專題5.3平面向量的數(shù)量積及其應用(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型I平面向量數(shù)量積的運算】.....................................................................4

【題型2平面向量的夾角問題】........................................................................6

【題型3平面向量的模長】............................................................................8

【題型4平面向量的垂直問題】.......................................................................9

【題型5平面向量的投影】...........................................................................1()

【題型6平面向量在幾何中的應用】..................................................................12

【題型7向量在物理中的應用】.......................................................................15

【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】................................................................17

【題型9平面向量新定義】...........................................................................20

1、平面向量的數(shù)量積及其應用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

(1)理解平面向量數(shù)量積的含義

平面向量的數(shù)量積是高考的重

及其幾何意義2023年新高考1卷：第3題，5分

點、熱點內容.從近幾年的高考情況

(2)了解平面向量的數(shù)量積與投2023年新高考II卷：第13題，5

來看，試題往往以選擇題、填空題

影向量的關系分

的形式呈現(xiàn)，主要考查向量的數(shù)量

⑶掌握數(shù)量積的坐標表達式，2023年北京卷：第3題，5分

積、夾角、模與垂直條件等知識，

會進行平面向量數(shù)量積的運算2024年新高考I卷：第3題，5分

難度中等，有時會與三角函數(shù)、平

(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量2024年新高考H卷：第3題，5分

面幾何等相結合命題.學生在高考復

的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個2025年全國二卷：第12題，5分

習中應注意加強訓練，要能靈活運

平面向量的垂直關系2025年天津卷：第14題，5分

用定義法、坐標法和基底法解決常

⑸會用向量的方法解決某些簡2025年上海卷：第12題，5分

見的數(shù)量積有關問題.

單的平面幾何問題

知識梳理

知識點1向量數(shù)量積的性質和常用結論

1.向量數(shù)量積的性質和運算律

(1)向量數(shù)量積的性質

設工，石是非零向量，它們的夾角是仇N是與1方向相同的單位向品，則

①a-e=e-a=〃cos〃.

?G±boa?Z)=0.

③當五與b同向時,a-Z>=|a|\b\；當五與石反向時，a?b=一同網(wǎng).

特別地，a-a：：2=問一或同=y/a?a.

④日.同W同網(wǎng),當且僅當向量五,抉線，即五〃一時,等號成立.

⑤cosO=

1同網(wǎng)I.

（2）向量數(shù)量積的運算建

由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：

對于向量五，及七和實數(shù)2,有

①交換律:a-b=b-a\

②數(shù)乘結合律:（2a）.Z=2（a?7）=a.（助）；

③分配律:（a+力）?c=a?c+Z?c.

2.向量數(shù)量積的常用結論

⑴值±獷=,士平=同2±2〉7+帆2=二±217+尸;

⑵滔_尸=0+今傘_9=卬_同2；

（3）0+獷+1一獷=2（印+即）；

2->->

（4）a~b~=0<=>a=b=Q；

（5）WH磯邛+同邛|+M當且僅當五與了同向共線時右邊等號成立，方與E反向共線時左邊等號成立.

以上結論可作為公式使用.

知識點2平面向量數(shù)量積的解題方法

1.平面向量數(shù)量積的兩種運算方法

（1）基底法：當已知向量的模和夾角。時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關計算問

題；

（2）坐標法:當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.

知識點3數(shù)量積的兩大應用

1.夾角與垂直

骷（夾角公式）,

根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質：若W,石為非零向量，則cose=a-L80*q?6=0等，可知

平面向量的數(shù)量枳可以用來解決有關角度、垂直問題.

2.向量的模的求解思路：

（1）坐標法:當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；

（2）公式法:利用向=萬藍及（；±獷=印±2〉族+網(wǎng)2,把向量的模的運算轉化為數(shù)量積運算;

(3)幾何法:利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向晝，再利用余

弦定理等方法求解.

知識點4向量數(shù)量積綜合應用的方法和思想

1.向量數(shù)量積綜合應用的三大解題方法

(1)坐標法:把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代

數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.

(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行

求解.

(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量

為載體考查三角形問題時.，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.

知識點5極化恒等式

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

⑴平行四邊形對角線的平方和笠王四邊的平方和：

D—C

|工+斤+|￡-斤=2(|八+|斤).

證明：不妨設AB=a"D=l＞,則ZC=a+B,DB=a-b,

|%『=就2=倒+為2=討+2＞坂+|^^，

|麗『=痂2=僅-可2=同2一赤石+「『②，

①②兩式相加得：

附+1研=2忖+肝2(畫+時).

(2)極化恒等式:

上面兩式相減，得：＞%=；［僅+孫硝--------極化恒等式

平行四邊形模式：=；口力肝］.

(3)幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差

的L

4

【方法技巧與總結】

1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

(1)(Q+〃)?(a_〃)=a_一/<；

⑵血土9=。~±2々?b+b~.

2.有關向量夾角的兩個結論

（1）若五與泓勺夾角為銳角，則〉力>0；若〉1>0,貝腺與石的夾角為銳角或0.

（2）若W與了的夾角為鈍角,則〉方<0；若a?1<0,則，與石的夾角為鈍角或兀.

———

3.向量力在向量了上的投影向量為。

舉一反三

【題型1平面向量數(shù)量積的運算】

【例1】（2025?江西?三模）己知平面單位向量沆，完滿足訪1（沆一2元），則（沆+2元）?汨=（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【解題思路】根據(jù)平面向量垂直及運算律可得2沅?m=沅2=1,進而求解即可.

【解答過程】由記1（記一2五），則沆?（沆-2元）=沆2-2布?元=0,即2沆?書=沆2=1,

則（沅+2元）?沆=沆？+2沆?元=1+1=2.

故選：A.

【變式1?1】（2025?甘肅白銀?三模）若向量五=（m,5）,石=（1,2）.且元石=8,則實數(shù)m=（）

A.2B.-2C.18D.-18

【答案】B

（解題思路】利用平面向量數(shù)量積的坐標表示計算即可二

【解答過程】因為向量五=（m,5）3=（1,2）,

所以Ab=lX7n4-5x2=?n+10=8,解得m——2.

故選：B.

【變式1-2]（2025?安徽滁州?二模）已知4B,C三點在單位圓上運動，且/8|=V5,則近?麗的取值范圍

為（）

A?卜曲B.卜/C.居D.[W

【答案】A

【解題思路】設48的中點為E,得|OE|=AAOB=120。，將反1?元化為g-COSNCOE,根據(jù)一1<COSNCOE<

1可得結果.

【解答過程】設A8的中點為E,因為|。川二|。引=1,AB\=>/3,所以|。國二;，^AOB=120s,

BC^AC=CACB=（OA-OCy\pB-OC）>

=OAOB-OC-（OA+OB'）+\OC\2

=1x1x（一一浙?2OF+1

=-^+1-2x1xcos乙COE=1-cos乙COE,

222

因為一14coszCOEW1,所以一：工近?尼

Z2

故選:A.

【變式1-3](2025?江西新余?模擬預測)己知在正方形ABCD中，AB=2,M為BC中點，N為正方形ABCD

內部或邊界上一點，則兩?麗的最大值為()

37

A.1B.1C.；D.2

【答案】D

【解題思路】建立坐標系，寫出點的坐標，設N(m,n),0<m<2,0<n<2,得到麗?麗=2m-九一2,

求出最大值.

【解答過程】以人為坐標原點，48,40所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，

則力(0,0),8(2,0),C(2,2),D(0,2),

設N(m,九)，0<?n<2,0<n<2,

則麗?C7V=(2,-1)?(m-2,n-2)=2m-4+2-n=2m-n-2,

故當m=2,n=0時，DM?CN=2m—n—2取得最大值，最大值為4-0—2=2.

故選:D.

【題型2平面向量的夾角問題】

【例2】（2025,河北石家莊?模擬預測）已知平面向量五萬滿足五,0-石）=2,且同=1,同=2,則向量瓦石

的夾角為（）

B.g5ir

JC-3D.T

【答案】B

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運算及夾角公式得解.

【解答過程】因為同=1,同=2,

所以五?0一司=五2一十1=1一五=2,即五?%二一1,

所以cos佰司=需芯=一a

所以佰功=今

故選：B.

【變式2-1](2025?全國?模擬預測)已知向量N=(2,0),a-b=(3,-V3),PPJcos(a-2b,a)=()

V32V7旦

A.D.

T7

【答案】C

【解題思路】根據(jù)己知向量五=（2,0）,a-b=（3,-V3）,利用向量減法求出石和石一2石，再通過點積計算求

出（2-2石）?優(yōu)通過模長計算求出忖-23和同，利用向量夾角的余弦公式cos值-2%冷=告箭求解.

【解答過程】a=（2,0）,a-b=（3,-V3）,

b=a—(a—h)=(2—3,0—(-6))=(-1,V3).

???2b=(-2,2V3).

:.a-2b=(2,0)-(一2,2⑸=(4,-273).

(a-2b)-a=(4,-2⑹-(2,0)=4x2+(-273)x0=8.

|a|=V22+02=2,12一2bI=J42+(—275)2=y/28=2\/7.

(萬一24不_8_2>/7

cos值—2b,a)=

|a-2b||a|-247-2~~~

故選：C.

【變式2-2】（2025?安徽合肥?模擬預測）已知非零向量五與萬不共線，且滿足囚=2同，2W-E與了的夾角為4,

則問量工與向量石的夾角為（）

A.2B.史C.-D.史

3366

【答案】A

【解題思路】設向量社與向量方的夾角為仇設同=2同=2,進而利用向量的夾角公式列出等式，解方程即

可求得答案.

【解答過程】設向量港與向量方的夾角為仇0e（0,n）,

設|同=2|a|=2,Ma-b=|a|bcosG=2cos0,

則2%-b=]（2%-b）=_4、?b+b=小,2—4a-Z?=，8-8cos6,

2d-石與刃的夾角為g,所以cosg=U；）；|,

332a-bxft

1_2a114cos”4

則一片向雨’即一好訴嬴T

可得2cos2。-3cos0+1=0,解得cosO=1（舍）或cosO—

則6=全

故選：A.

【變式2-3]（2025?陜西?模擬預測）已知向量蒼=（匕1）是=（-3,2-x）,若五花的夾角為鈍角，則實數(shù)3的

取值范圍為（）

A.Q,3）U（3,+oo）B.（-1,3）U（3,+8）

C.&+8）D.（一83

【答案】A

【解題思路】首先利用坐標公式求出向量Z工的數(shù)量積，然后求出向量之上夾角的余弦值，根據(jù)夾角為鈍角條

件求出”的取值范圍.

【解答過程】因為向量"=（%1）1=（-3,2-x）,

-TT

所以=-3x+2—x=2-4x.

所以向量展,b夾角的余弦值為:

因為向量的夾角為鈍角，所以一1<----274X<0

Vx2+lxj9+（2-x）2

解得%>?1%工3（當為=3時），所以實數(shù)%的取值范圍為G，3）U（3,+8）.

故選：A.

【題型3平面向量的模長】

【例3】（2025?江蘇泰州?模擬預測）已知同=2,同=3,|五-同=77,則|益+同等于（）

A.V17B.V19C.VHD.V23

【答案】B

【解題思路】將題干條件平方處理，得出君?瓦然后對待求表達式也平方處理即可得解.

【解答過程】由怔-=夕，則a-b=a2+b2-2a.'b=#=44-9-2a-b,

解得2-b=3,于是|五+=五2+匕2+2五.石=4+9+6=19,

故B+同=g.

故選：B.

【變式3-1]（2025?安徽蚌埠三模）若向量”與。的夾角為60。，且|司=21=（1,6）,則叵+21|=（）

A.2B.2V3C.2夕D.6

【答案】C

【解題思路】利用數(shù)量積求出（d+2方）2后可得同+2M.

【解答過程】由題意得B=2,（a+2b）2=a2+4a-b+4b2=4+16+4x2x2x1=28,

故B+2同=2V7,

故選：C.

【變式3-2]（2025?全國二卷?高考真題）已知平面向量a二（x,l）I=（無一1,2%），若次_1@一可，則同二

【答案】V2

【解題思路】根據(jù)向量坐標化運算得3一石=（1]-2盼，再利用向量垂直的坐標表示得到方程，解出即可.

【解答過程】五一石=（1,1-2%）,因為五1（五一司，則2（五一0=0,

則x+l-2x=0,解得無=1.

則丘=（1,1），則同=&.

故答案為；V2.

【變式3-3](2025?廣西?模擬預測)已知向量五=(1,-2),b=且五1瓦則|五一2同=.

【答案】5

【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標公式列方程求參數(shù)，然后根據(jù)碳的公式求解即可

【解答過程】因為向量五=(1,-2),石=(2,m),且方1瓦

所以2—2m=0,解得m=l,

故匕-=(1,-2)-2(2,1)=(-3,-4),

故R-2同=V(-3)2+(-4)2=5.

故答案為：5.

【題型4平面向量的垂直問題】

【例4】(2025?河北秦皇島?模擬預測)已知向量5=(/1-1,1),石=(2,4),若(方一石)1(五+司，則入=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標運算先求五-5互+無最后利用數(shù)量積的坐標運算即可求解.

[解答過程]由題意有萬一/=a-3」一幻,羊+石=a+1」+3,

又因為@一芯)_10+石)，

所以(五-b)-(a+?)=(A-3)(2+1)+(1-A)(l+A)=-2(A+1)=0=>A=-1,

故選：B.

【變式4-1](2025?北京大興?三模)己知平面向量方=(1,2),h=(2,m),若值+石)_10一了)，則實數(shù)m=

()

A.-1B.1C.-1或1D.4

【答案】C

【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出m的值.

【解答過程】因為a=(1,2),D=(2,

所以之+b=(3,m+2),a-b=(-1,2-m).

因為(％+b)_L(之一b),所以(2+8)?(：-b)=0

所以-3+(m+2)(2-m)=0.

解得m=±1.

故選；C.

【變式4-2](2025?江蘇南通?模擬預測)己知向量N=(1,0)，石=(-1,1),若(疝+石)反則入=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【解題思路】利用向量數(shù)量積的運算律和數(shù)量積坐標公式計算即可.

【解答過程】因五=(1,0),石=(-1,1),則小石=lx(—l)+0xl=-l,|石|二企，

由(加+石)石可得(疝+&?石=疝?石+京=-A+2=0,解得4=2.

故選：D.

【變式4-3](2025?貴州畢節(jié)?模擬預測)已知向量五=(0,1)范=(3,%),若了1?一6五)，則％=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意，求得五?石=%同=>/^不了，結合石?色一6菊=京一6①石=0,列出方程，即可

求解.

【解答過程】由向量方=(0,1),石=(3/),可得益?石=%，同=V9+口2,

因為b1(K—6a),可得b-(b-6a)=b2—6a-b=9+x2—6x=0,

即%2—6x+9=(x—3)2=0,解得x=3.

故選：D.

【題型5平面向量的投影】

【例5】(2025?浙江寧波?模擬預測)已知單位向量；工滿足五?伊+25)=0,則五在石上的投影向量為()

A.bB.-bC.9D.-9

【答案】D

【解題思路】根據(jù)投影向量公式可求投影向量.

【解答過程】因為方,(五+2石)=0：故元2+2方?石=0,故五?方=一/

而3在石上的投影向量為需了=?工=-1b,

故選:D.

【變式5-1](2025?遼寧?模擬預測)已知平面向量工=(4,2)范=(1,2),則向量方在向量(五+29上的投影向

量為()

A.停，等B.（2V5,2V5）C.（2V5,V5）D.（3,3）

【答案】D

【解題思路】由向量的坐標運算和投影向量的定義計算即可.

【解答過程】因為五=(4,2)石=(1,2),

所以五+2了=(6,6),五?①+2了)=4x6+2x6=36,

|a+2b\=V62+62=6V2,

所以向量五在向量0+21)上的投影向量為能對?黑廣66%(6,6)=(3,3).

故選:D.

【變式5-2】(2025?湖南?模擬預測)在平行四邊形PQRS中，若熹+福=鬻，則地在西上的投影向量為

rVIr5lvK\

()

A.2B.PSC.^PSD.耨

【答案】D

【解題思路】先判斷平行四邊形PQRS是菱形，求出上QPS,再根據(jù)投影向量的概念求解.

【解答過程】因為翳+魯=需?所以PR平分ZQPS,所以平行四邊形PQRS為菱形,

rVI2|

如圖:

由尚+得=能兩邊平方得'2+青簫=3,所以cos"PS=$

所以“PS=p所以而在刀上的投影向量為網(wǎng)cosg?符=網(wǎng)

故選：D.

【變式5-3](2025?湖北?模擬預測)已知點P(2,0),Q(3,2),向量五=(1,-2),則向量而在五方向上的投影

向量為()

A?(瑟)B.(一：§C.(-14)》(|T)

【答案】C

【解題思路】首先求出所的坐標，即可求出同，aPQ,再根據(jù)投影向量的定義計算可得.

【解答過程】因為P(2,0),(2(3,2),所以地=(3,2)—(2,0)=(1,2),

又M=（1,一2）,所以同=J12+（-2）2=遍，a-PQ=lxl+2x（-2）=-3,

所以向量而在五方向上的投影向最為駕2==—防二一式1,-2）=（-黑）.

故選：C.

【題型6平面向量在幾何中的應用】

【例6】（2025?山東臨沂?三模）在平行四邊形718co中，AB=3,AD=2,48/10=60。，P為邊C。上一點,

若AP工BD,則線段4P的長為（）

A."B.VSC.3D.2V3

【答案】A

【解題思路】利用向量垂直則數(shù)量積為（），求出存=而+：話，再平方求向量的模即可.

6

【解答過程】設而=而+義萬，如圖，

因為API80,

所以而-BD=（AD+AAB）（AD-AB）=AD2-AAB2+（A-1）75-AD=0,

即4—92+（2-1）x3x2xg=0,解得2=

所以而=而+；適,

6

網(wǎng)=蛔+國2=J而2+（而2+,而.而=J4+渭X3X2X；罟,

故選：A.

【變式6-1］（2025,湖南永州?三模）在△力8C中，乙4cB=120°,\AC\=3,\BC\=4.DC-DB=0,則|而+而|

的最小值為（）

A.675-2B.2g-4C.3V3-1D.V19-2

【答案】A

【解題思路】以C為電標原點，CB所在直線為x軸，過C垂直BC的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標

系，求得點。的軌跡方程，取。。的中點為M,求得M的枕跡方程，數(shù)形結合可求|前十通|min?

【解答過程】由題意，以C為坐標原點，C8所在直線為X軸，過。垂直C8的直線為y軸建立如圖所示的平面直

角坐標系，

則久一發(fā)手），8（4,0）,由沆?麗=0,可得。是以8C為直徑的圓,

所以。的軌跡方程為（％-2）2+y2=4,

取8。的中點為M,設時（％丫）,。（看,?。?，

X_xo+4

二高，所以巴言；所以（2%-6）2+（2療=4,

（y=~

所以點M的軌跡方程為0—3）2+y2=i,圓心為"（3,0）,半徑為1,

由萬+而=2祠，所以I而+而I=2|宿I，所以I而+而Imin=2|宿Imin，

所以I麗Imin=\AH\-1=］（-|-3）2+（小-0）2-1=36一1,

所以|而+而1mm=6b-2.

故選：A.

【變式6-2］（2025?海南?三模）勒洛三角形是一種典?型的定寬曲淺，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長

為半徑，在另兩個頂點間作?段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角

形中，已知48=2,P為弧力C上的一點，且=g則前方的值為（）

6

A.4-V2B.4+V2

C.4-2V3D.4+2V3

【答案】C

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的坐標運算即可求解.

【解答過程】如圖所示,

以5為坐標原點，直線8c為x軸，過點B旦垂直于8C的直線為y軸，建立平面直角坐標系，

則B(0,0),C(2,0),由NPBC=/得尸

所以而=(V5,1),CP=(V3-2.1),

所以而?CP=V3(V3-2)+1x1=4-2V3.

故選：C.

【變式6-3](2024?北京三模)已知點N在邊長為2的正八邊形治,4，…，4的邊上，點M在邊4遇2上，則而限

A.[-4-2V2,2\/2]B.[-4,4+2得

C.[-272,4+2V2]D.[-2x/2,4]

【答案】C

【解題思路】以為為原點，建立平面直角坐標系，表示出點M、N的坐標，計算否祈?而7即可.

【解答過程】以為為原點，442為不軸，力遇6為y軸建立平面直角坐標系，

設N（%i，yi）,M（x2,0），則可?=（Q,0）,布=（%i，yD，

所以為法?A}N=%i%2，

由于正八邊形的每個外角都為不

4

則初G[0,2],勺e[-72,2+V2],

所以而?用=%/2e[-2四,4+2閨.

故選:C.

【題型7向量在物理中的應用】

【例7】（2025?寧夏?一模）如圖所示，質點尸從點力出發(fā)，沿力從BC,C。運動至點Q,已知AB〃⑺,AB=

4,BC=2,CO=3,ABBC=-2,則質點尸位移的大小是（）

B.2V15C.2V13D.V46

【答案】D

【解題思路】由數(shù)量積的運算律，定義，結合模長計算可得.

【解答過程】由題意可得質點P位移為而^AB+BC+CD,

所以|而|=+BC+CD)1=J|i4S|2+|SC|2+\CD\Z+2AB-BC+2BCCD+2ABCD

因為力B=4,8C=2,CD=3,AB-BC=-2,所以而?而=12,

設南,正的夾角為仇所以而?BC=[AB\[BC\cosO=-2=>cosB=-%

因為48〃CD,所以近.而=\BC\\CD\COSG=2x3x（—?=一|,

所以|而|=壓.

故選:D.

【變式7?1】（2024?山西長治?模擬預測）平面上的三個力晶,r2,&作用于一點，且處于平衡狀態(tài).若I尸11=

1N,尸21=當立N,生與尸2的夾角為45。，則%與F]夾角的余弦值為（）

AV6+V2V6+V2~V6-V2「x^6-V2

A--nB.—C.-D.—

【答案】A

【解題思路】根據(jù)K+及+瓦=6冼求得同=瓦+同，再由同=JpT（+|可，2同周cos。，即

可求解.

【解答過程】???三個力平衡,

:?F1+Fz+&=0，

|同=瓦+矽=J間，2反比+同2=112+2、”號改45。+（穿）2=V2.

設弓與耳的夾角為氏則I同=J同2+同2+2同同3仇

即2^=J12+應2+2X1X應cos。，

、石+企

解得cosO

4

故選：A.

【變式7?2】（2024?全國?模擬預測）如圖，某物體作用于同一點。的三個力州,尸2,F3使物體處于平衡狀態(tài),

已知Fi=lN,F2=2N,Fi與F2的夾角為120。，則r3的大小為.（牛頓N是物理的力學單位）.

【答案】V3N

2

【解題思路】根據(jù)三力平衡得到向+月=-月，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到I川+

2間?同COS120。+向2=同[代入數(shù)據(jù)即可得到答案.

【解答過程】由題意知三力平衡得月+月+月=6,化簡得向十月=-總

兩邊同平方得一+2斗?"+F2=芯2,即向2+2向.同8sl20。+同2=圖2,

,2

即12+2乂”2乂（一？+22=3=同，解得悶=75.

故答案為：V3N.

【變式7-3]（2025?四川成都?模擬預測）如圖，無彈性細繩。40B一端分別固定在力，B處,在同樣的細

繩0C的下端吊一重物，要保持此狀態(tài)，對細繩的耐力性要求最高的是(三條繩本身質量忽略不計,

橫線上填。力或08或0C).

【解題思路】設040B,0C三條繩受的力分別為瓦京?，則五+方+下=6,根據(jù)向量加法法則和直角三角形三

邊關系得到“卜回，|。/1卜0C,得到答案.

【解答過程】設04。8,。。三條繩受的力分別為瓦方?，則五+石+?=6,

瓦E合力為。'=五+反同

如圖，在平行四邊形TO8'C'中,

>|研

即同＞|同，同〉同，故細繩04受力最大，即對?！袄K的耐力性要求最高.

故答案為：。4

【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】

【例8】(2025?云南昭通?模擬預測)在△48。中，已知48=10,BC=6,CA=8,則而?近=()

A.36B.18C.-18D.-36

【答案】D

【解題思路】由余弦定理求出cosB,然后由向量數(shù)量積的定義求解即可.

【解答過程】在△A8C中，已知46=10,BC=6,CA=8,

AB2+BC2-CA2_100+36-643

由余弦定理得cosF=---------―

2ABBC120

/W-FC=|XF||FC|COS(TT-F)=-\AB\\BC\cosB=-10X6X1=-36.

故選：D.

【變式8-1](2025?安徽合肥?模擬預測)如圖，在△?!"中，4821c=,而=而,P為。。上一點，且滿足而=

m而+；而，若SAABC=2^，則|而|的最小值是()

A.2B.4C.竽D.g

33

【答案】C

【解撅思路】設麗=4而，從而得到而=)近+(1-4)前，結合己知有==)應用三角形面積公

，O?5

式得|而「|而|二8,最后由向量數(shù)量積的運算律、基本不等式求向量模長的最值.

【解答過程】設而=入而，則而=而+加=在+/1而=尼+/16說一前)=號/1通+(1-/1)m=

1/IB+mACr

所以2-3,解得入=

Im=1-A3

S-BC=41福.\AC\sinZ-BAC=[廊|?|阿=2百，則|祠?同=8,

?---u2/I■■?1---?\21----1---f2--->?

\AP\=[-AB+-AC)=-AB2-AC2+-AB-AC

ng國2+"|祠2+彳畫園“AC"&詞2[|研+2畫同

=^\AB\-\AC\=l，當且僅當府|=|回=2式時，等號成立，

|而|的最小值為手.

故選：C.

【變式8-2](2025?四川樂山?三模)己知等腰三角形48C中，乙BAC=120°,AB=AC=1,BC=atCA=b,

AB=cf那么++w?五=()

【答案】B

【解題思路】解法一：由余弦定理求出8C,CB,再由數(shù)量積的定義求解即可；解法二：由余弦定理

求出8C,再由（五+石+可2=0可得五石+石々+七?五=一亨尤，代入求解即可得出答案.

【解答過程】解法一：由余弦定理可知：BC=AB24-AC2-2AB-ACcos^BAC=V3,

所以N4BC=Z.ACB=30°,W?b+bc+c-a=V3x1xcosl50°+1x1xcos600+V3x1xcosl50°=—

5

2'

解法二：由余弦定理可知8c=AB2+AC2-2AB?ACcosz.BAC=V3,

因為五+~b+c=0,則@+b+7）2=o,

2

所以/+京+c+2a-h+2bc+2ca=0,

即工?石+石々+七?不二一^^二一3

22

故選：B.

【變式8-3]（2025?河北保定?三模）如圖，在四邊形力8co中，|正|=2,|而|=再，乙4CD=30°,E為線

段/C的中點，DE=2EB,則萬彳?麗二（）

【答案】D

【解題思路】在△4CD中，由余弦定理可得|而|=1,在中易得|屁|=:|而|=1,Z-BDA=60°,

即可利用數(shù)量積的定義求解.

【解答過程】在44CD中，由余弦定理可得|而（=|公廣+|而廣-2\AC\\CD\cos^ACD=22+（V3）2-2x

2xV3xcos30°=1,

則府|=1,

由I而「|而『=|無|2,可得DC工0力，

又￡為線段力。中點，則|瓦|=；|祠=1,

又屁=2麗，則|函=/|詞=|,且4804=60。，

所以a.麗=\DA\\DB\cos^.BDA=1x|cos600=*

故選：D.

【題型9平面向量新定義】

【例9】（2025?湖南郴州?三模）定義：|五x初二|訓砧in仇其中6為向量的夾角.若無,=8,tan￡=2,

則Rx同=（）

A.8B.16C.?D.?

【答案】B

【解題思路】由五?石=|五網(wǎng)cosb=8,結合同角三角函數(shù)式sin。=cosdtan。即可求解.

【解答過程】因為由石二|五||同3。=8,

所以|五xb\=|a||d|sin0=|a||d|cos0-tan0=16.

故選：B.

【變式9-1]（2025?河南新鄉(xiāng)?二模）已知式=（必,月），%=（物/2）都是非零向量，定義新運算方0石=￡必+

%i>iy2+石人+y\x2y2，則“五Ob=0”是*1的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】將五。石=xlx2+xiyiy2+x.xj+yix2y2=0提公因式化簡，分別討論各個因式可得結果.

xxx

【解答過程】若五ob=0,則五oE=%1%2+X}y}y2+小腐+力》2y2=（%i+2）（i2+7172）=。，則M+

x2=o或/工2+y，2=o.

當為+%2=。時，五?b=XjX2+y]y2=0未必成立；

當心匯2+%V2=0時，a-b=XiX2+ViV2=0.

故*Ob=0”是21"的必要不充分條件.

故選：B.

【變式9-2]（2025?吉林?模擬預測）設43/]）,8（如丫2），定義余弦距離e（A,8）=1-cos（而，礪）（0為

原點）.若M（Vr=？"），N（-1,1）,則e（M,N）的最小值為（）

A.V2B.IC.1-yD.0

【答案】C

【解題思路】分析可得M在半圓x2+y2=i(xzo)￡結合圖象確定4M0N的最小值，即可得解.

【解答過程】則(77^)2+產=1,且VF^zo,

???M在半圓％2+y2=>0)上，

如圖，當M在(0,1)時，/MON取最小值，最小值為京cos(麗，麗)取得最大值苧,

此時e(M,N)取最小值，最小值為1-日.

【變式9-3】(2024?河北邯鄲?二模:，對任意兩個非零的平面向量港麗，定義：五十石=年工，冠。石=方.若

同2+悶悶

平面向量心石滿足同>|川>0,且近十石和五。石都在集合《|n￡Z,0VnW4｝中，則，十E+蒼。石=()

A.1B.|C.1或彳D.1或3

【答案】D

【解題思路】根據(jù)同>間>0,得到同2+同2>2同斗再利壓題設中的定義及向量夾角的范圍，得到方十

aOb>1,再結合條件，即可求出結果.

【解答過程】因為｛沙eZ,0<n<4]=牌訓,

設向量N和石的夾角為。，因為同>|同>0,所以同2+|32>2同歷

俎到Ke7一"石一同同cosO同向cosG一cos。

得到.十匕一而一商而,而師一十’

又6￡[0,飼，所以等工3

又z十方在集合｛：|〃€40<九式4｝中，所以等即cose>5得至恒十石二：,

又因為五。石嚕=卡=5.>3%，所以斷.1,

所以二十石+五O%=1

故選:D.

過關測試

一、單選題

1.(2025?廣東惠州?模擬預測)已知向量五，石滿足0=4,|同=2,蒼與石的夾角為基則怔一可=()

A.2B.4C.2x/3D.2而

【答案】C

【解題思路】法一：對|五-同，兩邊平方再開方計算可得答案；法二：由向量減法的幾何意義和已知條件可

得答案.

2

【解答過程】法一：怔一同=a24-P-2a-b=16+4-2x4x2x1=12,

即區(qū)_同=2g；

法二：

由向量減法的幾何意義和已知條件易知，如圖，

c

則28=90。，a-b=BC,故忖一同=7e一Z=2?

故選：C.

2.(2025?天津紅橋?模擬預測)已知同=3,|同=2,W與E夾角的大小為120。，貝皈7=()

A.3B.-3C.V3D.-V3

【答案】B

【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積的定義求兩個向量的數(shù)量積.

【解答過程】因為NE=|司?|司?cos值U)=3x2xcosl20°=3x2x(―0=—3.

故選：B.

3.(2025?陜西延安?模擬預測)已知向量方=(1,1),?=(%,-1),若五1(2方一35)，則近+3^=()

A.（8,-2）B.（6,-2）C.（8,-4）D.（6,-4）

【答案】A

【解題思路】根據(jù)向量線性運算和向量數(shù)量積運算的坐標表示，求出參數(shù)，再求出結果.

【解答過程】由工=（1,1）,石=（即一1）可得2M—3石=（2-3%