大一高數(shù)知識點總結(jié)大一高等數(shù)學(xué)（簡稱“高數(shù)”）是理工科、經(jīng)濟(jì)學(xué)等專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，主要涵蓋函數(shù)、極限、微積分、微分方程等核心內(nèi)容，構(gòu)建了高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論框架。本總結(jié)以主流教材（如同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》）為依據(jù)，按“知識模塊—核心知識點—定理公式—應(yīng)用要點”的邏輯展開，兼顧理論理解與解題實踐，適配日常學(xué)習(xí)、習(xí)題演練及期末復(fù)習(xí)需求，助力夯實高數(shù)基礎(chǔ)。第一模塊函數(shù)、極限與連續(xù)性本模塊是高等數(shù)學(xué)的基石，函數(shù)是研究對象，極限是核心工具，連續(xù)性是函數(shù)的基本性質(zhì)，三者共同為后續(xù)微積分的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。第一章函數(shù)1.1函數(shù)的基本概念（1）定義：設(shè)非空數(shù)集D?R，若對任意x∈D，按照確定的法則f，都有唯一確定的y∈R與之對應(yīng)，則稱f：D→R為定義在D上的函數(shù)，記為y=f(x)。其中D為定義域，{y|y=f(x),x∈D}為值域。（2）核心要素：定義域、對應(yīng)法則，二者確定則函數(shù)唯一；值域由定義域和對應(yīng)法則共同決定。（3）定義域求解原則：①分式分母不為零；②偶次根式被開方數(shù)非負(fù)；③對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零；④三角函數(shù)（如tanx定義域x≠kπ+π/2，k∈Z；arcsinx定義域[-1,1]）；⑤復(fù)合函數(shù)定義域需滿足內(nèi)層函數(shù)值域落在外層函數(shù)定義域內(nèi)。1.2函數(shù)的特性（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，若對任意x?<x?∈I，恒有f(x?)<f(x?)（遞增）或f(x?)>f(x?)（遞減），則稱f(x)在I上單調(diào)?？赏ㄟ^導(dǎo)數(shù)符號判斷（后續(xù)重點）。（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，若f(-x)=f(x)則為偶函數(shù)（圖像關(guān)于y軸對稱）；若f(-x)=-f(x)則為奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點對稱）。常見結(jié)論：奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇；奇函數(shù)在x=0處有定義則f(0)=0。（3）周期性：設(shè)存在T≠0，對任意x∈定義域，f(x+T)=f(x)，則稱T為周期。最小的正數(shù)T為最小正周期（如sinx周期2π，tanx周期π）。（4）有界性：設(shè)存在M>0，對任意x∈I，|f(x)|≤M，則稱f(x)在I上有界。如sinx、cosx在R上有界（M=1），而x、1/x在(0,+∞)上無界。1.3復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u)，u=g(x)，若g(x)的值域與f(u)的定義域交集非空，則y=f[g(x)]為復(fù)合函數(shù)，u為中間變量。如y=sin(x2)由y=sinu和u=x2復(fù)合而成。（2）初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)（冪函數(shù)x?、指數(shù)函數(shù)a?、對數(shù)函數(shù)log?x、三角函數(shù)sinx/cosx/tanx、反三角函數(shù)arcsinx/arccosx/arctanx）經(jīng)有限次四則運算或復(fù)合運算得到的函數(shù)。如y=2?+sin√x為初等函數(shù)。第二章極限2.1數(shù)列的極限（1）定義（ε-N語言）：對任意ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，|a?-A|<ε，則稱數(shù)列{a?}的極限為A，記為lim?→∞a?=A。核心：n足夠大時，a?無限趨近于A。（2）收斂與發(fā)散：若極限存在（為有限數(shù)）則數(shù)列收斂；否則發(fā)散（如a?=n發(fā)散，a?=(-1)?震蕩發(fā)散）。（3）重要極限：lim?→∞(1+1/n)?=e；lim?→∞(1+k/n)?=e?（k為常數(shù)）；lim?→∞sin(1/n)/(1/n)=1。（4）收斂數(shù)列性質(zhì)：①唯一性：收斂數(shù)列極限唯一；②有界性：收斂數(shù)列必有界（反之不成立，如a?=(-1)?有界但發(fā)散）；③保號性：若lim?→∞a?=A>0，則存在N，當(dāng)n>N時a?>0。2.2函數(shù)的極限（1）自變量趨于有限值（x→x?）的極限：對任意ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x?|<δ時，|f(x)-A|<ε，則lim?→??f(x)=A。注：0<|x-x?|表示x≠x?，極限與f(x?)無關(guān)。（2）左右極限：左極限lim?→???f(x)=A（x從左側(cè)趨近x?），右極限lim?→???f(x)=A（x從右側(cè)趨近x?）；極限存在的充要條件：左右極限都存在且相等。如lim?→0|x|/x不存在（左極限-1，右極限1）。（3）自變量趨于無窮大（x→∞）的極限：對任意ε>0，存在X>0，當(dāng)|x|>X時，|f(x)-A|<ε，則lim?→∞f(x)=A。同理有x→+∞（x>X）和x→-∞（x<-X）的極限。（4）重要極限：①lim?→0sinx/x=1（核心：x→0時sinx~x，等價無窮?。虎趌im?→∞(1+1/x)?=e或lim?→0(1+t)1/?=e；③lim?→0(1-cosx)/x2=1/2，lim?→0e?-1/x=1，lim?→0ln(1+x)/x=1（常見等價無窮小推導(dǎo)基礎(chǔ)）。（5）極限運算法則：若limf(x)=A，limg(x)=B，則①lim[f(x)±g(x)]=A±B；②lim[f(x)·g(x)]=A·B（特別地，lim[cf(x)]=cA，c為常數(shù)）；③lim[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。2.3無窮小與無窮大（1）無窮?。簂imf(x)=0，則稱f(x)為該極限過程中的無窮小量（簡稱無窮小）。注：無窮小是變量，非絕對值很小的數(shù)；0是唯一的常數(shù)無窮小。（2）無窮大：limf(x)=∞（或+∞、-∞），則稱f(x)為該極限過程中的無窮大量（簡稱無窮大）。無窮大與無窮小的關(guān)系：在同一極限過程中，若f(x)為無窮大，則1/f(x)為無窮?。╢(x)≠0）；反之，若f(x)為非零無窮小，則1/f(x)為無窮大。（3）等價無窮小：設(shè)α、β為同一極限過程中的無窮小，若limα/β=1，則稱α與β等價，記為α~β。（4）常見等價無窮?。▁→0時）：sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1-cosx~(1/2)x2，e?-1~x，ln(1+x)~x，(1+x)?-1~ax（a為常數(shù)）。（5）等價無窮小替換定理：若α~α'，β~β'，且limα'/β'存在，則limα/β=limα'/β'。注：僅適用于乘除運算，加減運算不可隨意替換。第三章函數(shù)的連續(xù)性3.1連續(xù)性的定義（1）在x?處連續(xù)：滿足三個條件①f(x?)有定義；②lim?→??f(x)存在；③lim?→??f(x)=f(x?)。若不滿足，則x?為間斷點。（2）區(qū)間連續(xù)：若f(x)在(a,b)內(nèi)每一點都連續(xù)，且在x=a處右連續(xù)（lim?→??f(x)=f(a)）、x=b處左連續(xù)（lim?→??f(x)=f(b)），則f(x)在[a,b]上連續(xù)。（3）間斷點分類：①第一類間斷點：左右極限都存在，包括可去間斷點（lim?→??f(x)≠f(x?)或f(x?)無定義，如f(x)=(x2-1)/(x-1)在x=1處）和跳躍間斷點（左右極限不相等，如f(x)=|x|/x在x=0處）；②第二類間斷點：左右極限至少一個不存在，如無窮間斷點（f(x)=1/x在x=0處）、震蕩間斷點（f(x)=sin(1/x)在x=0處）。3.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）四則運算：若f(x)、g(x)在x?處連續(xù)，則f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、f(x)/g(x)（g(x?)≠0）在x?處也連續(xù)。（2）復(fù)合函數(shù)連續(xù)性：若u=g(x)在x?處連續(xù)，y=f(u)在u?=g(x?)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在x?處連續(xù)，且lim?→??f[g(x)]=f[lim?→??g(x)]=f[g(x?)]。（3）初等函數(shù)連續(xù)性：所有初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上有界。（2）最大值最小值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必存在最大值M和最小值m（至少各取到一次）。（3）介值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對任意介于f(a)與f(b)之間的數(shù)C，至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C。（4）零點定理（介值定理推論）：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0（兩端點函數(shù)值異號），則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0（即方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)有實根）。第二模塊導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的變化率，微分是導(dǎo)數(shù)的線性近似，二者是微積分的核心工具，廣泛應(yīng)用于函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題的分析。第四章導(dǎo)數(shù)的概念與運算4.1導(dǎo)數(shù)的定義（1）函數(shù)在x?處的導(dǎo)數(shù)：設(shè)f(x)在x?的某鄰域內(nèi)有定義，若極限lim?→?[f(x?+h)-f(x?)]/h存在，則稱f(x)在x?處可導(dǎo)，該極限值為f(x)在x?處的導(dǎo)數(shù)，記為f’(x?)或dy/dx|?=??。（2）左右導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)f’?(x?)=lim?→??[f(x?+h)-f(x?)]/h，右導(dǎo)數(shù)f’?(x?)=lim?→??[f(x?+h)-f(x?)]/h；可導(dǎo)的充要條件：左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：f’(x?)是曲線y=f(x)在點(x?,f(x?))處的切線斜率，切線方程為y-f(x?)=f’(x?)(x-x?)；若f’(x?)=∞，則切線垂直于x軸（方程x=x?）。（4）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。如f(x)=|x|在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)（左右導(dǎo)數(shù)分別為-1和1）。4.2基本求導(dǎo)公式（1）常數(shù)函數(shù)：(C)’=0（C為常數(shù)）；（2）冪函數(shù)：(x?)’=ax??1（a為常數(shù)，如(x2)’=2x，(√x)’=1/(2√x)，(1/x)’=-1/x2）；（3）指數(shù)函數(shù)：(a?)’=a?lna（特別地，(e?)’=e?）；（4）對數(shù)函數(shù)：(log?x)’=1/(xlna)（特別地，(lnx)’=1/x）；（5）三角函數(shù)：(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx，(tanx)’=sec2x，(cotx)’=-csc2x，(secx)’=secxtanx，(cscx)’=-cscxcotx；（6）反三角函數(shù)：(arcsinx)’=1/√(1-x2)，(arccosx)’=-1/√(1-x2)，(arctanx)’=1/(1+x2)，(arccotx)’=-1/(1+x2)。4.3求導(dǎo)法則（1）四則運算法則：設(shè)u=u(x)、v=v(x)可導(dǎo)，則①(u±v)’=u’±v’；②(uv)’=u’v+uv’（特別地，(Cu)’=Cu’，C為常數(shù)）；③(u/v)’=(u’v-uv’)/v2（v≠0）。（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）：設(shè)y=f(u)，u=g(x)可導(dǎo)，則y=f[g(x)]可導(dǎo)，且dy/dx=dy/du·du/dx=f’(u)·g’(x)。如y=sin(x2)，dy/dx=cos(x2)·2x=2xcos(x2)。（3）隱函數(shù)求導(dǎo)：對F(x,y)=0兩邊同時對x求導(dǎo)，將y視為x的函數(shù)（含y的項需用鏈?zhǔn)椒▌t），解出dy/dx。如x2+y2=1，求導(dǎo)得2x+2y·dy/dx=0，故dy/dx=-x/y（y≠0）。（4）參數(shù)方程求導(dǎo)：若x=φ(t)，y=ψ(t)可導(dǎo)且φ’(t)≠0，則dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=ψ’(t)/φ’(t)。如x=sint，y=cost，dy/dx=(-sint)/cost=-tant。（5）高階導(dǎo)數(shù)：二階及以上導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)，記為f''(x)、f'''(x)或d2y/dx2、d3y/dx3。如f(x)=sinx，f''(x)=-sinx，f'''(x)=-cosx，f???(x)=sinx（周期為4）。第五章微分5.1微分的定義（1）定義：設(shè)f(x)在x?處可導(dǎo)，若函數(shù)增量Δy=f(x?+Δx)-f(x?)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)（其中A與Δx無關(guān)，o(Δx)是Δx→0時的高階無窮小），則稱f(x)在x?處可微，AΔx為f(x)在x?處的微分，記為dy=AΔx。（2）可微與可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)在某點可微的充要條件是在該點可導(dǎo)，且A=f’(x?)，即dy=f’(x?)Δx；令Δx=dx（自變量微分），則dy=f’(x?)dx，故f’(x?)=dy/dx（導(dǎo)數(shù)也稱為微商）。（3）幾何意義：微分dy是曲線y=f(x)在點(x?,f(x?))處切線的增量，當(dāng)Δx很小時，Δy≈dy（線性近似）。5.2微分的運算（1）基本微分公式：由導(dǎo)數(shù)公式直接推導(dǎo)，如d(x?)=ax??1dx，d(e?)=e?dx，d(sinx)=cosxdx，d(lnx)=1/xdx。（2）微分四則運算法則：d(u±v)=du±dv；d(uv)=vdu+udv；d(u/v)=(vdu-udv)/v2（v≠0）；d(Cu)=Cdu（C為常數(shù)）。（3）復(fù)合函數(shù)微分形式不變性：設(shè)y=f(u)，無論u是自變量還是中間變量（u=g(x)），都有dy=f’(u)du。如y=sin(u)，u=x2，則dy=cosudu=cos(x2)·2xdx，與直接求導(dǎo)結(jié)果一致。第三模塊微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理是連接導(dǎo)數(shù)與函數(shù)整體性質(zhì)的橋梁，為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用提供理論依據(jù)，主要用于函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性及不等式證明等問題。第六章微分中值定理6.1三大中值定理（1）羅爾定理：①條件：f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)；②結(jié)論：至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f’(ξ)=0。幾何意義：連續(xù)可導(dǎo)曲線兩端點等高，則中間必有一點切線水平。（2）拉格朗日中值定理：①條件：f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；②結(jié)論：至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。變形：f(b)-f(a)=f’(a+θ(b-a))(b-a)（0<θ<1），幾何意義：曲線在(a,b)內(nèi)必有一點切線與兩端點連線平行。（3）柯西中值定理（拉格朗日定理推廣）：①條件：f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，g’(x)≠0（x∈(a,b)），g(a)≠g(b)；②結(jié)論：至少存在一點ξ∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’(ξ)/g’(ξ)。當(dāng)g(x)=x時，退化為拉格朗日中值定理。6.2洛必達(dá)法則（求極限的重要工具）（1）適用類型：主要用于求解“0/0”型或“∞/∞”型未定式極限，其他未定式（如0·∞、∞-∞、0?、1^∞、∞?）需先轉(zhuǎn)化為“0/0”或“∞/∞”型。（2）法則內(nèi)容：設(shè)①limf(x)=0（或∞），limg(x)=0（或∞）；②f(x)、g(x)在極限點附近可導(dǎo)且g’(x)≠0；③limf’(x)/g’(x)=A（或∞）；則limf(x)/g(x)=limf’(x)/g’(x)=A（或∞）。（3）注意事項：①需先判斷是否為未定式，非未定式不可用；②若一次求導(dǎo)后仍為未定式，可多次應(yīng)用，但需每次驗證條件；③當(dāng)limf’(x)/g’(x)不存在且非∞時，洛必達(dá)法則失效，需換用其他方法（如等價無窮小替換）。（4）示例：lim?→0sinx/x（0/0型）=lim?→0cosx/1=1；lim?→+∞lnx/x（∞/∞型）=lim?→+∞(1/x)/1=0。第七章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用7.1函數(shù)的單調(diào)性與極值（1）單調(diào)性判定：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則①若對任意x∈(a,b)，f’(x)>0，則f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增；②若f’(x)<0，則單調(diào)遞減；③若f’(x)=0的點只有有限個，則不影響整體單調(diào)性（如f(x)=x3，f’(0)=0，但在R上單調(diào)遞增）。（2）極值的定義：設(shè)f(x)在x?的某鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意x≠x?，都有f(x)<f(x?)（或f(x)>f(x?)），則稱f(x?)為f(x)的極大值（或極小值），x?為極值點。極值是局部概念，最值是全局概念。（3）極值判定定理：①必要條件：若f(x)在x?處可導(dǎo)且取極值，則f’(x?)=0（駐點）；注：駐點不一定是極值點（如f(x)=x3在x=0處），極值點也可能是不可導(dǎo)點（如f(x)=|x|在x=0處）。②第一充分條件：設(shè)f(x)在x?處連續(xù)，在x?附近可導(dǎo)（x?處可導(dǎo)或不可導(dǎo)），若x從左側(cè)到右側(cè)經(jīng)過x?時，f’(x)由正變負(fù)，則f(x?)為極大值；由負(fù)變正，則為極小值；符號不變，則非極值。③第二充分條件：設(shè)f(x)在x?處二階可導(dǎo)，且f’(x?)=0，f''(x?)≠0，則①若f''(x?)<0，f(x?)為極大值；②若f''(x?)>0，f(x?)為極小值。（4）函數(shù)的最值求解（閉區(qū)間[a,b]上）：①求出f(x)在(a,b)內(nèi)的所有駐點和不可導(dǎo)點；②計算這些點及區(qū)間端點的函數(shù)值；③比較所有函數(shù)值，最大的為最大值，最小的為最小值。7.2函數(shù)的凹凸性與拐點（1）凹凸性定義：設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若對任意x?、x?∈I，有f[(x?+x?)/2]<[f(x?)+f(x?)]/2，則稱f(x)在I上的圖形是凹的；若f[(x?+x?)/2]>[f(x?)+f(x?)]/2，則為凸的。（2）凹凸性判定：設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，則①若對任意x∈(a,b)，f''(x)>0，則f(x)在(a,b)內(nèi)凹；②若f''(x)<0，則凸。（3）拐點：連續(xù)曲線y=f(x)上凹與凸的分界點稱為拐點，記為(x?,f(x?))。判定：①若f''(x?)=0或f''(x?)不存在，且x經(jīng)過x?時f''(x)符號改變，則(x?,f(x?))為拐點。如f(x)=x3，f''(x)=6x，f''(0)=0，x<0時f''(x)<0（凸），x>0時f''(x)>0（凹），故(0,0)為拐點。7.3函數(shù)圖像的描繪步驟：①確定函數(shù)定義域、奇偶性、周期性（簡化作圖范圍）；②求f’(x)，找出駐點和不可導(dǎo)點，確定單調(diào)性和極值點；③求f''(x)，找出f''(x)=0或不存在的點，確定凹凸性和拐點；④求函數(shù)的漸近線（水平漸近線lim?→±∞f(x)=A，垂直漸近線lim?→??f(x)=∞，斜漸近線y=kx+b，其中k=lim?→±∞f(x)/x，b=lim?→±∞[f(x)-kx]）；⑤計算關(guān)鍵points（極值點、拐點、與坐標(biāo)軸交點等），結(jié)合單調(diào)性、凹凸性描點作圖。第四模塊不定積分不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運算，核心是尋找被積函數(shù)的原函數(shù)，為后續(xù)定積分的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，是積分學(xué)的入門內(nèi)容。第八章不定積分的概念與性質(zhì)8.1原函數(shù)與不定積分的定義（1）原函數(shù)：設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，若存在函數(shù)F(x)，使得對任意x∈I，F(xiàn)’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，則稱F(x)為f(x)在I上的一個原函數(shù)。（2）原函數(shù)的性質(zhì)：①若F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)+C（C為任意常數(shù)）也是f(x)的原函數(shù)；②f(x)的任意兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。（3）不定積分：f(x)的所有原函數(shù)的集合稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx=F(x)+C，其中“∫”為積分號，f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為被積表達(dá)式，x為積分變量，C為積分常數(shù)。8.2不定積分的性質(zhì)（1）導(dǎo)數(shù)與積分的互逆性：①d/dx[∫f(x)dx]=f(x)；②∫F’(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C。（2）線性性質(zhì)：①∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx；②∫kf(x)dx=k∫f(x)dx（k為非零常數(shù)）。第九章不定積分的計算方法9.1基本積分公式（與導(dǎo)數(shù)公式互逆）（1）∫0dx=C；（2）∫x?dx=(x??1)/(a+1)+C（a≠-1，如∫x2dx=x3/3+C，∫√xdx=2x^(3/2)/3+C）；（3）∫1/xdx=ln|x|+C；（4）∫a?dx=(a?)/lna+C（特別地，∫e?dx=e?+C）；（5）∫sinxdx=-cosx+C；∫cosxdx=sinx+C；（6）∫sec2xdx=tanx+C；∫csc2xdx=-cotx+C；（7）∫secxtanxdx=secx+C；∫cscxcotxdx=-cscx+C；（8）∫1/(1+x2)dx=arctanx+C或-arccotx+C；（9）∫1/√(1-x2)dx=arcsinx+C或-arccosx+C。9.2換元積分法（1）第一類換元法（湊微分法）：設(shè)F’(u)=f(u)，u=φ(x)可導(dǎo)，則∫f[φ(x)]φ’(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C。核心：將被積表達(dá)式湊成f(u)du的形式，關(guān)鍵是熟悉常見的湊微分形式（如dx=1/ad(ax+b)，xdx=1/2d(x2)，e?dx=d(e?)，sinxdx=-d(cosx)）。示例：∫e^(2x)dx=1/2∫e^(2x)d(2x)=1/2e^(2x)+C。（2）第二類換元法（變量代換法）：設(shè)x=ψ(t)單調(diào)可導(dǎo)且ψ’(t)≠0，若∫f[ψ(t)]ψ’(t)dt=G(t)+C，則∫f(x)dx=G[ψ?1(x)]+C（ψ?1(x)為ψ(t)的反函數(shù)）。常用于消除被積函數(shù)中的根號，如：①含√(a2-x2)，令x=asint；②含√(a2+x2)，令x=atant；③含√(x2-a2)，令x=asect。示例：∫1/√(a2-x2)dx，令x=asint，dx=acostdt，積分化為∫(acost)/(acost)dt=∫dt=t+C=arcsin(x/a)+C。9.3分部積分法（1）公式推導(dǎo)：由乘積求導(dǎo)法則(uv)’=u’v+uv’，移項得uv’=(uv)’-u’v，兩邊積分得∫uv’dx=uv-∫u’vdx，即∫udv=uv-∫vdu。（2）適用類型：被積函數(shù)為“多項式×指數(shù)函數(shù)”“多項式×三角函數(shù)”“多項式×對數(shù)函數(shù)”“多項式×反三角函數(shù)”等乘積形式，核心是選擇合適的u和dv，原則：①u易求導(dǎo)，dv易積分；②∫vdu比∫udv易計算。常見選擇：“反、對、冪、指、三”（優(yōu)先級從高到低選u）。（3）示例：∫xe?dx，設(shè)u=x（冪函數(shù)），dv=e?dx（指數(shù)函數(shù)），則du=dx，v=e?，積分=uv-∫vdu=xe?-∫e?dx=xe?-e?+C；∫xlnxdx，設(shè)u=lnx（對數(shù)函數(shù)），dv=xdx（冪函數(shù)），du=1/xdx，v=x2/2，積分=(x2/2)lnx-∫(x2/2)(1/x)dx=(x2/2)lnx-x2/4+C。第五模塊定積分及其應(yīng)用定積分源于曲邊梯形面積的計算，通過極限思想定義，是積分學(xué)的核心內(nèi)容，廣泛應(yīng)用于幾何、物理等領(lǐng)域的總量計算。第十章定積分的概念與性質(zhì)10.1定積分的定義（黎曼積分）（1）定義：設(shè)f(x)在[a,b]上有界，將[a,b]任意分成n個小區(qū)間[x???,x?]（i=1,2,…,n），記Δx?=x?-x???，任取ξ?∈[x???,x?]，作和S?=Σ??f(ξ?)Δx?。若當(dāng)λ=max{Δx?}→0時，S?的極限存在且與區(qū)間分法、ξ?的取法無關(guān)，則稱f(x)在[a,b]上可積，該極限值為f(x)在[a,b]上的定積分，記為∫??f(x)dx=limλ→0Σ??f(ξ?)Δx?。其中[a,b]為積分區(qū)間，a為下限，b為上限。（2）幾何意義：若f(x)≥0，∫??f(x)dx表示由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸圍成的曲邊梯形的面積；若f(x)≤0，積分值為面積的負(fù)值；若f(x)正負(fù)交替，積分值為各部分面積的代數(shù)和。（3）可積條件：①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積；②閉區(qū)間上的有界函數(shù)且只有有限個間斷點必可積。10.2定積分的性質(zhì)（1）積分上下限性質(zhì)：①∫??f(x)dx=0；②∫??f(x)dx=-∫??f(x)dx。（2）線性性質(zhì)：①∫??[f(x)±g(x)]dx=∫??f(x)dx±∫??g(x)dx；②∫??kf(x)dx=k∫??f(x)dx（k為常數(shù)）。（3）區(qū)間可加性：∫??f(x)dx=∫??f(x)dx+∫??f(x)dx（無論a、b、c的大小關(guān)系如何，只要積分存在）。（4）比較性質(zhì)：①若在[a,b]上f(x)≥0，則∫??f(x)dx≥0；②若在[a,b]上f(x)≥g(x)，則∫??f(x)dx≥∫??g(x)dx；③|∫??f(x)dx|≤∫??|f(x)|dx（a<b）。（5）估值定理：若在[a,b]上m≤f(x)≤M（m、M為常數(shù)），則m(b-a)≤∫??f(x)dx≤M(b-a)。（6）積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點ξ∈[a,b]，使得∫??f(x)dx=f(ξ)(b-a)。幾何意義：曲邊梯形面積等于以[a,b]為底、f(ξ)為高的矩形面積，f(ξ)稱為f(x)在[a,b]上的平均值。第十一章定積分的計算與應(yīng)用11.1微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）（1）定理內(nèi)容：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則∫??f(x)dx=F(b)-F(a)，記為F(x)|??=F(b)-F(a)。（2）意義：將定積分的計算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的差值，建立了定積分與不定積分的聯(lián)系，是微積分的核心定理。（3）示例：∫?^πsinxdx=(-cosx)|?^π=(-cosπ)-(-cos0)=-(-1)-(-1)=2。11.2定積分的計算方法（1）換元積分法：設(shè)x=ψ(t)在[α,β]上單調(diào)可導(dǎo)，ψ’(t)≠0，ψ(α)=a，ψ(β)=b，f(x)在[a,b]上連續(xù)，則∫??f(x)dx=∫α^βf[ψ(t)]ψ’(t)dt。示例：∫??√(a2-x2)dx，令x=asint，t∈[0,π/2]，dx=acostdt，積分=∫?^(π/2)acost·acostdt=a2∫?^(π/2)cos2tdt=a2·π/4（利用∫?^(π/2)cos2tdt=π/4）。（2）分部積分法：設(shè)u(x)、v(x)在[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則∫??udv=uv|??-∫??vdu。示例：∫?1xe?dx=uv|?1-∫?1vdu=(xe?)|?1-∫?1e?dx=(e-0)-(e?)|?1=e-(e-1)=1。（3）對稱區(qū)間上的積分：若f(x)在[-a,a]上連續(xù)，則①若f(x)為偶函數(shù)，∫???f(x)dx=2∫??f(x)dx；②若f(x)為奇