安徽省聯(lián)考2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期十月調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試卷（北師大版）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.函數(shù)y=sin（4x+g）的最小正周期為（）

A.4兀B.271C.—D.一

24

【答案】C

【解析】最小正周期7=&二2.

42

故選：C.

2.已知〃=（2,-26）為直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量，則直線(xiàn)/的傾斜角為（）

7i71八2兀5n

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】因?yàn)椤?修,-2后）為直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量，

所以直線(xiàn)/的斜率為4=匆3=-百，所以?xún)A斜角為多，

23

故選：C.

22

3.若上--E=1表示焦點(diǎn)在）'軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)次的取值范圍是（）

"i+2m

A.（-co,-l）B.（-2,-1）

C.（—2,0）D.（—1,0）

【答案】B

22

【解析】因?yàn)槎?二二1表示焦點(diǎn)在）‘軸上橢圓，

機(jī)+2m

所以一，〃＞，〃+2＞0,解得一2＜相＜一1.

故選：B.

4.若以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，則該橢圓的離

心率為（）

A.-B.|C.—D.—

3223

【答案】C

【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別為2。,2)，焦距為2c,其中

由題意知/?=c,所以42=6+。2=2。2,故橢圓的離心率6=工=也.

a2

故詵：C.

(n'

5.已知?！?2,兀，且2sin2a+sina=0,則tana二()

A.-V15B.-3C.-V3D.-1

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?，兀?sin2a+sina=4sinacosa+sina=(4cosa+l)sina=0,

*I、J1-45

所以cosa=—,sin6Z=---,

44

所以tana=包色=-y/15.

cosa

故選：A.

6.已知點(diǎn)用(一1,一2)在圓。：/+),2一初一2)，+/一］5=()的外部，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.(―2)u(3,+")B.(―3)D(2,~FX>)

【答案】D

【解析】因?yàn)榍€(xiàn)f+爐一a一2)，+/一］5=0表示圓，點(diǎn)M(—1,一2)在圓。的外部,

264

/+4-4年—⑸a~<——

所以',',整理得3,

l+4+a+4+a—15>0/+。-6>D

,2,64-TR8&8G

由a<—可得-----<a<-----，

333

由/+4-6>0可得。>2或av-3,

873

~Y

故選：D.

7.已知直線(xiàn)/的傾斜角為二，旦圓。：/+），2=16上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為2,則

6

/在）'軸上的截距為（）

A.±2

C.±4

【答案】D

【解析】由題意可知：圓C:/+丁=]6的圓心為（0,0）,半徑r=4,

因?yàn)橹本€(xiàn)/的傾斜角為空，則直線(xiàn)/的斜率為-立，

63

可設(shè)/方程為y=-^^x+力，即\/5/+3丁-3匕=0,

若圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離為2,

則圓心到直線(xiàn)/的距離d==2,解得/,=士生2

J3+93

故選：D.

8.已知M為圓C：（x+2）2+），2=9上任意一點(diǎn)，N（—8,0）,若點(diǎn)P滿(mǎn)足

2

則點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

A.(x+4)2+y2=4B.(x-4)2+y2=4

C.(x+4)2+y2=lD.(x-4)2+y2=1

【答案】A

【解析】依題意，設(shè)尸（x），）,M（Xo，%），因?yàn)镸P=；PN,

8+3大

2x-2X(.=-8-x,

所以又點(diǎn)M在圓。上,

2y—2%=一)，,

電2丫+

所以(及+2『+f=9,即

2（沙9

整理得*+4)2+)，2=4,即為點(diǎn)P的軌跡方程.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.己知直線(xiàn)4:以+〉+2。=0,/2：了一。)'-2=0，〃￡&。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確

的是()

A.4112

B./1與4過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)

c.若。=1,則4與4關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)

D.若人與&交于點(diǎn)M，則|OM|為定值

【答案】ACD

【解析】對(duì)A,由axl+lx(-a)=0知A正確；

對(duì)B,由直線(xiàn)方程知4過(guò)定點(diǎn)(-2,0),直線(xiàn)4過(guò)定點(diǎn)(2,0),B錯(cuò)：

對(duì)C,4=1時(shí)，兩直線(xiàn)方程分別為x+y+2=o和x-y-2=0,它們交點(diǎn)為(0,-2)在y

軸上，斜率分別為一1和1,它們關(guān)于5軸對(duì)稱(chēng)，C正確；

對(duì)D,記4—2,0),以2,()),則“點(diǎn)在以48為百杼的圓卜，。是惻心,因此為定

值，D正確.

故選：ACD.

10.在VA3C中，內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為。，上。，已知cosC=R,且7sinC+3aosA=0,

〃+c=10,則()

A.sinC=—

14

.5兀

B.A=—

6

C.h=6

D.VAAC的面積為@?

4

【答案】AD

【解析】因?yàn)閏osC=±,CG（0,7T）,所以sinC="—cos?C=

所以A正確；

由sinC=代入7sinC+3>/JcosA=0?得7x+3\/3cosA=0,

解得cosA=-一，

2

因?yàn)?￡（0,兀），所以A=與，所以B錯(cuò)誤；

由4==,得sinA='^,因?yàn)閍+c=10,所以c=10—a,

32

a_\0-a

由正弦定理得，一二」一，代入得耳二3百，解得。=7,c、=3,

sinAsinC——---

214

/,22-a21b1+9-491

由余弦定理cosA="+c0=_】,代入得‘4'解得〃=5或b=—8

2反26b2

（舍），所以C錯(cuò)誤；

由正弦定理面積公式得""c=g0csinA=Jx5x3x,二號(hào)8,所以D正確；

故選：AD.

11.己知點(diǎn)M（3,0）,^|C:（x+2）2+/=r（r>0）,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足甯=2,0為坐標(biāo)原

點(diǎn)，記點(diǎn)尸的軌跡為曲線(xiàn)，，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)與圓C相切于點(diǎn)A,且|M4|=4,則,?二3

25

B.若過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)與圓C相切于點(diǎn)A，則△MAC面積的最大值為，

4

C.若〃與圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則r=3

D.若，與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，貝IJ1V廠(chǎng)<3

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A(yíng),由相切知卜河|2+/=］加。|2,代入可得廠(chǎng)=3,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閨AM|2+,=25,..MAC的面積S=-\AM\-r,

由基本不等式可知?廠(chǎng)W?4"；+廣二等,當(dāng)且僅當(dāng)|人加仁廠(chǎng)=平時(shí)等號(hào)成立，

9S

則△MAC面積的最大值為—?故B正確;

4

設(shè)P(x,y),因?yàn)闇囟?,Bp|PA/|2=4|PO|2,所以“一3)2+:/=4/+4_/,得軌

跡「的方程為(x+i)2+/=4.

對(duì)于c,若，與圓。僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓c與廠(chǎng)外切或內(nèi)切，若「與圓c外切，則

尸+2=1，此時(shí)無(wú)斜；

若「與圓C內(nèi)切，則上一2|=1,解得r=3或/=1，故C錯(cuò)誤

對(duì)于D,若，與圓。有兩個(gè)公共點(diǎn)，則,一2|<1<r+2,解得lv〃v3,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(2—i),貝l」|z|二

【答案】75

【解析】Vz=z(2-Z),/.|z|=|/(2-z)|=|z|-|2-Z|=y/5.

13.J知橢圓鳥(niǎo)+[=1的左焦點(diǎn)為RA和笈是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FAB

16o

的周長(zhǎng)最大時(shí)，△￡48的面積為.

【答案】80

【解析】由題怠可知：〃=4,r=2&,c=&?一/=2在

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，則網(wǎng)一2叵0),42夜,0),

△￡45的周長(zhǎng)為|陽(yáng)+|"1+忸尸區(qū)|陰+忸4+|明+忸尸|=4°,

當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)，此時(shí)AB的方程為元=2&，

可得|4同=塵=4,所以5八/二3￡/卜|48|=’乂47^4=8人.

(I22

故答案為：8>/2?

14.“直線(xiàn)系”是具有某一共同性質(zhì)的直線(xiàn)的集合，通常用含參數(shù)的直線(xiàn)方程來(lái)表示，當(dāng)參數(shù)

取不同值時(shí)，方程表示該直線(xiàn)系中的某一條直線(xiàn).已知1/是直線(xiàn)系A(chǔ):xsina-)COSQ+2

一sina=0(a￡[0,2兀))口的兩條直線(xiàn)，若I、11%,則4,4之間的距離為.

【答案】4

【解析】設(shè)直線(xiàn)方程分別為程ina-ycosa+2-sina=0(ae[0,27c)),

xsin/7—ycos/3-4-2—sin/?=0(/?G[0,2TI)),

不妨設(shè)a>力，因?yàn)椤?Jsina(-cosP)=-cosasin/?,sin(a-/7)=0,

所以a一/=0(舍去)或。一￡=兀，

a-/=7r時(shí),sin<7=-sinfi,

若。=兀，則夕=0,直線(xiàn)/方程分別為y=-2和)，=2,兩直線(xiàn)間距離為4,

若。工兀，則sinawO,sina(2-sinf3)sin(3(2-sina),滿(mǎn)足兩直線(xiàn)平行，

所以sina=-sin/7,cosa=-cos〃，

因此直線(xiàn)12的方程為xsincr-ycoscr-2-sina=0,

,,|2-sina-(-2-sincr)|

所以4,4之間的距離為d=J~廠(chǎng)--------------1=4,

?sirra+cosa

綜上，44的距離為4,

故答案：4.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知點(diǎn)4(<-3),即3,-2),直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(0,1).

(1)若/與直線(xiàn)48垂直，求/的方程；

(2)若/與線(xiàn)段A8有交點(diǎn)，求/的傾斜角的取值范圍.

解：(1)因?yàn)榈?二二出二,，所以直線(xiàn)/的斜率4=-7,

-4-37

所以直線(xiàn)/的方程為丁=-71+1,即7x+y-l=0.

⑵QZ.者割=T,如圖，設(shè)直線(xiàn)/的斜率為-

要使得直線(xiàn)/與線(xiàn)段A3有交點(diǎn)，則攵或ZW—1,

所以直線(xiàn)/的傾斜角的范圍為凈土

16.已知點(diǎn)4（2,-4）,點(diǎn)8在3軸負(fù)半軸上，直線(xiàn)A8在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.

（1）求直線(xiàn)AB的方程；

（2）已知點(diǎn)和。（3,5）,點(diǎn)p在直線(xiàn)人8上運(yùn)動(dòng)，求”的最小值.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)8在1軸負(fù)半軸上，所以直線(xiàn)的橫羸距〃<0，

由題意，設(shè)直線(xiàn)A8的方程為：-+-=L

aa

。A

因?yàn)辄c(diǎn)A（2,T）在直線(xiàn)43上，所以:+?=匕解得〃=—2,

即直線(xiàn)AB的方程為x+j+2=0.

（2）設(shè)點(diǎn)。（1,1）關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M（x,y）,

x+\+包+2=。

22x=-3/、

則1解得即“（_3廠(chǎng)3），

y-i.（T）=T

x-i

如圖所示，|孫二|邙，|皿=,[3一（一3）1+[5一（一3）丁=10,

所以習(xí),

所以當(dāng)M,P,Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|CP|+0H最小，即最小值為10?

22(3、

17.已知橢圓。：?+方=1(〃>人>0)的離心率為且C過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P是C上任

意一點(diǎn).

(1)求。的方程：.

(2)設(shè)。的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,當(dāng)點(diǎn)。與A8不重合時(shí)，證明：Q4與總的斜率

之枳為定值；

(3)設(shè)。的左、右焦點(diǎn)分別為月、F,,是否存在點(diǎn)尸.使得?夕巴？若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(I)解：設(shè)C的半焦距為c(c>0),離心率『=￡='礦一"=」,所以4/二3。2，

aa2

，3、1Q13

又C過(guò)點(diǎn)[弓>所以7+方=1，則有靛+.=1，可得/=4,從而〃2=3，

所以C的方程為上+工=1.

43

(2)證明：由⑴可得4(一2,0),8(2,0),設(shè)尸(為,％),-2</<2,

22A

則費(fèi)+年=1,所以片二4一§/，

即弘與前勺斜率之積為定值一

(3)解：方法一:由(1)可得￡(—1,0),二(1,0),

設(shè)P(%，%)，則PRPF?=(一1一即一%>(1->,一%)=片+北一1，

4LL

又工；二4一Q)%,且

4v2

所以/￥；.=4_—y；+)，；一1=3-電22>(),

故不存在滿(mǎn)足居的點(diǎn)P.

方法二:由⑴可得耳(-1,0),瑪(1,0),

滿(mǎn)足PF、1PF2的點(diǎn)P的軌跡是以眼為直徑的圓O:f+)3=],

5+、=1,化簡(jiǎn)得/=一8,故此方程組無(wú)解,

聯(lián)立得《

x2+y2=1

所以橢圓。與圓。沒(méi)有交點(diǎn)，即不存在滿(mǎn)足P"1PF2的點(diǎn)P.

18.已知過(guò)點(diǎn)P（—2,0）且斜率為攵的直線(xiàn)/與圓C:f+y2+2x?4y-4=0交于4,3兩點(diǎn).

（1）求|4卻的最小值，并求|48|取最小值時(shí)/的方程；

（2）若NAO3為銳角，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求A的取值范亂

解：（1）將C:x?+y?+2x-4），-4=0化簡(jiǎn)可得（x++（），-2『=9,

則圓心為。（一1,2）,半徑r=3,

因?yàn)閨尸C|=?-2+1『+（—2）2=石＜3，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，

則當(dāng)/與PC垂直時(shí)，|4可取最小值，

此時(shí)點(diǎn)C到/的距離d=\PC\=45,

所以MM嗝=2\1產(chǎn)=2=4,

2-01

因?yàn)?改=1=2,所以此時(shí)/的方程為），=一彳（工+2），即x+2y+2=0.

—1+22

（2）設(shè)4（不乂）,8（/,%），由題可知/的方程為》=4（犬+2）,

)，二(+2)

聯(lián)立得

x2+y2+2x-4y-4=0

整理得(1+%2)12+(442—44+2)%+4攵2-8%—4=0,

4k2-4k+2

1+女2

4二一84-4

1+公

所以y%=k(&+2)-Z:(x2+2)=k~(%)^2+2xj+2^+4)

-一8攵一4c422一44+24+4公］一4二

=k----------J------2x-----------——+-------丁=----,

(\+k-1+Kl+K)\+k~7

因?yàn)椤狝O8為銳角，所以。A.OA>0且。A和08不同向，

—8Z—4

即有OAOB=xx+