32/47專題4.2直線與圓錐曲線的綜合問題教學(xué)目標(biāo)1.學(xué)會解決直線與圓錐曲線的綜合問題.2.掌握坐標(biāo)法解決直線與圓錐曲線相交的問題.教學(xué)重難點1.重點:四大常見題型：定點、定值、最值及范圍問題.2.難點：利用設(shè)而不求思想解決直線與圓錐曲線相交的問題.知識點01點差法以橢圓為例：直線與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，與弦AB中點有關(guān)的問題稱為中點弦問題，這類問題的解決常用到“點差法”，其方法是：將A，B兩點的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),b2)＝1，①eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝1，②①—②，得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝0，即eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0③設(shè)M(x0，y0)為AB的中點，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，④,y0＝\f(y1＋y2,2)，⑤))同時有直線AB的斜率kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1).⑥將④⑤⑥代入③得kAB＝.直線與雙曲線、直線與拋物線的中點弦問題同樣用“點差法”，同學(xué)們自己推導(dǎo)．【即學(xué)即練】1．（24-25高二下·陜西西安·期末）直線被拋物線截得的線段的中點坐標(biāo)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】聯(lián)立，則，設(shè)直線與拋物線交點，則，故，所以線段的中點坐標(biāo)是.故選：B.2．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）若雙曲線的弦被點平分，則此弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)弦端點，，由，在雙曲線上，則，兩式做差可得，即，又弦被點平分，則，代入上式可得，則，即直線方程為，化簡可得，故選：D.知識點02圓錐曲線中的熱點題型1.定點問題：是指直線系或者曲線系中，直線系或者曲線系不受參數(shù)變化影響的直線系上或者曲線系上的點.2.定值問題：是指不受參數(shù)變化影響的量，如線段的長度、向量的數(shù)量積、直線的斜率等.3.范圍問題：是指符合一定條件的參數(shù)、點的坐標(biāo)、線段長度、直線斜率、向量的數(shù)量積等，隨著其中某個量的變化而變化的范圍.4.最值問題：是指某個量在變化過程中的一個極端情況，即在某個情況下這個量比在其他情況下的值都大（小）.【即學(xué)即練】1．已知斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，由，得，則，所以，當(dāng)時取到最大值，此時直線的方程為．故選：B．2．拋物線上兩個不同的點，，滿足，則直線一定過定點，此定點坐標(biāo)為．【答案】.【詳解】設(shè)直線的方程為代入拋物線，消去得,設(shè)，，則，，∴，∴（舍去）或,故直線過定點．3．（24-25高二上·上?！て谥校┤鬗，N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，P是該雙曲線上任意一點．當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時，記為，，則．【答案】【詳解】由題意設(shè)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時，記為，，則.題型01中點弦問題【典例1】P(1,1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)一定點，經(jīng)過P引一弦，使此弦在P點被平分，求此弦所在的直線方程．【詳解】解法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y－1＝k(x－1)，弦的兩端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，得k＝－eq\f(1,2).故弦所在直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.解法二：由于此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，且設(shè)弦的兩端點坐標(biāo)為(x1，y1)、(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，兩式相減得＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋(y1－y2)＝0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).∴此弦所在直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.破解中點弦問題的兩大策略(1)根與系數(shù)關(guān)系法：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點坐標(biāo)公式建立等式求解(2)點差法：設(shè)直線與曲線交于A、B兩點，將A、B兩點的坐標(biāo)代入曲線方程，得到兩個方程，將這兩個方程作差即可得到直線AB的斜率與線段AB的中點間的關(guān)系，這種方法稱為點差法．【變式1-1】（24-25高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知曲線，直線與曲線交于兩點，且點是線段的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，因為，兩點在曲線上，所以有：用式減去式可得：因為點是線段的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式：可得：,即，.代入可得：化簡得：，可得：而就是直線的斜率，所以直線的斜率為.故選：B.【變式1-2】（24-25高三下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于、兩點，直線是線段的垂直平分線，且與的交點為，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】CD【詳解】如圖由題意，斜率存在且為，所以，聯(lián)立得：，由韋達定理得，所以，代入得，代入得，則，又因為，則，.由以上可得CD均正確；對于A選項，代入，可得，故A錯誤；對于B選項，不符合與的關(guān)系，故B錯誤；故選：CD.【變式1-3】．（23-24高二上·廣東中山·期中）對稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過點，，斜率為的直線過點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線有兩個交點，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點，且點P恰好為AB中點？為什么？【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入，，得，解得，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）如圖：

設(shè)直線方程：，聯(lián)立得，直線與雙曲線有兩個交點，所以或或.（或：且）.（3）設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為，由（2）可得，若P為AB中點，則，此時，所以不存在實數(shù)，使得直線與雙曲線交于A，B兩點，且點P恰好為AB中點.題型02定點問題【典例2】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為F1、F2，點，點F2在線段PF1的中垂線上。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點，直線與F2N的傾斜角分別為，試問直線l是否過定點？若過，求該定點的坐標(biāo)。【分析】（1）待定系數(shù)；（2）由已知，使用韋達定理，然后確定雙參數(shù)直線系方程中的系數(shù)之間的關(guān)系?！驹斀狻浚?）由橢圓C的離心率，得橢圓C的左、右焦點分別為，又點F2在線段PF1的中垂線上（2）由題意直線MN的方程為由設(shè)則由已知即化簡，得…直線MN的方程為，因此直線MN過定點，該定點的坐標(biāo)為（2，0）求解圓錐曲線中的定點問題的兩種方法(1)特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點，再證明定點與變量無關(guān)．(2)直接推理法：①選擇一個參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常量，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據(jù)直線過定點時與參數(shù)沒有關(guān)系(即直線系方程對任意參數(shù)都成立)，得到方程組③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點就是直線所過的定點，若定點具備一定的限制條件，可以特殊解決．【變式2】（24-25高三上·江蘇·期末）已知點，分別為雙曲線E：的左、右焦點，點到雙曲線E的漸近線的距離為，點A為雙曲線E的右頂點，且．(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若四邊形為矩形，其中點B，D在雙曲線E上，求證：直線過定點．【詳解】（1）設(shè)焦距為2c，則，故點到雙曲線E的漸近線的距離為．由，知，得．又因為，所以，解得．所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，由，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時，則在雙曲線，可得,所以，當(dāng)時，則在雙曲線，可得,所以不合題意舍，可得直線的方程為，②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，當(dāng)時，，，因為四邊形為矩形，所以，所以，所以，所以所以，所以，所以或，當(dāng)時，直線的方程為，恒過定點，不合題意，舍去．當(dāng)時，直線的方程為，恒過定點．綜上①②，直線恒過定點．題型03定值問題【典例3】橢圓有兩頂點A(-1，0)、B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q。（1）當(dāng)|CD|=時，求直線l的方程；（2）當(dāng)點P異于A、B兩點時，求證：為定值?！痉治觥浚?）以直線的斜率為參數(shù)建立弦長的表達式，得出方程求出直線的斜率即可；（2）根據(jù)題意，直線的斜率存在，此時直線方程和橢圓方程聯(lián)立消掉，根據(jù)韋達定理可得點的坐標(biāo)的整體關(guān)系式，然后以點的坐標(biāo)寫出直線的方程，解方程組以得到以的坐標(biāo)表達的點的橫坐標(biāo)（因為點在軸上，數(shù)量積與點的縱坐標(biāo)無關(guān)），根據(jù)韋達定理把點的橫坐標(biāo)使用參數(shù)表達即可?！驹斀狻浚?）因橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，所以，則橢圓方程為．直線垂直于x軸時與題意不符．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，．由已知得，解得，所以直線的方程為或．（2）直線垂直于x軸時與題意不符．設(shè)直線的方程為（且），所以P點的坐標(biāo)為．設(shè)，，由（Ⅰ）知，，直線AC的方程為：，直線BD的方程為：，方法一：聯(lián)立方程設(shè)，解得，不妨設(shè)，則因此Q點的坐標(biāo)為，又，∴．故為定值．方法二：聯(lián)立方程消去y得，因為，所以與異號．又，∴與異號，與同號，∴，解得．因此Q點的坐標(biāo)為，又，∴．故為定值．定值問題破解策略定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個值，就是要求的定值．化解這類問題難點的關(guān)鍵就是引進變得的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系、點的坐標(biāo)等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.【變式3】（25-26高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）過坐標(biāo)原點作圓的兩條切線，切點為，，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.(1)求的方程；(2)將拋物線向左移4個單位長度得到新拋物線，拋物線交軸于，兩點，，為拋物線上不重合的兩點，交于點.若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求證：的面積恒為定值.【詳解】（1）設(shè)直線與軸交于，由幾何性質(zhì)得因為直線為拋物線的準(zhǔn)線，直線為圓的切線，所以，在與中，為公共角，所以，，即，即，解得：故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為;（2）解法一：依題意：，則，設(shè)，則，因為直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以，又，在拋物線上，，兩式作差得，化簡得，因為，所以，化簡可得，即，聯(lián)立，得：，將代入得，為定值.故.解法二：向左平移4個單位后，新拋物線為，則與軸的交點為，因為直線經(jīng)過原點，所以設(shè)其方程為，設(shè)直線方程為，設(shè)直線方程為，點和是直線與拋物線的交點，代入中得：，設(shè)該方程的兩根為和，根據(jù)韋達定理：①點在直線上，滿足：②點在直線上，滿足：③聯(lián)立方程：由②和③得：，利用①中的韋達定理結(jié)果：，所以，即點的橫坐標(biāo)恒為，故.題型04范圍問題【典例4】如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，它的一個頂點為，且離心率等于，過點的直線與橢圓相交于不同兩點，點在線段上。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，試求的取值范圍?！痉治觥浚?）待定系數(shù)即可；（2）分直線的斜率存在與不存在，當(dāng)直線的斜率存在時，以斜率為參數(shù)建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用把點的坐標(biāo)用參數(shù)表示，再用點的坐標(biāo)表示，根據(jù)點的坐標(biāo)的范圍求解的范圍?！驹斀狻浚?）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。由于橢圓的一個頂點是，故，根據(jù)離心率是得，，解得。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是。（2）設(shè)。①若直線與軸重合，則，解得，得；若直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得，根據(jù)韋達定理得，。由，得，整理得，把上面的等式代入得，又點在直線上，所以，于是有。，由，得，所以。綜上所述.圓錐曲線中的范圍問題的求解常用的三種方法(1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)范圍．(3)判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數(shù)的范圍．【變式4】（24-25高二下·貴州銅仁·期末）已知拋物線過點，焦點為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點且斜率為1的直線交拋物線于A、兩點，若在以為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因為點在拋物線上，所以，解得，所以拋物線的方程為．（2）易知拋物線的焦點為，且“點在以為直徑的圓內(nèi)”等價于“”．設(shè)，，則，記為①由題意，過點且斜率為1的直線方程為．于是有和，將其代入①式，得，記為②由聯(lián)立消去，整理得．于是有，即且，記為③再將③代入②，整理得．要成立，只要在上恒成立即可．解不等式得，符合題意．綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．題型05最值問題【典例5】已知橢圓：.（1）若點為橢圓上的任意一點，求證：直線為橢圓的切線；（2）若點P為直線上的任意一點，過P作橢圓的切線PM、ＰＮ，其中Ｍ、N為切點，試求橢圓的右焦點F到直線MN的距離的最大值.【分析】（1）直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消掉一個變量后根據(jù)得到的一元二次方程的判別式等于零進行證明；（2）關(guān)鍵是確定直線的方程，由于過切點的切線方程為，這兩條直線都過直線的點，即，這說明直線過點，兩點確定唯一的一條直線，即直線的方程方程是，下面只要根據(jù)點到直線的距離公式建立函數(shù)關(guān)系即可。【詳解】（1)由題意，，即……①由，則代入①式，得，則，直線為橢圓的切線。(2)設(shè)，則，即設(shè)，則由(1)知，切線方程為且過，則，所在直線方程為，即設(shè)所求距離為，且，則當(dāng)時，1或者所在直線方程為，即過定點A(2,1)，又當(dāng)直線時，即所在直線方程為,點到直線的距離最大為1.圓錐曲線中的最值問題的求解常用的三種方法(1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)的單調(diào)性求得最值．(2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求最值．(3)判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求最值．【變式5】已知拋物線C：，點在拋物線上，點為拋物線的焦點，且，過點作直線交拋物線于，兩點.(1)求拋物線的方程；(2)求面積的最小值.【詳解】（1）點在拋物線上，點為拋物線的焦點，且，由拋物線的定義可得：，即，所以拋物線的方程為；（2）由已知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得：，則，設(shè)，，則，，設(shè)直線與軸的交點為，則，，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即面積的最小值為題型06向量問題【典例6】已知拋物線的焦點為，且拋物線經(jīng)過點，直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過定點，求面積的取值范圍；(3)若，求直線的方程．【詳解】（1）由題意拋物線C經(jīng)過點，代入方程可得.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）如圖：依題意，直線與拋物線有2個交點所以直線斜率不為0，設(shè)直線聯(lián)立，整理得．整理得：故的取值范圍是.（3）如圖：由題意得拋物線的焦點，又由，可知直線過焦點且斜率不為0于是可設(shè)直線的方程為：，設(shè)聯(lián)立方程組得于是由可知，，代入上式所以直線的方程或.圓錐曲線中的向量問題求解策略(1)建系轉(zhuǎn)化：設(shè)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，將點坐標(biāo)化，向量用坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.(2)利用性質(zhì)：結(jié)合圓錐曲線定義（如橢圓定義）、焦點弦等性質(zhì)，簡化向量關(guān)系。(3)韋達定理：聯(lián)立直線與曲線方程，用韋達定理處理向量數(shù)量積、共線等條件。(4)參數(shù)法：設(shè)參數(shù)（如橢圓參數(shù)方程），將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式求解。(5)幾何意義：借助向量幾何意義（如垂直、中點），結(jié)合圓錐曲線幾何性質(zhì)解題?！咀兪?】（24-25高二下·上海·期末）已知雙曲線，左、右頂點分別為，，過點的直線交雙曲線于，兩點．(1)若，為等腰三角形，且點在第一象限，求點的坐標(biāo)．(2)連接（為坐標(biāo)原點）并延長交于點，若，求的最大值．【詳解】（1）當(dāng)時，雙曲線，且．由點在第一象限，可知為鈍角．由為等腰三角形，得．設(shè)點，且，則，解得，即；（2）由雙曲線的方程知，且由題意知關(guān)于原點對稱．設(shè)，則．由直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，得，則，即，,由，得，得，所以整理得，則,再由，得，解得，所以，又，得，即的最大值為．題型07三點共線問題【典例7】已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，過點，其中一條漸近線的方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于、兩點.直線與直線交于點，證明：三點共線.【詳解】（1）由題意知且，所以，所以的方程為.（2）由題意知，，當(dāng)直線的斜率為時，：，此時三點共線顯然成立，當(dāng)直線的斜率不為時，設(shè)：，，，聯(lián)立可得，由題意得，，所以，，因為直線的方程為，令，得，所以，所以，因為，所以所以，故三點共線，綜上：三點共線.圓錐曲線中三點共線問題破解策略1.斜率法：算兩點斜率，若相等則共線；2.距離法：三點中，若兩點距離和等于第三段距離，共線；3.方程法：求兩點直線方程，代入第三點，滿足則共線；4.向量法：兩向量共線（成倍數(shù)），且共起點或終點，則三點共線.【變式7】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點、.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的最大值；（3）設(shè)，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.若、和點共線，求.【詳解】（1）由題意得，所以，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，由消去可得，則，即，設(shè)，，則，，則，易得當(dāng)時，，故的最大值為；（3）設(shè)，，，，則①，②，又，所以可設(shè)，直線的方程為，由消去可得，則，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因為三點共線，所以，將點的坐標(biāo)代入化簡可得，即．題型08角度轉(zhuǎn)化問題【典例8】設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，證明：.【詳解】（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點的坐標(biāo)為或.所以的方程為或.（2）分類＋常規(guī)聯(lián)立當(dāng)與軸重合時，.當(dāng)與軸垂直時，為的垂直平分線，所以.當(dāng)與軸不重合也不垂直時，設(shè)的方程為，，則，直線、的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故、的傾斜角互補，所以.綜上，.圓錐曲線中角度轉(zhuǎn)化問題破解策略1.斜率關(guān)聯(lián)：利用夾角公式，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩點斜率的等式（如夾角相等、垂直時斜率積為-1）；2.向量工具：用向量點積，將角度（如銳角、鈍角、直角）轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的正負(fù)或零；3.幾何轉(zhuǎn)化：借助等腰、對稱等性質(zhì)，將角度條件轉(zhuǎn)化為線段相等或中點、垂直關(guān)系；4.三角函數(shù)：引入?yún)?shù)（如傾斜角），用正切值關(guān)聯(lián)角度與坐標(biāo)，簡化計算.【變式8】在直角坐標(biāo)系中，已知為一個動點，且直線，的斜率之積為.(1)求的軌跡的方程；(2)若，經(jīng)過點的直線與交于點，求證：.【詳解】（1）設(shè)，因為，直線的斜率之積為.所以，化簡得，即的方程為.（2）由題知直線的斜率不為零，設(shè)的方程為，聯(lián)立與，得，顯然判別式，設(shè)，所以，設(shè)直線的斜率分別為，所以，即，即，所以.題型09圖形問題【典例9】已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線的焦距為，過點的直線與C交于A，B兩點，當(dāng)軸時，的面積為.(1)求C的方程；(2)證明：為鈍角三角形.【分析】（1）利用的面積求出點坐標(biāo)，將其代入方程中，結(jié)合焦距信息，解方程組即可；（2）設(shè)直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，分兩種情況討論，若交于兩支，求，若交于一支，依對稱性可知，只研究交與左支，數(shù)形結(jié)合證明為銳角來得出為鈍角.【詳解】（1）由題意可知，則，又，則，故，將點坐標(biāo)代入曲線的方程中得，又，解得（負(fù)值舍去），則C的方程為（2）由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，則，得且，若直線與雙曲線的兩支相交，則，則，則，則為鈍角；若直線與雙曲線的一支相交，由于雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線與雙曲線的左支相交，且在點上方，設(shè)，因，則，則為銳角，則為鈍角，綜上可知，始終為鈍角三角形.圓錐曲線中的圖形問題破解策略以圓錐曲線方程和點的坐標(biāo)為核心，先設(shè)關(guān)鍵點位坐標(biāo)（如交點、動點），代入曲線方程得關(guān)系式；再結(jié)合圖形條件（如線段垂直、中點、距離），用坐標(biāo)公式（斜率、中點、距離公式）轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程；最后聯(lián)立方程求解，驗證結(jié)果是否符合圖形幾何意義.【變式9】已知橢圓的左右焦點為，是橢圓上不同的三點，四邊形是邊長為的正方形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)在軸上是否存在一點，使得為等邊三角形？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）四邊形是邊長為的正方形，，由對稱性可知，為短軸端點．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）假設(shè)在軸上存在一點，滿足條件．由對稱性，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為代入橢圓方程中，整理得設(shè)線段中點為，則．線段的中垂線方程為為等邊三角形，在線段的中垂線上，令，得，即，,又，，解得．在軸上存在一點，使得為等邊三角形，且題型10探究性問題【典例10】已知雙曲線（，）過點，且漸近線方程為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)過點的直線與交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)及該常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)漸近線可得，即可代入點的坐標(biāo)即可求出雙曲線方程.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】（1）根據(jù)漸近線方程為，故，將代入可得，則，所以的方程為.（2）依題意，直線的斜率存在，設(shè)的方程為，由，消去得，顯然，且，得且，則，設(shè)存在符合條件的定點，則，因此要為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，此時該常數(shù)的值為56，所以在軸上存在點，使得為常數(shù)，該常數(shù)為56．圓錐曲線中探索性問題的常見解法=1\*GB2⑴假設(shè)存在法：先假設(shè)滿足條件的點、直線等存在，設(shè)其方程或坐標(biāo)，代入曲線方程推導(dǎo)，若有解則存在，無解則不存在.=2\*GB2⑵特殊值法：取特殊位置（如對稱軸、頂點）或特殊參數(shù)值，探索可能結(jié)論，再驗證一般情況.=3\*GB2⑶代數(shù)推導(dǎo)法：聯(lián)立方程，用韋達定理、判別式等，結(jié)合條件（如垂直、中點）列方程，分析解的情況判斷存在性.=4\*GB2⑷幾何直觀法：借助圓錐曲線幾何性質(zhì)（如對稱性、焦點特性），初步判斷是否存在，再代數(shù)驗證.【變式10】已知橢圓的左右焦點為，是橢圓上不同的三點，四邊形是邊長為的正方形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)在軸上是否存在一點，使得為等邊三角形？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）四邊形是邊長為的正方形，，由對稱性可知，為短軸端點．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）假設(shè)在軸上存在一點，滿足條件．由對稱性，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為代入橢圓方程中，整理得設(shè)線段中點為，則．線段的中垂線方程為為等邊三角形，在線段的中垂線上，令，得，即，,又，，解得．在軸上存在一點，使得為等邊三角形，且練基礎(chǔ)1．如圖，橢圓與過點的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率．(1)求橢圓方程；(2)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，M為線段的中點，求證：．【詳解】（1）過A、B的直線方程為由題意得有惟一解.即有惟一解，所以，（），故，又因為，所以，a2=4b2.從而得=2，，故所求的橢圓方程為（2）由(1)得，所以，從而由解得x1=x2=1，所以所以tan∠AF1T=，又因為為線段的中點，.，，得因此∠ATM=∠AF1T.2．（24-25高二下·廣西梧州·期中）已知拋物線的焦點為，點在直線上，過焦點作一條直線交于兩點.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求證：直線與的交點在一條定直線上.【詳解】（1）的焦點在軸上，為，直線與軸的交點坐標(biāo)為，則，即所以拋物線為（2）令，，，不妨設(shè)，設(shè)的方程為，，聯(lián)立與，得到，，由，則直線，直線，兩直線方程相減得到：，因為，于是，即，即，即，于是，解得，即直線AP與BQ的交點在一條定直線上3．（2025·江西九江·三模）已知雙曲線的左、右頂點分別為，在上，．(1)求的方程；(2)過的直線交于另一點（異于），與軸交于點，直線與交于點，證明：直線過定點．【詳解】（1）∵在上，∴．①∵，∴，∴，②由①②解得，故的方程為．（2）解法一：設(shè)直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立得．聯(lián)立消去，整理得，∴，即．∴直線的斜率為，∴直線的方程為．令，得，即．∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即．由解得，故直線過定點．解法二：同法一，得，設(shè)直線過定點，則．又∵，∴，整理得．由解得．故直線過定點．4．（2025·海南?？凇つM預(yù)測）設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積為3．(1)求點M的軌跡方程C；(2)若直線l與C交于P，Q兩點，且（點O為坐標(biāo)原點），求的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)點，，則，，所以，化簡得，所以點M的軌跡方程為．（2）當(dāng)直線l斜率不存在時，可設(shè)，．則，，將其代入雙曲線方程得，又，解得，此時，當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)，，聯(lián)立，.由韋達定理：，.則，化簡得，此時，所以，當(dāng)時，此時，當(dāng)時，此時，，，故，因此，綜上可得．練提升5．已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．【詳解】(1)設(shè)直線，，，．∴由得，∴，．∴直線的斜率，即．即直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）四邊形能為平行四邊形．∵直線過點，∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是，由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．∴由得，即將點的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即∴．解得，．∵，，，∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形．6.（25-26高三上·內(nèi)蒙古·開學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的一個焦點為，點在C上.(1)求C的方程；(2)已知點，，B為線段PQ上一點，且直線AB交C于D，E兩點，證明：.【詳解】（1）由雙曲線的一個焦點為，得，由點在雙曲線上，得，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，則直線AB方程為，由，消去得，由直線AB交C于D，E兩點，得，解得，且，且，，當(dāng)時，在A的異側(cè)，在B的同側(cè)；當(dāng)時，在A的同側(cè)，在B的異側(cè)，則總有，，所以.7．（2025·山東臨沂·三模）已知為拋物線的焦點.(1)求拋物線的方程；(2)若過的直線與交于，兩點，試探究：在軸上是否存在一點，使得，若存在，求出點坐標(biāo)，若不存在，說明理由；(3)若，拋物線上兩點，滿足，且，求的最大值.【詳解】（1）因為為拋物線的焦點，故，故，故.（2）設(shè)，設(shè)，則，化簡得.設(shè)直線的方程為，則由可得，故，故，由的任意性可得.故存在，使得.（3）設(shè)，則，同理，，因為，故，故，故，設(shè)直線，由得，故，，故.而，故，故，當(dāng)直線過時，，過時，，故，設(shè)到直線的距離為，則設(shè)，則且，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故的最大值為.8．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的焦點與短軸兩個頂點所成三角形的面積為，離心率為(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A(4，0)，B(0，2)，點P是橢圓上且在第三象限內(nèi)的一點.（Ⅰ）當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，求點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）記直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求四邊形ABNM面積的最大值.【詳解】（1）已知橢圓的焦點與短軸兩個頂點所成三角形的面積為，，離心率為，，又，解得，，橢圓的方程為.（2）（Ⅰ）設(shè)直線的直線方程為：，代入，得到，解得，直線的直線方程為，點是橢圓上且在第三象限內(nèi)的一點，過作直線且與橢圓相切，切點為，此時的面積取最大值.設(shè)過的直線的方程為，直線與橢圓聯(lián)立方程組，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與橢圓相切，，，，是第三象限的點，，此時的解為，代入直線方程為，得到，.（Ⅱ）設(shè)，是第三象限的點，，將代入橢圓中得到，整理得.，，，直線的方程為，令，解得，.，，，直線的方程為，令，解得，.，，設(shè)四邊形面積為，，設(shè)，，，，設(shè)，，，，當(dāng)時，，即時，也即，時，四邊形的面積的最大值為.

練創(chuàng)新9．（2025·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，一個動點到定點的距離比它到軸的距離大1，設(shè)動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線過定點，其斜率為．當(dāng)分別為何值時，直線與曲線：只有一個公共點；有兩個公共點；有三個公