27/28專題1.2橢圓的簡單性質教學目標1.掌握橢圓的中心、頂點、長軸、短軸、離心率的概念，理解橢圓的范圍和對稱性．eq\a\vs4\al(2).掌握已知橢圓標準方程時a，b，c，e的幾何意義及其相互關系.教學重難點1.重點：掌握橢圓的簡單性質.2.難點：用代數法研究曲線的幾何性質，在熟練掌握橢圓的幾何性質的過程中，體會數形結合的思想.知識點01橢圓的簡單性質（重點）1.對稱性(1)在橢圓的標準方程中,用代換x(用-y代換y),方程不變,所以橢圓關于x軸(軸)對稱,即是橢圓的對稱軸.(2)同時以-x代換x,-y代換y,方程不變,則橢圓關于對稱,這個對稱中心稱為橢圓的中心.2.范圍因為橢圓上的點的坐標都適合不等式，，即有，，所以這說明橢圓位于由直線和所圍成的矩形里,如圖所示.3.頂點橢圓與它的對稱軸的交點稱為橢圓的頂點.如圖,橢圓四個頂點的坐標分別為,.線段A1A2叫做橢圓的長軸，它的長等于；線段B1B2叫做橢圓的短軸，它的長等于；a,b分別叫作橢圓的長半軸長與短半軸長.4.離心率(1)我們規(guī)定,橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率,用e表示,即.(2)因為a>c>0,所以0<e<1.【知識剖析】細解橢圓的范圍和頂點1.從橢圓的方程或圖形中可以直接看出它的范圍.2.在畫橢圓時,常利用橢圓上的點的橫、縱坐標的取值范圍先畫出矩形，然后在矩形內畫出橢圓的草圖.3.橢圓有四個頂點、兩個焦點，共六個特殊點，研究橢圓時一定要注意這六個特殊點的位置.4.已知橢圓的四個頂點，可以使用幾何作圖找出其焦點，方法是：以短軸的端點為圓心，以a為半徑作弧交長軸于兩點，這兩點就是該橢圓的焦點.【即學即練】1.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的()A．長軸長相等 B．短軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等2.已知橢圓的標準方程為eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，則橢圓上的點P到橢圓中心|OP|的范圍為()A．[6，10] B．[6，8]C．[8，10] D．[16，20]∴8≤|OP|≤10.3.求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標．知識點02橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角（）結合起來，建立、之間的關系．【即學即練】1.已知橢圓C:x2a2+y2b2A．6 B．5 C．25 D．2．已知橢圓的左、右焦點分別為是上在第二象限內的一點，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．知識點03橢圓和的簡單性質比較（難點）焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)對稱性對稱軸，對稱中心范圍且且頂點軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距|F1F2|＝離心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)【知識剖析】離心率對橢圓扁圓程度的影響1.如圖所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，記e＝eq\f(c,a)則0<e<1，e越大，∠BF2O越小，橢圓越扁；e越小，∠BF2O越大，橢圓越圓．2.當且僅當a=b時,兩焦點重合,圖形變?yōu)閳A,它的方程為,也可認為圓是橢圓在e=0時的特例.【即學即練】1.已知橢圓的方程為eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,16)＝1，則此橢圓的長軸長為()A．3B．4C．6 D．82．已知橢圓C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，則()A．C1與C2頂點相同B．C1與C2長軸長相同C．C1與C2短軸長相同D．C1與C2焦距相等題型01利用性質求橢圓的標準方程【典例1】求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)長軸長是10，離心率是eq\f(4,5)；(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6．由橢圓的簡單性質求橢圓標準方程的步驟1.確定焦點所在的位置，進而確定橢圓標準方程的形式，若焦點位置不確定，則需分類討論.2.由條件直接確定a,b的值或建立關于a,b,c的方程（組），解出a,b的值.3.寫出橢圓的標準方程.【變式1-1】設橢圓的一個焦點為，離心率為，則此橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2025河北石家莊高二上期中聯考）.阿基米德不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．【變式1-3】求滿足下列各條件的橢圓的標準方程．(1)已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，其離心率為eq\f(1,2)，焦距為8；(2)已知橢圓的離心率為e＝eq\f(2,3)，短軸長為8eq\r(5).題型02利用方程研究橢圓的性質【典例2-1】（多選）（2025·高二·四川廣元·階段練習）已知分別是橢圓C：的左?右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結論正確的是（

）A．的周長為10 B．面積的最大值為25C．的最小值為1 D．橢圓C的離心率為【典例2-2】（多選）（2025·河南開封·三模）橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為8由橢圓方程研究其性質的步驟已知橢圓方程討論其幾何性質時，首先要將其化為標準方程，確定a,b的值，然后求解其幾何性質中的其他相關量.若不能確定焦點是在x軸上還是y軸上，則需分情況討論.【變式2-1】（多選）已知橢圓的左、右焦點分別為，點）是橢圓E上的一個動點，則下列說法正確的是（

）A．橢圓E的長軸長為5 B．橢圓E的離心率為C． D．恰好存在兩個點P使得【變式2-2】已知焦點在x軸上的橢圓的焦距與長軸長的比值恰好是黃金分割數，則實數m的值為．題型03定義法求橢圓的離心率【典例3-1】（24-25高二下·河南周口·開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是橢圓C上任意一點．若，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【典例3-2】已知F是雙曲線的右焦點，直線與C交于P，Q兩點，若以為直徑的圓經過點F，則C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．定義法求橢圓的離心率所謂定義法，是指利用離心率的定義求解，即建立a,c的關系式，求出的值，再利用定義式求得離心率e，或整體得到.【變式3-1】（2025·江西宜春·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【變式3-2】已知橢圓，、是的焦點，過且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長為，是上一動點，是圓上一動點，則（

）A． B．橢圓離心率為C．圓與圓相切 D．的最大值為4題型04構造方程求橢圓的離心率【典例4】已知橢圓的左右焦點分別為，，右頂點為.過點的直線與橢圓的交點為，與軸的交點為.若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．方程法求橢圓的離心率即根據a,c,b,e的關系，構造關于e的方程，解方程求解.【變式4-1】已知橢圓C：的焦點分別為，，過的直線與C交于P，Q兩點，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2025·高二·湖北武漢·聯考）已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則橢圓的離心率為．題型05求橢圓離心率的取值范圍【典例5】（2024·高二·安徽安慶·階段練習）橢圓（a＞b＞0）上存在一點P滿足，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．求橢圓的離心率的取值范圍的策略利用題設條件或問題中的隱含條件構建關于a,b,c,e的不等關系，進而轉化為關于離心率e的不等式（組），通過解不等式（組）求出離心率e的取值范圍.求解的同時要注意橢圓的離心率e【變式5-1】（2024·高二·四川內江·階段練習）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式5-2】（2025·高二·江蘇鹽城·階段練習）已知橢圓上有一點P，是橢圓的左、右焦點，若使得為直角三角形點P有8個，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．題型06由橢圓的離心率求參【典例6】（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）已知橢圓的離心率，則的值為（

）A．12 B． C．12或 D．或由橢圓的離心率求參問題求解策略這類問題一般根據橢圓的離心率列出關于參數的方程，解之即得所求.但求解時還需注意橢圓焦點所在的位置，有時要分焦點在x軸還是y軸討論求解.【變式6-1】（2025·湖南湘潭·三模）已知橢圓的離心率為，則的短軸長為（

）A． B．1 C．2 D．3【變式6-2】（24-25高二下·湖北·期中）若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（

）A． B．9 C． D．12題型07橢圓對稱性的應用【典例6】已知橢圓的方程為，其中依次將橢圓的下半部分分成10等份，若是橢圓的右焦點，則（

）A．10 B．16 C．20 D．12橢圓對稱性的應用策略橢圓關于x軸、y軸，原點對稱.應用時，可利用對稱簡化問題：求對稱點坐標，將非第一象限內的點轉化到第一象限來分析；處理弦中點、對稱點問題時，用對稱性質減少計算，結合橢圓的性質高效解題.【變式7-1】（多選）已知直線被橢圓截得的弦長為8，則下列直線中被橢圓截得的弦長也為8的有（

）A． B． C． D．【變式7-2】已知橢圓的中心為原點，焦點為，，以為圓心，為半徑的圓交橢圓于、兩點，且，則橢圓的方程是（

）A． B． C． D．題型08利用橢圓上點的范圍求解最值問題【典例8-1】已知曲線，圓，若A，B分別是M，N上的動點，則的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【典例8-2】（2025·高二·遼寧·期中）已知是橢圓上一點，，則的最小值為.利用橢圓上點的范圍解決最值問題的策略這類問題往往與橢圓上動點坐標有關，可以將所求最值的量用橢圓上點的坐標表示，從而建立關于橢圓上點的橫坐標或縱坐標的函數，借助函數思想及點的坐標范圍求得最值.【變式8-1】設P為橢圓上任意一點，其中，為它的一個焦點，則的最大值為，最小值為．【變式8-2】（2025·高二·上海普陀·期中）過橢圓的中心的直線與橢圓交于兩點，是橢圓的右焦點，則的面積的最大值為．題型09幾何法求解橢圓的最值問題【典例9】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知橢圓的左、右焦點分別，，橢圓的長軸長為，短軸長為2，P為直線上的任意一點，則的最大值為.幾何法求解橢圓的最值問題若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質來解決,這就是幾何法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義,并能借助相應曲線的定義及對稱知識求解.【變式9】（2025·山東日照·二模）已知與x軸相交于C，D兩點，點，以AB為直徑的圓與⊙O內切，則△BCD面積的最大值為．題型10橢圓簡單性質的實際應用【典例10】某彗星的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓，測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）與太陽中心的距離為，遠日點（距離太陽最遠的點）與太陽中心的距離為，并且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則（

）A．軌道的焦距為 B．軌道的離心率為C．軌道的短軸長為 D．當越大時，軌道越圓解決橢圓的實際應用題的一般思路根據題意得到幾何圖形，建立適當的平面直角坐標系，與橢圓知識相聯系，找出題目中已知量和隱含條件的關系，求出橢圓方程.【變式10-1】（2025·廣東韶關·模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【變式10-2】（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四號”探測器實現歷史上的首次月背著陸，如圖是“嫦娥四號”運行軌道示意圖，圓形軌道距月球表面千米，橢圓形軌道的一個焦點是月球球心，一個長軸頂點位于兩軌道相切的變軌處，另一個長軸頂點距月球表面千米，則橢圓形軌道的焦距為千米.【變式8-3】（2025·高二·湖北武漢·期末）在對表面為曲面的工件進行磨削時應當選用尺寸適當的圓形砂輪，如果砂輪半徑太大，則磨削時工件與砂輪接觸處附近的那部分會磨去太多．現有一工件，其截面內表面是一長軸長為4，離心率為的橢圓，在對其內表面進行拋光時，所選用砂輪的半徑最大為．練基礎1．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長、短軸長、離心率依次是()A．5，3，eq\f(4,5) B．10，6，eq\f(4,5)C．5，3，eq\f(3,5) D．10，6，eq\f(3,5)2．焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝13．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知橢圓的離心率為，短軸長為2，則（

）A． B． C．1 D．4．（24-25高二下·云南麗江·階段練習）若橢圓的焦距為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三下·云南昆明·開學考試）已知橢圓和橢圓有相同的離心率，則（

）A． B． C．或4 D．或46．（24-25高二上·山西·階段練習）下列四個橢圓中，形狀與圓更接近的一個是（

）A． B．C． D．7．（24-25高二上·浙江臺州·期末）已知橢圓的標準方程為，下列說法正確的是（

）A．橢圓的長軸長為2B．橢圓的焦點坐標為C．橢圓關于直線對稱D．當點在橢圓上時，8.（多選）（2025·貴州·二模）已知橢圓：，：，則（

）A．與的離心率相等 B．與的焦距相等C．與的長軸長相等 D．的短軸長是的短軸長的兩倍9．(多選)（24-25高二上·山東臨沂·期末）橢圓：的左、右焦點分別為，，點為上的任意一點，則（

）A．橢圓的長軸長為3 B．橢圓的離心率為C．的最大值為5 D．存在點，使得10．（24-25高二上·寧夏銀川·階段練習）若橢圓：的短軸的一個端點為，則橢圓的長軸長為11.已知橢圓的短半軸長為1，離心率0<e≤eq\f(\r(3),2).則長軸長的取值范圍為________．12．（2025·江西新余·二模）已知點是橢圓：上的動點，若，則的最小值為.13．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標．14．如圖，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋eq\r(2)，|PF2|＝2－eq\r(2)，求橢圓的標準方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求橢圓的離心率e.練提升15．（24-25高二上·天津·期中），是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則的最大值是（

）A．4 B．5 C．2 D．116．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）阿基米德在他的著作《關于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，兩個焦點分別為，點是橢圓上的動點，點是點關于原點的對稱點，若四邊形的周長為12，則四邊形面積的最大值為（

）A． B． C． D．17.（24-25高二下·廣東廣州·期中）已知直線與橢圓交于A，B兩點，橢圓E右焦點為F，直線AF與E的另外一個交點為C，若，若，則E的離心率為（

）A． B． C． D．18.（多選）（24-25高二下·海南海口·階段練習）已知橢圓的兩個焦點分別為，，P是C上任意一點，則（

）A．C的離心率為 B．的周長為12C．的最小值為3 D．的最大值為1619．（多選）（24-25高二下·內蒙古·期末）已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，點在上，，且為上一個動點，則（

）A．B．的長軸長為4C．的最小值為D．的最大值是20．如圖，橢圓的中心在坐標原點O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別為F1，F2，延長B1F2與A2