27/28專題1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.掌握橢圓的中心、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、離心率的概念，理解橢圓的范圍和對(duì)稱性．eq\a\vs4\al(2).掌握已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)a，b，c，e的幾何意義及其相互關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).2.難點(diǎn)：用代數(shù)法研究曲線的幾何性質(zhì)，在熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)的過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.知識(shí)點(diǎn)01橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)（重點(diǎn)）1.對(duì)稱性(1)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,用代換x(用-y代換y),方程不變,所以橢圓關(guān)于x軸(軸)對(duì)稱,即坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸.(2)同時(shí)以-x代換x,-y代換y,方程不變,則橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心.2.范圍因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式，，即有，，所以這說明橢圓位于由直線和所圍成的矩形里,如圖所示.3.頂點(diǎn)橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn).如圖,橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.線段A1A2叫做橢圓的長(zhǎng)軸，它的長(zhǎng)等于2a；線段B1B2叫做橢圓的短軸，它的長(zhǎng)等于2b.a,b分別叫作橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng).4.離心率(1)我們規(guī)定,橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率,用e表示,即.(2)因?yàn)閍>c>0,所以0<e<1.【知識(shí)剖析】細(xì)解橢圓的范圍和頂點(diǎn)1.從橢圓的方程或圖形中可以直接看出它的范圍.2.在畫橢圓時(shí),常利用橢圓上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍先畫出矩形，然后在矩形內(nèi)畫出橢圓的草圖.3.橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)，共六個(gè)特殊點(diǎn)，研究橢圓時(shí)一定要注意這六個(gè)特殊點(diǎn)的位置.4.已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，可以使用幾何作圖找出其焦點(diǎn)，方法是：以短軸的端點(diǎn)為圓心，以a為半徑作弧交長(zhǎng)軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就是該橢圓的焦點(diǎn).【即學(xué)即練】1.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的()A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等C．離心率相等 D．焦距相等【答案】C【解析】橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中ceq\o\al(2,1)＝25－9＝16，橢圓eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1中ceq\o\al(2,2)＝25－k－(9－k)＝16，∴兩橢圓焦距相等．2.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，則橢圓上的點(diǎn)P到橢圓中心|OP|的范圍為()A．[6，10] B．[6，8]C．[8，10] D．[16，20]【答案】C【解析】設(shè)P(x0，y0)，則|OP|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)).由橢圓的范圍，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，又∵P在橢圓上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),100)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),64)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝64－eq\f(16,25)xeq\o\al(2,0)，∴|OP|＝eq\r(\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64.)∵0≤xeq\o\al(2,0)≤100，∴64≤eq\f(9,25)xeq\o\al(2,0)＋64≤100，∴8≤|OP|≤10.3.求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a＝8和2b＝6，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．知識(shí)點(diǎn)02橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角（）結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．【即學(xué)即練】1.已知橢圓C:x2a2+y2b2A．6 B．5 C．25 D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出a，即可得解.【詳解】依題意2b=42c=2，所以b=2c=1，則則橢圓C的上頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a=5故選：B2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由條件可知，，得，，且所以，且，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以直線的斜率為.故選：B知識(shí)點(diǎn)03橢圓和的簡(jiǎn)單性質(zhì)比較（難點(diǎn)）焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0，0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a焦點(diǎn)F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)【知識(shí)剖析】離心率對(duì)橢圓扁圓程度的影響1.如圖所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，記e＝eq\f(c,a)則0<e<1，e越大，∠BF2O越小，橢圓越扁；e越小，∠BF2O越大，橢圓越圓．2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),兩焦點(diǎn)重合,圖形變?yōu)閳A,它的方程為,也可認(rèn)為圓是橢圓在e=0時(shí)的特例.【即學(xué)即練】1.已知橢圓的方程為eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,16)＝1，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A．3B．4C．6 D．8【答案】D【解析】該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，故a＝4，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝2a＝8.2．已知橢圓C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，則()A．C1與C2頂點(diǎn)相同B．C1與C2長(zhǎng)軸長(zhǎng)相同C．C1與C2短軸長(zhǎng)相同D．C1與C2焦距相等【答案】D【解析】由兩個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±2eq\r(3)，0)，(0，±2)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4eq\r(3)，短軸長(zhǎng)為4，焦距為4eq\r(2)；C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±4，0)，(0，±2eq\r(2))，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4eq\r(2)，焦距為4eq\r(2).故選D.題型01利用性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，離心率是eq\f(4,5)；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6．【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知得2a＝10，a＝5．又∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴c＝4．∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．∴橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1．(2)依題意可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，則c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求橢圓的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1．由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟1.確定焦點(diǎn)所在的位置，進(jìn)而確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，若焦點(diǎn)位置不確定，則需分類討論.2.由條件直接確定a,b的值或建立關(guān)于a,b,c的方程（組），解出a,b的值.3.寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式1-1】設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，則此橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以焦點(diǎn)在軸上，又離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程為，故選：A.【變式1-2】（2025河北石家莊高二上期中聯(lián)考）.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的面積為，又，聯(lián)立解得．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.【變式1-3】求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其離心率為eq\f(1,2)，焦距為8；(2)已知橢圓的離心率為e＝eq\f(2,3)，短軸長(zhǎng)為8eq\r(5).【解析】(1)由題意知，2c＝8，c＝4，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝8，從而b2＝a2－c2＝48，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1.(2)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)得c＝eq\f(2,3)a，又2b＝8eq\r(5)，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,144)＋eq\f(y2,80)＝1或eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,144)＝1.題型02利用方程研究橢圓的性質(zhì)【典例2-1】（多選）（2025·高二·四川廣元·階段練習(xí)）已知分別是橢圓C：的左?右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為10 B．面積的最大值為25C．的最小值為1 D．橢圓C的離心率為【答案】AD【解析】由題意可知：，則，，對(duì)于選項(xiàng)A：的周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積取到最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：PF1的最小值為，此時(shí)P但本題取不到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故沒有最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：橢圓C的離心率為，故D正確；故選：AD.【典例2-2】（多選）（2025·河南開封·三模）橢圓的焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為A，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長(zhǎng)為C．C的離心率為 D．的周長(zhǎng)為8【答案】ABD【解析】由于，所以,故，因此，故，所以橢圓，對(duì)于A，焦距為，故A正確，對(duì)于B，短軸長(zhǎng)為，B正確，對(duì)于C，離心率為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，D正確，故選：ABD由橢圓方程研究其性質(zhì)的步驟已知橢圓方程討論其幾何性質(zhì)時(shí)，首先要將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定a,b的值，然后求解其幾何性質(zhì)中的其他相關(guān)量.若不能確定焦點(diǎn)是在x軸上還是y軸上，則需分情況討論.【變式2-1】（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)）是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為5 B．橢圓E的離心率為C． D．恰好存在兩個(gè)點(diǎn)P使得【答案】BC【詳解】對(duì)于橢圓，，故橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；橢圓離心率為，B正確；點(diǎn)）是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，即，C正確；由可知P點(diǎn)位于以為直徑的圓上，，則該圓方程為，聯(lián)立，解得，則或或或，故滿足題意的點(diǎn)P有4個(gè)，D錯(cuò)誤，故選：BC【變式2-2】已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值恰好是黃金分割數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】【分析】根據(jù)焦距和長(zhǎng)軸定義以及黃金分割的相關(guān)概念得到方程，解出即可.【詳解】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓中，，，所以，由題意得，即，即，解得．題型03定義法求橢圓的離心率【典例3-1】（24-25高二下·河南周口·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上任意一點(diǎn)．若，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程及其定義和焦點(diǎn)位置得，，進(jìn)而求離心率.【詳解】由橢圓的定義及題意，得，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以離心率．故選：B．【典例3-2】已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，則C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，連接FP，F(xiàn)Q，PF1，如圖．由題意可得，易知P，Q兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以O(shè)為線段PQ的中點(diǎn)，所以，故為直角三角形，由題意，，設(shè)，則，解得或（舍），所以，．故選：B定義法求橢圓的離心率所謂定義法，是指利用離心率的定義求解，即建立a,c的關(guān)系式，求出的值，再利用定義式求得離心率e，或整體得到.【變式3-1】（2025·江西宜春·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出焦距及長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再求出離心率.【詳解】依題意，橢圓的焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以該橢圓的離心率.故選：A【變式3-2】已知橢圓，、是的焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長(zhǎng)為，是上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A． B．橢圓離心率為C．圓與圓相切 D．的最大值為4【答案】AC【詳解】AB選項(xiàng)，由通徑長(zhǎng)，得．所以，由橢圓的定義，可得，所以A正確；橢圓離心率，所以B不正確；C選項(xiàng)，圓N的圓心為，半徑，圓圓心為，，因?yàn)椋詢蓤A相內(nèi)切；C正確；D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，其中，則滿足，可得，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，故，所以D不正確．故選：AC題型04構(gòu)造方程求橢圓的離心率【典例4】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為.過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為.設(shè)，因?yàn)椋?，所以，則，將點(diǎn)代入橢圓方程得，所以，即，則，由得，又，所以，化簡(jiǎn)得，所以，解得（負(fù)根舍去）.故選：B方程法求橢圓的離心率即根據(jù)a,c,b,e的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于e的方程，解方程求解.【變式4-1】已知橢圓C：的焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，，由，可得，，所以點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，.故選：B.【變式4-2】（2025·高二·湖北武漢·聯(lián)考）已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則橢圓的離心率為．【答案】5【解析】令橢圓：（）的半焦距為，設(shè)，則，由點(diǎn)在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，而，所以橢圓的離心率為．題型05求橢圓離心率的取值范圍【典例5】（2024·高二·安徽安慶·階段練習(xí)）橢圓（a＞b＞0）上存在一點(diǎn)P滿足，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓（a＞b＞0）上存在一點(diǎn)P滿足，即，所以點(diǎn)P落在以為直徑的圓上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又橢圓的離心率，所以.故選：D求橢圓的離心率的取值范圍的策略利用題設(shè)條件或問題中的隱含條件構(gòu)建關(guān)于a,b,c,e的不等關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式（組），通過解不等式（組）求出離心率e的取值范圍.求解的同時(shí)要注意橢圓的離心率e【變式5-1】（2024·高二·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得：，所以故選：A．【變式5-2】（2025·高二·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知橢圓上有一點(diǎn)P，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使得為直角三角形點(diǎn)P有8個(gè)，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)落在上頂點(diǎn)時(shí)，恰好有6個(gè)直角三角形，此時(shí)，，當(dāng)橢圓變扁時(shí)，橢圓越扁，離心率越大，，此時(shí)為直角三角形點(diǎn)P有8個(gè)，故選：C題型06由橢圓的離心率求參【典例6】（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率，則的值為（

）A．12 B． C．12或 D．或【答案】C【分析】通過討論和，結(jié)合離心率，即可求解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，即橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，此時(shí)，，解得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，即橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，此時(shí)，，解得，符合題意；綜上，的值為或12.故選：C由橢圓的離心率求參問題求解策略這類問題一般根據(jù)橢圓的離心率列出關(guān)于參數(shù)的方程，解之即得所求.但求解時(shí)還需注意橢圓焦點(diǎn)所在的位置，有時(shí)要分焦點(diǎn)在x軸還是y軸討論求解.【變式6-1】（2025·湖南湘潭·三模）已知橢圓的離心率為，則的短軸長(zhǎng)為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】首先判斷焦點(diǎn)在軸上，根據(jù)離心率求出，即可得解.【詳解】依題意，，即，則的焦點(diǎn)在軸上，因此，所以，故的短軸長(zhǎng)為.故選：B．【變式6-2】（24-25高二下·湖北·期中）若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（

）A． B．9 C． D．12【答案】B【分析】由離心率的定義即可求解.【詳解】由題意可知：，所以，解得：，故選：B題型07橢圓對(duì)稱性的應(yīng)用【典例6】已知橢圓的方程為，其中依次將橢圓的下半部分分成10等份，若是橢圓的右焦點(diǎn)，則（

）A．10 B．16 C．20 D．12【答案】C【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，得到，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)槿羰菣E圓的右焦點(diǎn)，且，可得，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由橢圓的對(duì)稱性，可得，所以.故選：C.橢圓對(duì)稱性的應(yīng)用策略橢圓關(guān)于x軸、y軸，原點(diǎn)對(duì)稱.應(yīng)用時(shí)，可利用對(duì)稱簡(jiǎn)化問題：求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，將非第一象限內(nèi)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到第一象限來分析；處理弦中點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)問題時(shí)，用對(duì)稱性質(zhì)減少計(jì)算，結(jié)合橢圓的性質(zhì)高效解題.【變式7-1】（多選）已知直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為8，則下列直線中被橢圓截得的弦長(zhǎng)也為8的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，結(jié)合直線之間的對(duì)稱性，可得答案.【詳解】由橢圓是關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于A，由直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則A正確；對(duì)于B，直線是由直線向上平移個(gè)單位，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則C正確；對(duì)于D，由直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則D正確.故選：ACD【變式7-2】已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，以為圓心，為半徑的圓交橢圓于、兩點(diǎn)，且，則橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、，即可得到為等邊三角形，從而得到點(diǎn)在橢圓的短軸的頂點(diǎn)，又，，再求出，即可得解.【詳解】連接、，根據(jù)對(duì)稱性可知，又，所以為等邊三角形，即，所以點(diǎn)為橢圓的短軸的頂點(diǎn)，又，所以，則，所以橢圓方程為.故選：C題型08利用橢圓上點(diǎn)的范圍求解最值問題【典例8-1】已知曲線，圓，若A，B分別是M，N上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得曲線M的方程為，設(shè)出，利用兩點(diǎn)間距離公式并由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，進(jìn)而利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】根據(jù)題意，曲線，則曲線M上的點(diǎn)到點(diǎn)和距離之和為，根據(jù)橢圓定義知曲線M的是以和為焦點(diǎn)的橢圓，其中，則，所以曲線M的的方程為，設(shè)點(diǎn)滿足且，可得，圓的圓心為，半徑為1，則，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以的最小值是.故選：C【典例8-2】（2025·高二·遼寧·期中）已知是橢圓上一點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè),所以,由于，故當(dāng)，取最小值，利用橢圓上點(diǎn)的范圍解決最值問題的策略這類問題往往與橢圓上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，可以將所求最值的量用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，從而建立關(guān)于橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的函數(shù)，借助函數(shù)思想及點(diǎn)的坐標(biāo)范圍求得最值.【變式8-1】設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn)，其中，為它的一個(gè)焦點(diǎn)，則的最大值為，最小值為．【答案】，【分析】代入兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化為根據(jù)定義域求函數(shù)的最值.【詳解】設(shè)，，,，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的最大值為，當(dāng)時(shí)，的最小值是.【變式8-2】（2025·高二·上海普陀·期中）過橢圓的中心的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的面積的最大值為．【答案】12【解析】由橢圓，得，，．設(shè)點(diǎn)，則，故的面積.題型09幾何法求解橢圓的最值問題【典例9】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2，P為直線上的任意一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【分析】先計(jì)算得出，，，再結(jié)合兩角差正切公式計(jì)算應(yīng)用基本不等式計(jì)算求解即可.【詳解】由題意有，，，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)，有，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可得的最大值為.故答案為：幾何法求解橢圓的最值問題若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決,這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義,并能借助相應(yīng)曲線的定義及對(duì)稱知識(shí)求解.【變式9】（2025·山東日照·二模）已知與x軸相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)，以AB為直徑的圓與⊙O內(nèi)切，則△BCD面積的最大值為．【答案】8【分析】由兩圓內(nèi)切可以判定得到B的軌跡方程為橢圓，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可確定最大值.【詳解】如圖，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，，因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，所以，又為的中位線，所以，所以，所以的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，顯然當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)即時(shí)，的面積最大，最大值為.題型10橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用【典例10】某彗星的運(yùn)行軌道是以太陽(yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最近的點(diǎn)）與太陽(yáng)中心的距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的點(diǎn)）與太陽(yáng)中心的距離為，并且近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽(yáng)中心在同一條直線上，則（

）A．軌道的焦距為 B．軌道的離心率為C．軌道的短軸長(zhǎng)為 D．當(dāng)越大時(shí)，軌道越圓【答案】BCD【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，根據(jù)題意得到；故，對(duì)于A：焦距，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)殡x心率，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：短軸長(zhǎng)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：離心率，當(dāng)越大時(shí)，橢圓的離心率越小，即橢圓越圓，故D正確；故選：BCD解決橢圓的實(shí)際應(yīng)用題的一般思路根據(jù)題意得到幾何圖形，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，與橢圓知識(shí)相聯(lián)系，找出題目中已知量和隱含條件的關(guān)系，求出橢圓方程.【變式10-1】（2025·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．【變式10-2】（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器實(shí)現(xiàn)歷史上的首次月背著陸，如圖是“嫦娥四號(hào)”運(yùn)行軌道示意圖，圓形軌道距月球表面千米，橢圓形軌道的一個(gè)焦點(diǎn)是月球球心，一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)位于兩軌道相切的變軌處，另一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)距月球表面千米，則橢圓形軌道的焦距為千米.【答案】【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，月球半徑為，則，兩式作差，可得，橢圓形軌道的焦距為千米.故答案為：85.【變式8-3】（2025·高二·湖北武漢·期末）在對(duì)表面為曲面的工件進(jìn)行磨削時(shí)應(yīng)當(dāng)選用尺寸適當(dāng)?shù)膱A形砂輪，如果砂輪半徑太大，則磨削時(shí)工件與砂輪接觸處附近的那部分會(huì)磨去太多．現(xiàn)有一工件，其截面內(nèi)表面是一長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為的橢圓，在對(duì)其內(nèi)表面進(jìn)行拋光時(shí)，所選用砂輪的半徑最大為．【答案】32【解析】，，離心率，故，，不妨設(shè)橢圓方程為：，設(shè)圓半徑為，橢圓與圓相切于左頂點(diǎn)或者右頂點(diǎn)時(shí)有最大值，圓方程為：，聯(lián)立方程：，消去得到，，解得.練基礎(chǔ)1．橢圓25x2＋9y2＝225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()A．5，3，eq\f(4,5) B．10，6，eq\f(4,5)C．5，3，eq\f(3,5) D．10，6，eq\f(3,5)【答案】B【解析】變形eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，∵焦點(diǎn)在y軸上，∴a＝5，b＝3，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)10，短軸長(zhǎng)6，e＝eq\f(4,5).2．焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝1【答案】A【解析】設(shè)橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝10,2c＝4\r(5),a2＝b2＋c2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4))，∴橢圓方程eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.]3．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由離心率、短軸長(zhǎng)以及的關(guān)系式，建立方程組，可得答案.【詳解】由題可知，所以.故選：A.4．（24-25高二下·云南麗江·階段練習(xí)）若橢圓的焦距為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求出、、的值，結(jié)合橢圓離心率公式求解即可.【詳解】由題意可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，則，又因?yàn)?，則，因此，該橢圓的離心率為.故選：B.5．（24-25高三下·云南昆明·開學(xué)考試）已知橢圓和橢圓有相同的離心率，則（

）A． B． C．或4 D．或4【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出橢圓離心率，分焦點(diǎn)在軸或軸上討論列出方程，即可求解.【詳解】易知橢圓的離心率為，對(duì)于橢圓，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)離心率為，解得；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)離心率為，解得，所以或.故選：D．6．（24-25高二上·山西·階段練習(xí)）下列四個(gè)橢圓中，形狀與圓更接近的一個(gè)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出所有選項(xiàng)的橢圓離心率，根據(jù)離心率越小，橢圓越接近圓，離心率越大，橢圓越扁，選出離心率最小的即可．【詳解】由橢圓的性質(zhì)知，離心率越小，橢圓越接近圓，離心率越大，橢圓越扁，四個(gè)橢圓的離心率分別為，其中離心率最小的為，所以橢圓的形狀與圓更接近.故選：C.7．（24-25高二上·浙江臺(tái)州·期末）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，下列說法正確的是（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2B．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．橢圓關(guān)于直線對(duì)稱D．當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，【答案】D【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先確定求得，得到長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)為即可判斷A，B；將方程中的互換，根據(jù)所得方程是否與原方程相同可判別C；根據(jù)橢圓的范圍可判斷D.【詳解】對(duì)于A、B，由得，∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)為.故A、B不正確；對(duì)于C，將互換，得橢圓與原橢圓方程不相同，故橢圓不關(guān)于直線對(duì)稱.故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，∴，故D正確.故選：D8.（多選）（2025·貴州·二模）已知橢圓：，：，則（

）A．與的離心率相等 B．與的焦距相等C．與的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 D．的短軸長(zhǎng)是的短軸長(zhǎng)的兩倍【答案】BD【分析】求出給定的兩個(gè)橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)、半焦距及離心率，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，橢圓的離心率，橢圓的離心率，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，橢圓與的焦距長(zhǎng)都為6，相等，B正確；對(duì)于C，橢圓與的長(zhǎng)軸長(zhǎng)不相等，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，橢圓的短軸長(zhǎng)是的短軸長(zhǎng)的兩倍，D正確.故選：BD9．(多選)（24-25高二上·山東臨沂·期末）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3 B．橢圓的離心率為C．的最大值為5 D．存在點(diǎn)，使得【答案】BC【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)、半焦距，再逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，橢圓的離心率為，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，以線段為直徑的圓在橢圓內(nèi)，因此不存在點(diǎn)，使得，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（24-25高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）若橢圓：的短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為【答案】【解析】由題意知C的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，所以，所以C的方程為，所以其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A正確.11.已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為1，離心率0<e≤eq\f(\r(3),2).則長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍為________．【答案】（2，4]【解析】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－1,a2)＝1－eq\f(1,a2)≤eq\f(3,4)，∴eq\f(1,a2)≥eq\f(1,4)，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)2<2a≤4.12．（2025·江西新余·二模）已知點(diǎn)是橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列關(guān)于的函數(shù)式，然后利用二次函數(shù)求出最值即可【詳解】由題意得，且.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故答案為：13．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】橢圓方程可化為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1(m>0)，∵m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(m（m＋2）,m＋3)＞0，∴m＞eq\f(m,m＋3)，即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3).∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(m（m＋2）,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝1，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1.∴a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，F(xiàn)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(－1，0)，A2(1，0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).14．如圖，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋eq\r(2)，|PF2|＝2－eq\r(2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求橢圓的離心率e.【解析】(1)由橢圓的定義，有2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋eq\r(2))＋(2－eq\r(2))＝4，故a＝2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝eq\r(|PF1|2＋|PF2|2)＝eq\r(（2＋\r(2)）2＋（2－\r(2)）2)＝2eq\r(3).即c＝eq\r(3)，從而b＝eq\r(a2－c2)＝1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)如圖，由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，從而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝eq\r(2)|PF1|，因此4a－2|PF1|＝eq\r(2)|PF1|，則|PF1|＝2(2－eq\r(2))a，從而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－eq\r(2))a＝2(eq\r(2)－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(|PF1|2＋|PF2|2),2a)＝eq\r(（2－\r(2)）2＋（\r(2)－1）2)＝eq\r(9－6\r(2))＝eq\r(6)－eq\r(3).練提升15．（24-25高二上·天津·期中），是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是（

）A．4 B．5 C．2 D．1【答案】C【分析】由題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由橢圓，則，即，所以，設(shè)，則，，，由在橢圓上，則，即，易知，所以的最大值為.故選：C.16．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，若四邊形的周長(zhǎng)為12，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓面積得出，結(jié)合四邊形的周長(zhǎng)求得，進(jìn)而得出橢圓方程，得出，設(shè)，根據(jù)四邊形的面積為即可求解最大面積．【詳解】由題可知，，即，由四邊形的周長(zhǎng)為12得，，即，所以，所以橢圓，則，設(shè)，，則，所以四邊形的面積為，故選：A．

17.（24-25高二下·廣東廣州·期中）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，橢圓E右焦點(diǎn)為F，直線AF與E的另外一個(gè)交點(diǎn)為C，若，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，設(shè)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和定義可得，，在直角與中，分別利用勾股定理建立方程，解之即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，設(shè)，由對(duì)稱性可知，由定義得，則，又，，所以，在直角中，由，即，解得.在直角中，，即，把代入整理得，由解得.故選：C18.（多選）（24-25高二下·海南?？凇るA段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P是C上任意一點(diǎn)，則（

）A．C的離心率為 B．的周長(zhǎng)為12C．的最小值為3 D．的最大值為16【答案】BD【分析】A：根據(jù)離心率定義計(jì)算出并判斷；B：根據(jù)橢圓定義計(jì)算焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)并判斷；C：根據(jù)的最小值為作出判斷；D：根據(jù)橢圓定義結(jié)合基本不等式計(jì)算并判斷.【詳解】橢圓即為，故，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：BD.19．（24-25高二下·內(nèi)蒙古·期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，，且為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4C．的最小值為D．的最大值是【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后由求得判斷A，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合列式求解判斷B，根據(jù)焦半徑的性質(zhì)判斷C，結(jié)合橢圓的定義利用三點(diǎn)共線最短求解判斷D.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，A正確．因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以解得則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，B正確．的最小值為，C錯(cuò)誤．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，D正確．故選：ABD20．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，延長(zhǎng)B1F2與A2B2交于P點(diǎn)，若∠B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率e的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，1))【解析】由題意可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(xiàn)2(c，0)，＝(－c，－b)，＝(a，－b)，＝(－c，－b)·(a，－b)＝－ac＋b2<0，又∵a2＝b2＋c2，∴－ac＋a2－c2<0，∴e2＋e－1>0又∵0<e<1，∴eq\f(－1＋\r(5),2)<e<1.21.（24-25高二上·上海·期末）已知橢圓方程為，點(diǎn)