1/25專題04橢圓考點01利用橢圓的定義求軌跡方程（共3小題）（重點） 1考點02根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)（共3小題） 2考點03求橢圓的標準方程(共4小題)（重點） 3考點04橢圓中和、差距離的最值（共3小題) 5考點05橢圓的焦點三角形問題（共4小題）（重點） 7考點06橢圓的離心率問題（共4小題）（重點） 10考點07橢圓有界性的應用(共3小題) 12考點08橢圓對稱性的應用（共2小題）（常考點） 15考點09橢圓的實際應用（共3小題）（難點） 16考點10橢圓的光學性質(zhì)（共2小題）（?？键c） 18考點11橢圓參數(shù)方程的應用 20考點12橢圓方程及性質(zhì)的綜合應用（共4小題）（難點） 22考點01利用橢圓的定義求軌跡方程（共3小題）1.（25-26高三上·山東青島·開學考試）已知圓的方程為，定點，為圓上任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件可得點在以，為焦點，的橢圓上，即可求解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，由題知，又，則，所以點在以，為焦點，的橢圓上，由，得，所以點的軌跡方程為，故選：B.2.（24-25高二上·湖北孝感·階段練習）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓與圓的位置關(guān)系及橢圓的定義和標準方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓的方程配方得：，圓心，半徑為，圓同理化為，圓心，半徑為，當動圓與圓相外切時，有①當動圓與圓相內(nèi)切時，有②將①②兩式相加，得動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)，所以點的軌跡是焦點為點、，長軸長等于的橢圓，故，，，.故選：A.3.（2025·山西臨汾·三模）已知動點滿足，則動點M的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓的定義，結(jié)合題意，可得焦點坐標，從而可得的值，可得答案.【詳解】由題意可得動點到與兩點的距離之和為，且，則動點的軌跡為橢圓，易知，，，即方程為.故選：C.考點02根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)（共3小題）4．“是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意，方程，可化為標，當時，方程表示焦點在上的橢圓，即充分性成立；若方程表示焦點在上的橢圓，則滿足，即必要性成立，所以時方程表示焦點在上的橢圓的充要條件.故選：A.5.（多選）若方程表示橢圓，則的值可以為（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】BD【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式，由此求得的取值范圍，結(jié)合選項即可判斷.【詳解】由于方程表示橢圓，所以，解得或，結(jié)合選項，可知的值可以為3和8.故選：BD6.（多選）如果方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓方程特征得出關(guān)系式，解不等式即可.【詳解】焦點在x軸上，則標準方程中，解得或．又，，得，所以或．故選:BC．考點03求橢圓的標準方程(共4小題)7.（25-26高三上·黑龍江·開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，左右頂點分別為，過的直線交于兩點（異于點），的周長為，且直線與的斜率之積為，則橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求得，設(shè)，由求得，進而求解.【詳解】由的周長為，由橢圓的定義得，解得，所以，，設(shè)，則，可得，則，解得，所以橢圓C的方程，故選：A.8.已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，，并且經(jīng)過點，則它的標準方程為．【答案】【解析】因為橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標準方程為，由橢圓的定義知，所以．又因為，所以，所以橢圓的標準方程為.故答案為：.9.已知兩定點，，曲線上的點到、的距離之和是12，則該曲線的標準方程為.【答案】【解析】由條件可知，，所以點的軌跡是以點為焦點的橢圓，且，，，，所以橢圓的標準方程為.故答案為：10.（2025·高二·山東青島·期中）過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是．【答案】【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為，，將點代入，，整理可得：，解得或（舍，所以橢圓的方程為：，故答案為：．考點04橢圓中和、差距離的最值（共3小題)11.已知動點在橢圓上，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義，將問題化為的最小值，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意，為一個焦點，另一焦點為，且；因為，所以在橢圓外部，所以，即求的最小值；由于，當三點共線時取等號；所以的最大值為；故選：D.12.已知分別為橢圓的左、右焦點，橢圓內(nèi)一點的坐標為，為橢圓上的一個動點，則的最大值是．【答案】30【分析】根據(jù)定義，再利用求解即可.【詳解】由橢圓的定義得，，則，又點在橢圓內(nèi)部，，所以，即，當點在的延長線上時，等號成立，所以的最大值為30.故答案為：30.13.已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)圓上的點到定點的距離范圍可知，即，結(jié)合橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，即可得解.【詳解】由橢圓可知橢圓的實軸長，，，圓的圓心，半徑，由已知圓上任意一點到得距離，所以，又根據(jù)橢圓定義，則，當且僅當，都在線段上時，等號成立，考點05橢圓的焦點三角形問題（共4小題）14．（23-24高二上·吉林·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點是橢圓上一點，若為直角三角形，則的面積為（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】D【分析】根據(jù)（或）和進行分類討論，由此可求的面積.【詳解】橢圓中，，所以焦點，當或時，此時面積相同，不妨取，如下圖所示：代入于橢圓方程，則，所以，所以；當時，如下圖所示：設(shè)，由條件可知，解得，所以；綜上，的面積為或，故選：D.15.（多選）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P為橢圓C上一動點，則下列說法正確的是（

）A．當點P不在x軸上時，的周長是6B．當點P不在x軸上時，面積的最大值為C．存在點P，使D．的取值范圍是【答案】ABD【解析】由橢圓方程可知，，則，由橢圓定義得的周長是，故A正確；設(shè)，面積的為，則面積的最大值為，故B正確；可知，當位于橢圓短軸一個端點時，最大，此時，又，則為正三角形，，即不存在點P，使，故C錯誤；可知，當位于橢圓右頂點時，最大值為，當位于橢圓左頂點時，最小值為，即的取值范圍是，故D正確；故選：ABD.16.（多選）已知點是左、右焦點為，的橢圓上的動點，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點有6個C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和【答案】BCD【解析】A選項：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項：當或時為直角三角形，這樣的點有4個，設(shè)橢圓的上下頂點分別為，，則，，，同理，知，所以當位于橢圓的上、下頂點時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點有6個，故B正確；C選項：由于，所以當最小即時，取得最大值，故C正確；D選項：因為，又，的最大、最小值分別為和，當點位于的延長線上時取最大值，當位置的延長線上時取最小值，故D正確.故選：BCD17.（多選）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，坐標原點為O.若橢圓C上存在一點P，使得，則下列說法正確的有（

）A． B．的面積為2C． D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABD【解析】由題意得，，則，．由對稱性可設(shè)（，），，，，由，解得，又，，所以，，所以．由橢圓的定義得，對于A，在中，設(shè)，由余弦定理，得，即，解得，故A正確；對于B，的面積為，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，由的面積相等，得，即，解得，故D正確．故選：ABD．考點06橢圓的離心率問題（共4小題）18.已知橢圓的左、右兩個焦點為，，若橢圓上存在兩點、關(guān)于原點對稱，且滿足，，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得四邊形是平行四邊形，進而可求得，利用向量的數(shù)量積為，又由基本不等式可得，可得為等邊三角形，進而可求離心率.【詳解】連接，，因為點、關(guān)于原點對稱，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為，所以，所以，因為，所以，所以，又，所以，當且僅當時取等號，又所以為等邊三角形，所以，所以橢圓的離以率為.故選：C.19.（2025·高二·四川南充·期中）已知橢圓（且）的焦點為為上的一點，若的周長為18，則橢圓的離心率為．【答案】/【解析】若的長半軸為3，即，又，所以的周長小于12，不符題意．所以的長半軸為，，解得，所以橢圓，所以的離心率為．20．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，是上一點，若的周長為14，則的離心率為.【答案】/【分析】由焦點三角形周長得到，即可求解.【詳解】因為，分別是橢圓：的左、右焦點，是上一點，所以的周長為14，所以，，解得，故離心率.21．（24-25高二下·重慶渝中·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，若以為圓心，為半徑作圓，過橢圓上一點作此圓的切線，切點為，若恒成立，則該橢圓離心率的取值范圍為.【答案】【分析】由題意作圖，根據(jù)圓的切線性質(zhì)以及勾股定理，可建立方程，根據(jù)焦半徑的取值范圍以及題干中的不等式，通過化簡整理，代入離心率，可得答案.【詳解】如下圖所示：易知，又焦半徑的最小值為，且恒成立，則，又，所以，整理可得，即，可得，即，又，解得，又半徑，則，解得，所以.考點07橢圓有界性的應用(共3小題)22．（24-25高二上·浙江紹興·期中）已知M，N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓的右焦點，則的取值范圍為（

）A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80]【答案】C【分析】由是左焦點，連接，利用橢圓對稱性及定義，將目標式化為，結(jié)合及二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.【詳解】若是左焦點，連接，又關(guān)于原點對稱，

所以為平行四邊形或為左右頂點，則，由，則，故，則，開口向上且對稱軸為，又，所以.故選：C23.（多選）（24-25高二上·浙江·期中）已知，分別是橢圓的左、右焦點，點是上的任意一點，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓的定義，，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可求解范圍，判斷A，利用坐標表示，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解B，利用向量的運算可知，，根據(jù)的范圍，即可求解，判斷C，利用焦半徑的最值，即可判斷D.【詳解】，，，，，設(shè)，，則，，A．，范圍是，故A正確；B．設(shè)，則，故B錯誤；C．設(shè)為原點，則；故C正確；D．和的最大值為，最小值為，所以的最大值為，最小值為，，故D正確.故選：ACD24．（24-25高二上·江蘇南京·期中）設(shè)為正實數(shù)，橢圓：長軸的兩個端點是，，若橢圓上存在點滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】當位于短軸的端點時，取最大值，要使橢圓上存在點滿足，則此時，則，討論焦點在軸和在軸上兩種情況即可求解.【詳解】因為為正實數(shù)，則若橢圓焦點在軸上，即，即時，則當位于短軸的端點時，取最大值，要使橢圓上存在點滿足，則此時，則，則，解得；若橢圓焦點在軸上，即，即時，則當位于短軸的端點時，取最大值，要使橢圓上存在點M滿足，則此時，則，則，解得，綜上，m的取值范圍是故選：B.考點08橢圓對稱性的應用（共2小題）25．（25-26高三上·上?！ら_學考試）已知橢圓的右焦點為，直線經(jīng)過橢圓右焦點，交橢圓于、兩點（點在第二象限），若點關(guān)于軸對稱點為，且滿足，求直線的方程是．【答案】【分析】先求出橢圓的右焦點坐標，再根據(jù)對稱性求出直線的傾斜角，從而得到其斜率，再由點斜式即可求得直線的方程．【詳解】由點關(guān)于軸對稱點為，則直線與軸的夾角相等，又，則直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，即直線的斜率為，又橢圓的右焦點為，所以直線的方程是，即，故答案為：．26．（2025高三·全國·專題練習）如圖，把橢圓的長軸分成8等份，過每個等分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的左焦點，則.【答案】35【分析】根據(jù)橢圓的對稱性，結(jié)合橢圓定義即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性，可知，，，又根據(jù)橢圓的定義，得，，，，所以，又由橢圓，可知，所以.考點09橢圓的實際應用（共3小題）27.某彗星的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓，測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）與太陽中心的距離為，遠日點（距離太陽最遠的點）與太陽中心的距離為，并且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則（

）A．軌道的焦距為 B．軌道的離心率為C．軌道的短軸長為 D．當越大時，軌道越圓【答案】BCD【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，根據(jù)題意得到；故，對于A：焦距，故選項A錯誤；對于B：因為離心率，故選項B正確；對于C：短軸長，故選項C正確；對于D：離心率，當越大時，橢圓的離心率越小，即橢圓越圓，故D正確；故選：BCD28.（25-26高二上·全國·單元測試）2024年10月22日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征六號運載火箭，成功將天平三號、、衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道，發(fā)射任務獲得圓滿成功．如圖，假設(shè)天平三號衛(wèi)星運動的軌道是以地球的球心為一個焦點的橢圓，已知地球的直徑約為1.3萬千米，衛(wèi)星運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，運動至遠地點距離地球表面高度約3.35萬千米，則天平三號衛(wèi)星運行的軌跡方程可以為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，，進而可求，即可得橢圓方程.【詳解】由題意知，衛(wèi)星的運動軌跡為橢圓，地球的球心為該橢圓的一個焦點.設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，由題可知，，即．因為天平三號衛(wèi)星運動至近地點距離地球表面高度約1.35萬千米，地球半徑約為0.65萬千米，所以，可得，因此，結(jié)合選項可知A滿足．故選：A.29．（24-25高二上·重慶·期末）橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線都有焦點.焦點，顧名思義，就是光線的聚集點，圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì).體外沖擊波碎石術(shù)是橢圓光學性質(zhì)在醫(yī)療方面的典型應用：治療時，將患者體內(nèi)的結(jié)石置于橢圓反射面的一個焦點處，在另一個焦點釋放高能沖擊波.依據(jù)橢圓光學性質(zhì)，沖擊波經(jīng)反射后聚焦于結(jié)石，利用高強度能量將結(jié)石擊碎，達到治療目的，且對周圍組織損傷小.現(xiàn)有一個離心率為的橢圓反射面，過橢圓上任意一點作橢圓的切線，若焦點在切線上的射影在一個半徑為的定圓上，則該橢圓的焦距為.【答案】【分析】作出圖形，延長、交于點，連接，由光線反射可得出，且為的中點，結(jié)合中位線的性質(zhì)和橢圓的定義可求出的值，進而可得出的值，由此可得出該橢圓的焦距.【詳解】如下圖所示：不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，、分別為橢圓的左、右焦點，連接，延長、交于點，由題意可知，點與點關(guān)于直線對稱，則，且為的中點，又因為為的中點，則，所以，點在以圓心為原點，半徑為的圓上，故，由題意可得，解得，故該橢圓的焦距為.考點10橢圓的光學性質(zhì)（共2小題）30．（25-26高二上·全國·單元測試）橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，如圖所示．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為．若光線由發(fā)出經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為12c，點是橢圓上除頂點外的任意一點，在點處的切線為在上的射影在圓上，則的周長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出的關(guān)系，然后根據(jù)幾何關(guān)系列出等式，求出，進而求出的周長.【詳解】由光線由發(fā)出經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為，得，即．延長交于點，如圖，由光的反射定律知垂直平分線段（關(guān)鍵點），連接OH，則OH是的中位線，于是，而點在圓上，則的周長等于．

故選：D.31．（2025·廣西·模擬預測）如圖，橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.已知橢圓，其左、右焦點分別是，，P為橢圓上任意一點，直線與橢圓相切于點，過點與垂直的直線與橢圓的長軸交于點M，，點，給出下列四個結(jié)論，正確的是（

）A．面積的最大值為B．的最大值為7C．若，則D．若，垂足為，則【答案】ABC【分析】對于A：根據(jù)橢圓性質(zhì)分析判斷；對于B：由橢圓定義結(jié)合幾何性質(zhì)分析判斷；對于C：應用角平分線的性質(zhì)及余弦定理即可求解；對于D，延長交于點，應用對稱性及圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓方程可知：.對于A：當點為短軸頂點時，面積的最大，最大值為，故A正確；對于B：因為，則，可得，當且僅當為線段與橢圓的交點時，取到最大，所以的最大值為7，故B正確；對于C：由橢圓的光學性質(zhì)，得點P與l垂直的直線為角的角平分線，則，設(shè)，則，可得，則，即,整理可得，解得或，當時，，M與O重合，不合題意，所以，即，故C正確；對于D：如圖，延長交于點，則在中，，則且為中點，連，在中，，則點在以原點為圓心，2為半徑的圓上，即，故D錯誤.故選：ABC.考點11橢圓參數(shù)方程的應用32.（2024高三·全國·專題練習）若橢圓x2b2+y2a2=1的焦點在y軸上，過點1,12【答案】3【分析】由題意，AB是圓x2+y2=1與以O(shè)M為直徑的圓的公共弦所在直線，可求出直線AB方程，利用橢圓參數(shù)方程表示橢圓上點到直線AB的距離d，當d=0【解析】設(shè)M1,12，圓x則AB是圓x2+y以O(shè)M為直徑的圓的方程為x?1即x2得直線AB方程為：x+1設(shè)橢圓上的點為Qbcosα,ad=b由于直線和橢圓相切，因此得當cosα?φ=1時，且最小值為0，所以14橢圓內(nèi)接矩形面積為S=4absin所以面積的最大值為Smax由均值不等式14a2所以離心率e=c故答案為：333.（22-23高二·全國·課堂例題）已知橢圓的標準方程為x2100+y264=1A．6,10 B．6,8 C．8,10 D．16,20【答案】C【分析】方法一：設(shè)點Px0,y0，則OP=x方法二：設(shè)x0=10cosθ，【解析】方法一：設(shè)點Px0,由橢圓的范圍，知x0≤a=10，∵點P在橢圓上，∴x02100+y0∵0≤x02≤100，∴方法二：設(shè)x0=10cosθ，則OP=因為cos2θ∈0,134.（24-25高二下·上海徐匯·期中）橢圓中，動弦長為．(1)請寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）整理橢圓方程，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方式，可得答案；（2）利用參數(shù)方程設(shè)出動點坐標，根據(jù)兩點距離公式以及三角函數(shù)的恒等式，寫出直線方程，根據(jù)點到直線距離，結(jié)合三角函數(shù)面積公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，令，則.（2）設(shè)，，，則，所以，所以，從而，由，可得，則又直線的方程為，所以點到的距離，所以.考點12橢圓方程及性質(zhì)的綜合應用（共4小題）35.（23-24高二上·江西·期末）已知點為橢圓的焦點，過F的直線l交C于A，B兩點．(1)求C的方程；(2)若D為的中點．①求D的軌跡方程；②求的最大值．【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系求解即可；（2）①設(shè)Ax1,