八年級（上）十月學(xué)情調(diào)查

數(shù)學(xué)

（考試時間：90分鐘；試卷滿分：120分）

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中，屬無理數(shù)的是（）

C2

A.45B.y/9D.-1.414

7

2.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

「111

A.0.6,0.8,1B.3,4,5D.1,2,75

3.下列各式中，正確的是（）

A.A/?6=±4B.±yf9=3C.病=3D.（可三3

4.下列各式中，屬于最簡二次根式的是（)

cA

A.V03B.我D.6

5.估計次（石-枝）的值應(yīng)在（）

A.0和1之間B.1和2之間

C.2和3之間D.3和4之間

6.在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與

人齊，五尺人高曾記.仕女佳人爭踣，終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文

為：如圖，秋千靜止時踏板離地面CQ的距離為I尺.將它往前面推送兩步（即的長

為10尺），秋千的踏板8就和人一樣高，已知這個人的身高為5尺，則繩索。力的長度為

B.12.5C.14.5D.16

7.下列計算中，正確的是（）

試卷第1頁，共6頁

A.26+3夜=56B.2>/2-x/2=2

C.3下>x3叵=3迎D.厲+6=3

8.下列說法：（I）-5是25的平方根；（2）任何數(shù)都有立方根；（3）一個正數(shù)的兩個平方

根之和為0；（4）4的算術(shù)平方根是2；（5）平方根等于它本身的數(shù)是。和1：（6）無限小

數(shù)一定是無理數(shù).其中錯誤的有（）個

A.1B.2C.3D.4

9.如圖所示，正方形/8G尸和正方形CZ）陽的面積分別是10（）和36,則以力。為直徑的半

圓的面積是（）

A.4%B.8不C.12萬D.16乃

10.如圖是小英爸爸設(shè)置的手機(jī)手勢密碼圖，一知左右、上下兩個相鄰密碼點(diǎn)間的距離均為

1,手指沿力-C-。順序解鎖.按此手勢解鎖一次的路徑長為（）

C.3+V5D.6

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.若工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則丈數(shù)x的取值范圍是.

12.若6=y[5=b,用含力的式了我不Jo.6=____.

13.如圖，在用△力臺。中，乙8=90。，AB=3,8C=4,將△/18c折疊，使點(diǎn)8恰好落在邊

/C上，與點(diǎn)夕重合，力七為折痕，則E5'=.

試卷第2頁，共6頁

A

B'

BE

14.如圖，正方形48CQ的邊長是1,48邊在數(shù)軸上，點(diǎn)/表示-1,點(diǎn)4是原點(diǎn).以點(diǎn)力

為圓心，以正方形的對角線4C的長為半徑畫半圓交數(shù)軸于點(diǎn)P,Q,則點(diǎn)尸表示的數(shù)

15.如圖，一個三棱柱盒子底面三邊長分別為3、4、5、盒子高為5.一只螞蟻想從盒底

的點(diǎn)4沿盒子的側(cè)面爬行到點(diǎn)8,8為所在邊的中點(diǎn)，螞蟻要爬行的最短路程是.

三、解答題（共75分，解等題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

16.計算.

⑴3G無一島至+

⑵&x&+@+6

17.已知圖中的每個方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△為8c

的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，稱為格點(diǎn)三角形，請按要求完成下列各題

<1）填空：

AB=,BC=,AC—；

（2）試判斷△48C'的形狀，并說明理由.

試卷第3頁，共6頁

(1)通過計算說明公路是否與力。垂直；

(2)市政府準(zhǔn)備在景點(diǎn)&C之間修一條互通大道(即線段8C),并在大道8C上的E處修建

一座涼亭方便游客休息，同時。，￡之間也修建一條互通大道(即線段OE),且

DE1BC.若修建互通大道4C,QE的費(fèi)用均是每千米17萬元，請求出修建互通大道

BC,的總費(fèi)用.

22.小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究卜面二次根式的

運(yùn)算規(guī)律.下面是小石的探究過程，請補(bǔ)充完整：

(I)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

特例1:后=厚=殍

特例2：月!=再三戶噌

特州后月e唔

特例4：■=4舟

特例5：fl=-------------(填寫運(yùn)算結(jié)果)；

(2)觀察、歸納，得出猜想.

如果"為正整數(shù)，用含〃的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：;

⑶證明你的猜想.

(4)應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：

①化簡:------------；

②若Ja"=8膽(小〃均為正整數(shù))，則［一方的值為.

23.閱讀與思考

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，其巧妙各有不同.在進(jìn)行《勾股定理》一章學(xué)習(xí)

試卷第5頁，共6頁

時，譚老師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行探究活動：如圖1,這是用紙片剪成的四個全等的直角三角形

(兩條直角邊長分別為“，b(b>a),斜邊長為。)和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼

成一個圖形，該圖形能驗(yàn)證勾股定理.

(1)如圖2,這是小敏同學(xué)拼成的圖形.

①請你利用圖2驗(yàn)證勾股定理.

②若b=15,c=17,求小正方形(陰影部分)的面積.

(2)一個零件的形狀如圖3所示，按照規(guī)定，零件中/48。和NC需要是直角.工人師傅測

得零件各邊尺寸(單位：cm)如圖4所示，這個零件符合要求嗎？請判斷并說明理由.

試卷第6頁，共6頁

1.A

【分析】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：

①兀類，如2%，g等；②開方開不盡的數(shù)，如0,指等；③具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如

0.1010010001...（兩個1之間依次增加1個0）,0.2121121112…（兩個2之間依次增加1個

1）.

根據(jù)無理數(shù)的定義逐項分析即可.

【詳解】解：A.0是無理數(shù)；

B.囪=3是有理數(shù)中的整數(shù)：

C.學(xué)22是有理數(shù)中的分?jǐn)?shù)；

D.-1.414是有理數(shù)中的有限小數(shù).

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：三邊是正整數(shù)且兩小邊的平方和等于第三邊的平方，進(jìn)行求解

即可.

【詳解】根據(jù)勾股數(shù)的定義可得，

3*2=52,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考杳了勾股數(shù)，熟練勾股數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】本題考查了求算術(shù)平方根，求平方根，求立方根，二次根式的乘法.

分別計算后判斷即可.

【詳解】A.716=4,原計算錯誤；

B.±囪=±3,原計算錯誤；

C.正無法進(jìn)一步計算，原計算錯誤；

D.（V3）?=3,原計算正確；

故選：D.

4.D

答案第1頁，共13頁

【分析】本題考查了最簡二次根式的定義.判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法,

就是逐個檢查定義中的兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因

數(shù)或因式，是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

I詳解】解:A、叵舟嚕,被開方數(shù)里含有分母，不是最簡二次根式，故該選項

不符合題意：

B、M=3,被開方數(shù)里含有能開得盡方的因數(shù)，故該選項不符合題意；

c、『叵,被開方數(shù)里含有分母，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

\33

D、6符合最簡二次根式的條件，故該選項符合題意：

故選：D.

5.A

【分析】此題主要考杳了二次根式的乘法運(yùn)算以及無理數(shù)的估算.熟練掌握二次根式乘法法

則，“夾逼法”估算是解題的關(guān)鍵.

先計算二次根式的乘法，再找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的數(shù)之間，然后判斷出所求

的無理數(shù)的范圍，由此即可求解.

【詳解】解：vl6<24<25,

?.?網(wǎng)癢0)=2耳鳳甸=2a4,

0<2-^6—4<1?

:?瓜退-6)的值在o和1之間.

故選：A.

6.C

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用、解一元一次方程，過點(diǎn)B作BELO4,設(shè)

OA=OB=X,則OE=X-4,利用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)8作

由題意得，BC=ED=5,AD=\,CZ)=10,

???AE=4,

設(shè)O/l=O8=x,則=

答案第2頁，共13頁

在RIAOBE中,OB2=OE?+BE°,

H|JX2=102+(X-4)2,

解得x=14.5,

???04=14.5,

故選：C.

7.D

【分析】本題考查J'二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.因?yàn)?6

和3近不是同類二次根式，不能合并；根據(jù)合并同類二次根式的法則，可得：

2&-血=&：根據(jù)二次根式的乘法法則，可得：303五=9瓜;根據(jù)二次根式的除法

法則，可得：V27-h>/3=3.

【詳解】解：A選項：和3五不是同類二次根式，不能合并，故A選項錯誤；

B選項：根據(jù)合并同類二次根式的法則，可得：25/2-V2=（2-l）V2=V2,故B選項錯誤;

C選項：根據(jù)二次根式的乘法法則，可得：3內(nèi)x3近=3x3x夜xVJ=96，故C選項錯誤;

D選項：根據(jù)二次根式的除法法則，可得：厲。K=歷三=百=3；

故D選項正確.

故選：D.

8.C

【分析】本題考杳了實(shí)數(shù).熟練掌握平方根、立方根、無理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平

方根、立方根、無理數(shù)的概念逐一判斷即司二

【詳解】解：（1）-5是25的平方根，故原說法正確；

（2）任何數(shù)都有立方根，故原說法正確；

（3）一個正數(shù)的兩個平方根之和為0,故原說法正確；

答案第3頁，共13頁

（4）4的算術(shù)平方根是正，故原說法錯誤;

（5）平方根等于它本身的數(shù)是0,故原說法錯誤;

（6）無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，故原說法錯誤；

錯誤的有3個.

故選：C.

9.B

【分析】根據(jù)兩個正方形的面積求得AB與BD的長度，根據(jù)勾股定理求得直角三角形中

AD的長度，從而根據(jù)圓的面積公式求得半圓的面積.

【詳解】由題意可得，BD=6,AB=I0,

則在直角三角形ABC中，AD=8,

則以AD為直徑的半圓的面積為：g;rx（|）2=8;r.

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與勾股定理的綜合運(yùn)用，利月正方形的面積求出AB與BD的長

度是解題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，勾股定理.

由題意可得：48=2,CZ）=1,由勾股定理求出8C,進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：如圖所示：作監(jiān)_LEC,

由題意，得BE=1,EC=2,

在R34EC中，由勾股定理，得BC?=BE?+EC?,

-BC=>lBE2+EC2=Vl2+22=V5，

又,：AB=2,CD=1,

二按手勢解鎖一次的路徑長為：48+8。+。。=2+逐+1=3+逐.

故選：C.

答案第4頁，共13頁

11.x>2

【分析】本題考查二次根式;有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解即可.

【詳解】解：要使五三在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則％-220,即"2.

故答案為：工22

12.巴

b

【分析】本題考查了二次根式的除法，熟練掌握二次根式的除法法則是解題關(guān)鍵.根據(jù)二次

根式的除法法則可得疝=由此即可得.

【詳解】解：**'>/3=a?屈=b,

???j0.6=g

_V3

飛

_a

故答案為：7.

b

13.1.5

【詳解】解：在用△力中，AC=y/AB:+BC2=5

???將△/48C折疊得△/?￡

:.AB'=AB,B，E=BE

：.B'C=5-3=2

設(shè)B'E=BE=x,則CE=4-x

在放△8'CE中，CE2=B'E2+B'G

(4—x)2=x2+22

解得x=1.5

故答案為：1.5

14.—y2—1

【分析】本題考查根據(jù)勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù).

答案第5頁，共13頁

根據(jù)正方形邊長以及結(jié)合勾股定理求出力。=力。=正，觀察數(shù)軸得出點(diǎn)P在點(diǎn)力的左側(cè)，

再列式表示出點(diǎn)P表示的數(shù)，即可作答.

【詳解】解：...正方形48CQ的邊長是1,

二?正方形的對角線為JJ虧=五，

AC=AP=6,

觀察數(shù)軸得出點(diǎn)尸在點(diǎn)力的左側(cè)，

二點(diǎn)P表示的數(shù)是-1-a.

故答案為：—叵.

15.5>/2

【分析】本題主要考查了三棱柱的側(cè)面展開圖、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理，解決本題的

關(guān)鍵是畫出三棱柱的側(cè)面展開圖，運(yùn)用勾股定理求出爬行的路徑長度，通過比較求出最短路

程.當(dāng)點(diǎn)8是。尸的中點(diǎn)時，根據(jù)題意可知力。=3、8c=7,利用勾股定理求出力4=屈:

當(dāng)點(diǎn)〃是0G的中點(diǎn)時，根據(jù)題意可知8E=5,AE=5,利用勾股定理求出48=5JL通

過比較可知最短路程長為5人.

【詳解】解:?.■32+42=夕,

二三棱柱的底面是直角三角形，

由題意可知，四邊形力CQE是矩形，

:.AC=ED=3,AE=CD=5,ZJCZ)=90°,

點(diǎn)3是。戶的中點(diǎn)，

BD=、DF=2,

2

BC=CD+BD=5+2=1,

：.AB=>JAC2+BC2=V32+72=V58；

答案第6頁，共13頁

F

AC

如下圖所示，

由題意可知，四邊形1CQE是矩形，

：.AC=ED=3,AE=CD=5,乙4ED=90°,

???QG=4,點(diǎn)8是0G的中點(diǎn)，

:.BD=、DG=2,

2

...BE=BD+DE=2+3=5,

:.AB=y]AE2+BE2=752+52=>/50=572；

F

二.病＜屈，

???螞蟻爬行的最短路徑是5頁.

故答案為：5后.

答案第7頁，共13頁

16.(1)373+1

⑵26+4&-3

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算.

(1)先計算乘除，并化簡二次根式，再計算加減即可；

(2)先計算乘除和完全平方公式，再化簡二次根式，最后計算加減即可.

【詳解】(1)原式=36-2+3

=373+1

(2)原式=拒+幾_(2_2&+1)

二2向2&-(3-26)

=273十2五一3十2亞

=26+40-3

17.(1)3石，2石，相；(2)△NBC是直角三角形，理由詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理即可求得△48C的三邊的長；

(2)由勾股定理的逆定理即可作出判斷.

【詳解】(1)根據(jù)勾股定理即可得到：，4爐=62+32=45,婚=42+22=20,/。=7~2=65,

則48=3逐，BC-AC=底.

故答案為3逐，275,765;

(2)Zk/IB。是直角三角形，理由如下：

???力展=45,8c2=2(),4c』65,

482+802=45+20=65,

：.AB2+BC2=AC2,

是直角三角形.

【點(diǎn)睛】主要考查學(xué)生對勾股定理和勾股定理逆定理的理解和掌握，利用勾股定理求得

AABC的三邊的長是解決本題的關(guān)鍵.

18.(1)2

(2)±4

答案第8頁，共13頁

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式、平方根、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及絕對值的計算，解

題的關(guān)鍵是求得加的值及非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，注意平方根有兩個.

(1)利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式計算即可：

(2)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得到。，d的值，代入求值即可.

【詳解】(1)解：由題意得腦=2,

〃-(-加)=2,

二m=2-0?

.?.|w+l|+|w-l|

=|2->/2+1|+|2-^2-1|

=3?四+"閩

=3-x/2+V2-l

=2：

(2)解：???|2c+d|與V777互為相反數(shù)，

.?.|2c+1/|+yjd+4=0,

v|2c+^|^0,，/+4之0,

???2c+d=0,d+4=0,

???c=2,d=-4,

.-.2c-3t/=2x2-3x(-4)=16,

???2c-3d的平方根是士屈=±4.

19.(1)6cm；(2)10cm.

【分析】(1)根據(jù)題意列出方程，由立方根的性質(zhì)即可解答；

(2)根據(jù)題意列出方程，由算術(shù)平方根的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：(1)設(shè)魔方1棱長為xcm(x>0),

由題意可得，/=216,所以x=6.

答：該魔方的棱長為6cm；

(2)設(shè)該長方體紙盒的長為廣m3>0),

由題意可得，6/=600,所以)一10.

答案第9頁，共13頁

答：該長方體紙盒的長為10cm.

故答案為(1)6cm；(2)10cm.

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根、立方根的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟記算術(shù)平方根、立方根

的定義.

20.⑴見解析

(2)36

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，四邊形的面積，掌握勾股定理及其逆定理是解題的

關(guān)鍵.

(1)先由勾股定理求出5。，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理證明△SCO是直角三角形，即可

得證；

(2)根據(jù)四邊形力8。的面積等于△/BC與△88的面積之和即可求解.

【詳解】(1)解：?.?在中,AC=\2,48=13,.

::

???BC=JAB?-心=Vi3-i2=5.

???5+802=16+9=25,8c2=25,

^CD2+BD2=BC2,

.?.△AC。是直角三角形，z￡>=90°.

(2)解：???△O8C是直角三角形，且/。=90。，

S=—BDxDC=-x3x4=6；

?.?在中，=90°,JC=12,BC=5,

:.SA/IOSVf.=—2BCxAC=—2x5x12=30.

=

二^HI^ABCDABCDBC30+6=36.

21.(1)公路8。與4。垂直，計算見解析

(2)818萬元

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行求解即可得到結(jié)論：

(2)根據(jù)勾股定理及面積法求得8C+QE,于是得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：在△川?。中，vAB=20km,AD=12km,BZ)=16km,

答案第1()頁，共13頁

???122+162=400=202，即AD2+BD2=AB2,

..△450是直角三角形，且乙4力月=90。，

公路8。與力。垂直.

(2)解：由(1)知/4。8=90°,

:.NBDC=900.

在RtABCD中，CD=30km,8。=16km,

/.BC=y]BD2+CD2=V1F+307=34(km)，

?/DEIBC,

^ABCD=-CDBD=-BCDEt即,x30x164x34xOE,

2222

240

解得。E二W，

240

.?.34x17+^x17=578+240=818(萬元).

答：修建互通大道8aOE的總費(fèi)用是818萬元.

22?⑴5得

⑵/念

(3)見解析