專題2.3幕函數(shù)與二次函數(shù)(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1幕函數(shù)的定義】................................................................................2

【題型2比較幕值的大小】.............................................................................3

【題型3鼎函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用】....................................................................5

【題型4累函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.............................................................8

【題型5求二次函數(shù)的值域或最值】...................................................................10

【題型6二次函數(shù)的圖象問題】........................................................................11

【題型7二次函數(shù)的單調(diào)性問題】......................................................................14

【題型8二次函數(shù)的恒成立問題】......................................................................16

1、塞函數(shù)與二次函數(shù)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

導(dǎo)函數(shù)與二次函數(shù)是常見的重要函

數(shù)，在歷年的高考中都占據(jù)著重要的地

(1)了解累函數(shù)的定義，掌位，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年

握累函數(shù)的圖象與性質(zhì)的高考形勢來看，黑函數(shù)較少單獨(dú)考查，

2020年江蘇卷：第7題，5分

⑵熟練掌握二次函數(shù)的常與指、對數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，包括比較

2024年天津卷：第2題，5分

圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對指對塞的大小、解不等式等考法，主要

稱性與最值等)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，難度較易；

二次函數(shù)常與其他知識相結(jié)合，考查二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

知識梳理

知識點(diǎn)1鬲函數(shù)的解題技巧

1.寒函數(shù)的解析式

鼎函數(shù)的形式是》=x〃(a￡R),其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需二±條件即可確定其解析式.

2.塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)

在區(qū)間(0,1)上，制函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+a)上，事函數(shù)

中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

3.比較嘉值的大小

在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較,準(zhǔn)確掌握各個(gè)幕

函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

知識點(diǎn)2二次函數(shù)的解題技巧

1.二次函數(shù)解析式的求法

（I）一般式法:己知三點(diǎn)坐標(biāo)，選用一般式.

（2）頂點(diǎn)式法:已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸或最大（小）值，選用頂點(diǎn)式.

（3）零點(diǎn)式法:己知與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，選用零點(diǎn)式.

2.二次函數(shù)的圖象問題

C）研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析,“三點(diǎn)”口有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于

對稱軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與X軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線：“一開口”是指拋物線的開口方向.

（2）求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.

3.二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和口點(diǎn)，一軸指

的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

4.二次函數(shù)的恒成立問題

不等式恒成立求參數(shù)范闈，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)：二是不分離參數(shù),直接借助于函數(shù)圖象

求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

舉一反三

【題型1幕函數(shù)的定義】

【例1】（25-26高一上?全國?課后作業(yè)）下列函數(shù)中，屬于尋函數(shù)的是（）

A.y=（2x）2B.y=返C.y=—D.y=2X

【答案】B

【解題思路】由事函數(shù)的定義即可求解.

【解答過程】形如y=%a（。為常數(shù)且a￡R）為累函數(shù)，要求底數(shù)為變量且系數(shù)為1,

對比選項(xiàng)僅有B：y二代二/符合要求.

故選：B.

【變式1-1]（2025高三?全國?專題練習(xí)）下列函數(shù)既是箱函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）

A.y=x3B.y=x2C.y=x3+1D.y=y/x

【答案】A

【解題思路】結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及基函數(shù)的定義與性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.

【解答過程】根據(jù)易函數(shù)的定義可知：y=%3為某函數(shù)，

且定義域?yàn)镽,滿足/?(-%)=(-%)3=-爐=-/(不)為奇函數(shù)，故A正確；

y=d為偶函數(shù)故排除B選項(xiàng)；

令00)=爐+1,.?.g(_x)=一爐+1。g(x)H-g(x),所以為非奇非偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；

、二返的定義域?yàn)閇0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以y=?為豐奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，

故選：A.

【變式1-2](24-25高一上?全國?課后作業(yè))在函數(shù)y=%一?，y=2x2,y=(%4-I)2,y=3%中，哥函數(shù)的

個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解題思路】利用軾函數(shù)定義直接判斷作答.

【解答過程】函數(shù)y=『2是幕函數(shù)，

函數(shù)y=2d,y=(工+1)2都是二次函數(shù)，函數(shù)y=3x是一次函數(shù)，它們都不是密函數(shù)，

所以所給函數(shù)中幕函數(shù)的個(gè)數(shù)是I.

故選:B.

【變式1-3](24-25高一上?上海?期中)下列函數(shù)是塞函數(shù)旦在(0,+8)上是減函數(shù)的是()

1_2

A.y=x2B.y=X3C.y=2%"1D.y=x~

【答案】D

【解題思路】利用恭函數(shù)的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【解答過程】對于AB,y=%2與曠=/都是塞函數(shù)，在(o,+8)上都單調(diào)遞增，AB不是；

對于C,函數(shù)y=不是幕函數(shù)，C不是；

對于D,函數(shù)曠=%一?是靠函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，D是.

故選:D.

【題型2比較鬲值的大小】

【例2】(24?25高一上?安徽安慶?階段練習(xí))已知a=2%b=O.402,c=0.1501,則a,b,c的大小關(guān)系

是()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解題思路】根據(jù)幕函數(shù)單調(diào)性分析判斷即可.

【解答過程】因?yàn)閥=x02在R上單調(diào)遞增，所以2°2>0.4。-2,即Q>6,

又因?yàn)?.4°2=(O.42)01=O.1601,又且y=丁」在[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以0.16°」>0.15°/，b>c,所以Q>b>c.

故選：A.

【變式2-1](24-25高一上?陜西咸陽?期末)已知a、bG(0,1)U(1,+8)且c>0,則“a>b>1”是“a。>

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】利用靠函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【解答過程】因?yàn)閍、be(0,1)u(1,+8)且c>0,

因?yàn)槟缓瘮?shù)y=無，在(0,+8)上為僧函數(shù)，

c

若a>b>1,則a。>bt即“a>b>>產(chǎn),

c

若a。>bt則a>b且a、bG(0,1)U(1,+oo),即“a>b>1"、>〃，，，

所以,-a>b>1”是“a。>/”的充分不必要條件.

故選：A.

2

【變式2-2](24-25高一上?安徽?期中)哥函數(shù)/'(X)=(m-m-1)/2+2*5在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

且a+b>。則f(a)+f(b)的值()

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再由奇偶性與單調(diào)性判斷即可.

【解答過程】由函數(shù)f(x)=(租？一加一1)/12+26-5是幕函數(shù)，可得7n2-m-1=1,解得m=2或m=-1.

當(dāng)m=2時(shí)，/(x)=%3；當(dāng)m=-1時(shí)，/(x)=%-6.

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在(0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，故/(%)=%3.

又a+b>。所以a>-。所以/(a)>f(-b)=-f(b),則/'(a)+f(匕)>0.

故選：A.

【變式2-3](2025?湖北孝感?模擬預(yù)測)已知/(%)為奇函數(shù)，當(dāng)04x42時(shí)，/-(%)=2x-%2,當(dāng)%>2時(shí)，

f(x)=\x-3\-lt則()

A.-/(-V26)>/(203)>/(30-3)B./(20-3)>/(303)>-/(-V26)

C.-/(-V26)>/(303)>/(203)D./(303)>/(203)>-/(-V26)

【答案】A

【解題思路】利用題給條件求得f(x)在［1,3］上單調(diào)性，利用/(x)為奇函數(shù)求得-/?(-加/(I)的大小關(guān)系,

再利用幕函數(shù)性質(zhì)比較3°3,203的大小關(guān)系，進(jìn)而得到/?(30力)(2。3),一“一后)三者間的大小關(guān)系.

【解答過程】因?yàn)楫?dāng)OWNW2時(shí)，fM=2x-x2,

則/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在［1,2］上單調(diào)遞減，

當(dāng)4>2時(shí)，/(x)=|x-3|-1,

則/(%)在(2,3)上單調(diào)遞減，在⑶+8)上單調(diào)遞增.

且/(2)=0=|2-3|-1,所以/"(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，

在［1,3］上單調(diào)遞減，在(3,十8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)橐?"(-V26)=/(V26)>/(5)=1=/(I),1<2°3<3°3<3,

則/(1)>八203)>/(3°3)

所以-V26)>/(203)>/(303).

【題型3幕函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用】

【例3】(24-25高一上?浙江杭州?期末)如圖所示的基函數(shù)圖象對■應(yīng)的解析式可能為()

【答案】C

【解題思路】對每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)一一判斷其性質(zhì)，結(jié)合特殊值，即可判斷是否符合題意，即得答案.

【解答過程】對于A,y=T，定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+8）,當(dāng)工<0時(shí)，y=1<0,不符合題意;

對于B,當(dāng)％=0時(shí)，y=/j7[=0,不符合題意;

對于C，y=&定義域?yàn)椋?8,0）u（0,+8）,函數(shù)為偶函數(shù),

且y=/在（0,+8）上單調(diào)遞減，在（-8,0）上單調(diào)遞增，符合題意;

對于D,y=當(dāng)x=0時(shí)，y=0,不符合題意，

故選：C.

【變式3-1]（24-25高一上?遼寧?期末）如圖，①②③④對應(yīng)四個(gè)幕函數(shù)的圖象，則①對?應(yīng)的號函數(shù)可以是

（）

C.y=D.y=X2

【答案】C

【解題思路】結(jié)合圖象及冢函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答過程】由圖可知，①對應(yīng)的幕函數(shù)：函數(shù)的定義域?yàn)橐?8）,在第?象限內(nèi)單調(diào)遞增,

且圖象呈現(xiàn)上凸趨勢，則指數(shù)。的值滿足排除選項(xiàng)AD；

又y=前=7m的定義域?yàn)镽,y=X4=Y7的定義域?yàn)閇0,+8）,

故），二舅符合題意.

故選：C.

【變式3-2]（24-25高一?全國?課后作業(yè)）已知察函數(shù)y=叱（p,q€Z且p,q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱,如

圖所示，則（）

0\X

A.p,夕均為奇數(shù)，且:>。

B.4為偶數(shù)，〃為奇數(shù)，且2Vo

q

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且w>0

q

D.夕為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且;<0

【答案】D

【解題思路】根據(jù)困數(shù)的單調(diào)性可判斷出彳<0;根據(jù)困數(shù)的奇偶性及p,q互質(zhì)可判斷出p為偶數(shù)，q為奇數(shù).

P

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=日的定義域?yàn)?一8,0)u(0,+8),且在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以隈0,

q

因?yàn)楹瘮?shù)y=/的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以函數(shù)y=4為偶函數(shù)，即〃為偶數(shù)，

又P、4互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，

所以選項(xiàng)D正確，

故選：D.

【變式3-3](24-25高一上?上海涓東新?期中)圖中心、。2、心分別為累函數(shù)丫=YLy=x〃，y=Y3在

A.3,—1B.3,-1,1

C.!，3,-1D.3-1,3

22

【答案】A

【解題思路】根據(jù)轅函數(shù)在第一象限中圖象的性質(zhì)得到%>l>a2>0>a3,即可得答案.

【解答過程】由寡函數(shù)y=d在笫一象限，在1部分圖象由下向上，a逐漸增大，

且a>0時(shí)>=產(chǎn)在第一象限遞增，且遞增速度以1=1為界點(diǎn)，。<0時(shí)>=/在第一象限遞減，

所以的>1>%>。>的，故A滿足.

故選：A.

【題型4幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例4】（24-25高一下?安徽馬鞍山?開學(xué)考試）已知點(diǎn)（百，苧）在基函數(shù)的圖象上，則/?⑴是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.#奇非偶函數(shù)D.在4￡（-8,0）。（0,+8）上單調(diào)遞減

【答案】A

【解題思路】根據(jù)已知求出a=-1,從而函數(shù)/a）=%T=,根據(jù)奇偶性定義以及反比例函數(shù)得到答案.

【解答過程】???點(diǎn)（百，日）在尋函數(shù)/（%）的圖象上，設(shè)/（%）=X%

?,??=（百）“，解得a=_l,

???函數(shù)/a）=XT=：,定義域?yàn)?—8,0）U（0,+8）,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

??（）（）

?/r=-X-7=-/x,

???函數(shù)/（乃是奇函數(shù)，根據(jù)反比例圖象/（%）在（一8,o）,（o,+8）上單調(diào)遞減.

故選：A.

【變式4-1]（24-25高一上?廣東汕頭?期末）已知察函數(shù)/（>）=（租2一3m+1）/1是R上的偶函數(shù)，且函

數(shù)0（%）=/W+（4-2n）x在區(qū)間[1,5]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)n的取值范圍為（）

A.（-oo,3]B.[7,+8）C.[3,7]D.（-oo,3]u[7,+oo）

【答案】D

【解題思路】根據(jù)嗎函數(shù)的定義和組象與性質(zhì)可得/'（%）=，，進(jìn)而求出gQ）,結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性

求出參數(shù)n即可.

【解答過程】由寡函數(shù)的定義知，m2-3m+l=l,解得m=0或m=3,

當(dāng)m=0時(shí)，/(x)=x-1,為奇函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)m=3時(shí)，/(x)=x2,為偶函數(shù)，符合題意，故/'(%)=/

所以g(x)=x2+(4—2n)x,其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線x=n-2,

又0(%)在[1,5]上單調(diào)，則n—2W1或5Wn—2,

解得nW3或nZ7,即實(shí)數(shù)九的取值范圍為(一8,3]U[7,+8).

故選：D.

【變式4?2】(24-25高一上?江蘇揚(yáng)州?期末)若‘尋函數(shù)/?(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,￡),則下列說法正確的是()

A.八幻為偶函數(shù)B.方程/(幻=27的實(shí)數(shù)根為3

C./(%)在(0,+8)上為增函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)镽

【答案】B

【解題思路】先代點(diǎn)求出事函數(shù)的解析式，然后判斷累函數(shù)的性質(zhì)即可.

【解答過程】設(shè)/0)=雙代入點(diǎn)(媚)可得4。=￡所以a=-今

所以/a)=x+=JI,因?yàn)闋t＞0,所以%＞o,即函數(shù)/(切的定義域?yàn)?o,+②)，

對于A：因?yàn)?(%)的定義域?yàn)?0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以/(%)既不是為偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對于B：令f(4=27,所以3=27,解得％=%故B正確：

對于C,因?yàn)?(%)="+,因?yàn)椤?一,＜0,所以f(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于D：因?yàn)?'(%)=》《=9所以爐＞0,所以/'(x)〉。，

/G)的值域?yàn)?0,+9)，故D錯(cuò)誤.

故選:B.

【變式4-3](24-25高一下?湖北?階段練習(xí))基函數(shù)f(x)=(m2-爪一到G(0,+血)都有色止儂＜

Xl-X2

0成立，則下列說法正確的是()

A.m=2B.m=2或m=-1

C./(x)是偶函數(shù)D.外外是奇函數(shù)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)塞函數(shù)的特征以及函數(shù)的單調(diào)性得到機(jī)的值，再根據(jù)奇偶性定義可得到結(jié)果.

【解答過程】解：因?yàn)閒（x）=（血2-血一1）%血是某函數(shù)，所以爪2一m一1=1,解得m=-l或m=2,

因?yàn)閂*1，%26（。，+8）,都有"'"-"①<0成立,所以該函數(shù)在（0,+8）是減函數(shù)，

所以771=-1,故A,B錯(cuò)誤；

1

y（A）=X-=1,定義域?yàn)椋?8,0）u（0,+8）,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又/（—%）=2_=-/（%）,所以/?（%）是奇函數(shù)，故D正確，C錯(cuò)誤.

-X

故選：D.

【題型5求二次函數(shù)的值域或最值】

【例5】（2025高二下?湖南郴州?學(xué)業(yè)考試）函數(shù)、=一%2一4%+3（￥6/?）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[7,+co）B.（7,+oo）C.（-8,7）D.（一%7]

【答案】D

【解題思路】利用配方法可求出原函數(shù)的值域.

【解答過程】因?yàn)閥=-d一軌+3=—（X+2）2+7W7,當(dāng)且僅當(dāng)％=—2時(shí)，等號成立，

故函數(shù)y=-x2-4x+3（xeR）的值域?yàn)椋ㄒ?,7].

故選：D.

【變式5-1]（2025高一上?河北保定?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+mx+-m（7n為

常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,6）,其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值5B.最大值日

C.最小值5D.最小值;

4

【答案】D

【解題思路】由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】由題意可得:6=m2一血，解得小]=3,s2=-2,

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+mx+tn2-m圖象的對稱軸在y軸左側(cè)，

—=——<0,即m>0,/.m=3,

2a2

Ay=d+3%+6,.??二次函數(shù)有最小值為鏟=如詈爻=y.

4a4x14

故選：D.

【變式5-2]（24-25高一上?新疆?期中）已知函數(shù)/（一=爐—4%+5在[犯對上的值域是口,10],Mn-m

的最大值是()

A.3B.6C.4D.8

【答案】B

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)圖像特點(diǎn)，要使得區(qū)間長度最大，則對稱軸兩邊(能取到對稱軸的前提卜)距離

越大，區(qū)間長度越大

【解答過程】fix}=d一4%+5=-2)2+1,

因?yàn)橹涤驗(yàn)閇1,10]，所以要取到最小值1，必須取到對稱軸，

又對稱軸兩邊距離越大，則區(qū)間長度越大，

令/(x)=10,得工=-1或%=5,

所以當(dāng)n=5,TH=-1時(shí)(n-m)max=6,

故選：B.

【變式5-3](24-25高二上?河南階段練習(xí)〉已知函數(shù)八>)=一/+2b-若f(f(x))的最大值與f。)的最大

值相等，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.b<0B.力工1或C.-1<b<0D.h>-1

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的最值可得/(X)max=b2,然后由條件列出不等式，即可得到結(jié)果.

222

【解答過程】/(%)=-，+2版,當(dāng)x=b,/(%)max=-b+2b=bf

令￡=/(%)，則/(/(%))=+2比,

當(dāng)￡=bWb2,即b=1,或bW0時(shí)，/(f。))的最大值為匕2,

所以bN1或bW0時(shí)，/?(/■(%))的最大值與/(%)的最大值相等.

故選：B.

【題型6二次函數(shù)的圖象問題】

【例J6](24-25高一上?重慶?期中)已知函數(shù)f(%)=QU+以+前若Q>b>c,a+b+c=0,則f(x)的圖

【答案】D

【解題思路】判斷出a,c的符號后可得正確的選項(xiàng).

【解答過程】因?yàn)閍>b>C,Q+b+c=0,故Q+Q+Q>Q+b+c=0即a>0,

而c+c+cVa+匕+c=0,故cVO,

BC中圖象開口向下，不符合Q>。，而A中圖象過原點(diǎn)，與cVO矛盾，

故選：D.

【變式6-1］（24?25高一下,云南迪慶?期末）拋物線y=ax?+匕％+工0）的部分圖象如圖所示，下列說法

正確的是（）

A.abc>0B.b=2a

C.3Q+C<0D.b2<4ac

【答案】C

【解題思路】根據(jù)圖象，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的開口方向、對稱軸、函數(shù)值、零點(diǎn)個(gè)數(shù)逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過程】???拋物線的開口向下，二a<0,

,??拋物線的對稱軸為x=l,b>0,

2a

拋物線y=a/+b%+c（a工0）與y軸相交于正半軸，，c>0,abc<0,故A錯(cuò)誤：

???拋物線的對稱軸為x=l,1,b=-2a,故B錯(cuò)誤；

2a

由圖象可知，當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)值小于0,即丫=Q-b+c=Q+2Q+c=3Q+cV0,

故C正確；

,?,拋物線與4軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二浜一4ac>0,b2>4ac,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式6-2]（24-25高一上?福建福州?階段練習(xí)）不等式ex?+ax+b>0的解集為1則函數(shù)

y=ax2+bx-c的圖象大致為（）

【答案】B

【解題思路】根據(jù)不等式的解集得到CV0,—1』為以2+。%+匕=（）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得到Q=^C<

0,b=-1c>0,從而根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，開口方向及與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的正負(fù)得到答案.

【解答過程】由題意得CVO,-1,；為c%2+QX+b=0的兩個(gè)根，

故-1+；=-—1x-=B|Ja=7t<Q,b=-y-c>0,

2c2c22

y=a%2+b%-c開口向下，對稱軸為與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為一c>0

故選：B.

【變式6-3]（2025?陜西漢中?三模）在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運(yùn)行軌跡是開口向下

的拋物線的一部分.“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊(duì)員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守

隊(duì)員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”.對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階

段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大.收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為卜.述

數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點(diǎn)為P，籃框中心點(diǎn)為Q，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過力，B,

C,。四個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)并命中Q,忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最小的線路是（）

外

.cn

3-

2.p

o~~j24~~X

R.PTATQB.，T8TQC.PtCtQD.PtDtQ

【答案】C

【解題思路】根據(jù)游戲規(guī)則，分析被“蓋帽''的可能性最小的情況下對二次函數(shù)的對稱軸要求，根據(jù)對稱軸的位置

確定軌跡.

【解答過程】籃球上升階段越短，被“蓋帽”的可能性最越，則對稱軸越靠近y軸越好，

設(shè)拋物線方程為y=ax2+bx+c,當(dāng)經(jīng)過P(0,2)M(l,3),Q(4,3)時(shí)，

(c=2

列方程組a+b+c=3，二次函數(shù)解析式為y=-#+%+2,對稱軸為直線x=|,

同理可得經(jīng)過P,B,Q時(shí)，對稱軸為直線x=3,經(jīng)過P,C,Q時(shí)，對稱軸為直線％=荒，經(jīng)過P,D,Q時(shí)，對稱軸

為直線無=p

可知經(jīng)過P,C,Q時(shí)籃球處于上升階段的水平距離最短.

故選：C.

【題型7二次函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例7】(24-25高一上?海南?階段練習(xí))若函數(shù)/?(%)="2+(1+°沈+2在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,7]B.[7,+8)C.[-7,+oo)D.(-oo,-7]

【答案】C

【解題思路】依題意，只需使(3,+8)為已知函數(shù)的遞增區(qū)間的子集，列不等式，解之即得.

【解答過程】函數(shù)八?=%2+(1+。)尤+2的圖象開口向上,對稱軸為直線封=一等,

由函數(shù)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞增，可得一手33,解得a2—7.

故選:C.

【變式7-1](24-25高二下?山東濰坊?期末)已知二次函數(shù)/(%)=ax2+bx+c(a>0)的圖像與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為一5和3,則二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為().

A.(-co,-1]B.[-l,4-oo)

C.(-8,2]D.2+8)

【答案】A

【解題思路】由題意求得對稱軸，再由開口方向求解.

【解答過程】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)/■(0=。/+6%+以。>0)的圖像與、軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一5和3,

所以其對稱軸方程為：％=等=一1,

又a>0,

所以二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1],

故選：A.

【變式7-2](24-25高一上?陜西寶雞?階段練習(xí))"m<-17”是“函數(shù)f(x)=-3x2+2(1-m)x-5在區(qū)間

(一8,6]上單調(diào)遞增”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】根據(jù)函數(shù)/"(%)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解出m的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系

判斷可得出結(jié)論.

【解答過程】若函數(shù)/(%)=-3x2+2(1-m)x-5在區(qū)間(一8,6]上單調(diào)遞增，

則組解得mW—17,

因?yàn)閧m[?n17}{m\m<—17},

因此，“m<-17”是“函數(shù)/(%)=-3x2+2(1-m)x-5在區(qū)間(一8,6]上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，

故選：B.

【變式7-3](24-25高三上?陜西渭南?階段練習(xí))若二次函數(shù)=a/+2(a-1)為+2在(-8,4)上為減函

數(shù)，則a的取值范圍為()

A.&+8)B,[0噂C.(-oo,!]D,(0可

【答案】D

(a>0

【解題思路】根據(jù)題意，由求解.

院4

【解答過程】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)fG)=。必?2(al)xI2在(％4)上為減函數(shù),

fa>0,

所以”a>4,解得OVQW：,

---N45

a

所以a的取值范圍為(0日，

故選：D.

【題型8二次函數(shù)的恒成立問題】

【例8】(24-25高一下?貴州?階段練習(xí))對任意》61一1,1],不等式2%2一2工+1-26二0恒成立，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是()

A.(-8,總B.(-8,寸C.(一8,|]D.片+8)

【答案】A

【解題思路】由己知可得[2一%+外面2瓶，再求函數(shù)y=%2-%+^%1,1]的最小值即可得m取值范

圍.

【解答過程】因?yàn)閷θ我猓?不等式2爐一2x+1-2mZ0恒成立.

所以(好一%+>m,其中

\//min

設(shè)下=%2-%+jxe[-l,l],因?yàn)閥=/一%+^二1一^^+:，

所以當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)丫=d一%+g,xc[—1,1]取最小值，最小值為:，

所"以7nMp4

故選：A.

【變式8-1](2025?陜西西安?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(%)=收2—2U,命題q%W[2,6],f(x)工一2a+3”是假

命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.你+8)B.(3,+oo)C.(2,+8)D.(一8卷)

【答案】A

【解題思路】根據(jù)特稱名為假命題可得a%2一2ax4-2a-3>0,對V%G[2,6]恒成立,令九(%)=ax2-2ax+

2a-3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可得結(jié)論.

【解答過程】因?yàn)槊}f%W[2,6],/(X)<-2a+3”是假命題，所以Vxe[2,6],/(x)>-2a+3恒成立，

則a/-2ax+2a-3>0,對Vx6[2,6]恒成立，

令Mx)=ax2-2ax+2a-3,則二次函數(shù)的對稱軸為直線％=1,

要使得VXW[2,6]，2)>。恒成立，則管弁二2之北一si〉解得

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是G，+8).

故選：A.

【變式8.2】⑵25?上海黃浦?二模)設(shè)函數(shù)個(gè))=『￡：：；；；￡°,若〃)>。恒成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,+8)B-(詞

C(總1)D.(川

【答案】D

【解題思路】分-4WxWO和0VXW4兩種情況下恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值求解即可.

【解答過程】當(dāng)一44xW0時(shí)，一%2+。％+20>0恒成立，即。%>%2-20恒成立，

當(dāng)％=0時(shí)，上式成立；

當(dāng)一4Wx<0,a<x-p明顯函數(shù)y=x-,在[-4,0)上單調(diào)遞增,

所以Vmin=—4一今=1,所以Q<1;

當(dāng)0VxW4時(shí)，ad-2%+3>0恒成立，即Q>之一多恒成立，

X

令L=卜，十8)，則a>2C-31在卜，十8)L恒成立，

又$=2t-3t2開口向下,對稱軸為t=1G[+,+8)，

所以y=2t-3t2的最大值為2x：-3x(J?=g

所以a>3

綜上：實(shí)數(shù)。的取值范圍是0,1)

故選：D.

【變式8?3】(2025?福建?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=已一2%+2.若

f(x)>2x+力對任意的工GR恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.(-oo,2]B.(-oo,l]C.(-a),0]D.(-oo,-2]

【答案】D

【解題思路】先在/(*)>2xIb的條件下證明b<2,然后在b<2的條件下證明f(*)>2x\b,叩可說

明七的取值范圍是(一8,-2].

【解答過程】一方面，由于/(%)>2x+匕對任意實(shí)數(shù)%恒成立,故/"(2)N2x2+b,即2?-2x2+222x2+

b,所以b以一2.

另一方面，若bW—2,則對x<0有/(%)=f(-x)=(一切2-2(-x)+2=X2+2X+2>2X>2X-2>

2x+b.

且對％>0有/(幻=%2-2%+2=(x2-4x+4)+2x-2=(x-2)2+2x-2>2x-2>2x4-b.

故在b<-2的情況下，必有/(x)>2x+b恒成立.

綜合上述兩個(gè)方面，可知實(shí)數(shù)b的取值范圍是(-8,-2].

故選：D.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2()25?河南駐馬店?模擬預(yù)測)已知暴函數(shù)/1CO=(m2+m-1)￡”的圖象與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn),則m=()

A.-2B.1C.-2或1D.-1或2

【答案】A

【解題思路】本題可先根據(jù)某函數(shù)的定義求出7九的可能值，再結(jié)合尋函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)的條件確定m

的值.

【解答過程】因?yàn)?(%)為鼎函數(shù)，所以血2+血-1=1,

即抗2+7H—2=0,解得m=—2或m=1.

當(dāng)m=-2時(shí)，/(%)=X-2=其定義域?yàn)閧很H0},圖象與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)執(zhí)=1時(shí)，/(X)=x,其圖象與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，不合題意.

綜上，m=-2.

故選:A.

2.(2025?山東?模擬預(yù)測)設(shè)全集U=/?,集合4={y\y=x2,xER},8={x|-l<x<1},則口|一1<x<

0}=()

A.AU8B.(C(//l)ABC.An(Cf/B)D.Q(4nB)

【答案】B

【解題思路】先求出二次函數(shù)的值域，即集合4再根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可確定選項(xiàng).

【解答過程】當(dāng)xwR時(shí)，y=x2>0,即A={x|xN0},則Q4=W%VO},

又B=[x\-l<%<1},故{%|-1<x<0}=（CM）ClB.

故選：B.

3.（2025?江蘇鹽城?三模）“巾=2”是“/（%）=02-血-1）/2+2吁3為尋函數(shù)，，的（）條件.

A.充要B.必要不充分C,既不充分也不必要D.充分不必要

【答案】D

【解題思路】分別驗(yàn)證其充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.

【解答過程】當(dāng)m=2時(shí)，f{x}=x\符合需函數(shù)的形式，故充分性滿足；

2

當(dāng)/（無）=（rn,—m—Dx""2，"-3為幕函數(shù)可得7n2-—1=1,解得m=2或m=—1,

故必要性不滿足，

所以“m=2”是“/（x）=（/-m-1）姆2+2*3為基函數(shù),，的充分不必要條件

故選：D.

4.（24-25高一上?北京?開學(xué)考試）己如二次函數(shù)y=?n/-2m;t（?n為常數(shù)），當(dāng)一144W2時(shí)，函數(shù)值

y的最小值為一2,則m的值是（）

A.-2B.1C.2或-9D.-1

【答案】C

【解題思路】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，先求得拋物線對稱軸，分m>0和7HV0,兩種情況進(jìn)行分析，求得m

的值即可.

【解答過程】??，=血"2一2小羽

???拋物線的對稱軸為直線％=1,

①當(dāng)m>0時(shí)，拋物線的開口向上，

???當(dāng)-1WXW2時(shí)，函數(shù)在x=1處取得最小值，

乂函數(shù)值y的最小值為-2,???當(dāng)x=1時(shí)，y=-2,：.m-2m=-2,解得m=2.

②當(dāng)mV0時(shí)，拋物線的開口向下，

???當(dāng)一14%42時(shí)，函數(shù)在％=-1處取得最小值，

又函數(shù)值y的最小值為-2,?,.當(dāng)x=—1時(shí)，，y=-2,/.m+2m=-2,解得：m=-1

故選：C.

5.（24-25高一上?廣西欽州?階段練習(xí)）-m<-17”是“函數(shù)/（盼=-3x2+2（1-m）x-5在區(qū)間（一8,6]上

單調(diào)遞增''的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】根據(jù)函數(shù)/(%)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)機(jī)的不等式，解出機(jī)的取值范圍后判斷.

【解答過程】若函數(shù)/(X)=-3,+2(1-m)x-5在區(qū)間(一8,6］上單調(diào)遞增，

則國*工6,解得根式―17,mV—17可推出加工―17反之不行，

6

因此，“TH<-17”是“函數(shù)/(%)=-3x2+2(1-/n)x-5在區(qū)間(一8,6］上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，

故選：B.

6.(2025?天津?二模)已知函數(shù)丁=2收3(。<0),則此函數(shù)是()

A.偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減B.偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

C.奇函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減D.奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

【答案】C

【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)定義及事函數(shù)單調(diào)性判斷求解.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2a爐(a<0),定義域?yàn)镽,

/(-x)=2a(-x)3=-2ax3=-f(x),所以/(%)是奇函數(shù),

因?yàn)閥=第3在區(qū)間(_%+8)上單調(diào)遞增，fl<0,所以函數(shù)/?(￡)=2數(shù)3在區(qū)間(_8,+8)上單調(diào)遞減，

故選：C.

7.(2025?江西?一模)若直線y=￡(0<tV1)與基函數(shù)y=爐，y=也,y=：的圖象從左到右依次交于不

同的三點(diǎn)兒B,C,則團(tuán)。|=()

A.y-t2B.1-t3C.D.Vt-t2

【答案】A

【解題思路】求得交點(diǎn)AC的橫坐標(biāo)，比較大小可求|4C|.

【解答過程】當(dāng)y=t時(shí)，由y=久3,得工=,；由y=?,得匯=產(chǎn)；由y=%得%=

因?yàn)?VtV1,所以y=嚴(yán)是關(guān)于工的減函數(shù).

X-l<|<2,所以沈>產(chǎn)，所以?向一―戶

*5tt

故選:A.

8.(2024?貴州遵義?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=%2-2比+2戶一2%則下列選項(xiàng)正確的是()

A.f(%)的圖象恒過點(diǎn)(0,0)B./(x)的圖象必與％軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

C.f(x)的最小值可能為-2D./(功的最小值可能為-1

【答案】D

【解題思路】舉反例求/'(())與判別式可判斷AB,求函數(shù)的最小值，再判斷范圍，即可判斷CD.

【解答過程】A.當(dāng)t=2時(shí)，/(0)=2尸一2t=2x2?-2x200,

所以八行的圖象不恒過點(diǎn)(0,0)，故A錯(cuò)誤；

B.當(dāng)t=0時(shí)，A=4t2-4(2t2-2t)=-4t2+8t=0,

此時(shí)/Xx)的圖象必與“軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

CD.f(x)=%2—2tx+2t2—2t=(x—Q+t2—2t,

則/(%)的最小值為好—2t=(t-1)2-1>-1,

所以函數(shù)的最小值不可能是-2,可能為-1,故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

二、多選題

9.(24-25高一上?貴州?階段練習(xí))現(xiàn)有4個(gè)基函數(shù)的部分圖象如圖所示，則卜.列選項(xiàng)可能成立的是(

B.p=4,m=3,q=：,n=-2

C.p=2,m=3,q=-1,n=-3

DC.p=1-,m=1-,q=—r2,n=-1

r2374

【答案】AB

【解題思路】根據(jù)某函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合已知圖象分析判斷即可.

【解答過程】對于暴函數(shù)y=%a,若函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則Q>0,若函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

則。<0,所以nvO,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，若、=X。的圖象在y=》的上方，則a>l,若/=/的圖象在y=%的下方，則

所以p>Lm>1,0<q<1,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)楫?dāng)％>1時(shí)，指數(shù)越大，圖象越高，所以p>m,

綜上，p>m>l>Q>0>n,AB選項(xiàng)正確.

故選:AB.

10.(24-25高一下?全國?課后作業(yè))二次函數(shù)丫=無2+(2。一1女一3在無￡［一1,3］上最大值為1,則實(shí)數(shù)

值為()

A?舊B?-J

C.--D.-1

4

【答案】BD

【解題思路】y=X2+(2a-l)%-3,則圖像開口向匕對稱軸為百線％=三二，根據(jù)對稱軸的位置分兩種

情況討論即可.

【解答過程】丫=必+(2。-1)工-3,則圖像開口向上，對稱軸為直線％=詈.

當(dāng)詈W1時(shí)，即。2一%X=3時(shí)有最大值1,

即9+(2Q-1)X3-3=L解得Q=-/

當(dāng)詈>1時(shí)，即QV一px=-1時(shí)有最大值1,

HP1+(2a-1)x(-1)-3=1,得。=一1；

故a=-1或a=一

故選：BD.

11.(24-25高一上?廣東廣州?期末)如圖，二次函數(shù)、=。工2+力工+。的對稱軸為％=1,且與無軸交于點(diǎn)

71(-1,0),則()

A.Q>0

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