第五章走進(jìn)幾何世界（復(fù)習(xí)講義）

單元目標(biāo)聚焦?明核心

①認(rèn)識(shí)基本的幾何體；能說(shuō)出基本幾何體的圖形特征，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類；

知道點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本要素，掌握棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征，知道它們的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)

之間的關(guān)系；

②通過(guò)圖形運(yùn)動(dòng)了解圖形運(yùn)動(dòng)的基木形式：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)：會(huì)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)，理解和表達(dá)；

③掌握正方體、圓柱、棱柱、圓錐、棱錐的平面展開(kāi)圖，能根據(jù)展開(kāi)圖判斷是哪種幾何體的展開(kāi)圖；

能根據(jù)平面展開(kāi)圖說(shuō)出對(duì)應(yīng)幾何體的名稱，發(fā)展空間觀念。

4

知識(shí)圖造梳理?固基腓

an

「/線：面面相交槽到線

幾何體的構(gòu)成要素

平面

點(diǎn)動(dòng)成線線動(dòng)成面面動(dòng)成體

//點(diǎn)/面體的關(guān)豕

「運(yùn)動(dòng)'想象平移變換

走進(jìn)幾何世界/----------\/軸對(duì)稱變換

________________________\/基本圖形運(yùn)動(dòng)變換

t\------------/\

1\次轉(zhuǎn)變換

\

\

\

\

型

關(guān)系141

\

\231型

\

\；正方體的平面展開(kāi)圖X

222型

1

1

33S

轉(zhuǎn)化'表達(dá)圓柱體平面展開(kāi)圖

模柱體平面展開(kāi)圖

常見(jiàn)幾何體的平面展開(kāi)圖圓鎮(zhèn)體平面展開(kāi)圖

模鎮(zhèn)體平面展開(kāi)圖

教材要點(diǎn)精析?夯重點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)重點(diǎn)歸納常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)

1.立體圖形：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如

長(zhǎng)方體，圓柱，圓錐，球等.

2.常見(jiàn)的基本幾何體的分類方法：

柱

J圓

柱體I

柱

基棱

(徘

圓

錐體<

徘

本l棱長(zhǎng)方體與

臺(tái)

幾/圓E方體實(shí)質(zhì)上

臺(tái)體

臺(tái)

<棱

1都屬于棱柱

何均

體

卦

體

3.平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、圓等）的各部分都在同一平

面內(nèi)，它們是平面圖形.

4.常見(jiàn)的平面圖形有圓和多邊形，其中多邊形是由線段所圍成的封閉圖形，生

活中常見(jiàn)的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形等.

1.長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡(jiǎn)稱

體；

構(gòu)2.面有平面和曲面兩種；

成3.面和面相交的地方形成線，線分為直線和曲線兩種；

4.線和線相交的地方形成點(diǎn).

要

素

幾何體棱柱棱錐

9P-----［疏

例加―一--我麗按

圖示」J湫

底面/■j\z

械

棱兩面相交

相關(guān)概念頂點(diǎn)棱與棱相交

面分為底面和側(cè)面

側(cè)棱長(zhǎng)度相等；

其它特征上下底面完全相同，棱錐的的側(cè)面都是三角形

且平行；

楂柱、棱錐中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、楂數(shù)的數(shù)最關(guān)系：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2

1.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看點(diǎn)，線，面，體的關(guān)系:

上點(diǎn)動(dòng)成線、AK線動(dòng)成面*面動(dòng)成體、

點(diǎn)-----＞線-----＞[U-----------------＞體

2.圖形的運(yùn)動(dòng)方式有三種基本的方式：平移、翻折（軸對(duì)稱）、旋轉(zhuǎn)。

3.圖形的翻折：將平面內(nèi)一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折，得到一個(gè)與原圖形完全

面、體的相同的圖形，這種圖形的運(yùn)動(dòng)叫做翻折或軸對(duì)稱。

學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的

關(guān)系即.圖形的平移：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿著一定的方向移動(dòng)一定的距離，這種圖

4觀點(diǎn)看問(wèn)題

及運(yùn)動(dòng)形運(yùn)動(dòng)的方式叫做平移。

5.圖形的旋轉(zhuǎn)，將平面內(nèi)一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)（或定直線）沿著某個(gè)方向轉(zhuǎn)

方式

動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。

運(yùn)動(dòng)方式平移翻折（軸對(duì)稱）旋轉(zhuǎn)

決定條件方向+距離定直線位置定點(diǎn)+方向+角度

1.平面展開(kāi)圖：有些空間幾何體是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)1.要分不同類

剪開(kāi)，可以展開(kāi)成平面圖形。這樣的平面圖形稱為幾何體的平面展開(kāi)圖。駕去記憶；

2.正方體的II種展開(kāi)圖：2.考試或練習(xí)

中會(huì)涉及到無(wú)

簫的正方體問(wèn)

題，只需要將

正方體

這11種的圖

的平面中的正方形去

掉1個(gè)即可得

展開(kāi)圖

到無(wú)蓋的正方

體展開(kāi)圖，但

要注意會(huì)有部

分會(huì)重復(fù)；

圓柱圓錐棱柱棱錐

兩個(gè)圓和一個(gè)長(zhǎng)一個(gè)扇形和一兩個(gè)相同的多一個(gè)多邊形和

表面展開(kāi)圖方形個(gè)圓邊形和一些長(zhǎng)兒個(gè)三角形

常見(jiàn)幾方形

何體的側(cè)面展開(kāi)圖長(zhǎng)方形扇形長(zhǎng)方形幾個(gè)三角形

平面展

開(kāi)圖Q_

例子

QO

I

考點(diǎn)題型突破?拓思維

題型一幾何體的識(shí)別與分類

【例1］下面幾何體中，是圓錐體的是（）

【變式1-1］下列標(biāo)注的圖形名稱與圖形不相符的是（）

【變式1-3］下列幾何體中圓錐是（）

題型二幾何體的截面問(wèn)題

【例2】經(jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面可能是（）

【變式2-1】用一個(gè)平面去截下列幾何體,截面一定是圓的是（）

【變式2-2】用一個(gè)平面去截下列幾何體，截面形狀不可能是三角形的是（）

A.長(zhǎng)方體B.直三棱柱C.圓柱D.正方體

【變式2-4】用四個(gè)平面分別截一個(gè)幾何體，所得的截面如圖所示,由此猜想這個(gè)幾何體可能是（)

題型三平面圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

【例3】.小軍和小紅分別以直角梯形的上底和下底所在的直線為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到了兩個(gè)“.體圖

形.

小軍：我們旋轉(zhuǎn)的平面圖形是完全一樣的，所以旋轉(zhuǎn)后得到的兩個(gè)立體圖形的體積相等.

小紅：我不同意你的看法，我認(rèn)為甲、乙兩個(gè)立體圖形的體積不相等.

(2)甲、乙兩個(gè)立體圖形的體積比是多少？

【變式3-1］已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2G,寬為〃，將這個(gè)長(zhǎng)方形分別繞它的長(zhǎng)和寬旋轉(zhuǎn)一周，可以得到兩個(gè)圓柱

(如圖).

1

口

2百一三

①②

(1)圓柱①的底面直徑是_____,高是;圓柱②的底面直徑是,高是_____

⑵試比較這兩個(gè)圓柱的側(cè)面積.

【變式3-2］如圖，將平面圖形甲、乙分別繞軸/、加旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形①、②，圖形甲是直角

邊分別為2、%的直角三角形，圖形乙是長(zhǎng)為2、寬為。的長(zhǎng)方形.

(1)立體圖形②的名稱是；(答案直接填寫在答題卡的橫線上)

⑵請(qǐng)問(wèn)立體圖形②比立體圖形①的體積大多少？(用含〃和汗的式子表示，％籍二；+力，%柱二行%)

【變式3-3］如圖，有一個(gè)長(zhǎng)6cm,寬4cm的長(zhǎng)方形紙板，現(xiàn)要求以其一組對(duì)邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)180。,

可按兩種方案進(jìn)行操作.

圖⑴圖⑵

方案一：以較長(zhǎng)的一組對(duì)邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖（1）：

方案二：以較短的一組對(duì)邊中點(diǎn)所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖（2）.

（I）上述操作能形成的幾何體是，說(shuō)明的事實(shí)是_____

（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種方案得到的幾何體的體積大.

【變式3-4】有一張直角三角形紙片，它的兩條直角邊分別為〃和〃（。＜〃），將這張直角三角形紙片分別以

它的兩條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)圓錐體（如圖①、圖②）.試猜想哪個(gè)圓錐體的體積大,

并通過(guò)計(jì)算證明你的猜想.〃為圓錐的高）

題型四七巧板拼圖問(wèn)題

【例4】.七巧板起源于我國(guó)宋代，后流傳于世界各國(guó).在“綜合與實(shí)踐”課上，興趣小組同學(xué)們用一張正方

形紙片依據(jù)圖1,制作了圖2所示的七巧板.

⑥

EC

圖2

⑴圖1中與儀長(zhǎng)度相等的線段是「（寫出一條即可）

（2）從圖2所示的七巧板中任選幾塊拼出一個(gè)等腰梯形，畫出你拼圖案的形狀圖（在所畫圖中標(biāo)出選取的七

巧板序號(hào)）.

【變式4-1】七巧板是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，由七塊板組成，包石五個(gè)等腰直角三角形、一個(gè)正方形、一個(gè)

平行四邊形.若正方形A3。的邊長(zhǎng)為4,按圖1的方式畫線，然后沿實(shí)線分割，得到一副七巧板，如圖2

所示.

⑴求G"/的面積;

（2）選擇圖2中的若干塊（每塊只能用一次），拼成面積為8的正方形，請(qǐng)畫出三種不同類型的拼法，并標(biāo)

好各塊序號(hào).

【變式4-2】《冷廬雜識(shí)》有云：“近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余.巧板作為中

國(guó)古老的益智玩具之一，已有千年的歷史，素有“來(lái)自中國(guó)的拼圖”“東方魔板”之稱，是世界公認(rèn)的中國(guó)優(yōu)秀

智力玩具代表作.如圖，小明拼湊出愛(ài)心形狀，若愛(ài)心的面積為48,那么七巧板中正方形GK〃C的面積為

【變式4-3】七巧板是一種拼圖玩具，體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智急.如圖，整個(gè)七巧板拼圖是個(gè)正方形,

若七巧板中標(biāo)有“3”的平行四邊形的面積S3=3,則標(biāo)有“5”的正方形的面積S5的值為.

【變式4-4】七巧板游戲是將一個(gè)正方形分割成七塊.然后用這七塊拼接成豐富多彩的幾何圖形.如圖1

是正方形的一種分割方法，并在每塊上標(biāo)了號(hào)碼.

圖1圖2圖3

（1）設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為I,則面積為2的圖形塊有_（填數(shù)字）；

⑵圖2是用該七巧板拼成的一個(gè)類似“拱橋”圖形、請(qǐng)?jiān)趫D中用粗實(shí)線畫出各塊拼板的輪廓線（不用寫號(hào)碼）：

（3）請(qǐng)從圖1的七巧板之中選五塊板拼接成一個(gè)正方形，在圖3中畫出拼接后的示意圖（標(biāo)上號(hào)碼），要求

無(wú)重直無(wú)縫隙，并寫出該正方形的面積.

題型五正方體的展開(kāi)圖問(wèn)題

【例5】.下面圖形沿虛線不能圍成一個(gè)正方體的是（）

【變式5-1】如圖，是分割并裁剪硬紙板得到的幾個(gè)邊長(zhǎng)都相同的小正方形，若再剪去一個(gè)小正方形后的圖

形，是正方體的展開(kāi)圖，剪掉的小正方形不可能是（）

【變式52］如圖，正方體的六個(gè)面上有三個(gè)面有圖案，它的展開(kāi)圖可能是（）

【變式5-3］如圖，小麗在網(wǎng)格紙中涂黑了5個(gè)小正方形，她想再涂黑一個(gè)小正方形，使涂黑的6個(gè)小正方

形形成一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，則再涂黑的小正方形的位置一共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【變式5-4】2025年3月26日，我國(guó)成功發(fā)射天鏈二號(hào)04星.小亮準(zhǔn)備制作一個(gè)正方體，使其每個(gè)表面上

分別寫有“天'“'鏈”"二""號(hào)'"04X星如圖是他做的無(wú)蓋的正方體的展開(kāi)圖，需再補(bǔ)充一個(gè)寫著“星”的正方

形，則該正方形不能補(bǔ)充在（）

A.①處B.②處C.③處D.④處

【例6].如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖，則該幾何體是（）

【變式6-1】下列圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成一個(gè)完整的正六棱柱的是（）

【變式6-3】下列圖形中，不是長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的是()

【變式6-4】“粽?qǐng)F(tuán)桃柳，盈門共飲”.又是一年端午時(shí)，某廠家準(zhǔn)出一種新款粽子禮盒，它的外形是“三棱

題型七點(diǎn)、線、面的關(guān)系探究問(wèn)題

【例7】歐拉公式講述的是多面體的頂點(diǎn)數(shù)匕面數(shù)F、棱數(shù)E之間存在的等量關(guān)系.

(1)如圖，通過(guò)觀察圖中幾何體，完成下列表格:

多面體頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)產(chǎn)棱數(shù)E

四面體44

五面體58

六面體86

四面體五面體六面體

(2)通過(guò)對(duì)如圖所示的多面體的歸納，請(qǐng)你補(bǔ)全歐拉公式：V^F-E=

【實(shí)際應(yīng)用】

(3)足球一般由32塊黑白皮子縫合而成，且黑色的是正五邊形，白色的是正六邊形.如果我們近似地把

足球看成一個(gè)多面休.你能利用歐拉公式計(jì)算出正五邊形和正六邊形各有多少塊嗎？請(qǐng)寫出你的解答過(guò)程.

【變式7-1］如圖〃是正方體木塊，把它切去一塊，得到如圖氏c、4e四種木塊.

（1）我們知道，圖。的正方體木塊有8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱、6個(gè)面，請(qǐng)你將圖反以4e中木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱

數(shù)、面數(shù)補(bǔ)全下表：

圖號(hào)頂點(diǎn)數(shù)x棱數(shù)》面數(shù)z

a8126

b9

c8

d7

e15

（2）分析上表，各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系可以歸納出一定的規(guī)律，請(qǐng)你試著寫出頂點(diǎn)

數(shù)工、棱數(shù)），、面數(shù)z之間的數(shù)量關(guān)系式；

⑶根據(jù)猜想計(jì)算：若一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為2024個(gè)，棱數(shù)為4047條，試求它的面數(shù).

【變式7-2】十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（尸）、棱數(shù)（E）之間存在

著有趣的關(guān)系丫+廠=石+2（稱歐拉公式）.實(shí)際上，足球表面的頂點(diǎn)數(shù)（VO、皮塊數(shù)（尸）、棱數(shù)（E）

也滿足歐拉公式.

（圖I）（圖2）（圖3）

（1）圖1的正方體面數(shù)尸=6,頂點(diǎn)數(shù)V=,棱數(shù)E=

⑵圖2的足球表面有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處分別有3條棱，2個(gè)六邊形，1個(gè)五邊形，小明用算式“60x3+2”

得到棱數(shù)為90,用算式“60x2+6”得到六邊形有20塊，請(qǐng)用兩種不同方法計(jì)算該足球表面的五邊形塊數(shù)；

(3)圖3的足球表面由正方形、六邊形、八邊形拼成，每個(gè)頂點(diǎn)處分別有3條棱，1個(gè)正方形，1個(gè)六邊形,

1個(gè)八邊形.求該足球表面的八邊形塊數(shù).

【變式7-3】歐拉為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的

貢獻(xiàn)，他對(duì)多面體做過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)尸之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了

著名的歐拉公式.

(1)觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整：

名稱三棱錐三棱柱五棱柱正八面體

圖形400令

頂點(diǎn)數(shù)V46

棱數(shù)E6

面數(shù)尸4

⑵分析表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)寫出V、E、尸之間的等量關(guān)系：；

⑶某個(gè)飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表是由三角形和五邊形兩種多邊形拼接而成的，且有36個(gè)頂點(diǎn),

每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，請(qǐng)問(wèn)該多面體表面三角形與五邊形的個(gè)數(shù)之和是多少？

【變式7-4］綜合與實(shí)踐

新年晚會(huì)是我們最歡樂(lè)的時(shí)候,會(huì)場(chǎng)上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形.下面是

常見(jiàn)的一些多面體:

四面體六方體十二面體

操作探究:

（1）通過(guò)數(shù)上面圖形中每個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和楂數(shù)（七），填寫卜.表中空缺的部分:

多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（￡）

四面體44

六面體86

八面體812

十二面

1230

體

通過(guò)填表發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（r）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系用式子表示為,這就是偉大的數(shù)學(xué)

家歐拉（LEuler,1707-1783）證明的這一個(gè)關(guān)系式.我們把它稱為歐拉公式；

探究應(yīng)用：

（2）已知一個(gè)棱柱只有七個(gè)面，則這個(gè)棱柱是楂柱；

（3）已知一個(gè)多面體有16個(gè)頂點(diǎn)，并且過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)都有3條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù).

題型八三視圖問(wèn)題

【例8】.用7個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體拼成一個(gè)幾何體，按圖1的方式擺放在桌面上.

（1）這個(gè)幾何體覆蓋桌面的面積是（）平方分米.

（2）在這個(gè)幾何體上又添加了兩個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體，得到一個(gè)新的幾何體.從新幾何體的前面看到的圖形

如圖2,從上面看到的圖形和原來(lái)一樣.在方格紙上畫出從新幾何體的上面和左面看到的圖形.

【變式8-1］在綜合與實(shí)踐課上，小穎和同學(xué)們?cè)谄秸淖烂嫔嫌么笮⌒螤钔耆嗤娜舾蓚€(gè)小正方體搭建

成如圖所示的幾何體.在這個(gè)活動(dòng)過(guò)程中，他們發(fā)現(xiàn)并提出了一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)幫他們解答.

從左面看從上面看

(1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵鲞@個(gè)幾何體從正面、左面、上面三個(gè)方向看到的形狀圖;

(2)按照此種搭建方式繼續(xù)往下搭建，當(dāng)搭建到第10層時(shí)，該層小正方體的個(gè)數(shù)共有一個(gè).

【變式8-2］在平整的地面上，有一個(gè)由9個(gè)完全相同的小立方塊搭成的幾何體，每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)均為

10cm.如圖所示.

(1)請(qǐng)畫出這個(gè)幾何體從三個(gè)方向看到的形狀圖；

(2)將原幾何體露出的表面部分涂成紅色，那么紅色部分的面積

【變式8-3】【問(wèn)題背景】用小立方塊搭一個(gè)幾何體，使它從正面和上面看到的形狀如圖所示，從上面看

到形狀中小正方形中的字母表示在該位置上小立方塊的個(gè)數(shù).

從正面看從上面看

【初步探究】(1)”表示的數(shù)是,方表示的數(shù)是,c表示的數(shù)是：

【深入探究】(2)這個(gè)幾何體最少由一個(gè)小立方塊搭成，最多由個(gè)小立方塊搭成。

(3)當(dāng)d=e=l,/=2時(shí)，畫出從左面看這個(gè)幾何體的形狀.

【變式8-4】小林所在的綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備制作一些大小相同的E方體紙盒，用來(lái)收納班級(jí)講臺(tái)上的粉筆（盒

蓋單獨(dú)制作）.

①②③④

圖I

⑴圖1是綜合實(shí)踐小組的同學(xué)畫出的一些形狀圖，其中（填序號(hào)）經(jīng)過(guò)折疊能圍成一個(gè)無(wú)蓋正方體

形紙盒.

⑵綜合實(shí)踐小組的同學(xué)用制作的8個(gè)正方體形紙盒擺成如圖2所示的幾何體.

①在圖3中畫出從正面觀察圖2的幾何體所看到的形狀圖；

②如果在圖2的幾何體上再添加?些大小相同的止方體形紙盒，并保持從上面看到的形狀圖和從左面看到

的形狀圖不變，最多可以再添加個(gè)正方體形紙盒.

分層階梯訓(xùn)練?提能力

基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

I.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日里的一大亮點(diǎn).2025年端午節(jié)前夜，小紅包了一個(gè)粽子后發(fā)現(xiàn)它每個(gè)面均

是等邊三角形，如圖所示，這個(gè)粽子可以近似看作（）

A.長(zhǎng)方體B.四棱錐C.三棱柱D.三棱錐

2.下列幾何體中,屬于棱柱的是（

A.①@③⑥B.①②C.①③⑥D(zhuǎn).①⑥

3.對(duì)于如圖所示的幾何體，說(shuō)法正確的是（）

A.幾何體是三棱錐B.幾何體有6條側(cè)棱

C.幾何體的側(cè)面是三角形D.幾何體有3個(gè)測(cè)面

第4題

4.妙妙有一塊如圖所示的長(zhǎng)方體橡皮，她用刀去切這塊橡皮，加一刀，則截面形狀不可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.圓

5.如圖，VA8C是一個(gè)直角三角形，AB.BC、C4的長(zhǎng)度分別為4cm、3cm、5cm,分別以三條邊所在

的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到三個(gè)不同的立體圖形，對(duì)這三個(gè)立體圖形的體積大小說(shuō)法正確的是（）.

A.以邊A3所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的立體圖形的體積最大|\

B.以邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的立體圖形的體積最大\

C.以邊4C所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的立體圖形的體稹最大J一\

D.三個(gè)不同的立體圖形的體積一樣大

7.“河海不擇細(xì)流，故能就其深”強(qiáng)調(diào)了包容和積累的重要性.將“河、海、不、擇、細(xì)、流”六個(gè)字按如圖

所示的順序書寫在某個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖上，將該正方體復(fù)原后，與“河''字所在面相對(duì)的面上的字是（）

8.如圖所示立體圖形都是由5個(gè)相同的小正方體擺成的，從右側(cè)面看，（）和其他三個(gè)看到的形狀不同.

A.點(diǎn)動(dòng)成線B.線動(dòng)成面

C.面動(dòng)成體D.面與面相交形成線

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.五棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，10條棱，7個(gè)面

B.點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體

C.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓

D.用平面去截一個(gè)正方體，截面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形、七邊形

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

11.積木是很多同學(xué)小時(shí)候玩過(guò)的一種玩具，對(duì)于鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，培養(yǎng)科學(xué)思維很有幫助.如圖所示

是用積木拼成的小車，寫出你能看出的立體圖形:.（寫兩種即可）

.邊形.

14.如圖，大長(zhǎng)方形長(zhǎng)AB=10cm,寬及'=6cm,小長(zhǎng)方形長(zhǎng)~Q=6cm,寬/>M=2cm,以兩長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊

中點(diǎn)連線（圖中的虛線/）為軸，將八邊形旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為.cnr.（結(jié)果保留幾）

圖I

第15題

15.如圖，用邊長(zhǎng)為8的正方形，做了如圖1所示的七巧板.將這個(gè)七巧板拼成如圖2所示的圖形，則圖2

中陰影部分的面積為

16.一個(gè)立體圖形的展開(kāi)圖如圖所示，這個(gè)立體圖形是

LK

第17題

17.如圖，是正方體表面的展開(kāi)圖，將它折疊成正方體后，與點(diǎn)A重合的點(diǎn)是一.

18.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等，網(wǎng)格中有5個(gè)涂有陰形的小正方形,

現(xiàn)任取一個(gè)小正方形涂上陰影，使這6個(gè)涂有陰影的小正方形能夠圍成一個(gè)小正方體的涂法有種.

19.如圖，是一個(gè)幾何體從正面看、上面看和從左面看到的圖形，擺這個(gè)幾何體需要（）個(gè)小正方體.

20.一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小立方塊搭成，從它的正面和上面看到的形狀圖如圖所示，若這個(gè)幾何

體最多由〃個(gè)小立方塊組成，最少由〃個(gè)小立方塊組成，則。+力=

三、解答題（本大題共5小題，共40分）

21.（本題8分）觀察圖中的幾何體，回答下列問(wèn)題:

（2）請(qǐng)用自己的語(yǔ)言描述圖②和圖⑤的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).（各寫一條即可）

22.（本題8分）如圖所示，用四個(gè)不同的平面去截一個(gè)正方體，請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線上寫出截面的形狀.

⑴⑵(3)(4)

23.（本題8分）在“制作正方體紙盒”的實(shí)踐活動(dòng)中，某小組利用寬為6厘米，長(zhǎng)為〃厘米的長(zhǎng)方形紙板

制作正方體紙盒，有如下兩種設(shè)計(jì)方案.（紙板厚度及接縫處忽略不計(jì)）

圖1圖2

（1）方案一：制作無(wú)蓋正方體紙盒

若〃="，按圖I所示的方式，在紙板四角剪去四個(gè)同樣大小的小正方形，小正方形的邊長(zhǎng)為;r厘米，再沿

虛線折合起來(lái)，可以得到一個(gè)無(wú)蓋正方體紙盒.此時(shí)，你發(fā)現(xiàn)x與，〃之間滿足的等量關(guān)系是.

（2）方案二：制作有蓋正方體紙盒

若〃＞，〃，在圖2的長(zhǎng)方形紙板的三個(gè)角各剪去1個(gè)大小相同的小長(zhǎng)方形，剩卜部分恰好可以折合成一個(gè)有

蓋的正方體紙盒，且其大小與方案一中的無(wú)蓋正方體紙盒大小一樣.此時(shí)，你發(fā)現(xiàn)〃與，〃之間存在的數(shù)量

關(guān)系是什么？若〃=8厘米，求有蓋正方體紙盒的表面積？

24.（本題8分）小明學(xué)習(xí)了“面動(dòng)成體”之后，他用一個(gè)邊長(zhǎng)分別為6cm,8cm和10cm的直角三角形，繞

不同的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到了如圖所示的幾何體.

（1）繞6cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖______；繞8cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖

；繞10cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖_____；（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）

⑵請(qǐng)計(jì)算圖①和圖②中幾何體的體積.（結(jié)果保留兀，圓錐體積=（x底面積x高）

25.（本題8分）【問(wèn)題情境】兀旦節(jié)，班級(jí)需要進(jìn)行文化布置，各個(gè)學(xué)習(xí)小組分工制作裝飾品：

（1）小穎所在的綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備制作一些無(wú)?蓋?正?方?體?紙盒收納班級(jí)講臺(tái)上的小物件.圖1中的哪些圖形經(jīng)

過(guò)折疊能圍成無(wú)蓋正方體紙盒？（填序號(hào)）.

①②④

圖1

（2）小志組準(zhǔn)備制作一個(gè)有蓋的大正方體盒子，他們先用5個(gè)大小一樣的正方形制成如圖2,3所示的拼接圖

形（陰影部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，請(qǐng)你在圖2,圖3中的圖形上再各拼接一個(gè)位置不同的正方形

（用陰影表示），使新拼接成的圖形經(jīng)過(guò)折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子.

圖2圖3

（3）小亮組制作了若干個(gè)小正方體盒子，搭成幾何體的形狀，它從正面和上面看到的圖形如圖4所示，則這

樣的幾何體有種？它暈手需要個(gè)小立方塊？展少需要個(gè)小立方塊？請(qǐng)分另!畫出需要小

立方塊暈少時(shí)，從左面看到的幾何體的形狀圖.（畫出所有可能的情況）

能力提升進(jìn)階練

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.用數(shù)學(xué)的眼光觀察我們身邊的物體，下列不可以抽象為棱柱的是（）

A.圖1由兩個(gè)面圍成，且其中一個(gè)面是曲面

B.圖2可以展開(kāi)成圓形

C.四個(gè)幾何體中，含有平面最多的是圖3

D.只有一個(gè)頂點(diǎn)的幾何體是圖4

4.如圖，從一個(gè)長(zhǎng)方體的一角截去一個(gè)三棱錐，剩余的幾何體的頂點(diǎn)數(shù)不可能是（

A.8B.9C.10D.II

5.老師在黑板上用粉筆寫字，用數(shù)學(xué)知識(shí)可解釋為（）

A.點(diǎn)動(dòng)成線B.線動(dòng)成面C.面動(dòng)成體D.以上都不對(duì)

6.如圖，止方體的六個(gè)面上有二個(gè)面有圖案，它的展開(kāi)圖可能是（）

7.如圖①是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、笫2格、第3格、

①②

A.路B.興C.復(fù)D.中

8.一個(gè)幾何體由大小相同的小立方塊組成,從正面、左面和上面看到的幾何體的形狀如圖所示，則搭成這

個(gè)幾何體需要的小立方塊的個(gè)數(shù)為（）

Efl出

從正面后從左面檸從上面檸

A.5B.6C.7D.8

9.如圖，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為。、寬為〃（其中。＞力），將這個(gè)長(zhǎng)方形分別繞它的長(zhǎng)和寬所在直線旋轉(zhuǎn)一周,

得到兩個(gè)圓柱甲、乙，則這兩個(gè)圓柱的側(cè)面積和體積的關(guān)系為（）

乙

A.甲乙的側(cè)面積不相同，體枳也不相同B.甲乙的側(cè)面枳相同，體積也相同

C.甲乙的側(cè)面枳不相同，體枳相同D.甲乙的側(cè)面積相同，體積不同

10.用相同尺寸的長(zhǎng)方形紙板制借一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒.先在紙板上畫出其表面展開(kāi)圖（需剪掉陰影部

分），兩種裁剪方案如圖1和圖2所示，圖中A,B,C均為正方形:

下列說(shuō)法正確的是（）

A.方案I中的?=4B.方案2中的〃=6

C.方案1所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積小于方案2所得的長(zhǎng)方體紙盒的容積D.方案1所得的長(zhǎng)方體紙盒

的底面積與方案2所得的長(zhǎng)方體紙盒的底面積相同

二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

H.對(duì)于粉筆盒、三棱鏡、乒乓球、易拉罐、書本這些生活中的物品，其形狀類似于棱柱的有.

12.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)”），面數(shù)（/）,棱數(shù)⑻之間存在一個(gè)有趣的數(shù)量關(guān)系：

v+f-e=2,這就是著名的歐拉定理.某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單的多面體，它的外表面是由三角形和八

邊形拼接而成，且有28個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)都3條棱，設(shè)該多面為外表面三角形個(gè)數(shù)是x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)

是y,則工+產(chǎn).

13.如果用平面截掉一個(gè)長(zhǎng)方體的一個(gè)角（切去一個(gè)三棱錐），則剩下的兒何體最多有頂點(diǎn).

14.流星劃過(guò)夜空，會(huì)留下一條長(zhǎng)長(zhǎng)的“尾巴”，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象：.

15.如圖，大長(zhǎng)方形長(zhǎng)/W=10cm,寬8c=6cm,小長(zhǎng)方形長(zhǎng)PQ=6cm,寬PM=2cm,以兩長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊

中點(diǎn)連線（圖中的虛線/）為軸，將八邊形旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為cnf.（結(jié)果保留兀）

第15題第16題

16.七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一個(gè)無(wú)縫隙的正

方形（如圖1）和一個(gè)中間留有空白的數(shù)字“0"（如圖2）,若圖1正方形的面積是16,則圖2中空白部分

的面積是.

17.如圖①，將邊長(zhǎng)為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長(zhǎng)為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣

完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊：如圖③，籽長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,2的長(zhǎng)方體磚塊，切

割掉長(zhǎng)、寬、高分別為4,1,1的長(zhǎng)方體，得到如圖④的''直角磚塊"，若用這樣完全相同的“直角恬塊''拼成正方

體，最少需要塊.

18.如圖，陰影部分是由5個(gè)相同的小正方形組成的，請(qǐng)你在圖中標(biāo)注數(shù)字的位置選擇添加一個(gè)正方形,

使組成的新圖形能夠折疊成?個(gè)正方體盒子，則添加的位置可以是.（寫出?種即可）

19.按圖示切割正方體就可以切割出正六邊形（正六邊形的各頂點(diǎn)恰是其棱的中點(diǎn)），以下此正方體的平

面屐升圖及切割線的畫法止確的有.（填序號(hào)）

20.用若干大小相同的小正方體組合成一個(gè)幾何體，使得從正面和從上面看到的這個(gè)幾何體的形狀如圖所

示.則搭建該幾何體最多需要個(gè)正方體，最少需要個(gè)正方體.

從正面看從上面看

三、解答題（本大題共5小題，共40分）

21.（本題8分—）如圖，用經(jīng)過(guò)A、6、。三點(diǎn)的平面截去正方體的角，變成個(gè)新的多面體，若這個(gè)多

面體的面數(shù)為加，棱數(shù)為〃，求〃i+〃的值.

O,

22.(本題8分)閱讀材料，解決下面的問(wèn)題：

柏拉圖體：柏拉圖體即為正多面體，它的所有面都是完全相同的正多邊形.

正多邊形有無(wú)數(shù)種，而正多面體只有五種，均以面的數(shù)量來(lái)命名——正四面體、正六面體(立方體)、正

八面體、正十二面體、正二十面體.如圖1、就是一個(gè)六個(gè)面均為正方形的正六面體.

圖2圖彳

(注：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形.如等邊三角形也叫正三角形，正方形也叫正四邊形…)

(1)如圖2,連接正六面體中相鄰面的中心，可得到一個(gè)柏拉圖體.

①它是正______面體，有個(gè)頂點(diǎn),條棱;②已知該正多面體的體積與原正方體體積的比為1:6,

若原正方體的棱長(zhǎng)為3cm,該正多面體的體積為cm3：

(2)如圖3,用6個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成一個(gè)幾何體.小明要再用一些完全相同的小正方體搭一個(gè)幾何

體，若要使新搭的幾何體恰好能與原幾何體拼成一個(gè)無(wú)空隙的正六面體，則小明至少需要個(gè)小正方體,

他新搭幾何體的表面積最小是：

(3)小華用4個(gè)楂長(zhǎng)為1的小正四面體搭成一個(gè)如圖4所示的造型，可以看做是一個(gè)不完整的大四面體.小

華發(fā)現(xiàn)此造型中間空缺部分也是一個(gè)柏拉圖體！請(qǐng)寫出該柏拉圖體的名稱：.