第第頁北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《特殊平行四邊形》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案一、選擇題1.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=70°，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)F為AD邊上一點(diǎn)，連接AE，CE，F(xiàn)E，CF，若AE=FE，∠BCE=25°，則∠CFD的度數(shù)為(

)A.50° B.55° C.二、解答題2.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，CE⊥AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AE上一點(diǎn)，若AC=6，BD=8，AF=49AE，求線段CF的長(zhǎng)．

3.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BE，AF，CF.(1)求證：B，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線；(2)若G為BE的中點(diǎn)，連接AG，求證：AF=2AG.4.如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，AF，若sin∠EAF=45，AE=5，求AB的長(zhǎng)．

5.如圖，在菱形ABCD中，∠D=60°，點(diǎn)E是邊AD上的點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的點(diǎn)，將菱形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′.

(1)如圖①，若點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，AB=6，連接AC′，AD′，當(dāng)∠C′AD′=90°時(shí)，求(2)如圖②，連接BE，CE，若C′D′過點(diǎn)A，且C′F所在直線垂直于AB，求S△BEF6.如圖，四邊形ABCD是菱形，M為CD邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，過點(diǎn)A作直線BM的垂線交BM于點(diǎn)E，F(xiàn)是直線BM上一點(diǎn)(點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè))，連接AF，DF，且∠EAF=12∠BAD.

(1)如圖①，當(dāng)∠EAF在∠BAD內(nèi)部時(shí)，求證：DF=BF?2BE；(2)如圖②，當(dāng)∠EAF的邊AE，AF分別在邊AB的兩側(cè)時(shí)，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．7.如圖，若將四邊形ABCD沿AC折疊，則點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，過點(diǎn)B作BE//CD交AC于點(diǎn)E，連接DE.

(1)求證：四邊形BCDE為菱形；(2)連接BD，若四邊形BCDE的周長(zhǎng)為14，面積為132，求BD+CE8.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，連接AC，P，Q分別是邊AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AP=BQ，作PE⊥AC于點(diǎn)E，QF⊥AC于點(diǎn)F，求PE+QF的值．

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=6，M為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CM=12BC，N為AB上一點(diǎn)，連接NC并延長(zhǎng)交DM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若∠G=45°，求△NBC10.我們把長(zhǎng)與寬之比為2:1的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”．在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到許多“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，如我們的課本封面、A4的打印紙等．

(1)如圖①，四邊形ABCD是“標(biāo)準(zhǔn)矩形”(AB<AD)，∠ADC的平分線交邊BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作DE的垂線，垂足為H，連接CH并延長(zhǎng)交邊AB于點(diǎn)F，連接AE交CF于點(diǎn)O.求證：O為AE的中點(diǎn)；(2)如圖②，四邊形ABCD是“標(biāo)準(zhǔn)矩形”(AB<AD)，點(diǎn)R在AD上，點(diǎn)T在AD的延長(zhǎng)線上，且AR=DT，點(diǎn)M，N分別是RT，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且RM=CN，連接CT，G是CT的中點(diǎn)，AB=2，連接MG，GN，NM，判斷△MNG的面積是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．11.如圖，正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DE.過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG.

(1)求證：四邊形DEFG是正方形；(2)連接AG，判斷AE+AGAD12.(1)問題情境數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小剛與小強(qiáng)玩折紙游戲，小剛用如圖①所示的矩形紙片ABCD，先對(duì)折使得AD與BC重合，展開后得到折痕EF，再沿BM折疊使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在EF上，展開后小強(qiáng)通過測(cè)量得出∠AMN的度數(shù)是120(2)獨(dú)立思考愛思考的小強(qiáng)給小剛提出了個(gè)問題：如圖②，BM交EF于點(diǎn)G，當(dāng)EG=1，BC=5時(shí)，延長(zhǎng)BN與矩形ABCD的邊交于點(diǎn)H.(1)判斷點(diǎn)H會(huì)落在邊AD上還是邊CD上，并說明理由；(2)求DH的長(zhǎng)；(3)深入探究小剛和小強(qiáng)通過探討發(fā)現(xiàn)，將矩形紙片經(jīng)過多次折疊后，能夠得到一些特殊的角度．在此興趣激發(fā)下，小剛用一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，如圖③，首先他將紙片ABCD沿AE折疊，使得點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，展開后再沿過點(diǎn)D的直線折疊，使得點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)N處，點(diǎn)E也恰好落在AE上的點(diǎn)M處，折痕與AE交于點(diǎn)G，測(cè)量∠ADM的度數(shù)為3013.在矩形ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，DE.

(1)如圖①，F(xiàn)，G分別是AE，BC的中點(diǎn)，連接FG交DE于點(diǎn)H，求證：HE=HG；(2)如圖②，當(dāng)BE=AB時(shí)，過點(diǎn)A作AP⊥DE于點(diǎn)P，連接PB，求證：PE?PA=14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，△BEF為等邊三角形，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AB邊的左側(cè)．

(1)如圖①，若D，E，F(xiàn)在同一直線上，求BF的長(zhǎng)；(2)如圖②，連接AF，CE，BD，并延長(zhǎng)CE交AF于點(diǎn)H，若CH⊥AF，求證：2(3)如圖③，將△ABF沿AB翻折得到△ABP，點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)，連接CQ，若點(diǎn)E在射線AB上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出線段CQ的最小值．15.如圖，在正方形ABCD中，Q為CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，BD，AQ交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥AQ交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NP⊥BD于點(diǎn)P，連接NQ.

(1)求證：AM=MN；(2)求證：MP=1(3)求證：BN+DQ=NQ；(4)判斷AB+BNBM參考答案1.【答案】C

【解析】∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD//BC.∵BE=BE，∴△ABE≌△CBESAS，∴∠BAE=∠BCE=25°，EA=EC.∵AD//BC，∠ABC=70°，∴∠BAD=110°，∴∠EAF=∠BAD?∠BAE=85°，∵EA=EF，∴∠EFA=∠EAF=82.【答案】解：∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴AC⊥BD，BO=12BD=4∴在Rt△AOB中，AB=∵12AC?BD=AB?CE(∴12×6×8=5CE∵CE⊥AB，∴在Rt△ACE中，AE=∴AF=49AE=∴在Rt△CEF中，CF=

3.【答案】【小題1】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60∴AB=BC=AD=CD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ADC是等邊三角形，∴AD=AC=CD，∠DAE=∠ADC=60由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DE=DF，∠EDF=60∵∠ADE+∠CDE=60°，∴∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDFSAS，∴∠DCF=∠DAE=6∵∠BCD=120°，∴∠BCD+∠DCF=180°，∴B，【小題2】證明：如解圖，延長(zhǎng)AG至點(diǎn)H，使得AG=HG，連接BH(倍長(zhǎng)中線)，∵G為BE的中點(diǎn)，∴BG=GE，∵∠BGH=∠EGA，∴△AGE≌△HGBSAS，∴AE=HB，∠H=∠GAE，∴BH//AC，∴∠ABH+∠BAC=18∵∠BAC=∠ACB=60°由(1)得△ADE≌△CDF，∴BH=AE=CF，∵AB=AC，∴△ABH≌△ACFSAS，∴AH=AF，

4.【答案】解：如解圖①，延長(zhǎng)BC，AF交于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AF于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//BM，AB=AD=CD=BC，∴∠D=∠MCF.∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CF.∵∠DFA=∠CFM，∴△ADF≌△MCFASA∴AD=CM，AF=MF.∵sin∠EAF=45，AE=5，∴在由勾股定理得AN=∵E為BC中點(diǎn)，∴BE=CE，∵BC=CD，∴BE=DF，∵∠B=∠D，AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴AF=AE=MF=5，∴NF=2，∴MN=5+2=7，在Rt△ENM中，由勾股定理得EM=設(shè)CE=x，則CM=2x，∴EM=3x=65，解得∴CM=2x=2【一題多解】如解圖②，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接EF交AC于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EH⊥AF于點(diǎn)H，易知AE=AF=5.∵sin∠EAF=4∴在Rt△AHE中，EH=5sin∠EAF=4，由勾股定理得∴HF=5?3=2.∴在Rt△EHF中，由勾股定理得EF=∵E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=12BD=OB=2∵AC⊥BD，∴AC⊥EF.同理可得EP是△BCO的中位線，∴CP=OP，EP=12在Rt△AEP中，由勾股定理得AP=設(shè)CP=x，則OA=OC=2x，∴AP=3x=25，解得x=在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=

5.【答案】【小題1】解：如解圖①，取CD的中點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，取C′D′的中點(diǎn)G′，連接BG，AG′，BG′，BG′交AC′于點(diǎn)O，∵∠C′AD′=90°，G′為C′D′的中點(diǎn)，∵BA=BC′，∴BG′垂直平分AC′，∵AD//BC，∠D=60°，∴∠HCG=60∵G為CD的中點(diǎn)，CD=AB=BC=6，∴CG=DG=3，AG′=1∴CH=32，GH=3∴BG=BH設(shè)OG′=x，則OB=3∵OA∴32?x2解得x=677，∴AC′=2OA=6【小題2】解：如解圖②，延長(zhǎng)FC′交AB于點(diǎn)M，設(shè)BF=a，CF=b，則C′F=b，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠D=60°，∵C′F⊥AB，∴FM=32∴MC′=MF?C′F=由折疊的性質(zhì)得∠D′C′F=∠DCF=120°，∴AM=∵AB=BC，∴AM+BM=BF+CF，∴3a2?3∴S△BEFS

6.【答案】【小題1】證明：如解圖①，在直線BM上截取B′E=BE，連接AB′(截長(zhǎng)法)，∵AE⊥BM，∴AE垂直平分BB′，∴AB=AB′，∴△BAB′為等腰三角形，∴∠BAE=∠B′AE(等腰三角形三線合一).∵∠EAF=∠EAB′+∠B′AF=1∴∠BAE+∠DAF=12∠BAD∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=AB′，∵AF=AF，∴△B′AF≌△DAFSAS∴DF=B′F=BF?BB′=BF?2BE；【小題2】解：(1)中的結(jié)論不成立．理由：如解圖②，在直線BM上截取B′E=BE，連接AB′(補(bǔ)短法)，同(1)可得AB=AB′，∠BAE=∠B′AE，∵∠EAF=1∴∠B′AF=∠B′AE+∠EAF=∠BAE+1∴∠B′AF=∠DAF，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=AB′，∵AF=AF，∴△B′AF≌△DAFSAS∴DF=B′F=BF+BB′=BF+2BE.

7.【答案】【小題1】證明：∵將四邊形ABCD沿AC折疊，則點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，∴CD=BC，∠ACD=∠ACB.∵BE//CD，∴∠BEC=∠ACD，∴∠BEC=∠ACB，∴BE=BC，∴BE=CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形．∵CD=CB，∴平行四邊形BCDE為菱形；【小題2】解：如解圖，設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O.∵四邊形BCDE為菱形且周長(zhǎng)為14，∴CD=7設(shè)CE=a，BD=b.∵四邊形BCDE的面積為132，∴1∵四邊形BCDE為菱形，∴∠COD=90°，CO=1在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得CO即12a2∴a+b2∵a+b>0，∴a+b=53，即BD+CE

8.【答案】解：如圖，連接AQ，CP，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，BC=AD=8，∴AC=∵SS四邊形AQCP∴5PE+QF=24(等面積法)，∴PE+QF=24

9.【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CH//DG交AD于點(diǎn)H，連接NH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD//BC，AD=BC=CD，∠ABC=∠ADC=90∵CH//DG，∴四邊形DHCM是平行四邊形，∴HD=CM=∵CH//DG，∠G=45°，∴∠NCH=∠G=45將△CDH繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得CD與CB重合，得到△CBE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CH=CE，∠CDH=∠CBE=90°，∠DCH=∠BCE，∴∠CBN+∠CBE=180°，∴N，B，∵∠NCE=∠NCB+∠BCE=∠NCB+∠DCH=∠BCD?∠NCH=45∴∠NCE=∠NCH=45∵CN=CN，∴△NCH≌△NCE(半角模型得全等)，∴NH=NE=NB+BE=NB+HD，∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴AH=DH=1設(shè)BN=x，則AN=6?x，NH=3+x，在Rt△ANH中，NH2=A解得x=2，即BN=2，∴

10.【答案】【小題1】證明：∵四邊形ABCD是“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，AB<AD，∴AD=∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45∵AH⊥DE，∴△ADH和△DCE都是等腰直角三角形，∴AD=2AH=∴AH=DH=AB=CD，AD=DE，∴∠AEH=12×∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠OHA=180∴∠EAH=∠OHA(利用具體角度值得等角)，∴OA=OH.∵∠OHE=∠DHC=67.5°，∴∠AEH=∠OHE，∴OA=OE，即O為AE的中點(diǎn)；【小題2】解：△MNG的面積是定值，如圖，過點(diǎn)G作GP//TM交MN于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)H，則PM=PN，DH=CH=1，∴S△MNG=過點(diǎn)N作NQ//CT，交MT于點(diǎn)Q，交PG于點(diǎn)K，則四邊形QKGT，QNCT均是平行四邊形．∴KG=QT=CN，∵RM=CN，∴RM=QT.∵GP//TM，PM=PN，∴KQ=KN，∴PK=1∴PG=PK+KG=∵四邊形ABCD是“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，AB<AD，AB=2，∴AD=2∴PG=1∴△MNG的面積為定值，這個(gè)定值為

11.【答案】【小題1】證明：如圖，過點(diǎn)E作EQ⊥AD于點(diǎn)Q，EN⊥AB于點(diǎn)N，則∠DQE=∠FNE=90∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD=∠EAB，EQ=EN，∵∠EQA=∠ENA=∠DAB=90°，∴四邊形ANEQ是矩形，∵EF⊥ED，∴∠DEF=90∴∠DEF?∠FEQ=∠QEN?∠FEQ，即∠DEQ=∠FEN，∴△EQD≌△ENFASA，∴ED=EF∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形；【小題2】解：AE+AGAD由(1)知四邊形DEFG是正方形，∴DG=DE，∵∠GDE=∠ADC=90∴∠GDE?∠ADE=∠ADC?∠ADE，即∠ADG=∠CDE，∵AD=CD，∴△ADG≌△CDESAS，∴AG=CE∴AE+AG=AE+CE=AC(通過全等將兩條線段首尾相連轉(zhuǎn)化為一條線段)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC=2

12.【答案】【小題1】證明：由折疊的性質(zhì)可得AE=BE=12AB，BN=AB，EF⊥AB∴BE=12BN，∠BEN=90°∴∠AMN=360【小題2】(1)解：點(diǎn)H會(huì)落在邊CD上，理由：如圖，延長(zhǎng)BN交射線AD于點(diǎn)P.∵∠AMN=120°，∴∠ABN=6∵AE=BE，EF//AD，∴AM=2EG=2，∴MN=AM=2，∴PM=BM=2MN=4，∴AP=AM+PM=6，∵AP>AD，∴點(diǎn)H會(huì)落在CD上；(2)解：設(shè)DH=x，則PH=2x，∴DP=∵DP=AP?AD=1，∴3x=1，解得x=【小題3】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90由折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠B=90°，∴四邊形ABEF是正方形，∴AB=BE，∴∠EAB=45°，∴AN=MN(△AMN為等腰直角三角形，為設(shè)未知數(shù)和表示線段創(chuàng)造條件).設(shè)AN=MN=x，∵∠ADM=30°，∴DM=2x，∴CD=DN=3x，AD=AN+DN=x+即小剛所用的矩形紙片的長(zhǎng)和寬的比值是3+

13.【答案】【小題1】證明：如圖①，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，使CM=BE，連接AM，則BM=CE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD//BC，∠BAD=∠ABC=∠DCB=90∴△ABM≌△DCESAS，∴∠AMB=∠DEC∵BE=CM，BG=CG，∴G為EM的中點(diǎn)，∵F為AE的中點(diǎn)，∴FG為△AEM的中位線，∴FG//AM，∴∠HGE=∠AMB，∴∠HGE=∠DEC，∴HE=HG；【小題2】證明：如圖②，過點(diǎn)B作BQ⊥BP交DE于點(diǎn)Q(截長(zhǎng)法)，則∠PBQ=90∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABE=180∴∠ABE?∠QBA=∠PBQ?∠QBA，∴∠EBQ=∠ABP，∵AD//BC，∴∠ADP=∠BEQ，∵AP⊥DE，∠BAD=90°，∴∠BAP+∠PAD=90∴∠BAP=∠ADP，∴∠BEQ=∠BAP，∵BE=AB，∴△BEQ≌△BAPASA(手拉手全等∴QE=PA，QB=PB，∴△PBQ是等腰直角三角形，∴PQ=2

14.【答案】【小題1】解：∵△BEF是等邊三角形，∴∠BEF=60°，BF=BE，∵∠A=90°，∴AE=43【小題2】證明：如圖①，延長(zhǎng)AF，CB交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD=∵CH⊥AF，∴∠CHG=∠ABG=90∴∠G+∠BAG=90°=∠G+∠BCH∵∠ABG=∠CBE=90°，∴△ABG≌△CBEASA，∴BE=BG，∠G=∠BEC∵△BEF是等邊三角形，∴BE=BF=EF，∠BEF=∠BFE，∴BG=BF，∴∠G=∠BFG，∴∠BFG=∠BEC，∴∠GFE=∠CEF，∴∠HFE=∠HEF，∵CH⊥AG，∴∠HFE=∠HEF=45°(△EFH∴EH=FH，EF=∴BD=2AB=【小題3】解：CQ的最小值為2?

【解析】

3.

【解法提示】分兩種情況討論：①如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，取AB的中點(diǎn)N，連接NQ，∵將△ABF沿AB翻折得到△ABP，∴∠ABF=∠ABP=60°，∵點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，∴NQ//BP，∴∠ANQ=∠ABP=60°，∴點(diǎn)Q在過AB的中點(diǎn)N，且與AB成60°∠ANQ=60°的射線NQ上移動(dòng)(判斷出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡)，∴當(dāng)CQ⊥NQ時(shí)，CQ的值最小，如圖③，延長(zhǎng)QN，CB交于點(diǎn)H，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，∴BN=AN=2，∵∠ANQ=60°=∠BNH，∴tan∴NQ=HQ?HN=23?1>2，∴BE=BF=BP=2NQ>4，∴此時(shí)點(diǎn)E不在線段AB上，即當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上