2/9拓展專題01直線與圓中對稱問題的十四大題型考點01點關(guān)于點對稱(共2小題) 3考點02點關(guān)于直線對稱（共4小題）（重點） 3考點03直線關(guān)于點對稱(共3小題)（重點） 3考點04直線關(guān)于直線對稱（共4小題）（重點） 4考點05圓關(guān)于點對稱(共3小題)（常考點） 4考點06圓關(guān)于直線對稱(共3小題）（?？键c） 4考點07圓的自對稱性(共5小題)（?？键c） 5考點08曲線關(guān)于點、直線的對稱（共2小題）（難點） 5考點09光的反射問題(共4小題) 5考點10對稱點的存在性問題(共4小題) 6考點11利用對稱求距離之和的最值（共2小題）（難點） 7考點12利用對稱求距離之差的最值（共2小題）（難點） 7考點13對稱性的實際應(yīng)用(共3小題)（難點） 7考點14與對稱性有關(guān)的新定義題(共2小題)（難點） 8【重要方法及結(jié)論】1．點關(guān)于點的對稱求點P關(guān)于點A(a,b)的對稱點P'的問題，主要依據(jù)A是線段PP′的中點來求解.設(shè)P(x0,y0)，對稱中心為A(a,b)，則P關(guān)于A的對稱點為P'(2a-x0,2b-y0).2．直線關(guān)于點的對稱求直線l關(guān)于點A(a,b)對稱的直線l'的步驟：(1)由平行直線系設(shè)出直線l'的方程；(2)在l上任取一點P(x,y)，求P關(guān)于A的對稱點P'(2a-x,2b-y)；(3)將P'的坐標代入直線l'的方程，求出參數(shù)，得到l'的方程.3．兩點關(guān)于某直線對稱設(shè)點A(x0,y0)關(guān)于直線l的對稱點為B(x,y).(1)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線1：x=t，則.(2)直線l的斜率為0時，設(shè)直線l：y=t，則.(3)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)點A(x0,y0)關(guān)于直線l：Ax+By+C=0的對稱點為B(x,y).則，由此可求出B(x,y).(4)幾種特殊位置的對稱：點對稱軸對稱點坐標P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直線關(guān)于直線對稱(1)若已知直線l?與對稱軸l相交于點P，則交點P必在l?關(guān)于l對稱的直線l2上，再求出l?上除點P外任意一個已知點P?關(guān)于l對稱的點P2，那么經(jīng)過交點P及點P2的直線就是l2.(2)若已知直線l?與對稱軸l平行，則l?關(guān)于l對稱的直線l2到直線l的距離和l?到直線l的距離相等，由平行直線系和對稱點即可求出l?關(guān)于l對稱的直線l2.5.與圓有關(guān)的對稱問題(1)若兩圓關(guān)于某點對稱，則這兩圓的圓心關(guān)于該點對稱，半徑相等；(2)若兩圓關(guān)于某直線對稱，則這兩圓的圓心關(guān)于該直線對稱，半徑相等；(3)任意一個圓關(guān)于它的任一條直徑所在直線對稱；(4)任意兩個圓關(guān)于它們的連心線所在直線對稱;(5)任意兩個等圓關(guān)于它們連心線的垂直平分線對稱.考點01點關(guān)于點對稱(共2小題)1．（24-25高二上·北京·期中）點與點的對稱中心是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·遼寧鞍山·階段練習）點關(guān)于點的對稱點的坐標是（

）A． B． C． D．考點02點關(guān)于直線對稱（共4小題）（重點）3．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線：，則點關(guān)于對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）已知直線，則點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·廣東·期中）若點和點關(guān)于直線對稱，則．6．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知點關(guān)于直線的對稱點為，經(jīng)過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍為.考點03直線關(guān)于點對稱(共3小題)（重點）7．（2025高三·全國·專題練習）與直線關(guān)于坐標原點對稱的直線的方程為（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·山東泰安·期中）已知直線與直線關(guān)于點對稱，則恒過的定點為（

）A． B． C． D．9．（24-25高二上·江蘇南通·期中）已知直線關(guān)于對稱的直線與圓相離，則（

）A． B． C． D．或考點04直線關(guān)于直線對稱（共4小題）（重點）10．（24-25高二上·天津紅橋·階段練習）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（

）A． B． C． D．11．（23-24高二上·海南?？凇て谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是4B．點關(guān)于直線的對稱點為C．直線關(guān)于直線的對稱直線的方程為D．直線關(guān)于點的對稱直線的方程為12．（24-25高二上·四川涼山·期末）設(shè)點，若直線關(guān)于軸對稱的直線與圓相切，則的值為（

）A． B．0 C． D．113．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知的頂點，邊上的中線所在直線的方程為，所在直線方程為.求(1)點的坐標；(2)直線關(guān)于直線對稱的直線方程.考點05圓關(guān)于點對稱(共3小題)（?？键c）14．（2024高二·廣東·期中）圓關(guān)于原點對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．15．（24-25高二上·廣東深圳·期中）若存在點，使得圓與圓關(guān)于點對稱，則（

）A．1 B． C．2 D．16．圓關(guān)于點對稱的圓的方程是.考點06圓關(guān)于直線對稱(共3小題）（?？键c）17．（25-26高二上·河南·階段練習）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A． B．C． D．18．（24-25高二上·重慶長壽·期末）圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)（

）A． B．4 C．或4 D．2或19．若圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為.考點07圓的自對稱性(共5小題)（?？键c）20．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．221．（24-25高二上·廣東東莞·期中）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．022．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的最小值是．23．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，為圓C上一點，則的最大值為．24．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知圓關(guān)于直線對稱，且在圓上.(1)求圓C的標準方程；(2)若直線與圓C交于點A，B，求面積的最大值，并求此時直線l的方程.考點08曲線關(guān)于點、直線的對稱（共2小題）（難點）25．（24-25高二上·上?！るA段練習）以原點為中心，對角線在坐標軸上，邊長為1的正方形的四條邊的方程為（

）．A． B．C． D．26．（23-24高三下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）已知函數(shù)的圖象上有且僅有兩個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點09光的反射問題(共4小題)27．（24-25高二上·浙江杭州·階段練習）已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線所在直線過點，則反射光線所在直線的方程是（）A． B．C． D．28．（2025高三·全國·專題練習）在等腰直角中，是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點（如圖）．若光線經(jīng)過的重心，則等于（

）A．2 B．1 C． D．29．（2025高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知射線，，半圓，現(xiàn)從點向軸上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線時會發(fā)生鏡面反射．設(shè)光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為，若光線始終與半圓沒有交點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．30．（24-25高三上·全國·階段練習）在平面直角坐標系中，點的坐標為，圓，點為軸上一動點.現(xiàn)由點向點發(fā)射一道粗細不計的光線，光線經(jīng)軸反射后與圓有交點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．考點10對稱點的存在性問題(共4小題)31．（24-25高二上·陜西安康·期中）若存在點，使得圓與圓關(guān)于點對稱，則（

）A．1 B． C．2 D．32．已知直線，若圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，則的值為（

）A． B． C． D．533．已知直線，圓，若圓C上存在兩點關(guān)于直線l對稱，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．2034．（23-24高二上·安徽·期末）已知圓：及圓：，若存在點P，使得，關(guān)于點P對稱，則，的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切考點11利用對稱求距離之和的最值（共2小題）（難點）35．（25-26高一上·河北石家莊·開學考試）在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為，，點C的坐標為（），則的最小值是（

）A．6 B． C． D．536．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知點是坐標原點，點是圓上的動點，當動點在直線上運動時，的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5考點12利用對稱求距離之差的最值（共2小題）（難點）37．（24-25高二上·廣東清遠·期中）已知點P在直線上，點，則的最小值為38．（25-26高二上·河南駐馬店·階段練習）已知直線和點．(1)在直線l上求一點P，使的值最?。?2)在直線l上求一點P，使的值最大；(3)若點B的坐標變?yōu)?，再分別求（1），（2）問中的結(jié)果．考點13對稱性的實際應(yīng)用(共3小題)（難點）39．（24-25高二上·廣西南寧·期中）唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．40．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）剪紙藝術(shù)是中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品都體現(xiàn)了數(shù)學中的對稱美，如圖所示的剪紙是一幅中心對稱圖形，以中心對稱點為坐標原點將其放入平面直角坐標系中，若圖中點坐標為，其關(guān)于軸對稱的點的坐標為，其關(guān)于坐標原點對稱的點的坐標為，則．41．（多選）（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在一處四周都是鏡子的暗房里，在點平行于地面發(fā)出一條射線，與的夾角為，在中點處有一個感應(yīng)器（體積忽略不計），已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，射線經(jīng)過一次反射就被感應(yīng)器捕捉到，則B．若，射線第一個反射點在邊上，則最少需要折射三次才能被感應(yīng)器捕捉到C．無論長度如何變化，必定存在使得射線反射兩次就可以被感應(yīng)器捕捉到D．存在，使得射線依次經(jīng)過，，三個面的反射后能被感應(yīng)器捕捉到考點14與對稱性有關(guān)的新定義題(共2小題)（難點）42.（多選）（2025·安徽池州·二模）定義：既有對稱中心又有對稱軸的曲線稱為“和美曲線”，“和美曲線”與其對稱軸的交點叫做“和美曲線”的頂