15.3.1等腰三角形第1課時(shí)過關(guān)練2025-2026學(xué)年上學(xué)期

初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級上冊

一、單選題

1.如圖，在VABC中,AB=AC,是/ABC的平分線，若N8QC=72。，則/A等于（）

AA

BC

A.16°B.j[6。C.48°D.60°

2.如圖，在△ABC中，AI3=AC,N8=56。，以點(diǎn)。為圓心，C4長為半徑作弧交AB于點(diǎn)Q,

大于;AD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)作直線。。交八6于點(diǎn)八

分別以點(diǎn)A和點(diǎn)。為圓心、，

則/A;b的度數(shù)是（）

B

A.16°B.：22。C.24°D.26°

3.如圖，在VA8C中,Z4BC=50°,Z4CD=70°,。為線段A8的垂直平分線與直線3C的交

點(diǎn)，連接A。，則NC4O=（）

A

A\

BCD

A.40°B.2；0。C.20°D.10°

4.墻上釘了一根木條,陳老師想用一個(gè)如圖所示的測平儀檢驗(yàn)這根木條是否水平.在這個(gè)測平

儀中，AB=ACfAC'邊的中點(diǎn)。處掛了一個(gè)重錘.陳老師將3。邊與木條重合，觀察此時(shí)重垂線是

否通過點(diǎn)4.如果重垂線過點(diǎn)A,那么這根木條就是水平的.這其中的道理是（）

A.等邊對等角

B.垂線段最短

C.等腰三角形的“三線合一”

D.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等

5.如圖，C。是等腰VA6c底邊上的中線，的平分/A4C,交CD于點(diǎn)、E,AC=8,DE=2,

則△BCE的面積是（）

6.如圖，在VA6C中，AB=AC,點(diǎn)。為線段3C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,。重合），連接AO,

作NAOE=N8=40。，OE交線段AC于點(diǎn)E,下列結(jié)論：①NDEC=NBDA；②若A/?=DC,則

AD=DE；③當(dāng)時(shí)，則。為中點(diǎn)；④當(dāng)VAOE為等腰三角形時(shí)，"4）=40°；其中正

確的有（）

A.①②③B.?@@C.①③④D.①②

二、填空題

7.如圖，在VA8C中，AC=8C,ZC=2?,點(diǎn)￡是AC的中點(diǎn)，DE上AC交BC邊于點(diǎn)、D,

連接4。，則NB4O=.

8.如圖，點(diǎn)C,E在。4上，點(diǎn)。在08上，H.OC=CD=DE,若ZEDB=75°,則ZAOB=

E^A

oDB

9.如圖.點(diǎn)B,C,D,E,F在NA的兩邊上，AB=BC=CD=DE=EF,NA=18。，則NDEF二

10.如圖，在VA3C中，4c的垂直平分線所交—ABC的平分線8。于點(diǎn)E,若NB4C=66。,

ZACE=24°,則”防的度數(shù)為.

11.如圖，在VABC中，Z4=ZBC4,。為AC的中點(diǎn)，連接BD,延長BC至點(diǎn)E,使C￡：=CQ,

連接?！?ZE=20°,則NBQE1的大小為°.

三、解答題

12.在VA8c中，AB=AC,AN的作圖痕跡如圖所示，AN交BC于點(diǎn)、N,DE垂直平分邊AB,

交AC于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)E,交AN于點(diǎn)O,連接04.

(1)若A3=6,CD=2,求△A。。與VA08的面積比；

(2)若NC=70。，求N08C的度數(shù).

13.如圖，在VA8C中，AB=AC,A。是邊上的中線，延長6至點(diǎn)E,延長至點(diǎn)尸,

參考答案

題號123456

答案BBBCCA

1.B

【分析】本題主要考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，由等邊對等角得到

ZABC=ZC,設(shè)乙48C=NC=2x,由角平分線的定義得到NC8O=.J則由三角形內(nèi)角和定理可得

X+2A-+72O=180°,解方程即可得到答案.

【詳解】解：???A6=AC,

???ZABC=ZC,

設(shè)ZA8C=NC=2x,

???8。是—A3c的平分線，

：,ZCBD=-ZABC=x

2f

*/ZI3DC=72°,/BDC+NC+NCBD=180°,

.*.x+2x+72°=180°,

Ax=36°,

???NA=180°-ZABC-NC=1800-2x-2x=36。，

故選：B.

2.B

【分析】本題考查作圖一基本作圖、等腰三角形的性質(zhì)，由作圖過程可知，直線則

^AFC=90°.由等腰三角形的性質(zhì)可得/ACA=/8=56。，則/加。=180。一/4。4一/8=68。，

再根據(jù)NACF=180°-ZBAC-ZAFC可得答案.

【詳解】解：由作圖過程可知，直線CFJLA8,

???ZAFC=90°.

VAB=AC,28=56。，

???/AC8=/3=56。，

???ZBAC=180°-zfACT-=68°,

???NACF=1800-NBAC-NAFC=22°.

故選：B.

3.B

【分析】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟

練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)健.

由。為線段AB的垂直平分線與直線8C的交點(diǎn)可得4)=8。，可得/84。=乙43。=50。，根據(jù)

三角形外角的性質(zhì)可得/必C=20。，然后根據(jù)角的和差即可解答.

【詳解】解：???由。為線段AA的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)，

/.AD=BD,

???^BAD=ZABC=50°,

???ZAC。=70。，

???ABAC=ZACD-ZABC=70°-50°=20°,

???ZC4D=々BAD-MAC=50°-20°=30°.

故選：B.

4.C

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)重錘過A點(diǎn)時(shí)，A。也是8c邊上的高，即AO28C,即這根木

條是水平的，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：???在三角測平架中，AB=AC,

???A3為等腰V/WC的底邊AC上的高，

又???A。自然下垂，

???處于水平位置.

???等腰三角形底邊上的中線就是底邊上的高.

故選C.

5.C

【分析】本題考查等腰三角形底邊上三線合一，角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等，解題的關(guān)鍵是

作出輔助線.過E作EFJ.BC交BC于點(diǎn)、F,根據(jù)等腰三角形底邊上三線合一得到OEX,結(jié)合

EF1BC,8E平分N4BC得到。￡=￡/即可得到答案；

【詳解】解：如圖，過E作EFJ.BC交BC于點(diǎn)F,

???C￡＞是等腰三角形VA8c底邊上的中線,

ADEJ.AI3,AC=BC,

???BE平分/ABC,EF1BC,

：-DE=EF,

???AC=8,DE=2

???S38CE=gBCxM=；ACxOE=；x8x2=8,

故選：C.

6.A

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和.通過等腰

三角形的性質(zhì)得到NC=NAOE=N8=40。，利用角度的轉(zhuǎn)換即可得到NOEC=N8D4,故①正確；

當(dāng)A8=DC時(shí)，可證明△84旌△(?￡)￡,即可得到故②正確；當(dāng)工AC時(shí)，可得

ZADB=NDEC=90。,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得。為3C中點(diǎn)，故③正確；根據(jù)三角形

外角的性質(zhì)，可得ZA￡D>40°,則可得到ND4E=40?；?()。，即可求出的度數(shù)為6(尸或30。，

故可得④不正確.

【詳解】解：???AB=AC,

AZB=ZC=ZADE=40°,

ZDEC+ZC+/EDC=180°,ABDA+/ADE+/EDC=180°,

:.ZDEC=ZBDA,故①正確；

若AB=DC,

由①得ZDEC=NBDA,NC=NB,

△BAZ^ACDE(ASA),

AD=DE,故②正確；

若DEJ.AC,則可得NA￡)B=N/)EC=90。，

?IAB=AC,

???D為8c中點(diǎn)，故③正確；

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得幺包>>40°,

故ZADEHZAED,

當(dāng)ZADE=READ=40c時(shí)，

NBAD=1800-ZB-ZC-ZDAE=60°；

當(dāng)Z.AED=NEAD=丁。匹=70°,

/BAD=1800-NB—NC—ND4E=30°,故④不正確，

所以正確的為①②③，

故選：A.

7.900-3a

【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì).根據(jù)等腰三:憑形的性質(zhì)

求出N8AC=90。-。，根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)求出NO4C=NC=2a,再根據(jù)集的和差求

解即可.

【詳解】解：VAC=BC,ZC=2tz,

???ZBAC=-x(180o-ZC|=90o-a,

???點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，DEJ.AC,

:.OE垂直平分AC,

JAD=CD,

，NDAC=NC=2a,

JZBAD=ZBAC-ZDAC=9(r-a-2a=90o-3a,

故答案為：90°-3a.

8.25

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，先證明NC8=NCDO,

/DCE=/DEC,再利用三角形的外角的性質(zhì)得到NEZ犯=3NC8=75。，從而可得答案，掌握等腰

三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???OC=CT>=OE,

:./COD=/CDO,/DCE=NDEC,

???ZDCE=Z.COD+NCDO=2ZCOD,

???4EDB=/DEC+乙COD=3ZCOD=75°,

???ZAOB=ZCOD=25°,

故答案為：25.

9.36。/36度

【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理.由

AB=BC=CD=DE=EF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得4c8=NA,NCDB=NCBD,

NCED=/DCE,/EFD=/EDF,又由三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，即可求得NOM的

度數(shù)，此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【詳解】解：???AB=8C,

???ZACB=ZA=18°,

???NCBD=ZA+ZACT=36°,

??BC=CD,

???4CDB=NCBD=36°,

???NDCE=ZAiNC"=18。i36。=54。，

CD=DE,

，4CED=/DCE=54。,

:.NEZ）產(chǎn)=/4+乙4￡0=18。+54。=72°,

DE=EF,

???ZEFD=ZEDF=72°,

???ZLDEF=180°-72°-72°=36°.

故答案為：36。.

10.60°

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理筆知以，根

據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義以及等邊對等角可得出@C=N￡C8=Z/WQ,然后根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理求出48力=4BC=NE6=3O°,ZBEC=120°,最后根據(jù)三線合一的性質(zhì)求解即

可.

【詳解】解：???斯垂直平分8C,

:.BE=CE,

：.4EBC=/ECB,

：4。平分/ABC,

???ZABD=/EBC,

VZBAC=66°,ZAC石=24。，

r.Z4BC+ZECB=18（F-ZfiAC-ZACE=90°,

即ZABD+ZEBC+^ECB=9GP,

/.ZABD=ZEBC=/ECB=,

?'.ZBEC=180°-Z￡BC-ZECB=120°,

,:BE=CE,EFJ.BC,

：./BEF=L/BEC=60°,

2

故答案為：60°.

11.110

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三線合一得到』8DC=90。，利用等邊對對角得

到NCQE=N￡=20。，再根據(jù)/4￡＞石=N4DC+Na）E求解，即可解題.

【詳解】解：?.?在VA8C中，ZA=N8（X，。為AC的中點(diǎn)，

..BD1.AC,即/3DC=900,

vCE=CD,Z￡=20°,

ZCDE=ZE=20°,

ZBDE=ZBDC+ZCDE=900+20°=110°；

故答案為：110.

12.（1）2:3

（2）50°

【分析】（1）過點(diǎn)。作Ok_LAC于點(diǎn)尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出。￡再根捱三角形的

面積公式即可求解；

（2）根據(jù)等邊對等角得出NAAC的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出480的度數(shù)，即

可推出結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)。作Ob_LAC于點(diǎn)尸，

由作圖可知，AN平分NC48,

又???0E垂直平分邊AB,OF±AC,

:.OF=OE,

VAC=AB=6,CD=2,

AD=AC-CD=6-2=4f

48與4AO8的面積比nlgAQO/7ABOE)=AO:AB=4:6=2:3；

(2)解：?/AB=AC,ZC=70°,

ZABC=ZC=70°,NBAC=180°-ZC-ZABC=40°,

???4V平分NBAC,

ZBAO=-ZBAC=20°

2f

?“花垂宜平分邊A8,

：.OA=OB,

.?.ZOZJ4=Z6t4B=20°,

ZOfiC=ZABC-ZABO=70°-2（T=50°.

【點(diǎn)睛】本題考查r線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)基本作

圖-作角平分線，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.見詳解

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉等腰三角形的性質(zhì)，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BO=DC,AD1BC,AD平分N84C,再利用全等三角形的判定和性

質(zhì)證明即可.

【詳解】證明：???在△A8C中，AB=AC,AD是8c邊上的中線，

:.BD=DC,AD±I3CtAD平分N4AC,ZABD=4CD,

???ZABE=ZACF,

在~4跳：與△ACF中，

AB=AC

-ZABE=ZACF,

BE=CF

???aAZ?E且△ACF(SAS),

JNBAE=/CAF,

???ZBAE+/BAD=ZCAF+ZC4D,

即ZEAD=ZFAD,

即A。平分/￡4尸.

14.(1)70°；

(2)見解析.

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、垂直的定義、全等三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)角平分線的定義可知/"。=20。，根據(jù)垂直的定義可知NA￡D=90。，根據(jù)直角三角形

的兩個(gè)銳角互余可求NED4=70。；

(2)利用AAS可證瓦注A4CO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AE=AC,又因?yàn)锳。平分N8AC,

根據(jù)等腰三角形的三線合一定理可證：直線AD是線段CE的垂直平分線.

【詳解】(1)解：?.?N84C=40。，AO平分NR4C,

/.ZEAD=ZCAD=-ZBAC=20°,

2

\-DE±AB,

:.ZAED=9O0,

ZEZM=90°-20°=70o；

(2)證明：-,DEIAB,Z4CB=90°,

r.ZAED=9O0=ZACI3,

A。平分NB4C,

/DAE=ADAC=24BAC=20°,

2

AAED=ZACD

在^AED和AACD中2DAE=ZDAC,

AD=AD

.△AED^AACD,

：.AE=AC,

?.?AO平分々AC,

AD1CE,A/）平分線段EC,

???直線4。是線段CE的垂直平分線.

15.（1）證明見解析

（2）ZBDC=130°

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，正確

添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

（1）利用等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)求得NA8c=NAC8=40。，利用角平分線的定義求得

ZABD=/DBC=2。。,然后再利用等邊對等角的性質(zhì)求得/A￡）8=ND48=80。，從而求得

ZC4T）=20o,即可得證；

（2）延長4。到點(diǎn)E,使得AE=BC,根據(jù)SAS定理證明AD8（WAC4E,從而得到CD=CE,

ZBDC=ZACE,設(shè)NCDE=NCED=a,則N8DC=NACE=100。+。，然后利用三角形內(nèi)角列方程

求得a的值，從而解答.

【詳解】（1）證明：VAB=AC,ZfiAC=100°

???ZABC=ZACB=40°

8。平分/ABC