第1章直線與圓

（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4（）分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若直線過點(diǎn)（1,2）,（4,2+V3）,則此直線的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.若兩直線or+2y=0和x+（a—l）y+（〃2—1）=0平行，則a的值是（）

A.11或2B.—1

2

C.2D.-

3

3.圓f+y?-2x+6y=0的圓心到直線x—y+2=0的距離為（）

A.V2B.2

C.3D.3V2

4.若直線2r+y—l=。是圓（x—。）2+）,2=1的一條對稱軸，則〃=（）

A.-B.--

22

C.1D.-1

5.以4（1,3）,8（-5,1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是（）

A.3/一廠8=0B.3x4-y+4=0

C.31一），+6=0D.3x+y+2=0

6.過原點(diǎn)且傾斜角為60。的直線被圓x2+）2-仃=0所截得的弦長為（）

A.V3B.2

C.V6D.2V3

7.已知圓C：f+），2=4,直線/：y=kx^m,當(dāng)k變化時(shí)，/截得圓。弦長的最

小值為2,則m=（）

A.±2B.iV2

C.±V3D.±3

8.不論。為何數(shù)，直線（a—3）x+2〃y+6=0恒過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選甯的

得0分.

9.下列過點(diǎn)(-1,2)的直線方程是()

A.y-2=A(x+l)B.k=，+]

C.x+l=OD.廠2=0

10.已知直線x~\~y=a與圓廣+產(chǎn)=4交于A、B法點(diǎn)，且|而+OB\=\OA-OB\t

其中。為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的值可能為()

A.2B.-2

C.y/6D.—V6

11.已知點(diǎn)。在圓。-5)2+。，-5)2=16上，點(diǎn)4(4,0),8(0,2),則()

A.點(diǎn)尸到直線A6的距離小丁10

B.點(diǎn)P到直線A8的距離大于2

C.當(dāng)NP84最小時(shí)，\PB\=3^2

D.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|P8|=3位

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若A為圓G：f+)2=l上的動點(diǎn)，8為圓。2：。-3)2+()，+4戶=4上的動

點(diǎn)，則線段A8長度的最大值是________.

13.已知直線x—m)，+1=0與。C：(x—1)2+)，2=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足

“AABC面積為廿的m的一個(gè)值_______.

14.點(diǎn)尸是直線2x+y+10=0上的動點(diǎn)，M,與圓『+>2=4分別相切于4

B兩點(diǎn),則|OP|的最小值為；四邊形朋。B面積的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

15.(13分)已知兩條直線/i：QX—b+4=0和，2：(。一l)x+y+Z?=0,求滿足下

列條件的a,b的值.

(I)/l_L〃且/】過點(diǎn)(一3,—1)；

(2川〃3且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.

16.(15分)已知圓C(x-l)2+(y+2)2=10,求滿足下列條件的圓的切線方程.

⑴與直線/i：x+y—4=0平行；

(2)與直線/z：x—2y+4=()垂直；

(3)過切點(diǎn)A(4,-1).

17.(15分)已知一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線上-3y=0上，且被直線)，=4所

截得的弦長為2夕，求該圓的方程.

18.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知圓C：爐+⑶—3)2=2,點(diǎn)A(%o，0)

是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，AP,A。分別切圓C于點(diǎn)P,Q,

(1)求直線PQ的方程；

(2)求線段PQ的取值范圍.

19.(17分)已知圓C的圓心在直線/：2x—)，一0上，旦與直線Zx—y+l—0相

切.

(1)若圓C與圓x2+y2—2x—4y-76=0外切，試求圓C的半徑；

⑵滿足已知條件的圓顯然不止一個(gè)，但它們都與直線人相切，我們稱人是這些

圓的公切線.這些圓是否還有其他公切線？若有，求出公切線的方程，若沒有,

說明理由.

y

易知點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為4-4=1—4,1一4V[.一4=1,故

B不正確.

過點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,Q,

如圖所示，連接M3,MN,MQ,

則當(dāng)NP8A最小時(shí)，點(diǎn)P與N重合，

\PB\=^\MB\2-\MN\2=V52+(5-2)2-42=3/，

當(dāng)NPBA最大時(shí)，點(diǎn)P與。重合，|P用=3或，故C,D都正確.綜上，選ACD.]

12.8[圓Ci：f+〉2=l的圓心為G(0,0),半徑門=1,

圓Q：(上一3)2+。+4)2=4的圓心為。2(3,-4),半徑n=2,

A|CIC2|=5.

又A為圓CI上的動點(diǎn)，B為圓C2上的動點(diǎn)，

???線段長度的最大值是

|。?+內(nèi)+n=5+1+2=8.］

13.2(2,-2,一］中任意一個(gè)均可)［設(shè)直線］一/町，+1=0為直線/,由

條件知0c的圓心C(l,0),半徑R=2,圓心C到直線/的距離虧，|A8|

y/1+m2

=2V/?2-d2=2/4-(^-/=由得［xx=5

\\Vl+m2/vl+m252Vl+m2Vl+m25

整理得2m2—5制+2=0,解得m=±2或6=±最故答案可以為2.］

14.

2V58[如圖所不，因?yàn)?m邊身PAOB=2SAPOA.又OA-LAPf所以5可邊形PAOB=

2x^OA\?\PA\=2y/\OP\2-\0A\2=2'|0P1一4.

為使四邊形PAOB面積最小，當(dāng)且僅當(dāng)QP|達(dá)到最小，

即為點(diǎn)。到直線2x+)，+10=0的距離|OP|min=五||*=2①.

故所求最小值為22—4=8.]

15.解：(l)V/i±/2,；.。3—1)一6=0,①

又/i過點(diǎn)(—3,—1),—3a+b+4=0.②

a=2

解①②組成的方程組得)

力=2.

(2)??2的斜率存在，

工直線1的斜率存在.

：*1=0即3=1-4.@

又???坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，71/7/2,

/2在)，軸上的極距互為相反數(shù)，

即：=_(_/?).④

0

由③④聯(lián)立，解得卜=2，或卜一丁

5=-2(b=2.

經(jīng)檢臉此時(shí)的h與h不重合，故所求值為

2

k=2,或

5=-2(b=2.

16.解：⑴設(shè)切線方程為x+y+b=0(bW—4),

則牛包=V10,

V2

AZ?=1±2V5,

.,?切線方程為x+y+l±2V5=0.

(2)設(shè)切線方程為Zr+)：+〃7=0,

1

則邑等=710,;./?=±572,

J切線方程為2x+y±5匹=0.

，過切點(diǎn)A(4,—1)的切線斜率為一3,

，過切點(diǎn)4(4,—1)的切線方程為y+l=—3。-4),

即3x+y-ll=O.

17.解：法一：???所求圓的圓心在直線為-3y=()上，

???設(shè)所求圓的圓心為(3〃，〃)，

又所求圓與y軸相切,；?半徑廠=3間,

又所求圓在直線)，=x上截得的弦長為2夕，

圓心(3m〃)到直線)，=x的距離d=詈，

.,./+(62=/,

即24+7=9/，

?\a=±\.

故所求圓的方程為。-3)2+0，-1)2=9或。+3)2+()，+1)2=9,

即f+y2-6x-2)，+1=0或F+y2+6x+2y+1=0.

法二：設(shè)所求圓的方程為。一幻2十°，一〃)2=產(chǎn)，

則圓心(〃，。)到直線y=x的距離為等，

.../=心也+7,

2

即2/=3—4+14.①

由于所求圓與y軸相切，

Ar=cr>②

又???所求圓的圓心在直線工一3y=0上，

3b=0,③

聯(lián)立①②?,解得

Q=3,(a=-3,

b=1,或卜=-1,

r2=91r2=9.

故所求圓的方程為(X—3)2+°，—1)2=9或0+3)2+°，+1)2=9,

即jr+y2—6A—2y+1=0或f+y2+6x+2y+I=0.

法三：設(shè)所求圓的方程為f+)，2+Dr+E)，+/=0,

則圓心坐標(biāo)為(一日，半徑'=："02+￡2一4尸.

在圓的方程中，令x=0,

得產(chǎn)++，+尸=o.

由于所求圓與y軸相切，

???/=(),則E2=4F.①

圓心(一會一勻到直線)，=工的距離為

由已知得/+(近)2=尸，

即(。一E)2+56=2(D2+￡2-4F).②

又圓心(一一g)在直線x—3y=0上，

：.D-3E=0.(3)

(D=-6,(。=6,

聯(lián)立①②③，解得，E=-2,或，E=2,

VF=1=1.

故所求圓的方程為『十)2—6x—2y+1=0或彳2+)2+61+2)，+1=0.

18.解：(1)依題意，A,P,C,。四點(diǎn)共圓，其中線段AC是該圓的直徑，故該

圓的方程為(％-x0)x+y(y-3)=0,

所以直線尸。的方程為xox—3y+7=O.

(2)由圓的弦長公式得

\PQ\=2(旬2小,0-3義3+7|]