北京大學(xué)2025年數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)學(xué)科選拔考試試題庫考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.答案必須寫清步驟，僅寫結(jié)果不能得分。3.假設(shè)題目中的函數(shù)均在其定義域內(nèi)有意義。一、設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x}&x\neq0\\a&x=0\end{cases}$，其中$a$為常數(shù)。(1)若$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，求$a$的值。(2)若$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，求$f'(0)$的值。(3)討論函數(shù)$f(x)$在$x=0$處的連續(xù)性和可導(dǎo)性之間的關(guān)系。二、設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$。(1)求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。(2)求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,3]$上的最大值和最小值。(3)討論曲線$y=f(x)$的凹凸性和拐點(diǎn)。三、計(jì)算下列極限：(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-\sinx}{x}$(2)$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$(3)$\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}$四、計(jì)算下列定積分：(1)$\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$(2)$\int_1^2\frac{\lnx}{x}\,dx$(3)$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3x\cosx\,dx$五、計(jì)算下列二重積分：(1)$\iint_Dx^2y\,dA$，其中$D$是由拋物線$y=x^2$和直線$y=x$所圍成的區(qū)域。(2)$\iint_De^{x^2+y^2}\,dA$，其中$D$是圓域$x^2+y^2\leq1$。六、(1)求解線性方程組$\begin{cases}x+2y+z=1\\2x+3y+z=2\\x+y+2z=1\end{cases}$(2)設(shè)向量組$\vec{\alpha}_1=(1,0,1)^T$，$\vec{\alpha}_2=(0,1,1)^T$，$\vec{\alpha}_3=(1,1,0)^T$，判斷該向量組是否線性相關(guān)。七、(1)求矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩陣。(2)求矩陣$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$的特征值和特征向量。八、(1)求解微分方程$y'+y=e^x$。(2)求解微分方程$y''-2y'+y=x$。九、設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$。(1)證明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。(2)舉例說明，即使$f'(x)\neq0$在$(a,b)$內(nèi)的任意子區(qū)間上也成立，結(jié)論(1)仍然成立。十、設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上連續(xù)，且$f(0)=f(1)$。(1)證明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。(2)舉例說明，即使$f(x)$是單調(diào)函數(shù)，結(jié)論(1)也可能成立。試卷答案一、(1)$a=1$。解析：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1=f(0)=a$。(2)$f'(0)=1$。解析：$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sinx}{x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{2x}=0$。(3)函數(shù)$f(x)$在$x=0$處連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，但非充分條件。解析：由(1)知，$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，但由(2)知，$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)。反之，若$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，則必連續(xù)。二、(1)單調(diào)增區(qū)間為$(-\infty,1)$，單調(diào)減區(qū)間為$(1,2)$，極小值點(diǎn)為$x=1$，無極大值點(diǎn)。解析：$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$，列表判斷單調(diào)性。(2)最大值為$f(-2)=8$，最小值為$f(1)=0$。解析：比較$f(-2),f(1),f(3)$的值。(3)凹區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，凸區(qū)間為$(0,2)$，拐點(diǎn)為$(0,2)$和$(2,0)$。解析：$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$得$x=1$，列表判斷凹凸性。三、(1)$1$。解析：利用$\sinA-\sinB=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$。(2)$e^2$。解析：$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^{x^2}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^{\frac{x^2-1}{2}\cdot\frac{2x^2}{x^2-1}}=e^2$。(3)$\frac{1}{3}$。解析：利用求和公式$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。四、(1)$\sqrt{2}-1$。解析：令$u=\sqrt{1+x^2}$，則$du=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$。(2)$1$。解析：令$u=\lnx$，則$du=\frac{1}{x}dx$。(3)$\frac{1}{4}$。解析：令$u=\sin^3x$，則$du=3\sin^2x\cosxdx$。五、(1)$\frac{1}{12}$。解析：積分區(qū)域$D$可表示為$\{(x,y)|0\leqx\leq1,x^2\leqy\leqx\}$，則$\iint_Dx^2y\,dA=\int_0^1\int_{x^2}^xx^2y\,dy\,dx$。(2)$\frac{\pi}{2}(e-1)$。解析：利用極坐標(biāo)，令$x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$，則$dA=r\,dr\,d\theta$，積分區(qū)域$D$為$0\leqr\leq1$,$0\leq\theta\leq2\pi$。六、(1)$\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$。解析：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行變換化為行階梯形矩陣。(2)線性無關(guān)。解析：計(jì)算向量組的秩，或設(shè)線性組合為0，求解系數(shù)唯一為零。七、(1)$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。解析：利用公式$A^{-1}=\frac{1}{\detA}\text{adj}(A)$。(2)特征值為$1,1,1$，特征向量為$k_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$（$k_1,k_2$不全為0）。解析：解方程$(\lambdaI-B)x=0$。八、(1)$y=Ce^x+x-1$。解析：這是一階線性非齊次微分方程，利用公式法或常數(shù)變易法求解。(2)$y=(C_1+C_2x)e^x+x^2+2x$。解析：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為$\lambda^2-2\lambda+1=0$，有重根，設(shè)特解為$y^*=Ax^2+Bx+C$。九、(1)證明：由羅爾定理得。解析：$f(x)$滿足羅爾定理的條件。(2)例子：$f(x)=\sinx$在$[0,2\pi]$上，$f(0)=f(2\pi)=0$，$f'(x)=\cosx\neq0$在$(0,2\pi)$內(nèi)的任意子區(qū)間上，但存在$\xi=\pi\in(0,2\pi)$，使得$f'(\pi)=0$。解析：直接驗(yàn)證該函數(shù)滿足條件且存在$\xi$使$f'(\xi)=0$。十、(1)證明：令$g(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$，則$g(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$，$g(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(1)=f(\frac{1}{2})-f(0)$。由$f(0)=f(1)$知$g(0)=-g(\frac{1}{2})$。由介值定理，存在$\xi\in(0,\frac{1}{2})\subset(0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=f(\xi+\frac{1}{2})$。(2)例子：$f(x)=x$在$[0,1]$上，$f(0)=f(1)=