知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1:勾股定理

1.勾股定理內(nèi)容:

文字諾言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

直角三角形兩直角邊〃、b—

的平方和等于斜邊C?的平—

A乙----------------dC

方.h

2.勾股定理的證明方法:

勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是_______法.

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

①圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊,沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變；

②根據(jù)同一種圖形的面積兩種不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.

3.勾股定理的使用條件：要使用勾股定理，必須在___________中，才可以使用！切記

4.勾股定理的常用變形：

①。2=?2—(2)b2=c2—a2；③c2=(a+6)2—2ab

5.勾股定理的應(yīng)用：

①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊；

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；

2/24

③在網(wǎng)格中繪制長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段；

④解決一些生活實(shí)際問(wèn)題：梯子問(wèn)題、面積問(wèn)題、汽車超速問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)2：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理內(nèi)容：

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)。、權(quán)c，滿足___________那么這個(gè)三角形是_______三角形.

2.勾股定理的逆定理與勾股定理的關(guān)系：

勾股定理勾股定理逆定理

條件直角三角形ABCa2+h2=c2

結(jié)論a2+b2=c2直角三角形ABC

B

勾股定理、222

aa2+62=c2

'勾股逆定理

關(guān)系

b

直角三角形的性質(zhì)、一

國(guó).-------------S

直角三角形的判定

知識(shí)點(diǎn)3：勾股數(shù)

1.能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)_______稱為勾股數(shù)，即中，。，b,C為時(shí)，稱

a,b,c為一組勾股數(shù)；

2.記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度,如；；；________等；

3.用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：

+1〃22,〃為正整數(shù)）；

2〃+1,2〃2+2〃,2/+2〃+1（〃為正整數(shù)）

2222

m-n92mn,m+n（m>nym,〃為正整數(shù)）.

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1.直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8,15,第三邊邊長(zhǎng)為工，則/=.

2.直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3、4,則第三邊為.

3.若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6,8,則第三邊的平方是

4.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為4和6,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為

5.直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為5和12,則該三角形的斜邊長(zhǎng)為

題型02勾股數(shù)的概念

6.下列各組數(shù)中，勾股數(shù)是（）

A.1,2,2B.0.3,0.4,0.5C.6,8,10D,1,日6

7.下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）

A.6」82,102B.5,12,13

C.1.5,2,2.5D.石，“，石

8.勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù)，下列各組數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)的是（）

5/24

A.5,12,i3B.—,—,—

345

C.石，4，近D.5,15,20

9.以下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)作三角形能作成直角三角形的是()

A.9,12,15B.()3040.5C.62,8\102D.

345

10.下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()

A.52,7B.0.2,0.6,0.8

C.3,4,5D,5,8,10

題型03判定垂直(直角)不一定用勾股定理逆定理

11.如圖，在中，/C=6,BC=8,44=10,力1分別為邊481c上的點(diǎn)，連接。且滿足力￡

垂直平分CQ,垂足為E

(1)判斷\』?！甑男螤?？并說(shuō)明理由；

(2)求〃"的長(zhǎng).

12.如圖，在V/8C中，NC=90。，點(diǎn)尸在4c上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)。在力〃上運(yùn)動(dòng)，PQ始終保持與尸力相等，BD

的垂直平分線交8c于點(diǎn)七，交BD于點(diǎn)、F,連接。E.

(1)判斷OE與力尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若力。=6,BC=8,PA=2t求DE的長(zhǎng).

13.如圖，ZJ=Z^=9UU,E是48上的一點(diǎn)，且力七="',Zl=Z2.

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(1)口以力?！昱c口必創(chuàng)?。全等嗎？并說(shuō)明理由;

(2)求證：DEA.EC.

14.如圖，=90°,AB=AC,BDA.AB,BC=AB+8D.

(1)求出AB與BD的數(shù)量關(guān)系

(2)延長(zhǎng)8c到E,使C￡=3C,延長(zhǎng)DC到八使5=0。，連接E尸.補(bǔ)全圖形，并證明

⑶在(2)的條件下，作/力CE的平分線，交//于點(diǎn)〃，延長(zhǎng)歷I,EF交于點(diǎn)、M,延長(zhǎng)?！ń籑E于點(diǎn)G.補(bǔ)

全圖形并證明力〃=尸，.

15.如圖，在四邊形/4C。中，BC//AD,E為CO的中點(diǎn)，連接4E,BE,并延長(zhǎng)8E交力。的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)戶.

(IhBCE與NFDE全等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若川？=40+3C.

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①試說(shuō)明/；

②若NC=90。，EF=5,DE=4,求點(diǎn)￡到48的距離.

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第三草勾股定理

思維導(dǎo)圖

r文字語(yǔ)言——直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

A

廠定理內(nèi)容斗?圖形語(yǔ)言——b

在中，

If出R+『tA4BCNC=9O°

一應(yīng)用條件——直角三角形

方法2

方法1方法4

勾股定理

?臉證方法一驗(yàn)證方法2

?常用變形—a-c'-b'—b'"c'-a'—c,?(a+b)J-2ab

廠題型1:已知百角三角形兩邊長(zhǎng)，求第三邊

L常見(jiàn)題組--題型2:在網(wǎng)格中繪制長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段

L題型3:在數(shù)岫上繪制無(wú)理數(shù)點(diǎn)

全國(guó)內(nèi)穴三角形的三邊長(zhǎng)abc滿足a'+b'?c',那么這個(gè)三角

正比內(nèi)△形是亙角三角形，目c對(duì)的角為百角.

r能夠成為百角三角杉的三邊氏的三個(gè)正整數(shù)

r3.4.5

廠勾股數(shù)-

-6,8,10

勾股定理的逆定理常見(jiàn)勾股數(shù)組有一-5,12.13

8.15.17

-7,24,25

r判定—三角形是直角三角形

、應(yīng)用一廠找到最長(zhǎng)邊

'解決步驟-嘛證a?+b，=<?是否成立

'得出結(jié)論

其本思X8我直角二角彬

找到直接用利用勾股定理解決

解決步舞找自角三角形

勾股定理的應(yīng)用找不到，做輔助線去構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決

聽(tīng)0問(wèn)題

卜梯子問(wèn)題

常見(jiàn)題型

卜最值問(wèn)題

其他問(wèn)題

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,知識(shí)清單［

知識(shí)點(diǎn)1:勾股定理

1.勾股定理內(nèi)容:

文字諳言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

直角三角形兩直角邊4、b在疫中，/。=90°

a2+62=c2

的平方和等于斜邊c的平

A-----------

方.h

2.勾股定理的證明方法:

勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖法.

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

①圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊,沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變；

②根據(jù)同一種圖形的面積兩種不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.

3.勾股定理的使用條件：要使用勾股定理，必須在直角三角形中,才可以使用！切記

4.勾股定理的常用變形：

①。2=?2—(2)b2=c2—a2；③c2=(a+6)2—2ab

5.勾股定理的應(yīng)用：

①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊；

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；

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③在網(wǎng)格中繪制長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段;

④解決一些生活實(shí)際問(wèn)題：梯子問(wèn)題、面積問(wèn)題、汽車超速問(wèn)題……；

知識(shí)點(diǎn)2：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理內(nèi)容：

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)。、b、c,滿足.=Y,那么這個(gè)三角形是直角三角形

2.勾股定理的逆定理與勾股定理的關(guān)系:

條件直角三角形ABCa2+b2=c2

結(jié)論222直角三角形ABC

a+b=c

勾股定理、222

C/222

SXa、------"a+b=c

/、勾股逆定理

關(guān)系

AN---------------

b直角三角形的性質(zhì)、…

園._______________________1S

直角三角形的判定

知識(shí)點(diǎn)3：勾股數(shù)

1.能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即"+〃=中“h”為正整數(shù)時(shí)，稱q,

b,c為一組勾股數(shù)；

,5,12,13.7,24,25箋.

2.記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如絲2；6,8』0,r------，-------1

3.用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：

〃2—1,2〃,r+1（,；＞2,〃為正整數(shù)）；

In+1,2/r+2/i,2M2+2n+l（n為正整數(shù)）

nr-n2,2mn,m2+n2（〃？＞〃，小，n為正整數(shù)）.

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知識(shí)點(diǎn)4：利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

4.將實(shí)際問(wèn)題抽象出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

5.確定所求線段所在的直角三角形：如果原圖存在可以用的直角三角形，就直接使用，如果原圖中沒(méi)有可

用的直角三角形，就作垂線構(gòu)造直角三角形,然后再使用勾股定理：

6.根據(jù)勾股定理，列方程求解。

易錯(cuò)總結(jié)

一、勾股定理的使用條件：勾股定理的使用要分清。也c：

錯(cuò)誤：認(rèn)為“Q,一定代表直角邊，C一定代表斜邊

注意：勾股定理中Q2表示直角邊，。代表斜邊，但是，實(shí)際做的題目中不一定這樣的。有可能是Q表

示斜邊，或者b表示斜邊，這要根據(jù)具體題目而定。對(duì)于直角邊和斜邊不確定的，還要分情況討論。

二、勾股數(shù)：注意區(qū)分“勾股數(shù)”與“能構(gòu)成直角三角形”的區(qū)別

錯(cuò)誤：認(rèn)為只要滿足“渭+/=°2”的三個(gè)數(shù)都是勾股數(shù).

注意：勾股數(shù)必須是滿足兩個(gè)條件三個(gè)數(shù)：①滿足"Q2+/=c2”②正整數(shù)，像小數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)

都不行。

三、勾股定理逆定理：判定一個(gè)三角形是直角三角形方法不止勾股定理逆定理一種

錯(cuò)誤：認(rèn)為“一看到判定一個(gè)三角形或證明垂直就找勾股定理逆定理”

提醒：判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法很多，比如：利用直角三角形的定義，即

證明三角形中有一個(gè)角是直角，可以證明這個(gè)三角形是直角三角形；也可以證明有兩個(gè)銳角互

為余角也可以；或者利用平行線的知識(shí)或者三角形的內(nèi)角和、外角等其他知識(shí)證明垂直；也可

一證明這個(gè)三角形與一個(gè)直角三角形全等等方法都可以，不要總盯著勾股定理逆定理；另外方

法還有等腰三角形的三線合一性質(zhì)，垂直平分線的判定方法等等都可以證明垂直（或者直角三

角形）。

易錯(cuò)訓(xùn)練

題型01勾股定理的使用要分清。也。

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1.直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8,15,第三邊邊長(zhǎng)為工，則/=.

【答案】289或161

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分情況討論.

分兩種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r(shí)，

由勾股定理得，r=82+152=289;

②當(dāng)?shù)谌厼橹苯沁厱r(shí)，

由勾股定理得，X2=152-82=161;

綜上，產(chǎn)的值為289或161,

故答案為:289或161.

2.直角三角形的兩功長(zhǎng)為3、4,則第三功為.

【答案】5或5

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊

分別為。、b,斜邊為％那么/+/=。2.分兩種情況，邊長(zhǎng)為4的邊是直角邊，邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊，

根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊是直角邊時(shí)，第三邊為：療I幣=5，

邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，第三邊為：廬子=療.

故答案為：5或舊.

3.若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6,8,則第三邊的平方是

【答案】100或28/28或100

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了勾股定理.分兩種情況：當(dāng)兩直角邊的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，當(dāng)斜邊K為8,一條直角邊

長(zhǎng)為6時(shí)，分別計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：???一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8,

???當(dāng)兩直角邊的長(zhǎng)分別為6和8時(shí)，第三邊的平方是6?+8?=100，

當(dāng)斜邊長(zhǎng)為8,一條直角邊長(zhǎng)為6時(shí)，第三邊的平方是82-6=28，

13/24

故答案為：100或28.

4.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為4和6,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為.

【答案】6或2萬(wàn)

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題考查的是勾股定理，即在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)

的平方.

已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求斜邊的長(zhǎng)必須分類討論，即6是

斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.

【詳解】解：當(dāng)6是斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)=病彳=26；

當(dāng)4和6是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)正萬(wàn)=2萬(wàn)；

???斜邊的長(zhǎng)為：6或2圻5，

故答案為：6或2加.

5.直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為5和12,則該三角形的斜邊長(zhǎng)為.

【答案】13

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.由勾股定理得出斜邊長(zhǎng)，即可得解.

【詳解】解：???直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為5和12,

???該三角形的斜邊長(zhǎng)為疹后=13.

故答案為：13.

題型02勾股數(shù)的概念

6.下列各組數(shù)中，勾股數(shù)是（）

A.1,2,2B.0.3,0.4,0.5C.6,8,10D.1,血，石

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股

數(shù)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可求解，

222

【詳解】解：A.l+2^2,故不是勾股數(shù)，不符合題意：

14/24

B.0.3、0.4、0.5不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

C.62+82=102,故是勾股數(shù)，符合題意；

D.1,小石不都是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

故選：C.

7.下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）

A.6：82?102B.5,12,13

C.1.5,2,2.5D.石，"，石

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題

【分析】本題考杳的是勾股數(shù)，勾股數(shù)：滿足/+/=/的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).根據(jù)勾股數(shù)的概念

逐一驗(yàn)證判斷即可.

【詳解】解:A、6\82,102即36,64,100,362+642=1296+4096=5392,而1（療=10000,不滿足

/+/=°2,所以62,8?,IO?不是勾股數(shù)，不符合題意；

222

B、5,12,13,均為正整數(shù)，且5+12=25+144=169=13;滿足勾股定理，是勾股數(shù)，符合題意：

C.1.5,2,2.5包含小數(shù)，非正整數(shù)，不符合勾股數(shù)定義，不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、百,VS,石不是正整數(shù)，且-3+4=7W=5,不滿足勾股定理，不是勾股數(shù)，不符合題

故選：B.

8.勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù)，下列各組數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)的是（）

A.5,12,13B.—,7?—

345

C.54，/D.5,15,20

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題

【分析】本題考查勾股數(shù)，勾股數(shù)是指滿足勾股定理的三個(gè)正整數(shù)，需同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①均為正整數(shù);

②最大數(shù)的平方等于另兩數(shù)的平方和.據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A.V52+122=132,且5,12,13均為正整數(shù),

???5,12,13是一組勾股數(shù)；

B.!不是正整數(shù)，故它不是勾股數(shù)：

345

15/24

C、C，后不是正整數(shù)，故它不是勾股數(shù)；

D、由于52+6x202,故它不是公股數(shù).

故選：A.

9.以下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)作三角形能作成直角三角形的是（）

A.9,12,15B.0.3,0.4,0.5C.62,82,102D.

345

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題

【分析】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義，需滿足三個(gè)正整數(shù)且能構(gòu)成直角三角形.對(duì)各選項(xiàng)逐一

驗(yàn)證是否滿足勾股定理及是否為整數(shù).

【詳解】A.92+122=81+144=225=152,滿足勾股定理，且均為正整數(shù)，是勾股數(shù)，故符合題意；

B.0.32+0.42=0.09+0.16=0.25=0.5\雖滿足勾股定理,但含小數(shù),不符合勾股數(shù)必須為正整數(shù)的要求,

不符合題意：

C.362+642=1296+4096=53921002=10000,不滿足勾股定理，故錯(cuò)誤，不符合題意：

D.fiY+fi?=—+—=—=1,不滿足勾股定理，且非正整數(shù)，故錯(cuò)誤，不符合題意.

（5）16254009

綜上，只有選項(xiàng)/符合條件.

故選A.

10.下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（)

A.柩,2,7B.0.2,0.6,0.8

C.3,4,5D.5,8,10

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題

【分析】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：?.?（6）2+22。72,故選項(xiàng)A不是勾股數(shù):

0.22+0.6210.8?，故選項(xiàng)B不是勾股數(shù);

v324-42=52，故選項(xiàng)C是勾股數(shù);

V52+82*102,故選項(xiàng)D不是勾股數(shù);

故選：C.

題型03判定垂直（直角）不一定用勾股定理逆定理

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11.如圖，在VHBC中，/iC=6,8C=8,48=10,Q,E分別為邊48,8。上的點(diǎn)，連接花，且滿足力￡

垂直平分C。，垂足為F.

CKExB

(1)判斷的形狀？并說(shuō)明理由：

(2)求8E的長(zhǎng).

【答案】(1)V』OE是直角三角形，理由見(jiàn)解析：

(2)BE的長(zhǎng)為5.

【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、用勾股定理解三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等的性質(zhì)和

SSS綜合(SSS)

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì).

(I)運(yùn)用勾股定理逆定理得到V小。是直角二角形，且408=90。，再證明"CE會(huì)"OE(SSS),由此即

可解答；

(2)根據(jù)題意得至1」8。=48-4。=10-6=4,DE=8-BE,乙BDE=90。,在中，由勾股定理

存%>2+。R=8爐，由此列式求解即可.

【詳解】(1)解：V4DE是直角三角形，

理由：AC=6,BC=8,AB=10,

:.AC2+BC2=100=AB2?

二.△/BC是直角三角形，且乙4c8=90。，

?.FE垂直平分CQ,

/.AC—AD,CE-DE>

在△4CE和V/1OE中，

AC=AD

?AE—AE,

CE=DE

.?.△4CE040E（SSS）,

//。E=ZJC3=9U°,

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.?力?！晔侵苯侨切?；

(2)解：由(1)知力。=/。=6,CE=DE,4DE=90。,

:.BD=AB-AD=\0-6=4,DE=8-BE,NBDE=90。,

在RS8OE中，由勾股定理得友)2+。爐=86，

即4?+(8-㈣2=*,

解得m=5,

.?.8E的長(zhǎng)為5.

12.如圖，在V48C中，ZC=90°,點(diǎn)。在4c上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在48上運(yùn)動(dòng)，P。始終保持與左相等，BD

的垂直平分線交8c于點(diǎn)b交8D于點(diǎn)凡連接。

(1)判斷OE與。尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若4C=6,BC=8,PA=2,求。E的長(zhǎng).

【答案】(1)OE1。。，理由見(jiàn)解析

(2)QE的長(zhǎng)為4.75

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理

解三角形

【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，線段垂直平分線的性質(zhì)，解答即可；

(2)連接QE,設(shè)OE=x,則。E=8E=x,CE=3-X,利用勾股定理解答即可.

本題考查了直角三角形兩個(gè)銳角互余，等邊對(duì)等角，線段垂直平分線，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：DE1DP.理由如下：

理由：?；PA=PD,

/.ZJ=/PDA,

是的垂直平分線，

:.EB=ED,

；?/B=NEDB,

???ZC=90°,

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:.ZJ+/8=90°,

???/PD4+NEDB=90。,

/.ZPDE=180°-90°=90°,

DE1DP.

(2)解：如圖，連接PE,設(shè)=則。E=8E=x,CE=8-x,

???/C=NPDE=90。，

/.PC2+CE2=PD2+DE2=PE2，

:.42+(8-X)2=22+X2,

解得x=4.75,

:.DE的長(zhǎng)為4.75.

13.如圖，4=/8=90。，E是48上的一點(diǎn)，且/E=8C,Zl=Z2.

(l)RtA%OE與RS8EC全等嗎？并說(shuō)明理由;

(2)求證：DE1EC.

【答案】(1)全等，理由見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和HL綜合(HL)

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵:

(1)等角對(duì)等邊，得到OE=C￡,HL證明兩個(gè)三角形全等即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合等角的余角，求出NQEC=9(T即可.

【詳解】(1)解：與RQ8EC全等，理由如下：

?/Zl=Z2,

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：.DE=CE,

???N力=N8=90°,AE=BC,

.?.Rt△力。入Rl△阿C(HL):

(2)VRtAJD￡^RtAB￡C(HL|,

???乙AED=NBCE,

???WAED+NBEC=ZBCE+NBEC=180。-4=90°,

???CDEC=180°-NAED-NBEC=90°,

DE1EC.

14.如圖，ZJ=90°,AB=AC,BD1AB,BC=AB+BD.

⑴求出力3與8。的數(shù)量關(guān)系

(2)延長(zhǎng)8c到￡,使CE=8C,延長(zhǎng)“'到"，使C/=OC,連接E尸.補(bǔ)全圖形，并證明

(3)在(2)的條件下，作/4CE的平分線，交4F于點(diǎn)H,延長(zhǎng)8兒EF交于點(diǎn)、M,延長(zhǎng)CH交ME于點(diǎn)G.補(bǔ)

全圖形并證明4"=尸〃.

【答案】⑴(&T)18=5O,

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、全等三角形綜合問(wèn)題、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等、用勾股定理

解三角形

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握

全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

(1)勾股定理求得8C=/48,結(jié)合已知條件即可求解：

(2)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明△。8。0△?！晔?，得出N￡=NQ8C,則￡尸〃8。，即可得證；

(3)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)證明NCGE=NECG,得到￡G=EC,進(jìn)而證明

AJ//C^AF//G(AAS),即可得證.

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【詳解】（