專題1.2常用邏輯用語(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型I充分條件與必要條件的判斷】.................................................................3

【題型2根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)】............................................................4

【題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】.......................................................5

【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】.......................................................6

【題型5根據(jù)命題的真假求參數(shù)】.....................................................................7

【題型6常用邏輯用語與集合綜合】...................................................................9

1、常用邏輯用語

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

常用邏輯用語是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，

從近幾年高考情況來看，常用邏輯用語

(1)必要條件、充分條件、2022年天津卷：第2題，5分

較少單獨(dú)命題考查，偶爾以已知條件的

充要條件2023年新高考I卷：第7題，

形式出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中，難度不

(2)全稱量詞與存在量詞5分

大.重點(diǎn)關(guān)注以下兩點(diǎn)：①集合與充分、

(3)全稱量詞命題與存在2024年新課標(biāo)H卷：第2題，

必要條件相結(jié)合的問題的求解；②命題

量詞命題的否定5分

的否定和全稱量詞命題與存在量詞命題

的真假判斷.

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1常用邏輯用語

1.充分條件與必要條件

命題真假“若P，則q”是真命題”若P，則4”是假命題

由條件〃不能推出結(jié)論小

推出關(guān)系及由〃通過推理可得出外

符號(hào)表示記作：p=q記作：p#q

p是q的充分條件〃不是夕的充a條件

條件關(guān)系

g是p的必要條件夕不是〃的必要條件

一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.

數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.

2.充要條件

如果“若p,則和它的逆命題“若夕，則均是真命題，即既有夕=外乂有q=p,記作〃oc/.此時(shí)p

既是q的充分條件，也是q的必要條件.我們說〃是q的充分必要條件，簡稱為充要條件.

如果p是夕的充要條件，那么夕也是p的充要條件，即如果pog,那么p與g互為充要條件.

3.全稱量詞與全稱量詞命題

全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給

符號(hào)V

全稱量詞

含有全稱量詞的命題

命題

“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立“，可用符號(hào)簡記為

形式

4.存在量詞與存在量詞命題

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的

符號(hào)表示3

存在量詞

含有存在量詞的命題

命題

“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立"可用符號(hào)簡記為

形式

"□.x-e,w,p(xr

5.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

(1)全稱量詞命題p：VxGM,p(x)的否定：Bx^M,「p(x)；全稱量詞命題的否定是衣在量逅I命題.

(2)存在量詞命題p：p(x)的否定：VAGM,」p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

【方法技巧與總結(jié)】

1.從集合與集合之間的關(guān)系上看充分、必要條件

設(shè),4={x|p(x)},5={x|g(x)}.

(1)若力則〃是g的充金條件(〃=>q)，夕是〃的必要條件：若力B,則〃是q的充分丕必要條件,

q是p的必要不充分條件,即〃nq且q4p：

⑵若則〃是q的必要條件，g是p的充分條件：

(3)若力=4,則〃與夕互為充要條件.

2.全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

（1）要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合A1中的每一個(gè)元素x證明其成立；要判斷全稱量詞

命題為假命題，只要能舉出集合〃中的一個(gè)xo,使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個(gè)反例.

（2）要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)xo使之成立即可，否則這個(gè)存在量

詞命題就是假命題.

舉一反三

【題型1充分條件與必要條件的判斷】

【例1】（2025?天津?yàn)I海新?三模）已知a、bWR,則“aLb”是a2Hb2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】求出a2Hb2的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【解答過程】由a2Hb2可得。工。且a/—b,

因?yàn)椤癚**b且ab”,七豐b"u“a*b且ab”,

因此，“a*b”是“出豐房”的必要不充分條件

故選：B.

【變式1-1］（2025?陜西渭南?三模）設(shè)￡R,則“孫>0”是比2+y2>?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合特殊值法即又判斷.

【解答過程】由孫>0可知x>0,y>0或xVO,y<0,此時(shí)％2+y2>（）,

即%y>0"="％2+,2>0，，；

但當(dāng)％2+y2>0時(shí)，取無=1,y=0,此時(shí)孫=0,

即什2+y2>0">0”，

綜上所述，“孫>0”是+/>0”的充分不必要條件.

故選：A.

【變式1?2】（2025,河南?模擬預(yù)測）己知集合4={%|3a>-2W0},則使得“1WA且2￡A”成立的一個(gè)充

分不必要條件是（）

12121

A.-<a<-B.a<0C.~<n<-D.（1~>-

33333

【解題思路】當(dāng)1W4且2c力時(shí)求出Q的取值范圍，然后根據(jù)充分不必要條件的定義可求出答案.

【解答過程】由題可知1"且2c4=像二打；，解得gvaq,

所以使得“1€4且2c4”成立的一個(gè)充分不必要條件是集合{a￡<a4：}的一個(gè)真子集,

因?yàn)橹挥羞x項(xiàng)A中的{a*<aV|}是{*V0工|}的真子集，

故選：A.

【變式1-3]（2025?天津河?xùn)|?二模）已知XWR,命題p：爐工1,命題/團(tuán)H1,則〃是夕的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分乂不必要條件

（解題思路】由命題間的必要不充分條件判斷即可.

【解答過程】命題p：%3不1即工/1,

命題q：|x|豐1即%:#±1,

所以命題q能推出命題p,而命題p不能推出命題q,

所以〃是q的必要不充分條件.

故選：C.

【題型2根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)】

[例2]（2025?吉林延邊?一模）若的充分不必要條件是“0<x<1"，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.?n<0B.TH<0C.in>0D.m>0

【解題思路】根據(jù)充分不必要條件的判斷即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解答過程】Ftl"%>?n"的充分不必要條件是"0<x<1",

得卜[0<x<l}c{x\x>m],但"10<x<l}^{x\x>m},

所以m<0.

故選：B.

【變式2-1]（2025?山東濟(jì)南?二模）已知力=（川1VuV2},B={%|%Va},若€A”是“x￡B”的充分不必

要條件，則a的取值范闈是（）

A.a<1B.a>1C.a<2D.a>2

【解題思路】利用充分不必要條件求參數(shù)，得到力G兒即可求解.

【解答過程】因?yàn)榇餎A”是“%€8”的充分不必要條件,所以4cB,所以a>2.

故選：D.

【變式2?2】（2025?山東泰安,模擬預(yù)測）已知p：x>a,q：|x+2a|<3,且p是q的必要不充分條件，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(—8,—1|B.(—8,-1)C.[1>4-oo)D.(1,+oo)

【解題思路】利用絕對(duì)值不等式的解法化簡q:-2a-3Vx<-2。+3,再由充分條件與必要條件的定義，

結(jié)合集合的包含關(guān)系列不等式求解即可.

【解答過程】因?yàn)閝：|x+2a|<3,

所以q:-2a—3<%<—2a+3>

記乂=(x\—2a—3<x<—2a+3)；

p:x>af記為8={%|%Na}.

因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以為$8,

所以a<—2a—3,解得a<—1.

故選：A.

【變式2-3](2025,江西萍鄉(xiāng)?二模)集合4=3-1<%<2},8={萬一2<X<叫，若％eB的充分條件

是x64則實(shí)數(shù)〃[的取值范圍是()

A.(-1,2)B.[2,+oc)C.(-2,2]D.(2,+8)

【解題思路】根據(jù)題意人是8的子集，從而求解.

【解答過程】/I={x|-1<x<2},F={x|-2<%<m],

因?yàn)椋?8的充分條件是“€4所以4G8,

則m>2,

故選：B.

【題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】

【例3】(2025?河北唐山?一模)已知命題p:V%€R,%2>0：命題q:mx>OJnxV0.則()

A.p和q都是真命題

B.p是假命題，q是真命題

C.p是真命題，q是假命題

D.p和q都是假命題

【解題思路】對(duì)于判斷全稱命題為假只需要舉反例；對(duì)「判斷特稱命題為真只需要舉例說明.

【解答過程】對(duì)于命題p：VxeR*2>0,因?yàn)楫?dāng)無=0時(shí)，X2=0,故命題p是假命題：

對(duì)于命題q：>O,lnx<0,當(dāng)％3時(shí)，ln^=-1<0,故命題q是真命題.

故選：B.

【變式3-1]（2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測）已知命題p:Vx€R,II-萬41,命題q:兒>0,%2=%,則（）

A.p和q都是真命題B.」p和q都是真命題

C.p和-?q都是真命題D.-1P和1q都是真命題

【解題思路】判斷出p、q的真假，即可得出結(jié)論.

【解答過程】對(duì)于命題P，不妨取x=3,則|1-3|>1,則命題p為假命題，

對(duì)于命題q,由=無可得%=0或％=1,則命題q為真命題，

因此，「p和q都是真命題.

故選：B.

【變式3-2]（2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測）已知命題p:Vx￡R,|1-x|<1,命題q:三%>0,d=%,則（）

A.p和q都是真命題B.」p和q都是真命題

C.p和都是真命題D.「p和「q都是真命題

【解題思路】判斷出p、q的真假，即可得出結(jié)論.

【解答過程】對(duì)于命題p,不妨取x=3,則則命題p為假命題，

對(duì)于命題q,由32=%可得%=0或％=I,則命題q為真命題，

因此，「p和q都是真命題.

故選：B.

【變式3-3]（2025?遼寧遼陽?二模）已知命題p:VxERN#+1>%,命題q:三3>0,返>/,則（）

A.p和q都是真命題B.-1P和q都是真命題

C.p和「q都是真命題D.「p和」q都是真命題

【解題思路】利用荷舊判斷命題p的真假，舉例說明，令％=今可判斷命題q的真假性.

【解答過程】由7^中>必=田之心得p是真命題，「p是假命題；

當(dāng)人=決寸，返=日,》2=：,則三]>0,〃>，，貝必是真命題，->q是假命題.

綜上，p和q都是真命題.

故選：A.

【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】

【例4】（2025貴州黔東南三模）命題“以￡氏工+閉工0”的否定是（）

A.BxeR,x+\x\>0B.3xR,x+|x|<0

C.VxeR,x+|x|<0D.3xeR,x+|x|<0

【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題求解.

【解答過程】由全稱量詞命題的否定可知，

命題以eR,%+|x|>0的否定是北eR,%+|x|<0,

故選：D.

【變式4?1】(2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測)命題(0,2),2%-必之$皿一)”的否定是()

A.Vx0(0,2),2X-X2>sin(y)B.VxG(0,2),2x-x2<sin(y)

C.3x€(0,2),2x-x2<sir(y)D.3%^(0,2),2x-/zsin(藪)

【解題思路】根據(jù)全稱量同命題否定的規(guī)律，改變量詞否定結(jié)論，找出結(jié)果.

【解答過程】易得全稱量詞命題(0,2),2工一％2之4]](?)"的否定是存在量詞命題與工￡(0.2),2x

X2<Sin(y)?

故選:c.

【變式4-2](2025?云南?模擬預(yù)測)命題“VxW/?,/+%-520”的否定是()

2

A.VxG/?,X+X-5<0B.3X06R,XQ+x0-5<0

2

C.Vxx4-x-5<0D.3x0R,%§+x0—5<0

【解題思路】根據(jù)題意，由全稱令題的否定是特稱命題即可得到結(jié)果.

2

【解答過程】命題“Dx￡R,x+x-5>0”的否定是叼X?！闞.君+x0-5<0”.

故選：B.

【變式4-3](2025?湖南邵陽?二模)命題”〃>1,眇-2>0”的否定為()

A.Vx<1,ex-2>0B.Vx>1,ex-2<0

C.3x<l,ex-2>0D.3x>1,ex-2<0

【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的否定是特稱量詞，改量詞否定結(jié)論即可.

【解答過程】命題"%>[，^-2>0”是全稱量詞命題，其否定是特稱量詞，改量詞否定結(jié)論.

所以命題e"-2>0”的否定為>1,ex-2<0M.

故選：D.

【題型5根據(jù)命題的真假求參數(shù)】

【例5】(2025?河北?模擬預(yù)測)若命題TxeR,x2+2x+a<0”為真命題，則。的取值范圍是()

A.(—8,1]B.(—8,1)C.(—8,0]D.(—8,0)

【解題思路】根據(jù)存在性命題真假性可得ANO,運(yùn)算求解即可.

【解答過程】若命題6R,x2+2x+a<0”為真命題，

則A=4-4aNO,解得QW1,

所以a的取值范圍是（一co,l].

故選：A.

【變式5-1]（24-25高三下?江蘇蘇州?開學(xué)考試）若命題“VxER,必一2。工+6Q>0”是假命題，則。的取

值范圍是（）

A.（0,6）B.（—co,0）U（6,+oo）

C.[0,6]D.（-8,0]U[6,+8）

【解題思路】由題意可知命題的否定為真命題，由判別式得到不等式，解得a的取值范圍》

【解答過程】命題，％WR,%2-2w+6a>0”是假命題,

貝ij三xWR,x2—2ux+6u<0是其命題，

：.L=4a2-24a>0,

解得：a>6或a<0,

即a的范圍是（一8,0]u[6,+co）.

故選：D.

【變式5-2]（25-26高一上?全國?單元測試）已知命題三勺G{x|-1<x<1},一癮+3%（）+Q>0”為真命

題，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（）

A.{a\a<-2}B.{a\a<4}C.（a\a>-2}D.{a\a>4}

【解題思路】根據(jù)命題是真命題的意思求解即可.

【解答過程】因?yàn)槊}F/e{x|-l<x<l）,-xl+3x0+a>0”為真命題，

所以命題叼孫G[x\-l<x<l）,a>XQ-3%o”為真命題,

所以%。W{%|-1W%W1}時(shí)，a>（焉一3x0）m.n.

2

因?yàn)閥=/-3%=G一|）_2,

所以當(dāng)％W{萬一1W%W1}時(shí)，y?in=-2,此時(shí)％=1.

所以%0￡3-1WxW1}時(shí)，Q>（就一3%o）min=-2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是>一2}.

故選：C.

【變式5?3】（24-25高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知命題p:Vz￡{x|lWxW2},都有好一。20,命題q：

存在&6/?,扉+2ax（）+2—a=。，若p與q不全為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（〉

A.{a\a<—2}B.{a\a<1}

C.{a|a4-2或。=1}D.{a|-2VaV1或a>1}

【解題思路】求得p為真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍；q為真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍；進(jìn)而可得p與q全為真命

題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答過程】若P為真命題,則a￡（，）min，又上€{劉1/義工2},所以（，）min=l，所以

若q為真命題，則g+2QX（）+2-Q=0有解，所以A=（2a）2一4x1x（2-a）20,

解得Q>1或a<-2,

所以p與q全為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a工一2或。=1）,

所以p與q不全為真命題，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是{a|-2Va<1或a>1}.

故選：D.

【題型6常用邏輯用語與集合綜合】

【例6】（2025?廣東茂名?二模）設(shè)集合力=W-5%+6V0},8={x|x>-2},則x￡4是％W8的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)已知條件，推得A是B的真子集，即可判斷.

【解答過程】???集合4=區(qū)-5%+6V0},B={x\x>-2},

：.A=\x\x>g},B={x\x>—2},

??"是8的真子集，

?,?x64是％eB的充分不必要條件.

故選：A.

【變式6-1]（2025?甘肅蘭州?一模）已知集合8={-1,0,1},8={1,2,3},以下判斷正確的是（）

A.%€4是％€8的充分條件B.X€4CB是x68的既不充分也不必要條件

C.無EA是XEAU8的必要條件D.%￡71~6是工￡{1}的充要條件

【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，以及集合的交集與并集的意義可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【解答過程】對(duì)于A,當(dāng)％=-1時(shí)，成立，XW8不成立，所以％WA不是％W8的充分條件，故A錯(cuò)

誤；

對(duì)于B,因?yàn)?={-1,0,1},8={1,2,3},所以4nB={1},

因?yàn)樗詘=l,所以氏所以是B的充分條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?={-1,0,1},B={1,2,3},所以HUB={-1,0,1,2,3},當(dāng)％=2時(shí)，

XEAU8成立，但％E4不成立，所以％WA不是“WAU8的必要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)榱Π?={1},xEACiB,所以％=1,所以工￡{1},所以是工€{1}的充分條件，

由XE{1},可得％=1,所以％wanB,所以xwAn8是％w{1}的必要條件，

所以xw/nB是xe{l}的充要條件，故D正確.

故選：D.

【變式6-2]（24-25高一上?甘肅甘南期末）已知集合。={川。+14無<2Q+1},Q={x\-2<x<S].

⑴若a=4,求（CRP）AQ；

（2）若七GP”是“％GQ”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范制

【解題思路】（1）當(dāng)Q=4時(shí)，求出集合P,利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合（（：/）口（?；

（2）分析可知P是Q的真子集，分P=0、PH0兩種情況討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不

等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】（1）當(dāng)a=4時(shí)。，集合P={x|54無49},可得CRP={X|X<5或%>9},

因?yàn)镼=M-2<x<5],所以（CRP）nQ={x\-2<x<5].

（2）若“％€P”是“%€Q”的充分不必要條件，所以P是Q的真子集,

當(dāng)a+l>2a+l時(shí)，即a<0時(shí).此時(shí)尸=0,滿足P是Q的真子集；

（2a4-1>a+1

當(dāng)PO0時(shí)，則滿足|2a+1<5，解得0WQW2,

（a+1>-2

當(dāng)a=0時(shí)，P={1},此時(shí)P是Q的真子集，合乎題意；

當(dāng)a=2時(shí)，P={x|3<x<5},此時(shí)P是Q的真子集，合乎題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|aW2}.

【變式6-3]（24-25高一上?福建度門?階段練習(xí)）設(shè)全集U=R,集合力={RlWxW5},集合8={%]-1一

2a<x<a-2].

（1）若“xG4”是"G8”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若命題則XW/T是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】（1）將充分條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，利用子集的定義即可列出不等式求解.

（2）將真命題轉(zhuǎn)化成B是A的子集，然后分情況討論集合8為空集和非空集合，即可求解.

【解答過程】（1）由題意可知：集合A是集合8的真子集，

因此已一乳曾或「1一乳管，解得—7,

（a—25（a—2>5

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a[a>7）.

（2）若命題“V%WB,則4WA”是真命題,則有8￡4

當(dāng)5=0時(shí)，—1—2Q>Q—2,解得a<；?3，符合題意，因此aV；J：

當(dāng)BH。時(shí)，而4={x|l<x<5}.B={x\—1-2a<x<a-2],

則1工一1-2QWQ-2W5,無解，

所以“VxEB,則4”是真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍QV/

那B,則xw4”是假命題時(shí)，azg.

過關(guān)測試

一、單選題

1.（2025?遼寧?三模）"a>b”是七2>川”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解題思路】舉反例a=-Lb=-2和a=-2,b=-1可得出.

【解答過程】若a=-l,b=-2,則滿足a>b,但不滿足。2>力2,故無法得到次>反；

若。=一2,力=一1,則滿足次>一,但不滿足a>力，故a?>反無法得到。>6，

故"a>/是“a?>川”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

2.（2025?天津和平?三模）命題TxEN,/>i”的否定是（）

A.VxWN,x2<1B.VxGN,x2<1

C.VxWN,x2<1D.VxGN,x2<1

【解題思路】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題即可求解.

2M

【解答過程】命題叼xWN,爐>1”的否定是“v%N,x<lf

故選：D.

3.（2025?上海靜安?模擬預(yù)測）“一2工0工2”是“忱+2|+優(yōu)-2|-4"的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【住題思路】分類討論求解反I2|I|x2|<4,即可判斷.

【解答過程】當(dāng)%>2時(shí)，|x+2|+|x-2|=x+2+x-2<4=>x<2,不成立；

當(dāng)2時(shí)，|%+2|+|%—2|=-%—2—%+2W4=%之一2,不成立；

當(dāng)一2WxW2時(shí)，|%+2|+忱-2|="+2+2-x=444,成立；

所以“一2W%W2”是“反+2|4-\x-2\<4”的充要條件.

故選：C.

4.（2025?甘肅?模擬預(yù)測）若命題p:V%>1,%2-3%+2>0,則（）

A.p是真命題，且-?p:>Lx2-3%+2W0

B.p是真命題，且->p:三%W1,%2—3x+2W0

C.p是假命題，且1,%2-3x+2W0

D.p是假命題，且「pTxWl/Z-Sx+ZWO

【解題思路】由命題的否定的定義以及命題真假性的定義即可求解?.

【解答過程】當(dāng)％=：時(shí)，x2-3x+2=-^<0,

所以p是假命題，且-?p：mx>l,%2-3X+2W0.

故選：C.

5.（2025?吉林?模擬預(yù)測）已知命題p:V%WR,團(tuán)>0,命題qFx>0,x3=x,則（）

A.p和q都是真命題B.p和->q都是真命題

C.-）p和q都是真命題D.ip和iq都是真命題

【解題思路】舉出反例證明p為假命題，所以「p為真：找出實(shí)例證明q為真命題，所以「q為假：由此即可求

解.

【解答過程】對(duì)于命題p，x=0時(shí)，團(tuán)=0,

所以p:Vx￡R,|x|>0為假命題，「p為真命題，

對(duì)于命題q,x3=x,解得％=0,x=-1或x=1>0,

所以q：m%>0,x2=x,為真命題，iq為假命題，

所以-Ip和q都是真命題.

故選：C.

6.（2025?重慶?模擬預(yù)測）若4是8的充分不必要條件，8是C的充要條件，。是。的必要不充分條件，

則4是。的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)充分不必要條件，充要條件，必要不充分條件，既不充分也不必要條件定義判斷即可;

【解答過程】若力是4的充分不必要條件，4是C的充要條件，。是。的必要不充分條件，

則,4是。的既不充分也不必要條件.

故選：D.

7.(2025?湖北宜昌?二模)已知命題p:V%€R,II-汨41,命題qTx>0,%2>2X,則()

A.p和q都是真命題B.-ip和q都是真命題

C.p和-iq都是真命題D.-ip和->q都是真命題

【解題思路】利用特值法即可判斷兩個(gè)命題的真假，從而得到答案.

【解答過程】對(duì)于命題P，不妨取》=3,則則命題p為假命題，

對(duì)于命題q,不妨取x=3,由9)8,則命題q為真命題，因此，和q都是真命題.

故選：D.

8.(2025?云南?模擬預(yù)測)已知命題：石％6(0,+?)),2產(chǎn)一歐+1v0”為假命題，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍

是()

A.(-oo,2V2]B.(-8,2]

C.(-a),l]D.(一嗎

【解題思路】根據(jù)原命題為假命題得出其否定為真命題，再將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，最后利用基

本不等式求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】已知命題飛”6(0,+8),2%2一。％+1<0，，為假命題，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，

可知其否定“Vxe(0,+8),2必一以+120”為真命題.

由2工2—ax+1>0,xE(0,4-oo),移項(xiàng)可得QX<2x24-1,

因?yàn)椋?gt;0,兩邊同時(shí)除以％,得到aW2x+：在(0,+8)1二恒成立.

在2無+工中，因?yàn)闊o>0,所以2A?和L都是正實(shí)數(shù)，WO2x+->2l2x--=2V2f

xxxy]x

當(dāng)且僅當(dāng)2X=L即無=4時(shí)等號(hào)成立.

x2

因?yàn)镼<2%+：在(0,+8)上恒成立，所以a要小于等于+：的最小值2企，

即aW2衣，所以實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(一oo,2&].

實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(—8,2加].

故選：A.

二、多選題

9.（24-25高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.-->是“a<b”的充分不必要條件

ab

B.4n8=0.是4=。的必要不充分條件

C.若Q,b,cen,則“QC?>阮2”的充要條件是“a>b”

D.若a,bWR,則叱+b2H0，，是“⑷+依中0”的充要條件

【解題思路】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可得解.

【解答過程】A選項(xiàng)：當(dāng)Q=2,b=—2時(shí)，滿足3但是不能推出a<b；

反之當(dāng)。=-2,b=2時(shí)，滿足Q<b,但是不能推a出b所以兩者既不充分也不必要，故A錯(cuò)誤：

B選項(xiàng)：當(dāng)力={1},B=⑵,月Ci8=0,但是不能推出4=0

當(dāng)力=00寸，4n8=0,故B正確；

C選項(xiàng)：當(dāng)c=0時(shí)，不能由a>力推出川2>兒2,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：a2+b20等價(jià)于aH0,b00等價(jià)于|a|+|b|H0,故D正確；

故選：BD.

10.（2025?重慶?三模）命題”存在”>0,使得血/+2%一1>0，，為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.m>-2B.m>-1C.m>0D.m>1

【解題思路】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為存在％>0,設(shè)定血>手，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得上W的最小值為-1,

求得m的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義和選項(xiàng)，即可求解.

【解答過程】由題意，存在％>0，使得mx2+2x-l>0,即犯>子=（?2-2x：=（：-1）2-1,

當(dāng)工一1=0時(shí)，即x=l時(shí)，上裝的最小值為一1,故巾>一1；

XX4

所以命題“存在”>0,使得m%2+2%-1>0”為真命題的充分不必要條件是{m|m>-1}的真子集，

結(jié)合選項(xiàng)可得，C和D項(xiàng)符合條件.

故選：CD.

11.（2025?貴州安順?模擬預(yù)測）已知集合A={ad},、={x|l<x<4},若“xeA”是“%eB”的充分條件,

則實(shí)數(shù)Q的取值可以是（）

A.1B.V2C.2D.4

【解題思路】根據(jù)充分條件得到集合與集合關(guān)系，并注意集合中元素的互異性即可得到不等式組，解出即

可.

fl<a<4

【解答過程】由題意得1<a2<4,解得1<a42,則BC符合題意.

（aH/

故選：BC.

三、填空題

12.（2025?四川成都?模擬預(yù)測）已知命題p:V%ER,2X>1,則”是_力。€兄2出41、.

【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的否定要求即得.

【解答過程】［t|p：VxGR,2*>1可得：->9與％0￡區(qū)2乂。工1.

x

故答案為:3x0eRt2^<1.

13.（2025?河北石家莊?三模）若命題p：Vx>0,X2-7X+6<0,則命題"的否定為三%>0,/-77+6>

【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題否定的方法：改量伺，否結(jié)論，可得答案.

【解答過程】命題p：Vx>0,必一7%+6W0的否定為：3x>0,X2-7X+6>0,

故答案為：Sx>0,—lx+6>0.

14.（2025?西藏拉薩?一模）已知命題：m?一1=（m+小2）%，，為真命題，則m的取值為「L.

【解題思路】由命題為真命題可知等式恒成立，進(jìn)而列方程，解方程即可.

【解答過程】因?yàn)槊}：“WrWR，77?-1=（m+m，）%，，為真命題，

即等式m2-1=（m+血2沈恒成立，

2

R|J（m-l=0

\m+?n2=0

解得m=-1,

故答案為：一1.

四、解答題

15.（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）寫出下列命題p的否定，判斷真假并說明理由.

（l）p:3%GR,x2=-1：

（2）p：不論TH取何實(shí)數(shù)，關(guān)于X的方程加2%2+%-1=0必有實(shí)數(shù)根：

（3）p：有的平行四邊形的對(duì)角線相等；

（4）p：有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù).

【解題思路】先求山命題的否定，再判斷真假即可.

【解答過程】(1)因?yàn)閜：三%€R,%2=-1,所以-ip：V%￡R,%2戶一1.

顯然當(dāng)％￡R時(shí)，x2>0,x2^-1,所以命題p為假命題，p的否定為真命題.

(2)因?yàn)閜：不論m取何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程血2必+工一1=0必有實(shí)數(shù)根，所以」p：存在實(shí)數(shù)m,關(guān)于工

的方程Tn?/+x-l=O沒有實(shí)數(shù)根.

當(dāng)執(zhí)=0時(shí)，方程％-1=0有實(shí)根；當(dāng)mH0時(shí)，，方程Tnz%?+%-1=o的判別式&=1+47n2>o,故命

題&為真命題，命題P的否定為假命題.

(3)因?yàn)閜：有的平行四邊形的對(duì)角線相等，所以「p：所有平行四邊形的對(duì)角線都不相等.命題p是真命題,

命題p的否定是假命題.

(4)因?yàn)閜：有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，所以」p：所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù).命題p為真命題，命題p

的否定是假命題.

16.(24-25高一上?四川綿陽?階段練習(xí))設(shè)p:實(shí)數(shù)%滿足X2-2ax-3a2<0(a>0),q：實(shí)數(shù)a?滿足0<0.

⑴若Q=l,且p,q都為其向潞，求”的取值范圍；

(2)若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解題思路】(1)分別解出不等式，求出兩個(gè)命題的范圍，求交集即可.

(2)根據(jù)充分不必要條件與集合的關(guān)系，可知q所代表的范圍是p所代表的范圍的真子集，列出不等式組，進(jìn)

而即得.

【解答過程】(1)Q=1時(shí)，X2-2X-3<0,-1<x<3,

即p:-1VxV3,

由q得(％-4)(%-2)<0,解得2<%<4又q:2<x<4,

而p，q都為真命題，所以2Vx<3；

(2)a>0,x2—2ax—3a2<0<=>—a<x<