2/37專(zhuān)題01輕松破解直線中范圍與最值的六大題型題型一：傾斜角取值范圍型 2題型二：斜率取值范圍型 3題型三：三角形面積最值型 4題型四：距離最值型 5題型五：對(duì)稱(chēng)中的最值型 7題型六：求代數(shù)式或函數(shù)的最值型 7【知識(shí)點(diǎn)綜述】1.對(duì)于直線的傾斜角與斜率k而言，當(dāng)時(shí)，，且k隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，k<0,且k隨的增大而增大,但在范圍內(nèi),k不是隨著的增大而增大.2.對(duì)于直線與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積的最值問(wèn)題,常利用基本不等式或二次函數(shù)求解.3.對(duì)于一定點(diǎn)和某直線(定點(diǎn)在直線外)上一動(dòng)點(diǎn)間距離,它的最小值即為該定點(diǎn)到直線的距離.4.對(duì)于形如的式子的最值,可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)(x,y)與(a,b)之間距離的最值,也可視為某圓的半徑的最值.5.與對(duì)稱(chēng)有關(guān)的最值問(wèn)題往往借助對(duì)稱(chēng)知識(shí)求解.6.三點(diǎn)共線最值問(wèn)題（1）點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則AP+BPmin=AB'(當(dāng)點(diǎn)A、P、B'共線時(shí)取到)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線（2）點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP?BP|max=AB(當(dāng)點(diǎn)（3）點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)，點(diǎn)P在直線l上，則|AP?BP|max=AB'(當(dāng)點(diǎn)A、P、B共線時(shí)取到)，點(diǎn)B'是點(diǎn)B關(guān)于直線 題型一：傾斜角取值范圍型對(duì)于傾斜角的取值范圍.往往先求得斜率的取值范圍，再由正切函數(shù)性質(zhì)求傾斜角的取值范圍.1．（24-25高二上·江蘇南通·期中）若直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·黑龍江·期末）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·廣東廣州·期末）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高二下·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·上?！て谀┮阎獮橹本€的傾斜角，若直線的法向量為，，那么當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知直線：，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則的傾斜角范圍為（

）A． B． C． D．7．（2025·浙江溫州·聯(lián)考）直線過(guò)定點(diǎn)，傾斜角的最小值是.8．（24-25高二下·上?！るA段練習(xí)）直線與過(guò)兩點(diǎn)的線段不相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.題型二：斜率取值范圍型對(duì)于斜率的取值范圍問(wèn)題，往往先確定邊界直線的斜率，再通過(guò)觀察直線的變化情況確定斜率的取值范圍，一般地，若動(dòng)直線不包括斜率不存在的直線，則斜率取兩邊界直線斜率之間的數(shù)，若動(dòng)直線包括斜率不存在的直線，則斜率取兩邊界直線斜率之外的數(shù)，簡(jiǎn)記為：含取兩邊，不含取中間.9．（24-25高二上·天津?yàn)I海新·期末）若過(guò)點(diǎn)的直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．10.（24-25高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段AB有交點(diǎn)，則l的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（24-25高二下·湖南岳陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍是（

）A． B． C．，-1）） D．[1，+12．（2025·安徽馬鞍山·一模）設(shè)點(diǎn)，，若直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．13．（24-25高二上·廣東陽(yáng)江·階段練習(xí)）已知點(diǎn).若直線與線段相交，則的范圍是（

）A． B．C． D．14．（24-25高二上·吉林松原·階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和為4，直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型三：三角形面積最值型對(duì)于直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形而言，常求其面積的最值，此時(shí)可設(shè)動(dòng)直線方程為點(diǎn)斜式，構(gòu)建關(guān)于斜率k的函數(shù)求其最值，或者設(shè)動(dòng)直線方程為截距式，借助基本不等式求得其最值.15．（24-25高二下·青海西寧·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中過(guò)點(diǎn)作直線，分別與軸的正半軸、y軸的正半軸交于點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積最小，最小面積是.16．（24-25高二上·江蘇南通·期末）已知點(diǎn)直線(1)若l與線段有交點(diǎn)，直接寫(xiě)出m的取值范圍；(2)若設(shè)l與直線及x軸分別交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.17．（24-25高二上·重慶·期中）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求的方程(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程.18．（24-25高二下·上?！るA段練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，且與軸，軸正半軸分別交于兩點(diǎn).(1)若，求直線的方程；(2)求的面積的最小值.19．（24-25高二上·云南昭通·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線在兩坐標(biāo)上的截距相等，求直線的方程；(2)求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.20．（24-25高二上·甘肅嘉峪關(guān)·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)若不過(guò)原點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求的方程；(2)設(shè)的斜率與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的斜截式方程.題型四：距離最值型與距離有關(guān)的最值問(wèn)題，常數(shù)形結(jié)合求解.21．（24-25高二下·上海松江·階段練習(xí)）已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)P到直線l的距離最大值為．22．（24-25高一下·上海寶山·期末）平面上有三點(diǎn)到直線（、不全為）距離之和的最小值為．23.（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程.24．（24-25高二上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，求：(1)過(guò)點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線的方程；(3)過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線的方程，并求此最大距離．題型五：對(duì)稱(chēng)中的最值型涉及幾段距離和或差的最值，往往借助對(duì)稱(chēng)知識(shí)求解,如“將軍飲馬”中的最值問(wèn)題25.(多選)（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營(yíng)，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)，軍營(yíng)所在位置為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營(yíng)，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營(yíng)的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營(yíng)的最短路程是26．（24-25高二上·河北保定·期中）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為.27．（24-25高二上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)，則的最小值為28．（24-25高二上·湖北荊門(mén)·期中）已知直線：及點(diǎn)，點(diǎn)Q在l上，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為.題型六：求代數(shù)式或函數(shù)的最值型對(duì)于代數(shù)式的最值或函數(shù)的最值，有時(shí)可數(shù)形結(jié)合，利用直線知識(shí)求解，如借助直線的斜率求分母型代數(shù)式或函數(shù)的最值；利用兩點(diǎn)間的距離求根式型代數(shù)式或函數(shù)的最值.29．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）若直線的截距之和為2，且，則的最小值為.30．（24-25高二上·山西·期中），，函數(shù)的最小值為.31．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩直線與的距離之和為，則的最大值為.32．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的最小值為．33．（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題