3.6.2角的比較與運算

夯基礎

題型一角的大小比較

1.（22-23七年級上?河北唐山?期天）若4A=12°12',4B=20°15'30",ZC=20.25°,則（）

A.乙4>>Z.CB.Z.B>Z.C>乙4

C.乙4>乙C>Z.BD.Z.C>Z.A>乙B

【答案】B

【分析】本題主要考查了角的大小比較.根據(jù)1。=60t1=60”將4C轉換為度、分、秒的形式，即可比較

大小.

【詳解】解：=60',

0ZC=20.25°=20°+0.25°x60'=200+15'=20°15\

0ZF>Z.C>Z-A,

故選：B.

2.123-24七年級上?河北唐山?期中）已知"=30。18',4=30.18。,〃=30.3。,則相等的兩個角是（）

A.乙a=Z/?B.Na=ZyC.邛=ZyD.無法確定

【答案】B

【分析】本題考查了角的度數(shù)大小比較，熟練掌握角的單位與角度制是解答本題的關鍵.

根據(jù)已知條件，將三個角的單位統(tǒng)一化成度，Na=30。18'=30.3。，=30.18°,zy=30.3\再找出相

等的兩個角.

【詳解】解：由已知得，

乙a=30°18z=30.3°,邛=30.18°,Zy=30.3°,

:，La=Z-Y>Z-p

故選：B.

3.（22-23七年級上?浙江臺州?期末）若za=10.5。，Z/?=10°10',則4a（填”>〃，"V"或"="）

【答案】>

【分析】將化為度秒表示比較即可得到答案；

【詳解】解：回乙a=10.5°=10°30S邛=10°10\10030,>10010\

0z.a>乙

故答案為：>.

【點睛】本題考查角度的轉化，解題的關鍵是熟練掌握相鄰兩個單位之間的進率.

4.（23-24七年級上?四川達州?期末）李老師到數(shù)學王國去散步，剛走到“角”的家門,就聽到乙4、乙B、“在

吵架，41說：“我是37。18',我應該最大！2B說：“我是37.2。,我應該最大！NC也不甘示弱：“我是37.18°,

我應該和M一樣大！"聽到這里，李老師對它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評判！〃，你知道李

老師是怎樣評判的嗎？

【答案】乙A>乙B>乙C

【分析】本題考查了度分秒的換算和角的大小比較，關鍵是統(tǒng)一單位，再進行大小的比較.根據(jù)度、分、

秒的換算1度=60分,即1。=60',1分=60秒,即1'=60".將37。18',37.2°,37.15。的單位統(tǒng)一,再進行

大小的比較.

【詳解】解：團乙4=37。18，=30。+瑞）。=37.3。，

Z.B=37.2°,Z,C=37.18°,

>ZF>ZC,即乙4最大,

題型二三角板中的角度計算問題

5.（23-24七年級上?貴州遵義?期天）只借助一副三角尺的拼擺，不能畫出下列哪個度數(shù)的角（）

A.100°B.75°C.15°D.150°

【答案】A

【分析】本題考查了三角板的知識.掌握基本的角的和差計算是解題關鍵.先了解一副三角尺有30。，45°,

60%90。然后根據(jù)這些角的和差艮1可得出結果.

【詳解】解：A、不可以畫出，符合題意；

B、45。+30。=75。，可以畫出，不符合題意；

C、45。一30。=15。，可以畫出，不符合題意；

D、90。+60。=150。，可以畫出，不符合題意；

故迄A

6.（23-24七年級上?河北石家莊?期中）把兩個三角板按如圖所示拼在一起，則"BC等于（）

c

A.70°B.90°C.100°D.120°

【答案】D

【分析】本題主要考查了的是三角板中角度的計算，根據(jù)兩個二角板中角的度數(shù)計算.

【詳解】解：由題意得：乙ABC=30。+90。=120。.

故選：D.

7.（23-24七年級上?黑龍江哈爾濱開學考試）將一副直角三角尺按如圖所示擺放，圖中銳角N1的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查直角三角板度數(shù)，角度的計算.根據(jù)題意利用三角板度數(shù)即可得到本題答案.

【詳解】解:0Z1=90°-30°=60°,

故選:C.

8.（23-24七年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，將兩塊三角尺力。8與COD的直角頂點。重合在一起，若

￡A0D=4^BOC,0E為乙BOC的平分線，則/DOE的度數(shù)為.

【答案】72。/72度

【分析】本題考查了角的和差以及角平分線等知識點，根據(jù)角的和差求出乙8。。=36。，再根據(jù)角平分線的

定義求解即可.

【詳解】團440C+Z.BOC=Z.AOB=90°,乙BOD+Z.BOC=乙COD=90°,

回4Aoe+乙BOC+乙BOD+乙BOC=180°,

即4100+Z.B0C=180°,

又E/A。。="BOC,

團乙B0C=80°x：=36。，

團0E平分乙80C,

團zBOE=ACOE=建BOC=18%

2

田4DOE=乙COD-乙COE=90°-18°=72°,

故答案為:72。.

9.（23-24七年級上?福建廈門?期末）兩個直角三角板按如圖所示的方式擺放，若乙1=25°30\貝比2=

【分析】本題考查了平角的定義，根據(jù)N1+42+90。=180。，計算即可.

【詳解】國41+42+90。=180。，41=25。30',

團42=180°-Z1-90°=64.5?；?2=180°-Z1-90°=64°30\

故答案為：64.5。或64。30'.

題型三幾何圖形中的角度計算問題

10.（23-24六年級下?上海浦東新?期末）根據(jù)下圖所示，下列式子錯誤的是（）

A.Z.AOD=Z.AOB+Z.CODB.Z.BOD=Z.DOC+Z.COB

C.Z.AOB=Z.AOC-Z.COBD.Z.BOC=LBOD-LCOD

【答案】A

【分析】本題考查了角度的運算.明確角度之間的數(shù)量關系是解題的關鍵.

根據(jù)角度之間的數(shù)量關系判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，A^Z.AOD=LAOB+LBOC+Z.COD±LAOB+Z.COD,錯誤，故符合題意;

B^Z.BOD=Z.DOC+LCOB,正確，故不符合題意；

C中乙力。8二乙/lOC—4COB,正確，故不符合題意；

D中4BOC=NBOD—4C。。，正確，故不符合題意；

故選：A.

11.（23-24七年級上.甘肅慶陽期末）如圖，點。是直線上的一點，若=10C=50。，^.AOD=^AOE,

乙BOE=90°,則乙COD的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】本題考查了角的計算.求出44OE=90。，則心力。。=：41。5=30。，即可得出結論.

【詳解】解：-/（BOE=90°,

Z.AOE=180°-90°=90°,

LAOD=-ZLAOE=-x90°=30°,

33

???Z.AOC=50。，

/.COD=/-AOC-/-AOD=50°-30°=20°,

故選：A.

12.（23-24七年級上?河北保定?期末）如圖，下列各式中不一定正確的是（）

A.乙BOD>乙CODB.LAOC=Z.1+42

C.Z.1+Z2=Z3D.Z.AOD-Z1>LBOD-Z2

【答案】C

【分析】此題考查了角的比較大小與和差，根據(jù)圖形進行判斷即可.

【詳解】解：團乙C。。在，B。。的內部，

團乙8。。>乙COZ）,選項A正確，不符合題意：

0Z/1OC=41+42,

團選項B正確，不符合題意；

根據(jù)題意，無法比較41+42和43的大小，選項C不一定正確，符合題意；

團乙小。0-zl=Z.BOD>Z-BOD-Z2,

13選項D正確，不符合題意；

故選：C.

13.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，己知點。是直線力8上一點，0JOD.OM、ON為從

點。引出的四條射線，若乙BOD=300,乙COD=，AOC,乙MON=90。,則乙10N與“0M之間的數(shù)量關

系是;

【分析】本意考查了角的訂算，根據(jù)乙C。。=?4/1。。，設乙4OC=7x,/-COD=8x,由乙/1OC十乙COO+

乙BOD=180°可求出x的值，再由乙4ON+4MON=/.AOC+iCOM即可得出答案.

（詳解】解：設乙4OC=7x,乙COD=8%,

由//10C+乙COD+乙BOD=180°,

???7x+8x+30°=180°,

???x=10°,

即/4OC=70°,Z-COD=80°,

v乙AON+乙MON=Z.AOC+乙COM,

:.乙AON+90°=70°+Z.COM,

艮|]2力ON+20。=4COM,

故答案為：乙AON+200=乙COM.

14.（23-24七年級上?江蘇鹽城?期中）如圖，OC是乙4OB的平分淺，/.COD=20°.

B

C

D

OA

（1）若乙4。。=40。，求乙4OB的度數(shù).

（2）若4B。。=3乙4OD,求乙4。8的度數(shù).

【答案】（1）12（T

（2）80°

【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，是基礎題，準確識圖是解題的關鍵.

（1）先求出乙4。。的度數(shù)，然后杈據(jù)角平分線的定義求出乙4。8,于是得到結論；

（2）設乙4。。=%,則4BOD=3x,根據(jù)角平分線的定義和角的倍分即可得到結論.

【詳解】（1）解：團4COD=20°,LAOD=40°,

^AOC=乙COD+LAOD=20°+40°=60°,

團。。是N/OB的平分線，

0Z4OS=2/.AOC=120°；

（2）解：設心4。。=%，BUFOC=3x,

^Z.AOB=Z.AOD+乙BOD=4x,

團。。是的平分線，

^Z.AOC=-Z.AOB=2x,

2

02A-x=20°,

解得％=20°,

配BO。=3x=60°,

回NAOB=Z.AOD+乙BOD=80°.

題型四角度的四則運算

15.（2024七年級上?全國?專題練習）計算：

（1）89。35'+20。25‘（結果用度、分、秒表示）.

（2）123。24'-60。36‘（結果用度表示）.

【答案】⑴110。

(2)62.8°

【分析】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵.

(1)兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應相加，分的結果若滿60,則轉化為度；

(2)先將分都轉化為度，再進行減法計算，兩個度數(shù)相減時，應先算最后一位，后面的位上的數(shù)不夠減是

向前一位借數(shù),1°=60\1'=60".

【詳解】(1)解：89。35'+20°25'

=109°60,

=110°；

(2)解：123°24,-60°36z

=123.4°-60.6°

=62.8°.

16.(2024七年級上?全國?專題練習)計算：

(1)123°24,-60°36z(結果用度表示)；

(2)16o51,+38°27/x3-90°.

【答案】⑴62.8。

(2)42012

【分析】本題考查度、分、秒的換算，掌握度、分、秒的換算方法以及單位之間的進率是正確解答的關鍵.

(1)將123。24'化成122。84',再進行減法計算即可；

(2)先計算乘法，再算加減，利用度、分、秒的換算即可.

【詳解】(1)解：原式=122。84'-60。36'=62。48'=62.8°.

(2)解：原式=16。51'+114。81'-90°=132°12,-90°=42°12\

17.(22-23七年級下?山東聊城?開學考試)計算：

⑴90°-78°19'40〃；

(2)11°23,26,/X3；

(3尾+(-5§+蠟+(-?

⑷(H+2)+(一粉?

【答案】⑴11。40'20"

(2)34°10,18//

(3)4

(4)-1

【分析】本題考查了角度的計算以及有理數(shù)混合運算，掌握相關運算法則是解題關鍵.

(1)向90。借1?；癁?0、再借1'化為60〃，然后度與度相減，分與分相減，秒與秒相減，進行計算即可得解:

(2)同一單位相乘，大于60,向前進1進行計算即可；

(3)結合加法交換律計算即可；

(4)先將除法化為乘法，再利用乘法分配律展開計算即可.

【詳解】(1)解：900-78。19'40"=11°40'20"；

(2)解：11。23'26〃X3=33。69'78〃=34。10'18"

(3)解:51+(-5|)+4|+(-1)

=(4+4)+[(-4)+(-§)1

=10+(-6)

=4；

⑷解：6一：+擊)+(噎)

=61+如(-36)

211

=dX(-36)--X(-36)+—X(-36)

^4-10

=-8+9-2

=-1.

題型五角平分線的有關計算

18.(2024七年級上?全國?專題練習)如圖，已知，40B=120。，從4/108的頂點O引出一條射線OC,射線OC

在-40B的內部，將射線OC繞點。逆時針旋轉到。。，目/C0D=60。.

圖①圖②

(1)如圖①，若乙力。。=90。，試判斷匕力0C與乙8。。之間的大小關系并說明理由；

(2)如圖②，作射線。E,射線0E為乙4。。的平分線，設4AOC=a,當0。<1<60。時，若射線0C恰好平分

￡A0E,求480。的度數(shù).

【答案】(1)乙4。。=乙80。，理由見解析

(2)40°

【分析】本題考查了角平分線的定義，角的計算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵.

(1)根據(jù)乙40c=4/10。一4COD=30。，Z.B0D=Z.AOB-^AOD=30°,即可確定兩個角的大??；

(2)根據(jù)角平分線的定義可得N40E=24Aoe=2a,(COD=乙COE+乙DOE=3a,根據(jù)NC。。=60。列

方程，求出a的值，再根據(jù)0D計算即可.

【詳解】(1)解：乙AOC=LB0D,理由如下：

v乙COD=60°,匕400=90°,

:LAOC=Z.AOD-乙COD=30°,

?:乙AOB=120°,

乙BOD=4AOB-Z.AOD=30°,

???乙BOD=Z./4OC；

(2)解：0C恰好平分乙40E,

???Z.AOC=Z-EOC=a,

Z.AOE=2/.AOC=2a,

????！隇橐?0C的平分線，

:.乙DOE=Z.AOE=2a,

???/COD=乙COE+乙DOE=3er,

vZ.COD=60°,

3a=60°,

???a=20°,

:.Z.AOD=4a=80°,

."BOD=Z.AOB-Z,AOD=120°-80°=40°.

19.(23-24七年級上?江蘇南京?期末)如圖，已知〃。8內部有三條射線，OE平分4B。。，OF平分41OC.

(1)若乙40B=90°,Z-AOC=30°,求乙EOF的度數(shù)；

⑵若iAOB=a,求乙EOF的度數(shù)(寫出求解過程)；

(3)若將條件中“0E平分480C,OF平分4AOC.平分"改為‘2EOB=-Z.COB,Z.COF且4力。8=a,

3=-3LCOA\

求，E0尸的度數(shù)(寫出求解過程).

【答案】⑴45。

[2}LEOF=.\a

[3}LEOF=^a

【分析】(1)先求得"OC的度數(shù)，然后，再依據(jù)角平分線的定義求得必。。、△F。。的度數(shù)，最后，再依據(jù)

乙EOF=乙EOC+/FOC求解艮『口J；

(2)按照(1)的思路先求得乙80c的度數(shù)，然后再求得“0C、乙，。。的度數(shù)，最后，再依據(jù)△￡。9=±￡0C+

"0C求解即可：

(3)先求得乙30c的度數(shù)，然后，依據(jù)題意求得N?0C、乙尸0C的度數(shù)，最后，再依據(jù)乙Z?。?二十乙/0C

求解即可.

本題主要考查的是角的計算，熟練掌握圖形中相關角之間的和、差、倍、分關系是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：v/-AOB=90°,/-AOC=30°,

:.乙COB=60°；

???0E平分乙BOC,OF平分N/OC,

:.Z.FOC=15°,LEOC=30°,

???/EOF=Z.EOC+Z.FOC=45°.

(2)解：vLA0B=a,0E平分工BOC,OF平分乙40C,

:.乙EOF=LEOC+Z.FOC=3(420c+Z.AOC)=\^AOB=1a.

(3)解：-LA0B=a,乙EOB=4乙COB,^COF=^C0A,

???乙EOF=Z.EOC+Z-FOC=+Z.AOC)=^Z-AOB=ja.

20.(2324七年級上?北京?期末)幾何計算:

如圖，己知//。8=40。，乙BOC=3乙AOB,。0平分乙力。。，求乙C。。的度數(shù).

D

B

AO

解：因為NBOC=34/。8,/.AOB=40°

所以NBOC=____°

所以N/IOC=+=°+°=°

因為。。平分乙4OC

所以乙。。。=：=。（理由：_）

【答案】120：乙4。8；乙BOC；40；120；160；乙4OC：80；角平分線定義

【分析】本題考查了角平分線定義和角的有關計算，能求出乙1OC的度數(shù)和得出4C。。=：4AOC是解此題的

關鍵.

先求出乙BOC的度數(shù)，再求出440C的度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出即可.

【詳解】解：,:乙BOC=3^AOB,Z.AOB=40°,

乙BOC=120°,

:.Z.AOC=Z.AOB+Z.BOC=4004-120°=160°,

???00平分，40C,

=工41。。=80。（理由：角平分線定義）

2

故答案為：120：/A08；乙BOC；40：120：160；LAOCx80；用平分線定義.

21.（23-24七年級上?安徽六安?期末）如圖，。8是〃OC內部的一條射線，0M是內部的一條射線，ON

是/80C內部的一條射線.

圖1圖2

⑴如圖1,若乙4。8=36。，^BOC=110°,OM、ON分別是4力。8、乙8。。的角平分線，求4MON的度數(shù)；

（2）如圖2,若。8平分，40C,且NC0N=2440M,LBOM.LAOC=2:5,則NBOM和480N之間存在怎樣的

數(shù)量關系？請說明理由.

【答案】⑴73。；

⑵2B0M:480N=4:3,理由見解析.

【分析】(1)利用角平分線的定義分別求得Z8OM=18。，乙BON=55。,據(jù)此求解即可；

(2)設zAOM=a,則NC0N=2a,設立BOM=x,求得，BO〃=x—a,根據(jù)題意列出等式，即可求解;

本題考查了角平分線的定義，角度的計算，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵.

【詳解】(1)團乙4。8=36。，Z.BOC=110°,OM.ON分別是乙4OB、K80C的角平分線,

11

(3NBOM=-AAOB=18°,乙BON=-Z-BOC=55。，

22

國乙MON=乙BOM+乙BON=18。+55。=73°；

(2)乙BOM:乙BON=4:3,理由如下，

(34C0N=2Z.AOM,

團設/J10M=a,則/CON=2a,

設/80M=x,

回OB平分440C,

0a4-x=乙BON+2a,

(3NBON=x-a,

^Z-BOM:Z.AOC=2:5,

0x:(a4-x4-x—a+2a)=2:5,

0x=4a,則乙BON=3a,

回4BOM:4BON=4:3.

題型六角n等分線的有關計算

22.(22-23七年級上?山西大同?期末)在〃OB的內部作射線OC,射線OC把〃。8分成兩個角，分別為N/OC

和zBOC,若/40C或zQOC則稱:射線OC為乙4。8的三等分線.若=60。，射線OC

為乙1。8的三等分線，則乙4OC的度數(shù)為()

A.20°B.40°C.20?；?0。D.20?；?0。

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出乙4。。=20?；蛞?。。=20。，再根據(jù)角之間的數(shù)量關系，得出乙力。。=40。，綜合即

可得出答案.

【詳解】解：團乙4。3=60。，射線0C為4力。8的三等分線.

回乙AOC=^Z-AOB=200或=^AOB=20°,

團4Aoe=/-AOB-LBOC=60°-20°=40°,

囹ZAOC的度數(shù)為20?；?0。.

故選：C.

【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關鍵.

23.（21-22七年級上?遼寧本溪?期末）如圖，08,OC是〃OD的兩條三等分線，則下列說法①乙AOO=3乙BOC；

②乙400=241。。：③410C=2"0D；④OC平分乙0。氏其中不正確的是（只填序號）.

【答案】②

【分析】由08、OC是財0。的兩條三等分線，得到財?！癿80C=mCQD,以此判斷即可.

【詳解】解：08、OC是財?shù)膬蓷l三等分線，

故陰08=由8。。=回。0。

.?.剛0￡）=財03+國3OC+團。0。=3回8OC,故①正確：

.?.胡0。=3回80。，2^AOC=2（財03+回8OC）=4回BOC故②不正確

LAOC=2Z-C0D,故③正確；

?^COD=^BOC,故④正確；

故答案為：②.

【點睛】本題考查了角的〃等分線的定義，熟練掌握角等分線的定義是解決本題的關鍵.

24.（22-23七年級上?浙江杭州?期末）如圖，OC平分乙4。8,。。0￡三等分一10氏已知“OE=15°,求4力。8

的度數(shù).

【答案】9UU

【分析】本題考查〃等分角的定義，根據(jù)角平分線得到MOCM'AOB，由三等分得到NB0E="40B,

根據(jù)角的和差得到4力。8=6乙COE計算是解題的關鍵.

【詳解】解:OC平分〃08,

^/.BOC=-Z.AOB,

2

又邑00,0E二等分乙4。。，

3

圖NCOE=Z-BOC-乙BOE=-^ACB--/.AOB=-Z.AOB,

236

^/.AOB=6/-C0E=6x15°=90°.

25.（22-23七年級上?陜西榆林?期末）如圖，已知乙408內有三條射線，其中0E平分角M0C,。戶平分乙AOC

（1）如圖1,若4408=120。,求NEO1的度數(shù);

⑵如圖2,若iAOB二%求4EOF的度數(shù)；（用含a的代數(shù)式表示）

⑶若將題中的"平分"的條件改為"乙EOB=：乙COB,乙COF=l^COA,且乙40B=a",其他條件不變，求乙EOF

的度數(shù).（用含。的代數(shù)式表示）

【答案】⑴60。

⑵;a

（3）?a

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得“。產=，40C,“0E=、80C,進而得出“。尸=久乙4。。+

^BOQ=^AOB,代入數(shù)據(jù)計算即可；

(2)根據(jù)(1)中的結論進行求解即可；

(3)根據(jù)題意NEOB=：4C0B,乙EOC=)COB,進而得出,EOF=|/力08=ga.

【詳解】(1)解：回OF平分N/IOC,OE平分NBOC,

0ZCOF=-2z/10C,2/.COE=-Z-BOC,

0ZEOF=Z.COF+乙COE=^(^AOC+乙BOC)=^AOB,

團4/108=120°,

^EOF=^Z-AOB=60°：

(2)由(1)可矢口，^EOF=^AOB=

(3)團NEOB=：4C0B,

3

^Z.EOC=-^COB,

3

0ZEOF=^EOC+Z.COF=、2BOC+2-^AOC=2-^AOB=2-a.

3333

【點睛】本題考查了角平分線的相關計算，角度的和差倍分等知識點，熟練掌握基礎知識是解本題的關鍵.

提能力

1.(22-23七年級上?安徽黃山?期末)如圖①，把一副三角板拼在一起，邊。4,。。與直線“重合,其中乙4。8=

45°,Z.COD=60°.此時易得/BOD=75°.

①②③

⑴如圖②，三角板COO固定不動，將三角板力0B繞點O以每秒5。的速度順時針開始旋轉，在轉動過程中,

三角板力0B一直在土EOD的內部，設三角板4。8運動時間為，秒.

①當t=2時，/-BOD=_°：

②當，為何值時，乙AOE=2乙BOD?

(2)如圖③，在(1)的條件下，若。M平分/80E,ON^-^^AOD.

①當乙40E=20。時，乙MON=」；

②請問在三角板4。8的旋轉過程中，/MON的度數(shù)是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請說明理由；如果不

發(fā)生變化，請求出NMON的度數(shù).

【答案】(1)(1)65；②10；

(2)①37.5；②4MON的度數(shù)不發(fā)生變化，理由見解析.

【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算，角平分線的定義，讀懂題意，能準確得出相應角的數(shù)量關系

是解本題的關鍵.

(1)①根據(jù)題意和角的和差進行求解即可；

②EtUAOE=24BOZ),結合題意可得+乙BOD=75。,從而得出Z-BOD=25°,LAOE=50°,進而求出時

問門

(2)①根據(jù)OM平分ZBOE,ON平分44。。,可得ZE0M=乙BOM=\LEOB,乙AON=乙DON=\LAOD,則

可以NMON=/M08+ZBON整理為/MON=T(NE。4+ZB。。),進而得出答案；

②根據(jù)OM平分NBOE,ON平分NA。。，可得NMOE=：4力。￡+22.5°,乙N。。=60°—:乙力?！赀M而推導出

乙MON=120°-^AOE-22.5°-60°+^AAOE,繼而得出答案.

【詳解】(1)解：①當￡=2時，^AOE=5°X2=10°,

團4B。。=75°-10°=65°,

故答案為：65：

②冏乙4OE=2乙BOD,乙4OE+Z.BOD=75。，

(3NBOD=25°,

^Z-AOE=50°,

10(秒),

田當/為10秒時，乙AOE=2(BOD；

(2)解：①團OM平分N80E,。〃平分4/1OO,

:.乙EOM=Z.BOM=-乙EOB,乙AGN=乙DON=-Z.AOD,

22

1

:.NMON=iMOR+乙RON=-AEOR+zHOD-ADON

乙

1、1

=-(Zz.EOA+Z.AOB)+乙BOD--Z.AOD

11l

=-Z.EOA+-Z.AOB+Z.BOD--(zZ.AOB+LBOD)

1111

=-Z-EOA+-Z.AOB+乙BOD——^.AOB——Z.BOD

2222

=；(4E0A+480D)

=fX75°

=37.5°,

故答案為:37.5。；

②匕MON的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：

團OW平，》4BOE,

111

Z.MOE=-Z.BOE="(乙4OE+Z.ACB)=-乙4OE+22.5°

乙乙乙

(3ON平分41OD,

11,、

:./NOD=-/.AOD=-(180°-zDOC-z/lOE)

=|(120°-Z/lOE)

1

=60。一5乙4OE,

VZ.MON=180°-乙DOC-乙MOE-乙NOD

???4MON=120°-(g乙力OE+22.5。)-(60°-g2力OE)

11

=120°--/.AOE-22.5°-60°+7/AOE

22

=37.5°.

2.(21-22七年級上?云南楚雄?期天)樂樂對幾何中線段的中點與角平分線等興趣濃厚，請你和樂樂一起探

先下面的問題吧.如圖1,線段力8=16cm,CD=1cm,線段CD仕線段48上運動，七、廠分別是AG、8。的

中點.

圖1圖2

(1)若AC=7cm,請求出「尸的長;

⑵當線段在線段48上運動時，試判斷斷的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請直接寫出“的長度；如果

有變化，請說明理由；

(3)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2,乙COD在乙力0B內部轉動，0E、。"分別平分〃0C和"DOB.若

Z.AOB=120°,乙COD=16°,求乙E0尸的度數(shù).

【答案】(l)8.5cm

(2)8.5cm

(3)68°

【分析】本題考查線段中點的相關計算、角度的計算：

(1)根據(jù)線段的和差關系及中點的定義求解；

(2)根據(jù)線段的和差關系及中點的定義求解；

(3)仿照(2)中思路，根據(jù)角平分線的定義及角的和差關系求解.

【詳解】(1)解：???AC=7cm,AB=16cm,CD=lcm,

BD=AB-CD-AC=16-1-7=8(cm),

???E、尸分別是AC、8。的中點，

CE=-AC=3.5cm,DF=-BD=4cm,

22

:.EF=CE+CD+DF=3.5+1+4=8.5(cm),

即EF的長為8.5cm；

(2)解：Er的長度為8.5cm,理由如下：.

EF=CE+CD+DF

11

=-AC+CD+-BD

22

呈(AC+BD)+CD

=\{AB-CD)+CD

1

=-(AB+CD)

==x(16+1)

=8.5(cm).

(3)解：???OE、。尸分別平分和乙。。8,

LEOC=^AOC,乙FOD=3乙DOB,

LEOF=Z.EOC+乙FOD+乙COD

11

=-Z.AOC乙DOB4-乙COD

=g（4力OC+乙DOB）+乙COD

=；QAOB-乙COD）+乙COD

=+"OD）,

vLAOB=120°,乙COD=16°,

LEOF=|X（120°+16°）=68'.

3.122-23七年級上?浙江?期末）【問題提出】已知與41。。有共同的始邊OC,且滿足乙BOC=2乙4。。,

若〃OC=28。，求〃OB的度數(shù)；

【問題解決】圓圓首先畫出兩個符合題意的圖形，運用分類討論的數(shù)學思想，解決問題

在圖（1）中，當射線。4在的內部時，由題意易得乙4。8=28。；

在圖（2）中，當射線OA在480C的外部時，由題意易得乙405=84。.

【問題應用】請仿照這種方法，解決下面兩個問題

⑴如圖（3）,已知點A,B,C在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為-4,2,1,若連結相關各點，數(shù)軸上會有若干條線

段，如線段4C,CB等，請在數(shù)軸上標出線段4C的中點。并寫出。所表示的數(shù)；若數(shù)軸上存在點E,它到點C的

距離恰好是線段力B的長，求線段DE的長；

（2）如果兩個角的差的絕對值等于90。,就稱這兩個角互為垂角,例如：41=120°,乙2=30°,|z.l-Z2|=90°,

則一和42互為垂角（本題中所有角都是指大于0。旦小于180。的角）.

①若z_a=140°,求乙。的垂角；

②如果一個角的垂角等于這個角的補角的|,求這個角的度數(shù).

【答案】⑴8減3；；

(2)18喊126°.

【分析】（1）根據(jù)中點的定義找到點。，由已知的A,B,C所表示的數(shù)求出的長度，就可以求出E點所在

的位置，再求出0E的長度；

（2）①根據(jù)互為垂角的定義求出即可；

②艱據(jù)已知條件，分類列出方程解之