2025—2026學年度高二上學期月考

數(shù)學A試卷

時間：120分鐘分值：150分

考試范圍：選擇性必修一第一章，第二章第二節(jié)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知點A?！?)關(guān)于點(L的對稱點為(一2，一3),則點打?")到直線)，=工+1的距離是()

A.4B.20C.2D.72

【答案】B

【解析】

【分析】由中點坐標公式求出乂)，再由點到直線距離公式計算距離.

x—2=2x-4

【詳解】???點A(x,5)關(guān)于點(1,)，)的對稱點為(―2,—3),???、丁-,解得《，，即P(4,l),

5-3=2y[y=1

直線y=x+\方程的一般式為x-y+\=O.

???所求距離為〃=

故選：B.

【點睛】本題考查點的對稱性，考查點到平面的距離.掌握中點坐標公式是解題基礎.

2.已知向量匕=(1,1,0),/?=(-1,0,2),且履+人與24—人互相垂直，則攵=()

71

A-iB.2C.-D.--

【答案】C

【解析】

【分析】由向量線性關(guān)系的坐標運算及垂直的坐標表示列方程求參數(shù)即可.

【詳解】由題設1￡+加=左(1,1,0)+(—1,0,2)=(左一1,乂2),2^-^=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

又妨+〃與2?！ɑハ啻怪?，則3(攵-1)+2左一4=0,解得出二1

故選：c

3.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，已

知四棱錐/一ASCD是陽馬，尸4_1_平面A3CQ,且PE=、PC,若一24。一"A"--，貝U臺七二

4

31-35.1-5-

A.——a+—b+—CB.——a——b+—c

444444

5-15n3113

C.—a+—bf—cD.—a——b--c

444444

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運算，利用空間向量基本定理即可求解.

）=*AP+A8+

【詳解】由有==4+a-C；）,

444

______1Q1O

所以3E=AE-A3=AP+PE-A3=c+-（4+Z?-c）-Q=-=a+-b+=c,

4、）444

故選:A.

4.已知直線4:（2a+l）x+〃y+l=0,l2:（6f+2）x4-^v+2=0,則“a=1”是“/1〃夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解^5]

【分析】先求兩直線平行時。的取值，再判斷。=1和。=0時兩直線是否平行，從而確定條件類型.

【詳解】直線4，4平行或重合的充要條件是(2"+l)a=(〃+2)a,所以。=0或a=l.

將〃=1代入直線4，4的方程，得乙：3元+y+l=0,/2:3x+y+2=0,易知4〃公

將〃=0代入直線乙，4的方程，得4：1十1=0,/2：2X+2=0,直線人重合，故。=0舍去.

綜上所述，“a=l”是“4〃勿'的充要條件.

故選：C.

5.在直三棱柱4BC-AMG中，AB^BC,BB、=6AB=6BC,M,N分別是用。口AM的中

點，則直線8M與直線CN所成角的余弦值（）

A.亞B.邁C,D.拽

1313515

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，設8C=a（a>0）,利用異面直線所成角的向量法求解即可.

【詳解】因為直三棱柱ABC—ASa，所以JL底面ABC,

又BA,8Cu底面ABC,所以8耳_L8A,1BC

又因為A8J_8C,所以氏4,8C,84兩兩垂直，

以B4BC,BB1為此乂z軸建立如圖所示坐標系，

入

、1■

'}:

￡\

**、

/、'、\

,尸'、、:、、

——

*y

/

%甸,咆,0,缶）

設8C=a（a>0）,則8（0,0,0）,C（0,?,0）,M0,；

\

所以BM=（o￡,伍），CN=（］,—a,低）

設直線BM與直線CN所成角為0,

3,

BM?CN-Q-2屈

則cos夕=cos（BM,CN）=--------=2_=

\八BMCN3小13，

一ax----a

22

所以直線BM與直線CN所成角的余弦值為名叵.

13

故選：B

6.如圖所示，甲站在水庫底面。上的點A處，乙站在水壩斜面夕上的點8處，從A,B到直線/(庫底與

水壩的交線)的距離AC和8。分別為6米和8米，CO的長為21米，A8的長為23米，則水庫底面與

11_

C.—D.

212

【答案】A

【解析】

【分析】方法1：利用向最的加法法則和向量數(shù)最積的運算律列出等式，進而根據(jù)向?qū)彅?shù)展積的定義求出

二面角的余弦值；方法2：利用幾何法，作輔助線，確定NACE是二面角。一/一尸的平面角，然后根據(jù)

余弦定理求出二面角的余弦值.

【詳解】方法1：

根據(jù)向量的加法法則，AB=AC+CD+DB^

則|A8|2=(AC+CQ+O8).(AC+CQ+OB)=|ACI2+ICD|2+|DB|2+

2(ACCD+ACDB+CDDB)=62+212+82+2ACDB,

所以232=62+212+82—2C4?D8.

設向量CA與OB的夾角為e,

則〃就是水庫底面與水壩斜面所成的二面角的平面角，因此2X6X8cos。=62+212+82-232?

「二卜］6"+21"+8?—23~1MTFX十一占Zftiv7A日狂邛1

所以cos〃n=-----------------------二一，故所求—面角的余弦值為二.

2x6x888

故選：A.

方法2：

在平面夕內(nèi)過C作的平行線CE,且使得CE=8O,連接

因為AO_L/,所以CE_L/,所以四邊形CEB。是矩形，且NACE是二面角。一/一方的平面角.

因為OLC4.CDICE,口C4QCE=C,C4.平而。月,所以CQI平面C4/?.

義歸為CD//BE,所以8E_L平面C4K,因為AEu平面C4E，所以砥JLA￡.

在直角入ABE中，可得=\/AB2-CD2=5232—2『二2后.

「八2.「尸2_Aplz.2.o2_ooi

在cCEA中，由余弦定理可知cos/ACE=E■上三一—=^———=-,所以所求二面角的余

2CAxCE2x6x88

弦值為！.

O

7.已知直線4：)，=X和，2：工一2)：+1=0的交點為尸，則點P到直線)，二去+1的距離的取值范圍是

()

A.(0,1)B.(0,1]

C.[0,1)D.0,—(J—,1

_L)127

【答案】C

【解析】

【分析】聯(lián)立直線方程求得點”的坐標，對〃的取值分情況討論，并結(jié)合點到直線的距離公式，進而求得點

p到直線y=kx+\的距離的取值范圍.

y=x

【詳解】聯(lián)立〈；,八，解得X=l,y=l,即點/＞的坐標為(1,1),

x-2y+l=0

|lxyl+lx(-l)+l|

點P(U)到直線/：h：_y+l=0的距離d=

田+(-1『

當2=0時，4=0,

恒有-V+l〉l,于是0<dvl,

k-

綜上，點P到直線/的距離的取值范圍是[0,1).

故選：C.

8.如圖，在三棱錐O-A3C中，二面角O-AB-C的大小為氏40與底面ABC所成角為4,A。與3c

所戌角為名，則仇配名的大小關(guān)系為（）

A.0,<0B.0x>0C.02>OD.02<0

【答案】A

【解析】

【分析】作輔助線，找出二面角、線面角、線線角，再利用三角函數(shù)判斷仇如名的大小關(guān)系.

【詳解】如圖14,過點。作OD_L平面A8C于點。，過。作于點E,連接0E,

則NOED就是二面角O—A3—C的平面角，即NQED=。；

NOAO就是AO與底面ABC所成角，即NOAO=q：

過A作A9〃8C,使A9交4c于點4,則/。4夕就是A0與3c所成角，即N045'=%；

因為。DWOE,在中，sin^,=—,

0A

在心△OE￡>中，sin6>=—,

OE

所以sin〃Wsin。,，又因為0<4,0<],所以用工。

%是A。與8c所成的角，根據(jù)最小角定理，<02

TC

線線角％是異面直線A。與3c所成的角（范圍0,-）,需通過投影和向量分析，

設40在底面的投影為AOf,則％等于AO'與8C所成的角，

07）.__________

二面角。的余弦為COSOM3萬（0'。為。'到AB的距離，0口=飛0妙+00。）。

當BC7/A3時，02=0}<0（由此時名4。；當BCJ_A3時，02>0,

因此冬與。的大小關(guān)系不確定?

o

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知直線4:(6+1)犬+)，+2〃1-3=0,4：2%+沖+〃?-2=0,則下列說法正確的是()

A./)〃12的充要條件為機=1或加=一2

2

R.若4JL1?則m=—

23

C.若直線4不經(jīng)過第四象限，則加W—1

D.若〃7=2,則將直線/?繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)再向右平移一個單位長度，所得直線方程為

y=x-l

【答案】BCD

【脩析】

【分析】利用兩直線平行的結(jié)論結(jié)合充要條件的定義可判斷A；.根據(jù)兩直線垂直的結(jié)論可判斷B；由直線

方程，求得斜率與截距，建立不等式組，求解即可判斷；先得到逆時針旋轉(zhuǎn)后的直線方程，再杈據(jù)左右平移

求出平移后的直線方程，即可判斷D.

【詳解】對于A,顯然直線乙的斜率存在，若《〃心則〃?(m+1)-2=0,解得〃2=1或m=一2,

經(jīng)檢驗m=1時，這兩條直線重合，所以〃2=-2,故4〃4充要條件不是“加=1或〃?=一2”.故A不

正確：

2

對干B,若匕工【2,則2(m+1)+團=0,解得〃?二一一.故B正確；

對于C,若直線/］：)=—(加+1)尢+3—2〃?不經(jīng)過第四象限，則〈\7,解得〃ZW-1.故C正

3-2m>0

確;

對于D,若〃z=2,則直線4：y=-x，將其繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn);，得到直線'=X，再向右

平移一個單位長度，所得直線方程為y=x-l,故D正確.

故選：BCD

10.在空間直角坐標系中，。為坐標原點，且A(l,0,2),^(-1,1,1),C(3』,2),則下列結(jié)論正確的是

()

A.AB的中點坐標為(0J2)B.(AB+AC\BC=-\

C.ABLACD.若。P=LOA+,OB+，OC,則尸,4,8，。四

236

點共面

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,由空間中點坐標公式可判斷選項正誤；對于B,由空間向量坐標運算，數(shù)量積運算公式可

1—I1

判斷選項正誤；對于C,驗證是否等于0,可判斷選項正誤；對于D,由。。=一。4+-。8+7。。

236

可得PC=—3PA—2P8,據(jù)此可判斷選項正誤.

【詳解】因為A（l,0,2）,C（3,l,2）,所以4?二（一2,1,-1）,AC=（2,1,0）,

BC=（4,0,1）.

（1-10+12+1

對于A,AB的中點坐標為故A錯誤;

對于B,A8+4C=（O,2,—l）,M（AB+AC）-^C=0x4+2x0+（-l）xl=-l.故B正確;

對于C,/4BAC=（-2）x2+lxl+（-l）x0=-3,所以AS，AC不垂直.故C錯誤；

—1—I—1—

對于D，因為+所以6OP=3OA+2OB+OC，

236

所以30A-3OP+2OB—2OP+OC-OP=0，

所以3/M+2P4+PC=0，BPPC=-3PA-2PB^

所以PC，尸A，P8共面，所以RABC四點共面，故D正確.

故選：BD

11.如圖，在正方體A8CO—44G。中，E,凡M分別為棱A1A,BC,G。的中點，則下列結(jié)論正確

的是()

A.平面EFM截該正方體所得的截面為正三角形

B.平面平面43G

C.直線ME與8G所成的角為四

6

D.平面EFM與平面4BCO的夾角的余弦值為正

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】分別取AB,AA，CC的中點為P,G,N,連接各中點，求出平面EFM截該正方體所得的

截面為正六邊形MG￡7小N判斷A；利用面面平行的判定定理證明判斷B：建立空間直角坐標系，利用空

問向顯法來求線線角和面面夾角，即可判斷CD.

【詳解】對于A,分別取A8,AR,CC的中點為P,G,N,連接各中點，如下圖所示：

易知EG//FN,GMIPF,EP\\MN,

即可知M，G，E,P,F,N在同一平面內(nèi)，

所以平面EFM截該正方體所得截面即為六邊形MGEPFN,即A錯誤;

對于B,因為點例，G分別為GA，2A的中點，所以MG*AG，

又MGa平面A8G，AGu平面A8G，所以MG//平面A^G，

因為點M，N分別為GA，CG的中點，所以MN//QC,

又D。N,所以MN//A&,MN<Z平面A^G，平面4出6，

所以MN//平面A^G，

又MN，MG=M,MNu平面MGEPFN,MGu平面MGEPFN,

所以平面ABCJ/平面MGEPKV,即平面EFM//平面ABC，故B正確;

對干C,建立以。為原點的空間直角坐標系。-xyz,如圖所示:

不妨取正方體A〃C'O-AqGN的棱長為2,

則M(0J2),尸(1,2Q),E(2,0,l),5(220),C,(0,2,2),

所以8G=(—2,0,2),ME=(2.—1,—1),

—BC、M—E因=&,

所以直線ME與8G所成角的余弦值為cosBC1,ME=

BC\,ME2>/2xx/62'

所以直線ME與3G所成的角為巳，故C正確；

6

對于D,由選項C可知,ME=(2,-1,-1),MF=(l,l,-2),

設平面EFM的■個法向量為”=(x,y,z),

InME=2x-y-z=0

則:，取z=l,則x=l,y=i,

[n-MF=x+y-2z=0

所以平面EFM的一個法向量為方=(1,1,1),

易知平面ABCD的?個法向量為加=(0,0,1),設平面EFM與平面4BC。的夾角為。，

??\m-n\1百

則cosa=cosnin\=14=—/==——，

y同nMl也3

即平面E6W與平面人5CO的夾角的余弦值為正，故D正確.

3

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量〃=c=(l,-2,-l),當〃J_〃時，向量方在向量c上的投影的數(shù)量為

【答案】-瓜

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義即可求.

【詳解】向量量a=(2,-1,1),〃=(l,x,l),a-Lb^

所以〃m=2-工+1=0,解得x=3,所以〃=(1,3/)，c=(l,-2,-l),

be1-6-1

所以向量〃在向量c上的投影的數(shù)量為方cos-~r~r-I-=一瓜.

苗Jl+4+1

故答案為：-娓.

13.直線/經(jīng)過原點，且經(jīng)過兩條直線2x+3y+8=0,x—)，—1=0的交點，則直線/的方程為

【答案】2x-y=0

【解析】

【分析】思路一：求出交點坐標得直線斜率即可求解；思路二：設所求直線/的方程為

2x+3y+8+2(x-y-1)=0,2eR,將原點坐標代入求得4的值即可.

2x+3y+8=0x=-\

【詳解】方法1：聯(lián)立《解得,所以兩直線的交點為(-1,一2),

x-y-1=0["一2

-2-0

所以直線/的斜率為------=2,則直線/的方程為2x-y=0；

—1—0

方法2：設所求直線/的方程為2A+3>+8+2(A->-l)=0,2eR,

因為直線/經(jīng)過原點，所以2xO+3xO+8+2(O-O-l)=。，解得2=8：

所以直線/的方程為2x—y=0.

故答案為：2x-y=0.

14.如圖，己知A8C-A山Ci是側(cè)棱長和底面邊長均等于〃的直三棱柱，。是側(cè)棱CG的中點，則點C到平

面A3。的距離為

【答案】旦林叵

44

【解析】

【分析】可用等體積法求點到平面的距離，或直接建立空間直角坐標系，用向量法求點到平面的距離.

【詳解】由題可知：陰，平面ABC,CG，平面ABC,所以叫J.AB,CG_LBC,CG

所以AB,=+AB2=,AD-y/AC2+CD2-卜+[〃，BD=小暗+CD?=.*

所以cosNAO4=陋=±所以47/4。耳=」一8$2/4。==乎.

.[72

所以sABD=工ADB1QsinNADBi=乂」匚.

，A*D2?4

直三棱柱43C-A4G的底面邊長均等于。，所以二A8c是正三角形，取8C的中點E，連段AE,則

CGJ_A￡BC_LA邑且4￡二對小

2

因為CC、cBC=C,CC1,BCu平面BQD，所以AEJ_平面B}CD

qQ

_18CC用_一了￡.

因為％=匕-?1c。，所以4VM。=§sBCbXAE,

a2G

—x——aFj

所以=

4

故答案為：也〃.

4

方法二：如圖所示,

直三棱柱ABC-AgG的底面邊長均等于內(nèi)所以《ABC是正三角形，取3c的中點E，連接A石，則

8C_LAE,且AE=—a

2

因為側(cè)面3CCM是矩形，取8c的中點凡連接石尸,則EF||CC-

因為側(cè)棱CG，平面ABC,所以耳'_L平面ABC,所以E￡E4,EC兩兩垂直，所以分別以EC,E4,EF

所在直線為x，）'，z軸建立空間直角坐標系.

a八八八A(\A\A八75a?a

據(jù)題意可知，^（0,0,0）,C,0,0)0—,0,—J,A0,2,0J,8o[(_耳,0,〃

522

a瓜\[3aa

則的=、a1,AD=—,

2三'

2*275

設平面AB\D的一個法向量是n=（x,y,z）

a

——xy+az=0

n-AB.=02

所以《'，所以2

n-AD=0a6a

)，+]Z=0

2X~T

令K=1,則y=G,z=2,所以〃=(1,J5,2).

CD-n41a

因為CO=O'O'f，所以點C到平面A8Q的距離d

故答案為:

四、解答題：本題共5小題，共77分?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知直線4:x-2^+3=0,/2：2x+3y-8=0.

（1）求經(jīng)過點A（l,4）且與直線“垂直的直線方程；

（2）求經(jīng)過直線4與乙的交點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程.

【答案】（1）3x-2y+5=0

（2）y=2x或x—y+l=0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直線，2的斜率可設所求直線方程為），=|x+〃，代入點4L4）即可求解.；

（2）聯(lián)立直線（與乙的方程可得交點坐標，分截距為0和截距不為0兩種情況分別求解.

【小問1詳解】

oQ7

由直線/2：2%+3丁-8=0=>=一Q1+1可得斜率為一一，

33

3

所以根據(jù)垂直關(guān)系可設所求直線方程為y=~^h,

35

則依題意有4=-xl+A,解得匕二一，

22

35

所以所求直線方程為y=整理得3x-2y+5=0：

【小問2詳解】

fx-2y+3=0（x=\

聯(lián)立:c八，解得<一即直線4與/，的交點為（L2）,

2x+3），-8=0[j=2

當直線經(jīng)過原點時，滿足題意，設直線方程為了="，

代人(1,2)得&=2,此時y=2x；

當直線的截距都不為0時，設直線方程為二+上=1（。,〃W0）,

ab

a--b

依題意（12，解得。=—1力=1,此時直線方程為x—y+l=0,

[ab

綜上所述：所求直線方程為y=2x或x-），+l=0.

16.如圖所示，在圓錐P。中，是00的直徑，二抬8是正三角形，點C。在。。上，且

（1）證明：OC//平面力：

（2）設。為PC的中點，求直線AQ與平面尸8。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵亞

10

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓錐性質(zhì)特征可證明四邊形OCO3為平行四邊形，再由線面平行判定定理即可證明得出

結(jié)論；

（2）以。為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面夕8。的法向量，利用線面角的向量求法即可得出直

線4。與平面尸4。所成角的正弦值.

【小問1詳解】

因為CD〃A3,=AB是OO的直徑，

2

所以CD=03,且CDHOB,因此可知四邊形。CO8為平行四邊形，

可知CO//OB,又因為CO<Z平面P3D,DBu平面依。，

所以OC7/平面PBD；

【小問2詳解】

取C。的中點為E，連接。。，0E,

因為CD=、AB,OD=OC=-ABt因此為正二角形；

22

所以OELCD,即

由圓錐性質(zhì)易知PO_L平面43C,0E,08u平面A8C,

所以。P10EQP10B,因此OE,OB,OP三條直線兩兩垂直,

以。為坐標原點，分別以。瓦。8,OP所在直線為x,?z軸建立空間直角坐標系，如下圖所示:

取。8=1,可知A8=2,OP=0E=—

2

（01、[#4°

所以「（0,0,6）,8（0,1,0）,Q工~,/,0,A（0,—l,0）,C

22

貝可8一((),1,一百),BD”-停fl

設平面PBO的?個法向量為〃=(x,yz),

PBn=y-\[3z=0

則＜八.,令x=l,可得y=Jj,z=l,

BDn=—x——y=（）

22'

即應=(1,6,1卜

，B3

又，4Q二，設直線AQ與平面PB。所成的角為夕

=IWTI=F36

_3而

所以sing=cos（AQ,〃）

卜。同V5xJ7-io

因此直線AQ與平面P8O所成角的正弦值為嚕.

17.已知正方體ABC。-44GA的棱長為4,E,尸分別為AA，MG的中點，G在線段CQ上，且

CG=3GC,

（1）求證：6尸_1_面石8月；

（2）求平面E8F與平面E8G夾角的余弦值；

（3）求點。到平面E/3F的距離.

【答案】（1）證明見解析；

⑵-；

5

⑶述

5

【解析】

【分析】（1）法一、利用正方形的性質(zhì)先證明RS_LM,再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出麻J_平面

BCG4,利用線面垂宜的性質(zhì)與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線

面垂直即可；

（2）利用空間向量計算面面夾角即可；

（3）利用空間向量計算點面距離即可.

【小問1詳解】

（1）法一、在正方形8CGg中，

CG1FB

由條件易知tan/C/G=等二不二六=lan/B射產(chǎn)，所以NQFG=NBQF,

CjFZOOj

則/BFB+NB】BF=3=NC、FG+NB】FB,

故4BFG=虱一(/CFG+4B\FB)=上,即b/，

在正方體中，易知_L平面3CC14,且M//AG，

所以b_1平面BCG4，

又尸Gu平面BCC"，,所LFG,

,:EF，BF=F,EE4/u平面石所，JG/J■平面EM；

法二、如圖以。為原點建立空間直角坐標系，

則8(4,4,0),胤2,0,4),網(wǎng)2,4,4),G(0,4,3),

所以族=((),4,0),E8=(2,4,-4),/G=(-2,0,-1),

設〃2=(4,/?,C)是平面EB77的法向量，

m?EF=4Z?=0

則＜，令4=2,則/?=0,c=l,

m-EB=2。+4Z?-4c=0

所以m=(2,0,1)是平面所產(chǎn)的一個法向量，

易知/G=_〃z，則產(chǎn)G也是平面9的一個法向量，平面石防；

【小問2詳解】

同上法二建立的空間直角坐標系，

所以E&=(-2,4,-1),BG=(-4,0,3),

rti(1)知機=(2,0,1)是平面匹廠的一個法向量，

r/、n-EG=-2A+4y-z=0

設平面E8G的一個法向量為〃=(x,y,z),所以，

n-BG=-4x+3z=0

令工=6,則z=8,y=5,

所以n=(6,5,8)平面EBG的一人法向量，

設平面EBF與平面EBG的夾角為。，

I.\ni-n\204

則cosa=cos(rn,〃)|二i-n-r=—f=—)=一,

?'”網(wǎng)同75x71255

4

所以平面EBF與平面EBG的夾角的余弦值為不；

【小問3詳解】

因為。（0,0,0）,￡（2,0,4）,所以DE=（2,0,4）,

又，〃=（2,0,1）是平面EBF的一人法向量,

88>/5

則D到平面EBF的距離為d=陋同

-W=15=~'

所以點。到平面EBF的跑離為冬5.

5

18.如圖，在三棱柱ABC-48c中，VA3c是邊長為3的正三角形,

AC.=^ABlACi,cos/CBC1=得

（i）求棱CG的長;

（2）求證：平面A8CJL平面A6C；

（3）求直線A4與平面Age所成角的正弦值.

【答案】（1）5（2）見解析

03師

XJ7-------------------------

91

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兒何關(guān)系，結(jié)合勾股定理和余弦定理，即可求解;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為證明AG，平面ABC,即可證明面面垂直;

（3）根據(jù)垂直關(guān)系，以點A為原點建立空間直角坐標系，求平面八片。的法向量，代入線面角的向量公式,

即可求解.

【小問1詳解】

因為AB=3,AC1=4,AB_L4C],所以BQ=5,

△CBC,中，由余弦定理CG=y+BC；_2BCBC,-cosZCBC,，

即CG=J9+25—2X3X5X^=5；

【小問2詳解】

由（1）可知△ACC；中，滿足AC2+AC；=CC；,

所以4C_LAG，且4B_L4G，ABr\AC=A,AB,ACu平面ABC,

所以4Gl.平面ABC,且4GU平面A3G，

所以平面ABC_L平面ABC1；

【小問3詳解】

ULWlULLftl

如圖，以點A為原點，ARAG；為x，z軸的正方向，作），軸，建立空間直角坐標系,

4（0,0,0）,G（0,0,4）,C5（3,0,0）,

4C=t，^^,0,/4C1=（0,0,4）,

A4=AA+A81=C￡+4B=V,-半4+（3,0,0）=|,一半”,

設平面AB。的一個法向量為n=[x,y,z）,

3373

—x+--y=0

22

所以《,令x=-3,則y=V3,z=—,

335/34

-x------〉+4z=0

122

-3,啰）,

所以平面AgC的一個法向量為n=

設AC,與平面ABC所成的角為。，

飛行―937273

所以?,V27391?

4x-----

4

19.已知四邊形Q3co為直角梯形，其中CO〃Q8,BC上CD,BC=CD,DALQB,A為垂足

（如圖1）.將4。4。沿AD折起，使點Q移至點P的位置，得到四棱錐「一ART。（如圖2）,且滿足

QA_LAB，點石,尸分別為P氏尸。的中點.