第4節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

課標(biāo)要求1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極

大值、極小值.3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.4.會用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題.

知識診斷自測

【知識梳理】

1.函數(shù)的極值

一般地,設(shè)函數(shù),/U）在xo處可導(dǎo)，且f（xo）=O.

⑴如果對于次左側(cè)附近的任意x,都有力工）＞0;對于W右側(cè)附近的任意r都有八#＜0,那么此時xo是

7U）的極大值點(diǎn).

（2）如果對于x（）左側(cè)附近的任意工,都有△也Q;對于xo右側(cè)附近的任意x,都有尸（x）＞0,那么此時xo是

大外的極小值點(diǎn).

（3）如果八x）在xo的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號（或均為負(fù)號），則xo一定不是產(chǎn)/（1）的極值點(diǎn).

（4）極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為送值息,極小值和極大值統(tǒng)稱為睡.

2.函數(shù)的最大（?。┲?/p>

⑴函數(shù),”）在口,加上的最值

如果函數(shù)），=/5）的定義域?yàn)榧忧掖嬖谧钪?，函?shù)），=/"）在3,切內(nèi)可導(dǎo)，那么函數(shù)的最值點(diǎn)要么是區(qū)

間端點(diǎn)?；虺鹨词菢O值點(diǎn).

⑵求產(chǎn)/U）在區(qū)間m,切上的最大（?。┲档牟襟E：

①求函數(shù)產(chǎn)兒。在區(qū)間3,口上的極值;

②將函數(shù)）-/a）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值儂比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是

最小道.

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.求最值時,應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系,關(guān)系不確定時，需要分類討論,不可想當(dāng)然認(rèn)為極值

就是最值.

2.函數(shù)最值是“整體”概念,而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)

系.

【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析（在括號內(nèi)打或“義”）

⑴對于可導(dǎo)函數(shù)7U）,若/（xo）=O：則xo為極值點(diǎn).（）

（2）函數(shù)的極大值不一定是最大值,最小值也不一定是極小值.（）

⑶函數(shù)人￥）在區(qū)間（。,份上不存在最值.（）

（4）連續(xù)函數(shù)次x）在區(qū)間[a,包上一定存在最值.（）

答案⑴義（2）4⑶X（4）、

解析⑴反例:信）=//（“3『,「（0尸0,但A-0不是危）4的極值點(diǎn).同理,有最值的函數(shù)不一定有

極值，如./U）=x,x￡[T,1].（3）反例:凡。=/在區(qū)間（T,2）上的最小值為0.

2.（人教B選修三P100T1改編汝I圖是火工）的導(dǎo)函數(shù)八x）的圖象,則?r）的極小值點(diǎn)的個數(shù)為（）

A.1

C.3D.4

答案A

解析由題意知在x=-[處八-1）=0,且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號左負(fù)右正.

3.（湘教選修二P49T7改編）已知兀g3-⑵+1,天目一｝1],則.仆）的最大值為______,最小值

為.

答案卷-10

解析八1）二3?-12=3（尸2）（戶2）,

因?yàn)?/p>

所以t(x)<0,

故7U)在卜表1］上單調(diào)遞減，

所以於)的最大值為./(-力科最小值為川尸TO.

4.(人教A選修二P104T9改編)函數(shù)火x)=x(廠c)2有極值，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

答案(-8,o)U(0,+8)

解析f(x)=(x-c)2+2x(x-c)

=3X2-4CX+C2.

由題意知八x)有變號零點(diǎn)，

???/=16/-12。2=4。2>0,解得

即c￡(-8,())(J((),+8).

考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

角度1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

例1(多選)如圖是函數(shù)y=/&)的導(dǎo)函數(shù)八1)的圖象,下列說法正確的是()

A川)為函數(shù)於)的極大值

B.當(dāng)x=T時,/(x)取得極小值

C：/U)在(T,2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減

D.當(dāng)％=3時，火幻取得極小值

答案BC

解析由圖象知，當(dāng)工￡(-2,-1)E寸，八x)<0,

即7U)在(-2,-1)上單調(diào)遞減，

思維建模運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)./U)極值的一般步驟:(1)確定函數(shù)/(工)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)人此；(3)解方程

f(x)=O,求出導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的所有根;⑷列表檢驗(yàn)/(X)在,小)=0的根與)左右兩側(cè)值的符號;⑸求

出極值.

角度3由函數(shù)的極值求參數(shù)

例3(2024?新高考II卷節(jié)選)已知函數(shù)危尸16一八若加)有極小值,且極小值小于0,求。的取值

范圍.

解易知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(x)=e^,

當(dāng)〃W()時JQ)>(),函數(shù),")在R上單調(diào)遞增,無極值；

當(dāng)。〉0時，由/(x)>0,得/>lna,由f(x)<0,得x<lna,

所以函數(shù)./U)在(-8,m/上單調(diào)遞減，

在(In+8)上單調(diào)遞增，

所以/U)的極小值為4na)=a-a\na-a3.

由題意知a-a\x\6r〃3<()m>o),

等價于1-ln〃-A0(a>()).

2

令g(〃)=lTna-a(a>O)f

貝ijg'(a)=-^~2a<0,

所以函數(shù)g(。)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又g⑴=0,故當(dāng)0<a<\時,g(〃)>0；

當(dāng)a>\時,g(a)<0.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1,+8).

思維建模1.已知函數(shù)極值確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時,要根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條

件列方程組,利用待定系數(shù)法求解,求解后要檢驗(yàn).

2.判斷極值點(diǎn)的個數(shù),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的根的個數(shù).

訓(xùn)練1(1)(2025?咸陽模擬)己知函數(shù),/URcos?"+2,若戶0是段)的唯一極小值點(diǎn)，則。的取值范

圍為()

A.[l,+oo)B.(o,1)

C.[-l,+oo)D.(-8,1]

答案A

解析因?yàn)?(x)=2cos2|+|x2=cosx+1+#,所以/U)=-sinx+or,

令且。)也工)二-sinx+or,

貝|Jg'(x)=-cosx+a,

當(dāng)心1時,g'(x)=-cc>sx+〃20,

故g(x)單調(diào)遞增，

又g(0)=0,故當(dāng)A->0時,g(x)>0;

當(dāng)x<0時,g(x)<0,

所以兀0在(-8,())上單調(diào)遞減,在((),+8)上單調(diào)遞增，

故廠0是函數(shù)人犬)的唯一極小值點(diǎn)，

符合題意：

當(dāng)a<\時,g'(0)=T+a<0,

故一定存在〃》0,使得g(x)在(0,m)上單調(diào)遞減，

當(dāng)XG(O,〃7)時,g(x)<g(o)=o,yu)單調(diào)遞減，

此時產(chǎn)o不是函數(shù)/U)的極小值點(diǎn)，

不符合題意.

綜上所述,a的取值范圍為[1,+8).

(2)己知函數(shù)/U)=ln尸aHaER),討論函數(shù)7U)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個數(shù).

解函數(shù)./U)的定義域?yàn)?0,+8),

/(x)=i-6/~(x>0).

當(dāng)時,/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

則函數(shù)府)在(0,+8)上單調(diào)遞增,此時函數(shù)段)在定義域上無極值點(diǎn);

當(dāng)a>0時，若(03)，則八幻>0；

若&+8),則八幻<(),

則函數(shù)ZU)在(0、)上單調(diào)遞增，在弓,+8)上單調(diào)遞減，

故函數(shù)於)在弓處有極大值.

綜上可知，當(dāng)々W0時,函數(shù)兀丫)無極值點(diǎn)，

當(dāng)a>0時，函數(shù)產(chǎn)/(x)有一個極大值點(diǎn)，且為x=\

考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

角度1求已知函數(shù)的最值

例4(2022?全國乙卷)函數(shù)y(x)=cosx+(.r+l)sinx+1在區(qū)間[(),2汨上的最小值、最大值分別為()

H7Tc371TT

AA.—,-B--,-

2222

C--,-+2D,-+2

2222

答案D

解析y(x)=cosx+(x+1)sinx+1,x[0,2n],M/(x)=-sinx+sinx+(x+1)-cosx=(x+1)cosA,A[0,2n].

令人x)=0,解得x=T(舍去),尸；或x=~^-

因?yàn)?(：)二cos1%抽；+1二2+今

冊cos尹得+小in尼y號,

又7(0)=cosO+(O+l)sin0+1=2,

42兀)=cos2兀+(2兀+l)sin2兀+1=2,

所以/U)max=^e)=2+a

於)min可居%號故選D.

角度2由函數(shù)的最值求參數(shù)

例5（2025?福建名校聯(lián)考）已知函數(shù),"）=33f+3在區(qū)間（〃,〃+6）上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為（：）

A.[-l,2）

C.[-2,|）D.[-l,1）

答案A

解析由題意得/'（大尸?^2-6X=3X（.L2）.

當(dāng)/（x）>0時，得工<0或x>2,

當(dāng)八x）<0時，得0y<2,

故函數(shù)ZU）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-巴0）,（2,+8）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）,

即x=2時,函數(shù)人大）取得極小值/2）二-1,畫出/U）的圖象如圖.

當(dāng)V-3/+3二-1時，（戶1）（尸2尸=0,

解得x=-l或m2,

故要使函數(shù)九丫）=2-3.F+3在區(qū)間（〃,〃+6）上存在最小值，

需有:解得-14<2,

I-1&Q<Z,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為[7,2）.

思維建模1.求函數(shù)/（/）在閉區(qū)間儲，切上的最值時,在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值

加）,財）與."）的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

2.若所給函數(shù)於）含參數(shù)，則需通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)危）的最直

訓(xùn)練2⑴（2025?南京、鹽城模擬）用min｛x,y｝表示元），中較小的數(shù).已知函數(shù)段尸泉則

min伏1）,./U+ln2）｝的最大值為（）

A塌B.i

e

喏D.ln2

答案c

解析.?7W嗓???/(3詈，

易知/U)在(-8,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,

由題章，令/W4("In2),即令:黑4,解得r=ln2.

v**介.IT1114

作出)與>,=y(x+ln2)的大致國象如圖所示.

.v=/(x)

y=/U+m--

--\ny^3In21X

則min{./(x),大戶In2)}的最大值為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值,為警.

(2)(2025?河北名校聯(lián)考)已知函數(shù)./U)=or~ln工的最小值為0,則a=.

答案-

e

解析由fix)=ax~\nx,

得f(x)=a-^=^^-,x>0.

若則貝x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無最小值,則a>0,

則7U)在(0,；)上單調(diào)遞減，

在6+8)上單調(diào)遞增，

所以/U)min=yQ)=l+ln4=0,解得“3

~三次函數(shù)的對稱性微點(diǎn)突破

結(jié)論1：三次函數(shù)危戶加+加+0什代工。)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一看,/(一3)中心對稱

結(jié)論2:已知三次函數(shù)")=?+歷2+cx+d(aW0)中心對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo,兩個極值點(diǎn)分別為xi,X2,

則黑二蠹二/J。尸*ER

結(jié)論3:若尸/*)圖象關(guān)于點(diǎn)(〃7,〃)對稱，則尸ZU)圖象關(guān)于軸x=m對稱,點(diǎn)對稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是軸對稱

函數(shù),軸對稱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是點(diǎn)對稱函數(shù),奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

典例已知任意三次函數(shù)的圖象必存在唯一的對稱中心，若函數(shù)j(x)=x3+ax2+bx+c,0.M(xo,凡丫。))為曲

線)=?的對稱中心,則必有g(shù)'O：o)=O(其中函數(shù)g(x)=F(x)).若實(shí)數(shù)機(jī),〃滿足+］；：!二；；

則m~n={)

A-4B-3

C-2D-1

答案A

解析令?￥)=爐+6/+13&,

貝ij/'(幻=3/+1法+13,

令人住)二3『+12x+13,/?/(x)=6x+l2=0,解得x=-2,

又1-2)=(-2)3+6X(-2/13X(-2)=-10,

所以函數(shù)八￥)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,-10)成中心對稱.

m(m3+6m2+13m=10,

In3十6n2+13n=-30,

所以人⑼出〃)=-2(),

又f(^)=3^+12r+13=3(X+2)2+1>0,

所以函數(shù)yU)=,F+6『+13x在R上單調(diào)遞增，

所以m+n=2X(-2)=~4.

訓(xùn)練(多選)(2024?新高考II卷)設(shè)函數(shù)危尸2A3-3加+1,則()

A.當(dāng)公>1時,凡0有三個零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時,x=0是段)的極大值點(diǎn)

C.存在4,Z?,使得x=b為曲線內(nèi)㈤的對稱軸

D.存在使得點(diǎn)(1,川))為曲線產(chǎn)/㈤的對稱中心

答案AD

解析由題可知，八x)=6x(x-a).

對于A,當(dāng)時，由八x)<0得

由八x)>0得x<0或第乜

則段)在(-8,())上單調(diào)遞增,在①,〃)上單調(diào)遞減,在5,+8)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)X-—8時,人工)-*-00,/(())=}J(a)=-a3+1<0,

當(dāng)l+8時j(?f+8,故兒r)有三個零點(diǎn),A正確；

對于B,當(dāng)〃<0時，由八工)<0得公3<0,

由f(.r)>0得x>0或x<a,

則於)在(-8,幻上單調(diào)遞增,在(%0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增,故x=o是府)的極小值點(diǎn),B

錯誤；

對于C,假設(shè)存在這樣的a,b,使得為y(x)的對稱軸，

即存在這樣的b使

即2i3-3ar2+1=2(2b-x)3-3a(2h-x)2^1,

303

根據(jù)二項(xiàng)式定理,等式右邊(264展開式含有X的項(xiàng)為2Cf(2/?)(-x)=-2?,

于是等式左右兩邊x3的系數(shù)都不相等,原式不可能相等，

故曲線鄧幻必不存在對稱軸,C錯誤；

對于D,由題意知］=1,即〃=2,

故存在a=2,使得點(diǎn)(1,人1))為曲線產(chǎn)/㈤的對稱中心,D正確，故選AD.

課時對點(diǎn)精練

一、單選題

1.設(shè)函數(shù)段)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為八］),且函數(shù)產(chǎn)(1-月/。)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定

成立的是()

A.函數(shù)/U)有極大值42)和極小值人1)

B.函數(shù)7U)有極大值<-2)和極小值<1)

C.函數(shù)人人)有極大值人2)和極小值人-2)

D.函數(shù)*x)有極大值1-2)和極小值12)

答案D

解析由題圖可知，當(dāng)x<~2時,/(?>();

當(dāng)-2<r<1時，八幻<0;

當(dāng)1〃<2時J(x)<0;

當(dāng)x>2時ja)>o.

由此可以得到函數(shù)?r)在x=-2處取得極大值，

在臺2處取得極小值.

2.函數(shù)J(X)=^X2-3X-1的極小值點(diǎn)是()

A.l

C-3D.(-3,8)

答案A

解析八1)=/+2；1-3,由f+ZrTO,得x=-3或x=l,

所以函數(shù)於)=#+/-3x-1在(-f-3)上單調(diào)遞增，在(-3,1)上單調(diào)遞減，在(I,+“)上單調(diào)遞增,

故/*)在處有極小值，極小值點(diǎn)為I.

3.函數(shù)./U)=xcos尸sinx在區(qū)間［-兀,0］上的最大值為()

A.lB.兀

C.-D.—

22

答案B

解析由題意得人工）二cosx-xsin尸cosx=-xsinx,

當(dāng)[-71,0]時,sinxWO/COWO,

所以/U）在[f,0]上單調(diào)遞減，

故函數(shù)、"）在區(qū)間|■兀,0]上的最大值為4-兀）=兀.

4.已知函數(shù)"r）=%3+（〃T）f+/1沒有極值,則實(shí)數(shù)0的取值范圍是（）

A.[0,1]B.（-8,0]lJ[l,+8）

C.[0,2]D.（-8,0]U[2,+8）

答案c

解析由）f+x+1,

得八X）=F+2（CL1）x+1.

根據(jù)題意得[2（4-1）六4wo,

解得0W〃W2.

5.（2025?重慶診斷）若危尸Q2msinxcosx,（0弓）存在極值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

解析由題意可知,尸eJ/Hsin2x,

/（x）=e-r-2,?/cos2x=0在（0,上有解,

MP2A?-—（0<x<l\

COS2x\2/

令g（D號（0<X<3，

則g'（x）WW詈泮多0，

則g（x）在（03）上單調(diào)遞增，

又當(dāng)x-0時,g(0)-l,

當(dāng)時,所以1＜2加

2°\27cos1cos1

1

所以子二三.

22cos1

6.（2025?河南五市聯(lián)考）己知函數(shù)/U）的導(dǎo)函數(shù)為八外,且./U）=-；/'（3）皿尸川）*-4乂則犬外的極值點(diǎn)

為（）

222

C.二或三D.;

222

答案D

解析由危尸?八3即rTU）產(chǎn)缶

可得r（x）=*X3）》/U）尸4,

將尸3代入整理得

4f（3）+21川）+14=0,①

將x=l代入心）二-"（3）ln叱/（1*-4不可得川）=-川）-4,

即川）=?2,

將其代入①，解得八3）二7,

故得/U）=-31nx+2r-4x.

則/（x）=-^+4x-4,

令人工）二0可得44或x=|,

因?yàn)樾模?,所以當(dāng)（）4＜|,八幻＜（）;

當(dāng)X*時,八力＞0,

則函數(shù)次幻在（0,|）上單調(diào)遞減，在（|,+8）上單調(diào)遞增，

即I是函數(shù)段）的極小值點(diǎn)，

函數(shù)/U）沒有極大值點(diǎn).

7.(2025?佛山調(diào)研)若函數(shù)/W=“In盧?蔡團(tuán)金。)既有極大值也有極小值,則下列結(jié)論一定正確的是

()

A.avOB.Z?<0

C.ab>~\D.a^b>0

答案B

解析函數(shù)共幻的定義域?yàn)?0,+0°),

“/、乜42bUA2-4X-2L?

因?yàn)楹瘮?shù)凡0既有極大值也有極小值,

所以函數(shù)八X)在(0,+8)上有兩個零點(diǎn),

因?yàn)?。?),所以方程加-4尸2"()有兩個不等的正實(shí)數(shù)根，沒為孫孫

/=(-4)2-4a(-2力)>0,

{%1%2=~~>0,

即ab>-2ya>0,b<0.

結(jié)合選項(xiàng)知選B.

8.(2025?榆林質(zhì)檢)己知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)M也,心且打令243,使得

/(Xl)=/(K2)=y(X3),則或X2)+旬(⑼的最大值為()

A.3e3-12B.3e3-20

C.5e5-12D.5e5-20

答案D

解析作出人幻的大致圖象如圖所示.

由題意知，存在實(shí)數(shù)XI,X2,X3且為＜X2〈X3,使得/Ul)yX2)=i/a3),

因?yàn)樯?=*+4]+5的圖象關(guān)于直線x=~2對稱.

所以11+工2=-4,

所以Xl/Ul)+x或X2)+X或X3尸(XI+X2+X3)/(X3)=(X3-4y(X3)=(X3-4)lnX3,

由圖可知，1勺(X3)W5,所以e<x-3^e5.

設(shè)g(x)=(尸4)lnX,x￡(e,e5],

則g'(x尸Inx+l-p

易知g。)在(e,回上單調(diào)遞增，

又g'(e)=2-&>0,

e

所以當(dāng)x￡(e,e5]04,g3>0,

所以g(x)在(e,e4上單調(diào)遞增，

所以^(x)max=g(e5)=(e5-4)lne5=5e5-20.

二、多選題

9.(2025?運(yùn)城調(diào)研)若4-2是函數(shù)/&)二(『+"-1戶」的極值點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的為()

A.a=~l

B：/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,1)

c.yu)的極小值為1

D?Y)的極大值為5e3

答案AD

解析由題可得/U)=er,斤+(〃+2)戶。-1],x￡R,

因?yàn)楣?-2是函數(shù)?￥)=(/+@￥-1)e*?的極值點(diǎn)，

所以八-2)=0,則4-2(。+2)+。-1=0,解得6/=-1,

故於)二(0尸1戶1

f(x)=&x,(x2+x-2)=(x-l)(x+2)ev

當(dāng)A<-2時,八方>0,段)單調(diào)遞增：

當(dāng)-2<r<l時，八x)<O,./U)單調(diào)遞減：

當(dāng)A>1時,/u)>o,yu)單調(diào)遞增，

故yw的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-2),(1,+8),

單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,1),故A正確，B錯誤；

由上可知，人幻的極大值為1-2)=5/,極小值為1故C錯誤,D正確.

1。.(2025?武漢調(diào)研)已知函數(shù)於戶-/+3/-2,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/x)在(-8,0),(2,+8)上單調(diào)遞增

B.x=2是函數(shù)/U)的極大值點(diǎn)

C.函數(shù)凡r)有3個零點(diǎn)

D.若函數(shù)人工)在區(qū)間(3〃-1,〃+3)上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,()]

答案BCD

解析對于A,/(x)=-3x2+6.r=-3X^-2),

當(dāng)x<0或x>2時J(x)<0,/U)單調(diào)遞減，

當(dāng)O<A-<2時,/v)>o,yu)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)於)在(-8,0),(2,+8)上單調(diào)遞減,故A錯誤；

對于B,由A知,x=2是函數(shù)J(x)的極大值點(diǎn),故B正確；

對于C,由A知,x=0是函數(shù)段)的極小值點(diǎn),且/⑵=-23+3義22-2=2>(),

/(0)=-03+3X02-2=-2<0,

所以小)在人e(0,2)上有1個零點(diǎn)，

又/(-1)=-(-1)3+3X(-1)2-2=2>0,

<3)=-33+3X32-2=-2<0,

所以兀0在工￡(-8,0),工￡(2,+8)上各有1個零點(diǎn)，

所以函數(shù)/U)有3個零點(diǎn),故C正確：

對于D,要使函數(shù)/U)在區(qū)間(3〃-1,〃+3)上存在最小值，

3a-1<0<a4-3,

則滿足b(0)〈f(Q+3),

-3<Q</

即

—(a+3/+3(a+3)2—22—2,

解得-3＜aW0,故D正確.

11.（2025?濟(jì)南聯(lián)考）已知函數(shù)TUAeYsinx+cosx）在區(qū)間（-2兀,0）內(nèi)TT兩個極值點(diǎn)孫也,且x\＜X2,則

（）

A.|xi-X2|=7t

B：/U）在區(qū)間（孫⑼上單調(diào)遞減

C?n）t/U2）＞0

D.|/UD*）I＜1

答案BD

解析對于A,由題意知函數(shù)/W=e'（sin?在區(qū)間（-2兀,0）內(nèi)有兩個極值點(diǎn)R,也，

則八x）=2e（osx=（）有兩個實(shí)數(shù)根孫必

令cosx=0,X￡（-2兀，0）,

-改fakXl=-3y11,^2=--TT,

當(dāng)一2兀＜_￥＜一到時，八x）＞（）,

2

當(dāng)號時ja）〈o,

當(dāng)-卜〈0時

即犬尸-9為//）在（-2兀,0）內(nèi)的極大值點(diǎn),X2=q為危）在（-2兀0）內(nèi)的極小值點(diǎn)，

所以比+工2|=2兀,故A錯誤；

對于B,當(dāng)（-第一與時J（x）＜0,

所以/U）在區(qū)間（》,X2）上單調(diào)遞減,故B正確：

對于C,7（xi）=e~-sin（一為+cos（-詈）卜e=,/（x2）=e-5sin（-1）+cos卜-e"

3717T

又產(chǎn)e?1是R上的增函數(shù)，故e—3＜e一萬，

3Ttn

pJr^A^?)tA^)=e_T-e-<0,故C錯誤；

3n_JT_TC_n2

對于D,|/UDW2)|=e=+e—5<eFe—5=F

e2

因?yàn)?gt;1,所以e%e,所以W<—1,

2e2e

故二/"2)|<1,故D正確.

三、填空題

12.已知函數(shù)?r)=x(ln廠辦)在(0：+8)上有兩個極值,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

答案(0.0

解析fM=\nx+\-2axf

由題意知In廿1-2&r=0在(0,+8)上有兩個不相等的實(shí)根,則2〃二手，

設(shè)g⑴二手,則以上-詈

當(dāng)()<工<1時,g'(x)>o,ga)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>\時,g'a)<(),g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)的極大值為^(1)=1,

又當(dāng)Q1時,g(X)>0,

當(dāng)了一+8時,g(x)-0,

當(dāng)L0時,g(x)-—8,

所以0<2〃<1,即0<6z<1.

13.甲、乙兩地相距240km,汽車從甲地以速度u(km/h)勻速行駛到乙地.已知汽車每小時的運(yùn)輸成

本由固定成木和可變成木組成，固定成本為160元，可?變成本為國元二為使全程運(yùn)輸成木最小，汽車

6400

應(yīng)以km/h的速度行駛.

答案80

解析設(shè)全程運(yùn)輸成本為)，元，由題意，得

產(chǎn)詈(160+焉)=24。(詈+蕓),v>0,

i(-詈+就.

令廣0,得v=80.

當(dāng)v>80時,y>0;當(dāng)0<v<80時,yV).

所以函數(shù)廣￥(160+急)在(0,80)上單調(diào)遞減,在(80,+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)v=8()時,全程運(yùn)輸成本最小.

14.(2024?廣州模擬)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)及戶一+辦2+公+/在m處取得極值10,則/(T戶.

答案30

解析因?yàn)閒ix)=^+a^+bx+a2,

所以人1)二3『+2G+4

因?yàn)楹瘮?shù)段)4+加+法+/在下］處取得極值10,

所以=3+2a+b=0,

1/(1)=1+a+b+必=io,

解得真『'或｛W

當(dāng)a=-3,b=3時，八jv)=3f-6x+3=3(xT)220,且八1)不恒為0,

此吐函數(shù)./W在(-8,+8)上單調(diào)遞增,函數(shù)段)無極值,不符合題意:

當(dāng)a=4fb=~\\時,人只二/+4/-1lx+16,

/(x)=3f+8『ll=(x-l)(3x+11),

由八x)=0可得產(chǎn)1或x=~^,

Xyf(X),fiX)的關(guān)系如表所示.

11

X(一%引