2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之圓

一,選擇題（共10小題）

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧

C.面積相等的兩個(gè)圓是等圓

D.半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧

2.如圖，在0。中，AB=AC,N4OB=40。，則NAOC的度數(shù)是（）

3.如圖，正方形A8CO的邊A4=l,應(yīng)）和配都是以1為半徑的圓弧，則無(wú)陰影兩部分的面積之差是（）

4.如圖，在半徑為3的0。中，48是直徑，AC是弦，。是左的中點(diǎn)，AC與8。交于點(diǎn)E.若E是BQ

5.如圖，在半徑為5a〃的OO中，弦A8=6C〃7,OC_LA8于點(diǎn)C,則OC=（）

o

B.4c/?zC.5anD.6cm

6.如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的弦A3與小圓有公共點(diǎn)，則弦A3的

取值范圍是（）

A.8<Afi<I0B.8<Afi<10C.4<AB<5D.4<AB<5

7.如圖，0M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)P是。M上的任意一點(diǎn)，PALPB,且陽(yáng)、PB

與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，則A8的最小值為（）

A.3B.4C.6D.8

8.如圖，四邊形A4C。內(nèi)接于。。，AC平分N84O,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD.ZBCA=ZDCA

9.如圖，點(diǎn)A、B、。是圓。上的三點(diǎn)，且四邊形A8C0是平行四邊形，。/_L。。交圓。于點(diǎn)人連接

AF,則N8AF等于（)

c

C.20cD.22.5C

10.如圖，將OO沿弦A8折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心。，點(diǎn)尸是優(yōu)弧麗再上一點(diǎn)，則NA尸6的度數(shù)為（)

C.75°D.60°

二,填空題（共5小題）

11.如圖，點(diǎn)A,B,C,。在O。上，Ci=CD,NC4O=30。，ZACD=50°,則NAO8=

12.如圖，A8是。。的一條弦，點(diǎn)C是。。上一動(dòng)點(diǎn)，且NAC8=30。，點(diǎn)七、F分別是AC、BC的中點(diǎn),

直線石產(chǎn)與OO交于G、〃兩點(diǎn).若OO的半徑為7,則GE+"；的最大值為

13.如圖，在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,A3=2,點(diǎn)。為43的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心作圓心角為

90。的扇形QER點(diǎn)。恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在第一象限，0P與x軸交于0,4兩點(diǎn)，點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(6,0),OP的半徑為何，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

15.如圖，直線/與半徑為4的。。相切于點(diǎn)A,P是00上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，過(guò)點(diǎn)P作PB1L

PB=y,則(x-y)的最大值是.

16.如圖，已知圓。的直徑44垂直于弦C。于點(diǎn)E,連接CO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)RKCF1AD.

(1)請(qǐng)證明：E是04的中點(diǎn);

(2)若AB=8,求C。的長(zhǎng).

B

17.如圖，以△A8C的一邊A8為直徑的半圓與其它兩邊AC,BC的交點(diǎn)分別為。、E,月.歷=加.

(1)試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sin/AB。的值.

18.如圖，點(diǎn)。在NAP8的平分線上，。0與以相切于點(diǎn)C.

(1)求證：直線與。。相切；

(2)P0的延長(zhǎng)線與。0交于點(diǎn)￡若OO的半徑為3,PC=4.求弦CE的長(zhǎng).

A

1

且NC"=/CAB.

(1)求證：直線8尸是。0的切線；

(2)若A8=5,sinNC8/=卓，求8c和的長(zhǎng).

20.如圖，AB.AC分別是OO的直徑和弦，OO_LAC于點(diǎn)。.過(guò)點(diǎn)4作。0的切線與。。的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)P,PC、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

(1)求證：尸C是。。的切線；

(2)若NA8C=60。，AB=\0,求線段CF的長(zhǎng).

2026年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之圓（2025年10月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案BCADBACBBD

一.選擇題（共10小題）

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

B.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧

C.面積相等的兩個(gè)圓是等圓

D.半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧

【考點(diǎn)】圓的認(rèn)識(shí).

【專題】計(jì)算題.

【答案】B

【分析】根據(jù)直徑的定義對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對(duì)8進(jìn)行判斷；根據(jù)等圓的定義對(duì)C進(jìn)行判

斷；根據(jù)半圓和等弧的定義對(duì)。進(jìn)行判斷.

【解答】解：4、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以人選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

B、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，所以B選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤；

C、面積相等的兩個(gè)圓的半徑相等，則它們是等圓，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

。、半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，所以。選項(xiàng)的說(shuō)法正確.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等）.

2.如圖，在。。中，AB=AC,N4OB=40。，則/AOC的度數(shù)是（)

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【答案】C

【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出/人OC=NAO8=4。。，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：連接CO,如圖：

???在OO中，AB=AC,

JNAOC=NAOB,

???NAO8=40。，

工ZAOC=40°,

JZADC=|ZA（?C=20°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理；熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓

周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，正方形ABCD的邊AB=I,協(xié)和念都是以1為半徑的圓弧，則無(wú)陰影兩部分的面積之差是（）

D.1-看

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.

【答案】A

【分析】圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，1、2和兩個(gè)3的面積和是兩個(gè)扇形的面積,

因此兩個(gè)扇形的面積的和一正方形的面積=無(wú)陰影兩部分的而枳之差，即歿衿-1/T

【解答】解：如圖:

正方形的面積=Sl+S2+S3+S4;①

兩個(gè)扇形的面積=2Ss+Si+S"②

②~①，得：S3-S4=2S坳形-S正方形=%器—1=—1?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積計(jì)算公式及不規(guī)則圖形的面枳計(jì)算方法.找出正方形內(nèi)四個(gè)圖形面

積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在半徑為3的。0中，A8是直徑，AC是弦，。是配的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E.若E是BD

C.3V2D.4x/2

【考點(diǎn)】垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

【分析】連接。。，交AC于F，根據(jù)垂徑定理得出OO_LAC,AF=CF,進(jìn)而證得。r=8C,根據(jù)三角

形中位線定理求得OF=如尸，從而求得BC=。尸=2,利用勾股定理即可求得AC

【解答】解：連接0。，交AC于F,

是流的中點(diǎn)，

J.ODLAC,AF=CF,

，ZDFE=90°,

、：OA=OB,AF=CF,

/.0F=：BC,

-AB是直徑，

???ZACB=9()0,

在^EFD和^ECB中

(^DFE=乙BCE=90°

\/.DEF=/-BEC

(DE=BE

:?△EFD%dECB(AAS),

:,DF=BC,

：,OF=/DF，

???。。=3,

：.OF=\,

:.BC=2,

在RQABC中，AC2=AB2-BC2,A8=6,

，AC=\/AB2-BC2=V62-22=4a,

故選：。.

D______

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

5.如圖，在半徑為5c〃?的。。中，弦人8=6?！?，OCLAB于點(diǎn)C,則0。=()

A.3c7〃B.4cmC.5cmD.6cm

【考點(diǎn)】垂徑定理：勾股定理.

【答案】B

【分析】連接0A,先利用垂徑定理得出AC的長(zhǎng)，再由勾股定理得出0C的長(zhǎng)即可解答.

【解答】解：連接04

???AB=6cm,0C_LAB于點(diǎn)C,

.\AC=9x6=3c/〃，

???00的半徑為5cm,

0C=yJOA2—AC2=>/52—32=4?！?

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦的

B.8VA8W10C.4<A8<5D.4VABW5

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理.

【答案】A

【分析】此題可以首先計(jì)算由當(dāng)A/3與小圓相切的時(shí)候的弦長(zhǎng).連接過(guò)切點(diǎn)的半徑和大圓的一條半徑,

根據(jù)勾股定理和垂徑定理，得八B=8.若大圓的弦A8與小圓有公共點(diǎn)，即相切或相交，此時(shí)人也8；

乂因?yàn)榇髨A最長(zhǎng)的弦是直徑10,則8S4BW10.

【解答】解：當(dāng)A8與小圓相切,

???大圓半徑為5,小圓的半徑為3,

，A8=2>/52—32=8.

???人圓的弦A8與小圓有公共點(diǎn)，即相切或相交,

.?.8<AB<10.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了切線的性質(zhì)、勾股定理和垂徑定理.此題可.以首先計(jì)算出和小圓相切時(shí)的弦長(zhǎng)，

再進(jìn)一步分析有公共點(diǎn)時(shí)的弦長(zhǎng).

7.如圖，的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)P是0M上的任意一點(diǎn)，PA1PB,且出、PB

與x軸分別交于4、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則AB的最小值為（）

【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；勾投定理.

【專題】常規(guī)題型：與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【答案】C

【分析】由RSAPB中AB=2OP知要使AB取得最小值，則P0需取得最小值，連接0M,交于

點(diǎn)嚴(yán)，當(dāng)點(diǎn)P位于P，位置時(shí)，。產(chǎn)取得最小值，據(jù)此求解可得.

【解答】解：J_P8,

???ZAPB=90°,

*：AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，則P。需取得最小值，

連接0M，交OM于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)P位于P位置時(shí)，。產(chǎn)取得最小值,

過(guò)點(diǎn)M作MQ_Lx軸于點(diǎn)Q,

則0Q=3、MQ=4,

，0M=5,

又，：MP=2,

???0P』3,

：.AB=2OP'=6,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

得出AB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置.

8.如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于0。，AC平分NBA。，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD.NBCA=/DCA

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：A、:NACB與NAC。的大小關(guān)系不確定，與A。不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、〈AC平分NBA。，：.NBAC=NDAC,：,BC=CD,：,BC=CD,故本選項(xiàng)正確；

C、???NAC8與/ACO的大小關(guān)系不確定，，筋與而不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、/8C4與/OC4的大小關(guān)系不確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中

有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

9.如圖，點(diǎn)A、B、。是圓。上的三點(diǎn)，且四邊形A3C0是平行四邊形，交圓0于點(diǎn)凡連接

Af,則NB八戶等于（）

c

【考點(diǎn)】圓周角定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到為等邊三角形，根據(jù)等腰三知形的三線合

一得到N80尸=乙4。尸=30。，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可.

【解答】解：連接。8,如圖所示，

四邊形ABCO是平行四邊形，

：?OC=AB,又OA=OB=OC,

：.OA=OB=ABt

???△AO8為等邊三角形，

,：OFVOC,OC//AB,

??.。凡LA8,

:./BOF=ZAOF=30°,

由圓周角定理得NBA/=±/80/=15。，

故選:8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握同弧

或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，將OO沿弦A3折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心。，點(diǎn)P是優(yōu)弧麗上一點(diǎn)，則NAP/3的度數(shù)為（)

\/o^x\/

-----斗

J.….J

A.45°B.30°C.75°D.60°

【考點(diǎn)】圓周角定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）；含30度角的直角三角形.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【答案】D

1

【分析】作半徑OC_L/W于。，連接08,如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OO=CQ,則^。人，根

據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到/。4。=30。，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出N4OA=

120。，

然后根據(jù)圓周角定理計(jì)算N4P8的度數(shù).

【解答】解：作半徑OCJ_AB于。，連接OA、OB,如圖，

???將。。沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O,

：,OD=CD,

：?OD=1OC=^OA,

???NOAD=30°,

又OA=OR,

???NO8A=30。，

，NAOB=120。,

JZAPB=1Z40B=60°.

c

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和折疊的性質(zhì).

二,填空題（共5小題）

11.如圖，點(diǎn)A,B,C,。在O。上，CB=Cb,ZCAD=30°,NACD=50。，則NAQ8=70°

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.

【專題】常規(guī)題型.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用圓周角定理以及結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出NACB=NAOB=180。-ZCAB-NABC,

進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???麗=麗，ZCAD=30°,

：.ZCAD=ZCAB=3Q°,

：.ZDBC=ZDAC=30°,

???NACQ=50。，

，ZABD=50Q,

，NADB=NAC8=180。-ACAB-NABC=180。-50°-30°-30°=70°.

故答案為：70°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理，正確得出N48。度數(shù)是解題關(guān)鍵.

12.如圖，A8是。。的一條弦，點(diǎn)。是。。上一動(dòng)點(diǎn)，且NAC8=30。，點(diǎn)E、尸分別是AC、BC的中點(diǎn)，

直線后尸與。0交于G、”兩點(diǎn).若OO的半徑為7,則GE+/77的最大值為10.5.

【考點(diǎn)】圓周角定理：三角形中位線定理.

【專題】壓軸題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】連接OA、OB,根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得AB=OA=O8=7,則GE+"/=G〃-七/=

GH-3.5,所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+F”有最大值.而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為。O的直徑

時(shí)，GE+/77有最大值14-3.5=10.5.

【解答】解：連接OA、OB,

VZC=30°,

，N4O8=60。，

?：OA=OB,

是等邊三角形，

：.AB=OA=OB=7,

當(dāng)G"為。。的直徑時(shí)，GE+FH有最大值.

當(dāng)GH為直徑時(shí)，E點(diǎn)與。點(diǎn)重合，

???4C也是直徑,47=14.

VZABC是直徑上的圓周角，

，NABC=90。，

VZC=30°,

1

：.AB=^AC=1.

?1點(diǎn)E、/分別為AC、的中點(diǎn)，

：.EF=^1AB=3.5,

，GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.

故答案為：10.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度.確定G”的位置是解題的

關(guān)健.

13.如圖，在△ABC中，CA=CB,NAC8=90。，A8=2,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心作圓心角為

711

90。的扇形07?凡點(diǎn)。恰在弧石尸上，則圖中陰影部分的面積為一一一.

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】連接CD,證明△。。”^△。笈；，則S網(wǎng)邊形OGC〃=SA。。。，求得扇形的面積，則陰影部分

的面積即可求得.

【解答】解：連接C。,

,:CA=CB,乙4cB=90。,

???NB=45°,

???點(diǎn)力為A3的中點(diǎn),

：.DC=^AB=BD=\,CDA.AB,NOCA=45°,

:"CDH=/BDG,/DCH=/B,

在4。?！焙?03G中,

NCDH=乙BDG

CD=BD

乙DCH=乙B

(ASA),

S四邊形DGCH=SLBDC=|SAABC=Ix工8?CO=x2xl=

2

.c_cc907TX1Tt1

??S陰影一S凰形DE"-OABDC=-%0—=4-2-

故答案為X

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計(jì)算的綜合題，正確證明△OCH會(huì)/XOBG,

得至IjS閃電形DGCH=Sa5，）C是關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在第一象限，。尸與x軸交于O,，兩點(diǎn)，點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（6,0）,。尸的半徑為m，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,2）.

【考點(diǎn)】垂徑定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理.

【專題】壓軸題：探究型.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)D,連接OP,先由垂徑定理求出OO的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出PD

的長(zhǎng)，故可得出答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)?作PZXLx軸于點(diǎn)。，連接OP,

VA（6,0）,PDLOA,

：?OD=20A=3,

在RtAOPD中，

'：OP=V13,。。=3,

：.PD=>JOP2-0D2=^(V13)2-32=2,

:?P(3,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出宜角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

15.如圖，直線/與半徑為4的。。相切于點(diǎn)A,P是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)P作PBVL

垂足為從連接力.設(shè)以=/,PB=y,則（x-y）的最大值是2

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).

【專題】幾何圖形問(wèn)題；壓軸題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

ApBP11

【分析】作直徑人C，連接CP，得出△APC^^PBA,利用元=茄，得出尸寸，所以X-y=x-#=

一#+x=T(x-4)2+2,當(dāng)x=4時(shí)，x-y有最大值是2.

【解答】解：如圖，作直徑AC,連接CP,

ZCM=90°,

AB是切線，

CA±AB,

PBAJ,

AC//PB,

/CAP=NAPB,

△A尸Cs△尸BA,

APPB

AC~PA

PA=XiPB—yi半徑為4?

x一y,

8X

10

11

2J■z4

X一y-==-fX-

-P-8-\

當(dāng)x=4時(shí)，x?)，有最大值是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟

練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.如圖，已知圓0的直徑AB垂直于弦CO于點(diǎn)連接C。并延長(zhǎng)交A。于點(diǎn)F,且C尸，AD.

(I)請(qǐng)證明：E是。8的中點(diǎn).；

(2)若AB=8,求CD的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】垂徑定理：勾股定理.

【專題】計(jì)算題；證明題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)要證明：E是OB的中點(diǎn)，只要求證即證明/OCE=3()。即可.

(2)在直角AOCF中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CO的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接AC,如圖

直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,

：,AC=AD,

：,AC=AD,

???過(guò)圓心。的線CV_L4。，

：,Ar=DF,即?！ㄊ菑?。的中垂線，

：.AC=CD,

：,AC=AD=CD.

即：△AC。是等邊三角形，

AZFCD=30°,

ffiRtACOE中，OE=30C,

1

：,0E=gOB,

???點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；

(2)解：在Rt^OCE中，A8=8,

：,0C=^AB=4,

又,：BE=OE,

JOE=2,

：.CE=y/OC2-OE2=V16-4=2小

：,CD=2CE=4V3.

B

【點(diǎn)評(píng)】解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解.

17.如圖，以△A8C的一邊A8為直徑的半圓與其它兩邊AC,8C的交點(diǎn)分別為。、E,且應(yīng)=處.

(1)試判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)己知半圓的半徑為5,BC=\2,求sinNAB。的值.

【考點(diǎn)】圓周角定理；等腰二角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)連接AE,如圖，根據(jù)圓周角定理，由施=既得ND4E=N84E,由A8為直徑得NAE8

=90。，根據(jù)等腰三角形的判定方法即可得△48c為等腰三角形；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)得8E=CE=/8C=6,再在RsABE中利用勾股定理計(jì)算出AE=8,接著由

AB為直徑得到NA/)B=90。，則可利用面積法計(jì)算出BD=號(hào)，然后在RtAABD中利用勾股定理計(jì)算出

AD=再根據(jù)正弦的定義求解.

【解答】解：(1)△ABC為等腰三角形.理由如下：

連接AE,如圖，

???龐=密

：?NDAE=NBAE,即4E平分N84C,

VAB為直徑，

NAE8=90。，

：.AE1BC,

?二△ABC為等腰三角形；

(2):△ABC為等腰三角形,AE±BCt

：.BE=CE=gBC=|xl2=6,

在RQ48E中，V/1B=IO,BE=6,

：,AE=V102-62=8,

'：Ali為直徑，

NAQ8=900,

11

：,-AE*BC=*BD?AC,

22

?m8x1248

4A

在RSAB。中，VAfi=10,6。=詈，

.___________14

：.AD=7AB2-BD2=苫

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查

了等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理.

18.如圖，點(diǎn)。在NAP8的平分線上，與以相切于點(diǎn)C.

（I）求證：宜線與。。相切；

（2）PO的延長(zhǎng)線與00交于點(diǎn)石.若OO的半徑為3,PC=4.求弦CE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的判定.

【專題】幾何綜合題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】（1）連接OC,作OD_LP8于。點(diǎn).證明0。=0。即可.根據(jù)角的平分線性質(zhì)易證：

（2）設(shè)。。交于F,連接CR根據(jù)勾股定理得。0=5,則。七=8.證明△PC/S/XPEC,得b：

CE=PC：PE=\：2.根據(jù)勾股定理求解CE.

【解答】（1）證明：連接。C,作。。于。點(diǎn).

???0。與%相切于點(diǎn)C,

：,0CLPA.

???點(diǎn)。在NAP8的平分線上，0C_L/M,0D1PB,

：,OD=OC.

?,?直線與0。相切；

（2）解：設(shè)PO交。。于凡連接。尺

,：0C=3,PC=4,：.PO=5,PE=8.

???。0與%相切于點(diǎn)c,

AZPCF=ZE.

又，：/CPF=/EPC,

:.APCFs叢PEC,

：?CF：CE=PCtPE=4：8=1：2.

YE/是宜徑,

/.ZECF=90°.

設(shè)Cr=x,則￡C=2L

則7+(2A-)2=62,

6

5-

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定、相似三角形的性質(zhì).注意：當(dāng)不知道直線與圓是否有公共點(diǎn)而要證明

直線是圓的切線時(shí)，可通過(guò)證明圓心到直線的距離等「圓的半徑，來(lái)解決問(wèn)題.

19.如圖，在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的分別交ACBC于點(diǎn)。、E,點(diǎn)尸在AC的延長(zhǎng)線上，

1

RZCBF=^ZCAB.

(1)求證：直線B尸是。。的切線；

(2)若A8=5,sinNC"=卓，求8c和8F的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理；圓周角定理.

【專題】幾何綜合題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)連接AE,利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角

相等得到直角，從而證明NABP=90。.

(2)利用已知條件證得△AGCs/VWF,利用比例式求得線段的長(zhǎng)即可.

【解答】(1)證明：連接AE,

???4B是。。的直.徑，

JZAEB=90°,

.\Zl+Z2=90o.

*：AB=AC,

：.Z\=^ZCAB.

■:/CBF=//CAB,

/.Z1=ZCBF

.\ZCTF+Z2=90°

即/4BF=90。

VAB是OO的直徑，

，直線B尸是。。的切線.

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作CGJ_43于G.

TsinNCB尸=4,Nl=/CBF,

??sinz_1=

???在RsAEB中，NAEB=9Q°,AB=5,

???8E=A8?sin/l=V5,

*：AB=AC,ZAEB=9()°,

:?BC=2BE=2痘,

在RtZiABE中，由勾股定理得AE=7AB2-BE?=2炳,

.."/IE2/5CG八BE店BG

..sinZ2=^=—=^:,3/2=而=y=玩,

在RiZkCBG中，可求得GC=4,GB=2,

???AG=3,

?:GC//BF,

J△AGCS&BR

￡￡_竺

BF~AB

GCAB20

：

.BF=~AG~T

【點(diǎn)評(píng)】本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線的判定，角的天小及線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)

的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題.

20.如圖，AB、4C分別是的直徑和弦，OQ_LAC于點(diǎn)Q.過(guò)點(diǎn)A作。。的切線與0。的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)P,PC、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

(I)求證：尸C是。。的切線；

(2)若NABC=60。，A8=10,求線段。尸的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)：勾股定理；垂徑定理：圓周角定理.

【專題】常規(guī)題型；與圓有關(guān)的位置關(guān)系.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)連接。C,可以證得利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，以及切線的性質(zhì)定

理可以得到：NOCP=90。，即OCJ_PC,即可證得；

(2)先證△O8C是等邊三角形得NCOA=60。，再由(1)中所證切線可得NOC尸=90。，結(jié)合半徑OC

=5可得答案.

【解答】解：(1)連接。C,

D

汽O1BF

ZODIAC,0。經(jīng)過(guò)圓心O,

.\AD=CD,

：.PA=PC,

在4。4。和^OCP中，

(OA=OC

*：\PA=PC,

(0P=OP

???△OAPg/XOCP(SSS),

：?/OCP=/OAP

???以是OO的切線，

???NOAP=90°.

/.NOCP=90。，

即OC±PC

???PC是oo的切線.

(2)VOB=OC,Z05C=60°,

???△O8C是等邊三角形，

???NCO8=60。，

U10,

AOC=5,

由(1)知NOC產(chǎn)=90。，

/.CF=OCtanNCOB=5>/3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理，以及直角三角形三角函數(shù)的應(yīng)用，證明圓的切線的

問(wèn)題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問(wèn)題.

考點(diǎn)卡片

1.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到入軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到），

軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?/p>

號(hào).

2、有圖形中?些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段K,是解決這類問(wèn)

題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問(wèn)題.

2.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決

問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決.

3.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質(zhì)，解題時(shí)要善「挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30。角的直

角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60。

的角判定.

4.含30度角的直角三角形

（I）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

<2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常

用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù).

（3）注意：①該性質(zhì)是直角三隹形中含有特殊度數(shù)的角（30。）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三

角形不能應(yīng)用；

②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)3（）。的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊.

5.勾股定理

（【）勾股定理：在任何一個(gè)直隹三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果宜角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是小b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+廿=科.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22222

（3）勾股定理公式G+/?=C的變形有：a=Vc—b,b=Yc2-功及c=62+爐

（4）由于。2+戶=。2>。2,所以c>“，同理c>〃，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

6.三角形中位線定理

（I）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語(yǔ)言:

如紹，???點(diǎn)。、E分別是AB、AC的中點(diǎn)

J.DE//BC,DE=^BC.

7.平行四邊形的性質(zhì)

（I）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊；平行四邊形的對(duì)邊相等.

②角：平行四邊形的對(duì)角相等.

③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面枳等于它的底和這個(gè)底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

8.圓的認(rèn)識(shí)

（I）圓的定義

定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段04繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.固

定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段OA叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)0的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.

（2）與圓有關(guān)的概念

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等.

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意

一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣

弧.

（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性.②中心對(duì)稱性.

9.垂徑定理

（I）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條孤.

10.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（I）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其

余各組量都分別相等.

說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧''是指同為優(yōu)弧或

劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推

二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與

原羽形完全重合.

（4）在具體應(yīng)用上述定理解決町題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.

11.圓周角定理

（I）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對(duì)?的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌

握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角

的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一

條弧所對(duì)的''兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條

弧所對(duì)的圓周角和圓心角.

12.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

（I）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：

①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）.

（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起

來(lái),在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ).

13.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（I）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)的半徑為廣，點(diǎn)夕到圓心的距離則有：

①點(diǎn)P在圓外

②點(diǎn)?在圓上=d=r

①點(diǎn)P在圓內(nèi)odVr

（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定

該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

（3）符號(hào)讀作”等價(jià)它:它表示從符號(hào)的