27/28專題2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.掌握雙曲線的中心、頂點(diǎn)、長軸、短軸、離心率、漸近線的概念，理解雙曲線的范圍和對稱性．2.掌握已知雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時a，b，c，e的幾何意義及其相互關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：掌握雙曲線的簡單性質(zhì).2.難點(diǎn)：用代數(shù)法研究曲線的幾何性質(zhì)，在熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)的過程中，體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識點(diǎn)01雙曲線的簡單性質(zhì)（重點(diǎn)）1、對稱性(1)在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,用代換x(用-y代換y),方程不變,所以雙曲線關(guān)于x軸(軸)對稱,即坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸.(2)同時以-x代換x,-y代換y,方程不變,則雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱,這個對稱中心稱為雙曲線的中心.2、范圍由方程得，所以雙曲線上的任意一點(diǎn)都滿足即因此，雙曲線在不等式與所表示的區(qū)域內(nèi)，即位于兩條直線和外側(cè)的區(qū)域．如圖所示.：3、頂點(diǎn)雙曲線與它的對稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn).如圖,雙曲線的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(?a,θ),A2(a,θ)．顯然頂點(diǎn)是雙曲線兩支之間距離最近的點(diǎn)．兩個頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長度等于24、離心率(1)我們規(guī)定,雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率,用e表示,即.(2)因?yàn)閏>a>0,所以e>1.(3)因?yàn)?所以.【知識剖析】細(xì)解雙曲線的范圍和頂點(diǎn)1.從雙曲線的方程或圖形中可以直接看出它的范圍.2.雙曲線有兩個頂點(diǎn)、兩個焦點(diǎn)，共四個特殊點(diǎn)，研究雙曲線時一定要注意這四個特殊點(diǎn)的位置.3.已知雙曲線的兩個頂點(diǎn)，可以使用幾何作圖找出其焦點(diǎn)，方法是：以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑作弧交實(shí)軸于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就是該雙曲線的焦點(diǎn).5、漸近線一般地，直線y=bax和y=?【知識剖析】對雙曲線漸近線的四點(diǎn)說明1.隨著x和y趨向于無窮大，雙曲線將無限地與漸近線接近，但永遠(yuǎn)沒有交點(diǎn)．2.由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值，但無法確定焦點(diǎn)位置．3.求漸近線的方程，常把雙曲線的方程右邊的常數(shù)寫成0，分解因式即得漸近線方程，若已知漸近線方程mx＋ny＝0，求雙曲線的方程，常把雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,m2)＝λ(λ≠0)求解．4.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線系的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0，a>0，b>0)．【即學(xué)即練】1．（24-25高二上·陜西渭南·期末）已知雙曲線方程，寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算它的焦距，實(shí)軸長，虛軸長，漸近線方程以及離心率.2．（24-25高二上·寧夏銀川·期中）已知雙曲線的一條漸近線方程是，實(shí)軸的長度為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·云南紅河·期末）雙曲線與雙曲線的（

）A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等知識點(diǎn)02雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且．a(chǎn)、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的雙曲線問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．【即學(xué)即練】1．（24-25高二上·北京平谷·期末）雙曲線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的最小距離是.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）雙曲線的實(shí)軸長為4，則.3．（多選）（24-25高二下·四川瀘州·期末）過雙曲線的一個焦點(diǎn)的直線與的一條漸近線平行，且與交于點(diǎn)，則（

）A．的實(shí)軸長為 B．的離心率為C．到的右焦點(diǎn)的距離為 D．的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為知識點(diǎn)03雙曲線和的簡單性質(zhì)比較（難點(diǎn)）焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0，0)范圍x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a頂點(diǎn)(±a，0)(0，±a)軸長實(shí)軸長＝2a，虛軸長＝2b焦點(diǎn)F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c離心率，，漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x【知識剖析】離心率對雙曲線“張口”大小的影響在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度．在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個重要特征．因?yàn)?，所以?dāng)?shù)闹翟酱?，漸進(jìn)線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，也就越大，故反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大，它的“張口”越大．【即學(xué)即練】1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）下列雙曲線，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（

）A． B．C． D．2．（多選）（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）雙曲線與的離心率分別為和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點(diǎn)在x軸上，的焦點(diǎn)在y軸上B．的焦點(diǎn)到其漸近線的距離與的焦點(diǎn)到其漸近線的距離相等C．的最小值為D．知識點(diǎn)04等軸雙曲線與共軛雙曲線1、等軸雙曲線的性質(zhì)在雙曲線中，若，則雙曲線的長軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質(zhì)有：（1）離心率：等軸雙曲線的離心率；（2）漸近線：等軸雙曲線的漸近線為；等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45°和135°．2、共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線時一對共軛雙曲線．例如，雙曲線與是一對共軛雙曲線，其性質(zhì)如下：（1）已對共軛雙曲線有相同的漸進(jìn)線；（2）已對共軛雙曲線有相同的焦距；（3）共軛雙曲線的漸近線與直線及的四個交點(diǎn)，以及雙曲線的四個交點(diǎn)，八點(diǎn)共圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為（半焦距）；（4）由于，，則，可知共軛雙曲線的離心率雖然不同，但離心率的倒數(shù)的平方和等于常數(shù)1．【即學(xué)即練】1．（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）過點(diǎn)的等軸雙曲線的方程為.2．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且一個焦點(diǎn)在直線上的等軸雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．3．（多選）（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知某雙曲線系的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．所有雙曲線的焦點(diǎn)均在軸上B．所有雙曲線的焦距均相等C．雙曲線不可能為等軸雙曲線D．當(dāng)增大時，雙曲線的離心率減小題型01利用方程研究雙曲線的性質(zhì)【典例1】（24-25高二上·撫州六校·聯(lián)考）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：，則（

）A．的實(shí)軸長為2 B．的離心率為2C．的漸近線方程為 D．的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為由雙曲線方程研究其性質(zhì)的步驟已知雙曲線方程討論其幾何性質(zhì)時，首先要將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定a,b的值，然后求解其幾何性質(zhì)中的其他相關(guān)量.若不能確定焦點(diǎn)是在x軸上還是y軸上，則需分情況討論.【變式1-1】（24-25高二下·廣東揭陽·月考）若雙曲線的實(shí)軸長為4，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（24-25高二上·江蘇常州·期中）雙曲線實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（多選）（24-25高二下·湖南·月考）已知雙曲線和，其中，且，則（

）A．與虛軸長相等 B．與焦距相等 C．與離心率相等 D．與漸近線相同題型02由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【典例2】（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，經(jīng)過點(diǎn)；(2)與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；(3)與雙曲線有公共的漸近線，且過點(diǎn)．由雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟1.確定焦點(diǎn)所在的位置，進(jìn)而確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，若焦點(diǎn)位置不確定，則需分類討論.2.由條件直接確定a,b的值或建立關(guān)于a,b,c的方程（組），解出a,b的值.3.寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式2-1】（24-25高二上·陜西西安·月考）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn).【變式2-2】（24-25高二上·江蘇徐州·期中）以橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【變式2-3】（24-25高二上·四川宜賓·期中）已知等軸雙曲線過點(diǎn)，則該雙曲線方程為（

）A． B． C． D．題型03定義法求雙曲線的離心率【典例3-1】（24-25高二下·山西·開學(xué)考試）已知雙曲線的焦距為12，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【典例3-2】（24-25高二上·湖北襄陽·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，則雙曲線的離心率為．定義法求雙曲線的離心率所謂定義法，是指利用離心率的定義求解，即建立a,c的關(guān)系式，求出的值，再利用定義式求得離心率e，或整體得到.【變式3-1】（24-25高二下·河南·期末）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線方程為，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【變式3-2】（24-25高二下·河北唐山·期末）若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為θ，且，則它的離心率為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（24-25高二下·甘肅慶陽·期末）已知雙曲線（，）的頂點(diǎn)到漸近線的距離為實(shí)軸長的，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．題型04構(gòu)造方程求雙曲線的離心率【典例4】（24-25高二下·四川瀘州·月考）設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是上的點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則的離心率是．方程法求雙曲線的離心率依據(jù)條件建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系式．一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含eq\f(b,a)的方程，求出eq\f(b,a)后利用e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))求離心率．【變式4-1】（24-25高二下·貴州六盤水·月考）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，若是正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【變式4-3】（24-25高二上·湖北武漢·期末）雙曲線的兩個焦點(diǎn)為、，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與的兩支分別交于、兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．題型05求雙曲線離心率的取值范圍【典例5】（24-25高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是.求雙曲線的離心率的取值范圍依據(jù)條件建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系式．一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的不等式求解，另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含eq\f(b,a)的不等式，求出eq\f(b,a)后利用e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))求離心率．【變式5-1】（24-25高二上·廣東江門·期末）設(shè)雙曲線的離心率為，雙曲線漸近線的斜率的絕對值小于，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高二上·天津·期末）已知雙曲線的兩條漸近線之間的夾角小于，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（24-25高二上·湖北·月考）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型06由雙曲線的離心率求參【典例6】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，，是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且，若的面積是9，則的值等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7由雙曲線的離心率求參問題求解策略這類問題一般根據(jù)橢圓的離心率列出關(guān)于參數(shù)的方程，解之即得所求.但求解時還需注意橢圓焦點(diǎn)所在的位置，有時要分焦點(diǎn)在x軸還是y軸討論求解.【變式6-1】（24-25高二上·湖北武漢·月考）已知雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【變式6-2】（24-25高二上·河南·月考）設(shè)雙曲線，的離心率分別為，.若，則（

）A． B．2 C．4 D．8【變式6-3】（2025·江西·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，離心率為3，為上一點(diǎn)，且位于第一象限，若垂直于軸，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C．3 D．題型07漸近線與雙曲線的綜合應(yīng)用【典例7】（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，的兩條漸近線方程為，若，則（

）A．1 B．13 C．1或13 D．2或14【變式7-1】（24-25高二下·云南文山·月考）已知雙曲線的一條漸近線的斜率，一個焦點(diǎn)為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A． B． C．3 D．6【變式7-2】（24-25高二下·湖南長沙·期末）設(shè)F為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，，分別為C的兩條漸近線的傾斜角，且滿足，已知點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（

）A． B．2 C． D．4【變式7-3】（2025·四川瀘州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線與的左?右兩支分別交于點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．題型08雙曲線的對稱性【典例8】（24-25高二上·江西六校·期中）為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線C的右支上的三個不同的點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．12 B．16 C．18 D．24雙曲線對稱性的應(yīng)用策略雙曲線關(guān)于x軸、y軸，原點(diǎn)對稱.應(yīng)用時，可利用對稱簡化問題：求對稱點(diǎn)坐標(biāo)，將非第一象限內(nèi)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到第一象限來分析；處理弦中點(diǎn)、對稱點(diǎn)問題時，用對稱性質(zhì)減少計(jì)算，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)高效解題.【變式8-1】（24-25高三上·全國·階段練習(xí)）已知圓與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且，則圓的半徑的值為．【變式8-2】已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．或2 D．【變式8-3】若三個點(diǎn)，，中恰有兩個點(diǎn)在雙曲線C：上，則雙曲線C的漸近線方程為.練基礎(chǔ)1．（24-25高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）雙曲線的焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．2．（24-25高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，則（

）A．1 B．0 C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南邵陽·三模）已知雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，且圓與直線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2025·云南昆明·一模）在節(jié)目表演中為了增強(qiáng)舞臺的亮度，且為了減弱演員面對強(qiáng)光的不適感，燈光設(shè)計(jì)人員巧妙地通過雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，發(fā)散光線以保護(hù)演員的視力，如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線，其經(jīng)過雙曲線的反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線和反射光線互相垂直時，（

）A． B． C． D．6．（多選）（22-23高三上·海南儋州·開學(xué)考試）已知橢圓的方程為，雙曲線的方程為，則（

）A．雙曲線的一條漸近線方程為B．橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)C．橢圓的離心率D．橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點(diǎn)7．（多選）（25-26高二上·全國·單元測試）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若，則曲線表示兩條直線B．若，則曲線是雙曲線C．若，則曲線是橢圓D．若，則曲線的離心率為8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過作垂直于一條漸近線，垂足為，若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則．9．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）雙曲線和橢圓有共同的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是．10．（24-25高二上·福建龍巖·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，C的右頂點(diǎn)D在圓上，且(1)求C的方程；(2)點(diǎn)P在C上，且軸，過點(diǎn)P作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，求.11．（24-25高二下·江西六?！て谀┮阎p曲線的方程為，實(shí)軸長和離心率均為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)過且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求的值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.練提升12．（2025高三·全國·專題練習(xí)）雙曲線的離心率為的離心率為，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．413．（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一動點(diǎn)，且，過作，垂足為，則的最大值為（

）

A．40 B．50 C．55 D．6014．（多選）（19-20高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）平面上到兩個定點(diǎn)的距離的積為定值的動點(diǎn)軌跡一般稱為卡西尼卵形線，已知曲線E為到定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)4的點(diǎn)的軌跡，關(guān)于曲線E的幾何性質(zhì)有下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A．曲線E關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．的面積的最大值為2C．其中x的取值范圍為 D．其中y的取值范圍為15．（24-25高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與漸近線垂直，垂足為點(diǎn)，延長交于點(diǎn).若，則的離心率為.16．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作的切線與的兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則的漸近線方程為．17．（25-26高二上·全國·單元測試）已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程，并寫出其離心率；(2)求的焦點(diǎn)到其漸近線的距離；(3)已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值．18．（25-26高二上·全國·單元測試）已知雙曲線的實(shí)軸長為，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)作斜