33/43專題4.1~4.2直線的方向向量與平面的法向量，用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量.2.會(huì)用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會(huì)用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問題.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間幾何體的平行、垂直關(guān)系的證明明.2.難點(diǎn)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升平面向量、空間向量的知識(shí)相結(jié)合的綜合能力，準(zhǔn)確將平面向量、空間向量的概念，定理等內(nèi)容與平面幾何、空間立體幾何有機(jī)的隔合在一起，提升解決問題的能力，將形與數(shù)，數(shù)與量有機(jī)的結(jié)合起來，為提升數(shù)學(xué)能力奠定基礎(chǔ).知識(shí)點(diǎn)01直線的方向向量與直線的向量表示1．直線的方向向量設(shè)點(diǎn)A，B是直線上不重合的任意兩點(diǎn)，稱eq\o(AB,\s\up6(→))為直線l的．2．直線的向量表示已知點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn)，非零向量a是直線l的一個(gè)方向向量．那么對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P，一定存在實(shí)數(shù)t，使得，這個(gè)式子稱為直線l的向量表示．【知識(shí)剖析】1.在空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直線與直線l平行或重合．2．與直線l平行的任意非零向量eq\o(a,\s\up6(→))都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個(gè)．3．給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，就可以確定唯一一條過點(diǎn)A且平行于向量eq\o(a,\s\up6(→))的直線．4．表示同一條直線的方向向量，由于它們的模不一定相等，因此，它們不一定相等；雖然這些方向向量都與直線平行，但它們的方向不一定相同，還可能相反．【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·河南漯河·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，向量是直線l的一個(gè)方向向量，則n=（

）A．-3 B．-2 C．2 D．3知識(shí)點(diǎn)02平面的法向量1.平面的法向量如果一條直線l與一個(gè)平面α垂直，那么就把叫做平面α的法向量，則n⊥α.2．平面α的方程在空間直角坐標(biāo)系中，若n＝(A，B，C)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，則對(duì)于平面α內(nèi)任意一點(diǎn)P(x，y，z)，則稱為平面α的方程．【知識(shí)剖析】利用待定系數(shù)法求平面法向量時(shí)，由于方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(n,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(n,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝0))有無數(shù)組解，因此法向量有無數(shù)個(gè)．求解時(shí)，只需取一個(gè)較簡單的非零向量作為法向量即可．【即學(xué)即練】1．已知空間中，點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為其內(nèi)一點(diǎn)，，平面平面，則平面的一個(gè)法向量可以為：（

）．A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)03空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則線線平行(線線不重合)l∥m?線面平行(線不在平面內(nèi))l∥α?面面平行(兩個(gè)平面不重合)α∥β?【易錯(cuò)警示】零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量，這是因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量分別用來描述空間直線和平面的位置，而零向量的方向是任意的，無法用零向量來描述空間直線與平面的位置．【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·貴州畢節(jié)·月考）已知直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若直線平面，則（

）A．3 B． C．1 D．2．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則平面和平面的位置關(guān)系是．知識(shí)點(diǎn)04空間中垂直關(guān)系的向量表示設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則線線垂直l⊥m?l⊥m線面垂直l⊥α?l∥n1面面垂直α⊥β?n1⊥n2【即學(xué)即練】1.（25-26高二上·云南·期中）已知為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，若，則的值為（

）A． B．1 C． D．22．（25-26高二上·安徽阜陽·月考）若平面的法向量為，平面的法向量為，直線的方向向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則知識(shí)點(diǎn)05三垂線定理及其逆定理（拓展）1.三垂線定理若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面上的投影，則這兩條直線垂直.2．三垂線定理的逆定理若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線，則這條直線也垂直于直線在該平面內(nèi)的投影.3.利用兩定理證明線線垂直的“三步曲”一定“線面”——即先定下一個(gè)基礎(chǔ)平面和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線.二找“三線”——即再找這個(gè)平面的一條垂線、一條斜線及這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影.三證“垂直”——即最后證明平面內(nèi)的這條直線與斜線或斜線在平面內(nèi)的射影垂直.【即學(xué)即練】1.如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對(duì)角線A1C⊥平面C1BD．題型01求平面的法向量【典例1】已知直線，的方向向量分別為，，且直線，均平行于平面，平面的單位法向量為．求平面向量的法向量的基本方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)出一個(gè)法向量的坐標(biāo)（x，y，z），再在平面上取兩個(gè)向量（可取特殊向量，如在某個(gè)坐標(biāo)平面上的向量，或與某坐標(biāo)軸平行的向量），則它們與法向量均垂直，因此它們的數(shù)量積均為0，從而得到x、y、。所滿足的兩個(gè)方程，再令x為某個(gè)特殊值，便可得出y、z的值，從而確定一個(gè)法向量．要注意一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊條件下便可求出．【變式1-1】在平行六面體中，，．設(shè)，，，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．【變式1-2】在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則下列向量坐標(biāo)可以作為平面的一個(gè)法向量的是（

）A． B．C． D．題型02利用向量方法證明線線平行【典例2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．證明線線平行的依據(jù)與思路證明線線平行的依據(jù)：設(shè)直線l1，l2的方向向量分別是a，b，則要證明l1∥l2，只需證明a∥b，即a＝λb(λ∈R)．利用向量證明線線平行有兩種思路：一是建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示證明；二是用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要條件證明．【變式2】長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面對(duì)角線B1D1，A1B上的點(diǎn)，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求證：EF∥AC1.題型03利用向量方法證明線面平行【典例3】如圖所示，在四面體中，平面，，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．求證：平面．向量法證明線面平行的三個(gè)思路(1)設(shè)直線l的方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α，只需證明a⊥u，即a·u＝0.(2)根據(jù)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可．(3)根據(jù)共面向量定理可知，如果一個(gè)向量和兩個(gè)不共線的向量是共面向量，那么這個(gè)向量與這兩個(gè)不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．【變式3-1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方體的棱長為2，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．(1)寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)求平面的一個(gè)法向量；(3)證明：直線平面．【變式3-2】如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面，且，，.求證：平面.題型04利用向量方法證明面面平行【典例4】在正方體中，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

求證：(1)；(2)平面；(3)平面平面．證明面面平行的方法設(shè)平面α的法向量為μ，平面β的法向量為v，則α∥β?μ∥v.【變式4-1】如圖，在長方體中，，，.(1)求證：平面平面.(2)線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【變式4-2】如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．證明：

(1)平面；(2)平面平面．題型05利用向量方法證明線線垂直【典例5】（25-26高二上·四川南充·期中）如圖，在四棱錐中，底面，，，，M為棱的中點(diǎn)．用向量方法證明：(1)；(2)平面．利用空間向量證明兩直線垂直的方法建立空間直角坐標(biāo)系，將兩直線的方向向量用坐標(biāo)表示，再證明其數(shù)量積為0.【變式5】（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）正方體的棱長為2，且分別為線段與線段的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)證明：；(3)用空間向量法證明：直線與直線為一組異面直線．題型06利用向量方法證明線面垂直【典例6】如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，是的中點(diǎn)，．求證：平面；利用空間向量證明直線與平面垂直的方法方法一1．建立空間直角坐標(biāo)系；2．將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；3．找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；4．分別計(jì)算直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二1．建立空間直角坐標(biāo)系；2．將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；3．求出平面的法向量；4．證明直線的方向向量與平面的法向量平行．方法三利用基向量法證明直線與平面內(nèi)兩相交直線垂直.【變式6-1】如圖，在棱長為1的正方體中，是正方形的中心.(1)求繞棱所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；(2)求證：平面.【變式6-2】（安徽省皖南八校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示實(shí)驗(yàn)裝置，由矩形ABCD和ABEF構(gòu)成，且，，.活動(dòng)點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上移動(dòng)，且.記，，，且，.(1)用向量，，表示，.(2)為何值時(shí)，最小，最小值是多少？(3)當(dāng)時(shí)，證明：平面ABCD.題型07利用向量方法證明面面垂直【典例7】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．證明：(1)平面；(2)平面平面．1．利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€(gè)途徑，一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直．2．利用法向量證明面面垂直思路比較簡單，但往往運(yùn)算量大；而利用面面垂直的判定定理證明則運(yùn)算量較小，但思維難度比較大，這兩種策略同學(xué)們要靈活選擇．【變式7】如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，分別為、、的中點(diǎn).求證：

(1)平面平面；(2)平面平面.題型08空間向量中的平行、垂直動(dòng)點(diǎn)問題【典例8】（25-26高二上·遼寧大連·期中）如圖1，在邊長為2的菱形中，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.(1)求多面體的體積；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.利用向量解決線面位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)型問題時(shí)，一般先合理設(shè)出參數(shù)，用參數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用位置關(guān)系，結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算得到參數(shù)的方程，轉(zhuǎn)化為方程問題求解.【變式8-1】在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中.問題：如圖，在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，__________，試問是否存在點(diǎn)滿足？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【變式8-2】已知矩形ABCD，，，為CD中點(diǎn)，沿AE折成直二面角，為BC為中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在棱DE上是否存在點(diǎn)N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.一、單選題1．（25-26高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知平面的法向量，直線的方向向量，則與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．直線在平面內(nèi) D．相交但不垂直2．（25-26高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則的值為（

）A． B．或 C． D．3．（25-26高二上·遼寧·期中）若直線∥平面α，且l的方向向量為，平面α的法向量為，則為（

）A．4 B．1 C． D．4．（25-26高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩條不同直線的方向向量分別為，則這兩條直線（

）A．相交或異面 B．相交 C．異面 D．平行5．（25-26高二上·安徽·階段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量為，若直線平面，則直線的一個(gè)方向向量可以是（

）A． B． C． D．6．（25-26高二上·廣東揭陽·階段練習(xí)）若平面的法向量為，平面的法向量為，直線l的方向向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（25-26高二上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）在棱長為的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若，則點(diǎn)P的軌跡的長度為（）A． B．2 C． D．38．（23-24高二上·河北石家莊·月考）如圖，在棱長為1的正方體中，，若平面，則線段的長度的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題9．（25-26高二上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知、分別為直線、的方向向量（不重合），分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．10．（25-26高二上·浙江·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．平面C．平面 D．平面11．（2025·陜西西安·三模）如圖，在多面體中，四邊形是矩形，，平