓弧的圓心O在直線MN上，過8作8GJ.AZ）,交圓弧于點G,作GHJ.MN于點從

連接OE、OG.

由題可知，MP=5-2=3m,EP=^AD=3V3m,GH=^BC=Vnm

設(shè)0&=UM=r,則0,=r-3

在AOEP中，有Of?=op2+EP?

即產(chǎn)=(r-3)2+(375)2,解得r=6

OH=y/OG2-GH2=J62-(Vil)2=5m

???MH=OM-OH=6-5=lm

BG=NH=MN-MH=5-1=4m

故車輛通過隧道的限制高度是4一0.5=3.5m.

故答案為：3.5m.

【變式6-3](25-26高三上.山東青島.開學考試)在氣象臺4正西方向lOObkm處有一臺風中心，它正向北

偏東60。方向移動，移動速度的大小為20km/h,距臺風中心100km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風中心

的這種移動趨勢不變，則氣象臺所在地受到影響的持續(xù)時間為小時.

【答案】5

【解題思路】以氣象臺為圓心，作半徑為100的圓交臺風軌跡于CQ兩點，計算。。兩點的長度即可求得氣

象臺所在地受到臺風影響的時間.

【解答過程】如圖所示，可設(shè)臺風中心初始位置為以氣象臺為4AB=100V3,

以A為圓心，100為半徑作圓A交臺風運動軌跡于C、D兩點,C。為圓A的弦，

而臺風向北偏東60。移動，可知NDBA=30。，

過人作BD的垂線，垂足為E,

在直角△4BE中，/-ABC=30°,^\AE=^AB=5073,

在直角△力CE中，由勾股定理得CE=VAC?-=50,

所以CO=2CE=100,

故持續(xù)時間為詈=5小時.

故答案為；5.

【題型7圓與圓的位置關(guān)系】

【例7】（2025?安徽?一模）圓0:%2+、2=1與圓和（為+1）2+0-2魚）2=16的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外離C.外切D.內(nèi)含

【答案】A

【解題思路】先寫出圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓心間距離和半徑的關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系.

【解答過程】圓。與圓M的半徑分別為I,4,圓心坐標分別為（。，0）,（-1,2V2）,

則|OM|=71T8=3=4-1,故圓。與圓M的位置關(guān)系是內(nèi)切.

故選：A.

【變式7-1]（2025?浙江溫州?三模）已知圓/+y2=i和圓（％一3）2+）/2=網(wǎng)&>0）有公共點，貝|卜的取值

范圍為（）

A.[2,+8）B.[2,4]C.[3,4]D.[1,4]

【答案】B

【解題思路】由兩圓位置關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.

【解答過程】由題可得卜一1|工3工丁+1,

解得：2<r<4.

故選：B.

【變式7-2]（2025?山東臨沂?一模）圓Q:/+y2=i與圓Q:%2+y2-6第一8y+9=0的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，求出圓心距即可判斷.

【解答過程】圓Q:%2+y2=1的圓心Ci（0,0）,半徑r1=1,

圓。2：工2+y2-6%—8y+9=0,即Q:（x—3>+（y—4）?=16,圓心。2（3,4）,半徑r2=4,

則IC1C2I=V32+42=5=4+生，所以兩圓外切.

故選：C.

【變式7-3]（2025?河南?模擬預測）圓M+y2—2x—2y+1=。與圓/卜y244xI6y+9=0的位置關(guān)系

是（）

A.相切B.外離C.內(nèi)含D.相交

【答案】B

【解題思路】將兩圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和差的大小關(guān)系判斷圓與圓

的位置關(guān)系即可.

【解答過程】圓/+y2-2x-2y+l=0即（無一1）2+（、-1）2=1,圓心為（1,1）,半徑為1；

圓1+丫2+4義+6丫+9=0即（％+2）2+（7+3）2=4,圓心為（一2,-3）,半徑為2；

圓心距為J（l+2）+（1+3尸=5,因為5>1+2,所以兩個圓外離.

故選:B.

【題型8兩圓的公共弦】

2

【例8】（24-25高三下?黑龍江?階段練習）圓/+y2-4=0與/+y-4x+4y-12=0的公共弦長為（）

A.2V2B.2V3C.V14D.4

【答案】A

【解題思路】先求兩圓公共弦所在的直線方程，再用"幾何法''求直線與圓相交所得的弦長.

【解答過程】圓G：x2+y2-4=0①，所以G（0,0）,q=2.

22

圓。2：x+y-4x+4y-12=0②，所以。2（2,-2）,r2=275.

r

因為「2-n<IGC2I=2V2<r2+i?所以圓G與圓。2相交.

因此公共弦所在直線的方程為①-②：%-y+2=0,

圓Ci的圓心到公共弦的距離為d=/，

即公共弦長為Z=2>jR2-d2=2也F=2V2.

故選：A.

【變式8-1］（2024.河北石家莊.二模）已知圓Oi：/+y2=5與圓。2：/+V-2x-4y=0交于A,B兩點，

則忸8|=（）

A.—B.V5C.V15D.—

22

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，兩圓方程相減即可得到直線48的方程，再由弦長公式，即可得到結(jié)果.

【解答過程】因為圓01：/+y2=5與圓。2：%2+y2-2%-4丫=0交于A,8兩點，

則直線AB的方程即為兩圓相減，可得2x+4y-5=0,

且圓。i：/+V=5,半徑為遙，

0i（0,0）到直線2x+4y-5=0的距離d=-篝=",

所以|AB|=2J（灼2_（苧）2=V15.

故選：C.

【變式8-2]（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知圓G：/+y2=%圓。2：/+丫2一4%-4'+4=0,兩

圓的公共弦所在直線方程是（）

A.x+y+2=0B.%4-y-2=0C.x+y+1=0D.x+y-1=0

【答案】B

【解題思路】兩圓方程作差即可.

【解答過程】由圓Ci：/+y?=%圓C?:/+丫？一4%-4y+4=0,

兩式作差得，4x+4y-4=4,即x+y-2=0,

所以兩圓的公共弦所在直線方程是x+y-2=0.

故選：B.

22

【變式8-3]（2025?黑龍江?模擬預測）mc1:x+y-2x=10與圓C2:（-+2產(chǎn)+（y—4尸=16的公共弦長

為（）

A.2\[7B.V7C.V6D.276

【答案】A

【解題思路】兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程為3%-4丁+7=0,即可利用點到線的距離公式以及

圓的弦長公式求解.

【解答過程】Q,Q的圓心和半徑分別為。1（1,0）,。2（-2,4）,r=VH,R=4,

R—rv|GC2l=5<R+r,故茯圓相交，

將兩個圓的方程作差得6%-8y+14=0,即公共弦所在的直線方程為3%-4y+7=0,

乂知。2（—2,4）,/?=4,

則62（-2,4）到直線的3%-4y+7=0的距離d=因（之二丁+7|=^=3,

所以公共弦長為=2b，

故選：A.

【題型9兩圓的公切線】

【例9】（2025?山東?模擬預測》已知圓G：-y2=4與圓C2：（%-卜a）?+（y-卜2尸=9有三條公切線，則。=

A.vnB.V29C.±V29D.±VH

【答案】D

【解題思路】根據(jù)兩圓恰有三條公切線，可得兩圓外切，利用圓心距等于半徑之和即可求解.

【解答過程】由題知，兩圓外切，由圓G方程得G(0,0),半徑q=2,

由圓C2方程得。2(-。,一2),半徑丁2=3,則\/^率4=2+3=5,解得Q=+VH.

故選：D.

【變式9-11(24-25高三下.山東.開學考試)圓Ci：M+>2+8%_2y+9=0和圓C2：/+y24-6x—4y+11=

0的公切線方程是()

A.y=-x+1B.y=-%+1或y=%+5

C.y=—x4-5D.y=x+1或y=2x+5

【答案】A

【解題思路】先判斷兩個圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點，然后根據(jù)圓心連線與公

切線的關(guān)系求解出公切線的方程.

【解答過程】解：G：(x+4)2+。-1產(chǎn)=8,圓心C](-4,l),半徑-1=2&,

22

C2:(x+3)+(y-2)=2,圓心。2(-3,2),半徑上=魚，

因為IGGI=72=^一r2，

所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，

因為圓心連線與切線相互垂直，kc1c2=1，

所以切線斜率為-1,

由方程組〔療產(chǎn)C；解得「二了,

lx”+y"+6%—4y+11=0(y—§

故圓G與圓C2的切點坐標為(一2