23.1銳角的三角函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù),知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函教值求它的對(duì)應(yīng)銳角。1.理解正弦、余弦、正切、余切這四個(gè)銳角三角函數(shù)的概念,能準(zhǔn)確地用直角三角形兩邊的比表示這些函數(shù)。2.掌握特殊角的三角函數(shù)值,會(huì)計(jì)算含有特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)算式,能根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出對(duì)應(yīng)銳角的度數(shù)。3.能推導(dǎo)并熟記30°、45°、60°角的三角比值，并能根據(jù)這些值說(shuō)出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù)；能熟練計(jì)算含有30°、45°、60°角的三角比的運(yùn)算式。知識(shí)點(diǎn)01正切與坡度·正切定義：在中，，銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，即；符號(hào)語(yǔ)言:在中,，.【即學(xué)即練1】（22-23九年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，，，，則(

)A． B． C． D．【即學(xué)即練2】已知為的一個(gè)銳角，且，則的值為．·坡度：坡面的鉛直高度ｈ和水平長(zhǎng)度ｌ的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i，即i（坡度通常寫(xiě)成ｈ∶ｌ的形式）．·坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角（或稱傾斜角），記作α，于是有i＝ｔａｎα．

顯然，坡度（ｉ＝ｔａｎα）越大，坡角α越大，坡面就越陡．【即學(xué)即練3】坡比是1：，坡角為α，則∠α＝．知識(shí)點(diǎn)02正弦、余弦、余切·正弦定義：在中，，銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即；符號(hào)語(yǔ)言:在中,，.【即學(xué)即練4】（23-24九年級(jí)上·吉林四平·期末）如圖，在中，，則等于（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練5】如圖,在中，，，垂足為D，若，則的值為（

）A． B． C． D．·余弦定義：在中，，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即；符號(hào)語(yǔ)言:在中,，.【即學(xué)即練6】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）在中中，，，，那么的值是（

）A． B． C． D．·余切定義：在中，，銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做的余切，記作，即； 符號(hào)語(yǔ)言:在中,，.【即學(xué)即練7】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為·銳角三角函數(shù)概念：對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是銳角A的函數(shù)。同樣地cosA,tanA，cotA也是銳角A的函數(shù)，即銳角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的銳角三角函數(shù).注意：①在直角三角形中,銳角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值,它沒(méi)有單位②銳角的三角函數(shù)值只與銳角的大小有關(guān)，與所在的直角三角形的邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。【即學(xué)即練8】在中，，若的三邊都縮小5倍，則的值（）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不變 D．無(wú)法確定【即學(xué)即練9】（2024·天津紅橋·一模）如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)0330°、45°、60°角的三角函數(shù)值注意：三角函數(shù)與勾股定理聯(lián)系緊密，要熟悉幾組常用勾股數(shù)：①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④7,24,25；⑤8,15,17；⑥9,40,41.【即學(xué)即練10】的值等于（

）A． B． C．1 D．【即學(xué)即練11】（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【即學(xué)即練12】計(jì)算：．【即學(xué)即練13】如圖，在中，，是的平分線，與相交于點(diǎn)D，且，求的長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)04銳角三角函數(shù)值的相互關(guān)系·同角的三角函數(shù)值關(guān)系：，【即學(xué)即練14】（22-23九年級(jí)上·安徽宣城·期末）已知為銳角，，求的值．·互余的兩個(gè)角的三角函數(shù)值關(guān)系：任意一個(gè)銳角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值．注意：①直角三角形中要分清銳角的對(duì)邊和鄰邊.②在中，，可知,所以互余，即,.【即學(xué)即練15】（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）在中，，則的值為．【即學(xué)即練16】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【即學(xué)即練17】（22-23九年級(jí)上·安徽六安·期末）在中，，，則（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)05一般銳角的三角函數(shù)值·作直角三角形，利用直角三角形邊與角的關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)的兩條線段的比值，表示出銳角三角函數(shù)值·科學(xué)計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值【即學(xué)即練18】如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示出的值，正確的是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練19】如圖，為方便行人推車(chē)過(guò)天橋，某市政府在高的天橋兩端分別修建了長(zhǎng)的斜道，用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算這條斜道的傾斜角，下列按鍵順序正確的是（

）．A．B．C．D．·符號(hào)表示：①在表示正弦、余弦、正切、余切時(shí)，單字母表示的角通常省略角的符號(hào)，而三個(gè)字母表示的角不能省略角的符號(hào)。如的正弦、余弦、正切、余切分別記為,,，；的正弦、余弦、正切、余切分別記為,，，②,,,是完整的符號(hào)，不能寫(xiě)成，，，·銳角三角函數(shù)值的取值范圍：在中，，、、的對(duì)邊分別是，，。由正弦、余弦、正切、余切的定義可知，，，.·求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值的方法：銳角的三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，當(dāng)給出的三角形不是直角三角形時(shí)，需通過(guò)作高等方法構(gòu)造出直角三角形。例：如圖，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值.在Rt△ABD中,AB=3，BD=2，根據(jù)勾股定理，得,∴.【題型一：根據(jù)三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】例1．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·期末）在中，，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．例2．（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，在等腰中，，，是上一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．變式2-1.如圖，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的長(zhǎng)．變式2-2.如圖，在中，，，，求的長(zhǎng)．變式2-3.如圖，是的高線，垂足為點(diǎn)是的中線．，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．例3.如圖，已知和射線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且點(diǎn)到、的距離為、．(1)若，，，試比較、的大小；(2)若，，，都是銳角，且．試判斷、的大小，并給出證明．【題型二：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度】例4．已知中，，都是銳角，且，則度．變式4-1．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）若為銳角，，則．變式4-2．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·期末）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角等于（

）A． B． C．30° D．60°【題型三：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀】例5．（23-24九年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）在中，，都是銳角，且，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形變式5．在中，，都是銳角，且，則是三角形．【題型四：已知角度比較三角函數(shù)值的大小】例6．（22-23九年級(jí)上·福建泉州·期中）三角函數(shù)，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式6-1．比較，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式6-2．比較大小：（填“”、“”或“”）．【題型五：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的范圍】例7．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）若，則銳角滿足（）A． B．C． D．變式7-1．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）若銳角滿足，則銳角的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式7-2．已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型六：利用同角或互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求值】例8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．

(1)求的值；(2)填空：當(dāng)為銳角時(shí)，______；(3)利用上述規(guī)律，求下列式子的值：．變式8．（2023·湖南婁底·一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．【題型七：利用正切值求高】例9．（2024·廣西梧州·一模）如圖，要測(cè)量一座小山丘的高度，某同學(xué)在一平面內(nèi)取A、B兩點(diǎn)，且測(cè)得與山頂C點(diǎn)的仰角的角度為、，A、B兩點(diǎn)的距離是a，過(guò)C點(diǎn)作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則CD的高度．（用含有、、a的式子表示）變式9．（2022·上海青浦·二模）小明要測(cè)量公園里一棵古樹(shù)的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在點(diǎn)測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫?，向前走?00米到點(diǎn)，測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫?，則古樹(shù)的高度為米．【題型八：三角函數(shù)綜合】例10．（2024·山東菏澤·一模）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．觀察：若，則有，．．模仿：已知，．(1)求的值；(2)若，求．例11.（23-24九年級(jí)上·上海寶山·期中）如圖，中，，，D是邊的中點(diǎn)，連結(jié)．

(1)已知，求的長(zhǎng)；(2)求的值．例12.如圖，在中，，點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn)，且，將沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則．

變式12-1．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接、、，且交于，交于，則的值為（

）A． B． C． D．變式12-2．如圖，在四邊形中，，．記，．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．

一、選擇題1．在中，，各邊都擴(kuò)大5倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定2．（22-23九年級(jí)上·上?！て谥校┮阎獮殇J角，且，那么的正切值為（

）A． B． C． D．3．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．4．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）在中，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．6．（23-24九年級(jí)上·安徽亳州·階段練習(xí)）觀察下列各式：①；②（是銳角）；③，其中成立的有(

)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)7．（22-23九年級(jí)上·安徽安慶·期中）已知為銳角，則的值（

）A．? B．? C．? D．?8．（22-23九年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B，C在y軸上，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題9．在中，，則；；10．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）若銳角滿足，則．11．已知，，則．12．（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·期末）在正方形網(wǎng)格中位置如圖所示，則的值為．13．（22-23九年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）在中，三邊之比為，則．14．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，滿足，若，則圖中等于的角有個(gè)．三、解答題15．（1）（2024·安徽滁州·三模）計(jì)算：；（2）（2024·安徽合肥·三模）計(jì)算：．16.(1)12(2)sin45°?17．（2023·浙江臺(tái)州·二模）某校在漩門(mén)灣進(jìn)行船只模型比賽，小船需從A點(diǎn)行駛至C點(diǎn)，已知，，若小船沿比賽路線從A點(diǎn)出發(fā)行駛30m后到達(dá)終點(diǎn)C，求BC的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）

18．（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，在中，于．(1)求證：；(2)如果，求的長(zhǎng)．19．（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期末）如圖，在中，，．(1)求的值；(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求的長(zhǎng)．

20．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：，，，，．據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角，，若，均有．(1)當(dāng)，時(shí)，驗(yàn)證是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示給予證明，其中所對(duì)的邊為，所對(duì)的邊為，斜邊為；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例；(3)利用上面的證明方法，直接寫(xiě)出與，之間