第4課矩形的判定1.(2024·深圳聯(lián)考)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，如果添加一個(gè)條件，可推出平行四邊形ABCD是矩形，那么這個(gè)條件可以是()A.AB＝ACB.AC＝BDC.AC⊥BDD.AB⊥ACB證明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100.∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠B＝90°.又∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴四邊形ABCD是矩形．2.如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.求證：四邊形ABCD是矩形．3.如圖，在菱形ABCD

中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)E，CF∥AE交AD的延長線于點(diǎn)F.(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∵CF∥AE，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∴平行四邊形AECF是矩形．(1)求證：四邊形AECF

是矩形；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝5，OA＝OC，AC⊥BD.由(1)得∠AEB＝90°.∴BE＝＝＝3,CE＝BE＋BC＝3＋5＝8.(2)若AE＝4，AD＝5，求OB

的長．∴AC＝＝＝.∴OA＝AC＝.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝＝＝.證明：(1)∵△ABD，△CBD為等邊三角形，且△ABD≌△CBD，∴AD＝AB＝BC＝CD.∴四邊形ABCD是菱形．4.如圖，四邊形ABCD由兩個(gè)全等的等邊三角形ABD和CBD組成，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形ABCD是菱形；證明：(2)∵四邊形ABCD是菱形，∴BM∥DN.∵M(jìn)，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴BM＝BC，DN＝AD.∵AD＝BC，(2)四邊形BMDN是矩形．∴BM＝DN.∴四邊形BMDN為平行四邊形．∵△ABD是等邊三角形，N是AD的中點(diǎn)，∴∠BND＝90°.∴四邊形BMDN是矩形．5.如圖，在△ABC中，O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACD的平分線于點(diǎn)F.∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵M(jìn)N∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴OE＝CO，OF＝CO.∴OE＝OF.(1)求證：OE＝OF.(1)證明：如圖，∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACD的平分線于點(diǎn)F，(2)解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝＝10.∴OC＝EF＝5.(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的長．(3)解：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO.∵EO＝FO，∴四邊形