4.1三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式

目錄

01課標(biāo)要求........................................................................2

02落實(shí)主干知識(shí)....................................................................3

卸任意角與弧度制................................................................3

日任意角的三角函數(shù)..............................................................4

三、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式............................................................4

常用二級(jí)結(jié)論......................................................................5

03探究核心題型....................................................................6

題型一：角及其表示................................................................6

題型二：弧度制及其應(yīng)用............................................................9

題型三：三角函數(shù)的概念...........................................................12

題型四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式...................................................14

題型五：誘導(dǎo)公式.................................................................15

題型六：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用..............................18

題型七：割圓術(shù)問(wèn)題...............................................................21

04好題賞析.......................................................................26

05數(shù)學(xué)思想方法...................................................................29

①數(shù)形結(jié)合.......................................................................29

②轉(zhuǎn)化與化歸.....................................................................31

③分類討論.......................................................................33

06課時(shí)精練（真題、模擬題）......................................................35

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)篇.......................................................................35

能力拓展篇.......................................................................44

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01課標(biāo)要求

1、了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性.

2、借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.

3、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

4、掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

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02落實(shí)主干知識(shí)

一、任意角與弧度制

1、各種角的集合:

角的集合角度制弧度制

①與角。終邊相同的

{〃|〃=a+h360o,%eZ}{P\fl=a+k-2^kel\

角的集合（含角a）

②終邊在X軸的非負(fù)

{a|a=h360°,〃eZ}[a\a=k-2肛〃eZ)

半軸上的角的集合

③終邊在X軸上的角

[a\a=k-\80。4GZ){a\a=k7tji

的集合

④終邊在坐標(biāo)軸上的

{a|a=h90*eZ}aa=k%,keZ-

角的集合2

⑤終邊在第一（二三

｛。|h360。<。<90。+八360。,丘：2k冗<?<y+2k*k€1

四）象限的角的集合*

2、注意角。與角區(qū),里,…，區(qū)及2a的象限關(guān)系.

23n

（1）圖中序號(hào)表示角。的象限，序號(hào)所在區(qū)域?yàn)榻嵌啵ɑ虻慕K邊所在區(qū)域.

（2）由角。的象限推理希里,里,...，區(qū)及2a的象限，列不等式對(duì)〃進(jìn)行賦值判斷即可.

23?

3、角度與弧度的互化公式：①180。="，@1°=—^0.01745,③1=（吧］小7.3。

1801乃J

4、①弧長(zhǎng)公式：/=a.R,

②扇形面積公式：S=-lR=-aR2,其中0<a<2）.

22

3/46

二、任意角的三角函數(shù)

1、任意角的三角函數(shù)的定義：

(1)借助單位圓來(lái)定義

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(xj),

則：sintz=y,cosa=xftana=—(x0).

(2)設(shè)角a終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),它到原點(diǎn)的距離為廠二|O|=&+y2,

pJV

則：sina=,-----,coscr=,,tana=—(x*0)?

①定義域、值域：sina,COS。定義域都是R,值域都是卜1,1]；tana定義域是,aaW;+%肛kWZ,,

值域?yàn)镽.

②三角函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

③尸(可)點(diǎn)又可表示為P(eosa,rsina),在已知?；颍?的情形下使用，這將給解題帶來(lái)方便.

2、單位圓中的三角函數(shù)線(有向線段):sincr=y=MP,cosa=x=OM>tana=上=/T(如卜圖).

x

3、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:

(1)平方關(guān)系:sin)+cos2a=1

(2)商數(shù)關(guān)系：tana="“a

cosa

三、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1、誘導(dǎo)公式

>

一二三四五六

式

兀

2k7r+a(kG7i+a-a71-C---a兀

2—+a

2

4/46

j-sina-sinsina

sinacosacosa

弦

/

7-COSQfCOS6-cos

coscrsina-sina

弦

/

jtana-tan-tan

tana

切

[函數(shù)名改變,符號(hào)看

函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

訣象限

2、“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

⑴奇、偶是指上、土a(左wZ)中的女奇偶.〃奇函數(shù)名改變，出偶函數(shù)名不變

①正弦和余弦互相變，

②正切需先化為正弦余弦比值再進(jìn)行誘導(dǎo).

(2)默認(rèn)。為第一象限角

⑶觀察人土。(左eZ)整個(gè)角度所在象限，從而判斷該角度所對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的正負(fù)情況.

常用二級(jí)結(jié)論

1、三角完全平方公式

①(sina+cosa)?=1+2sinacosa=I+sin2a

②(sina-cosa)2=1-2sinacosa=1-sin2a

③(sina+cosa『+(sina-cost?)2=2

2、齊次式轉(zhuǎn)化

①一次分式齊次公瓜*+氏。-同除以8.丫進(jìn)行弦化切.

csinx+dcosx

②二次整式齊次asin\+&sinKcosx+ccos'x除以1(sin2x+cos2x=1)?再除以cos%進(jìn)行弦化切.

5/46

03探究核心題型

題型一：角及其表示

【典例1?1】已知角。的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，則角。的取值范圍是()

B.{。1一75。<。430。或105。<。4210。}

C.{a\k-360°+30°<?<^-360°+105°,keZ\

D.{a\)t-180o+30o<?<A;-180o+105o,A:eZ}

【答案】D

【解析】終邊在30。角的終邊所在直線上的角的集合為5={al[=30。+上180。,左￡引，終邊在

180。-75。=105。角的終邊所在直線上的角的集合為52={。1a=1050+〃」8()o,AwZ},因此，終邊在圖中陰

影部分內(nèi)的角a的取值范圍是{曲0。+"80注。〈105。+"80。,屋2}.

【典例1-2】若角。=-180。-2025。，左wZ,則符合條件的角a的最大負(fù)角為()

A.-30B.-45,C.一225D.-405

【答案】B

【解析】由4?180。一2025。<0,得左<11.25.

乂AWZ,所以角a符合條件的最人負(fù)角為。=11x180。-2025。=-45。.

故選：B.

【解題總結(jié)】

⑴利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的

集合，然后通過(guò)集合中的參數(shù)A"eZ)賦值來(lái)求得所需的角.

aof

(2)確定Aa，上(AWN*)的終邊位置的方法是先寫(xiě)出Ra或上的范圍，然后根據(jù)A的可能取值確定Aa或

kk

6/46

區(qū)的終邊所在的位置.

k

【變式1?1】下列說(shuō)法正確的是（）

A.笫一象限角一定是銳角B.若。是鈍角，則趣是第一象限角

C.大于90°的角一定是鈍角D.若。是銳角，則2。是第二象限角

【答案】B

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：例如390。=360。+30。為第一象限角，但不是銳角，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：若。是鈍角，貝1」90。＜。＜180。，

可得45。＜?＜90。，所以3是第一象限角，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如180。＞90。，但180。不是鈍角,故C錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)D：例如。=45。為銳角，則2。=90。不是第二象限角，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

【變式1?2】卜列命題：

①第四象限的角可表示為卜2H十，元＜a＜2E,Acz］；

②第二象限角大于第?象限角：

③將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為-々；

④若a是第二象限角，則讀的終邊在第一象限.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解析】對(duì)于①，第四象限的角可表示為{a|2E+,兀＜。＜2桁+2；aeZ},故①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，大小為咎的角在第二象艱，大小為粵的角在第一象限，但二＜粵，故②錯(cuò)誤,

6666

對(duì)于③，將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為-三，故③正確，

對(duì)于④，大小為號(hào)的角在第二象艱，但與的終邊在第三象限；故④錯(cuò)誤，

所以真命題的個(gè)數(shù)為1，

故選:B.

【變式1-3】角a=84O：對(duì)應(yīng)的弧度制大小和終邊所在象限分別是（）

7/46

A.y,第一象限B.M，第一象限

C.y,第二象限D(zhuǎn).亍，第二象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閍=840=840x>^^=—,fifz=840=2x3600+120?

1oO3

因?yàn)?20為第二象限角，故a為第二象限角,

故透:D.

【變式1"4]（2025?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin2x,設(shè)。的始邊是X軸的非負(fù)半軸，且

夕10,2兀），若關(guān)于x的方程/jx+5]=/（x+e）在

0,1J內(nèi)有解，則。的終邊不可能位于（）

A.第一象限B.第二象限C第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由/（x）=sin2x,/1+￡|=/'（x+S，

/.sin（2x+0）=sin（2x+20）,

2x+e=2x+26+2攵兀或2x+。=兀一（2x+2。）+2E,keZ,

當(dāng)2x+e=2.x+2O+2E,左wZ時(shí)，得6=—2E,keZ,

又8w（O,2九）,所以這樣的6不存在,

當(dāng)2人十夕=兀一（2人+26）+2k%keZ時(shí)，得％=_3g+（2Ar+l）7r,

44

八fn兀）3。（2%+l）兀（

Qxs0,-,——+------—e0,-,

I8j44「8）

’2〃兀7T（2左+1）叫/八C\

：.6e,又。?0,2兀），

.」”=（）時(shí)，（親此時(shí)。在第一象限;

當(dāng)A=1時(shí)，?！辏ǘ?n），此時(shí)。在第二象限；

當(dāng)4=2時(shí)，9c（與，1），此時(shí)0在第四象限;

所以。的終邊可能位于第一、二、四象限.

故選:C.

8/46

題型二；弧度制及其應(yīng)用

【典例2?1】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)股在單位圓上從(1,0)出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，每秒1

rad,則經(jīng)過(guò)3秒，M的位置為()

A.(cos3,sin3)B.(cos3,-sin3)

C.(-cos3,sin3)D.(-cos3,-sin3)

【答案】B

【解析】由題意，得切的位置為(cos(2花-3),sin(2兀-3)),即為(cos3,-sin3).

故選:B

【典例2?2】若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()

A.—B.—C.3D.y/J

63

【答案】D

【解析】如圖，等邊三角形，48C是半徑為，?的圓。的內(nèi)接三角形，

則線段AB所對(duì)的圓心角N4O8=學(xué)，

作0A/_L/8,垂足為M,

直角△力中，AO=r,ZAOM=^,

所以小”二—r,AB=>f3r,

2

所以/=V3r>

所以長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的逅長(zhǎng)的圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為。

r

故選：D.

【解題總結(jié)】

應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的思路

9/46

（1）求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為利用二次函數(shù)或基本不等式求最值問(wèn)題.

（2）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【變式2?1】（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）高為2的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120。的扇形，財(cái)此圓錐的體

積為（）

7Ur兀-兀c2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為尸，母線長(zhǎng)為,,高為方，體積為P,側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為

則根據(jù)題意可知a=120。=三971，〃=2,

一2itr=al2nr=—x/二,

所以L2,2,即3，解得.衛(wèi)，/=生4，

【…"4+』22

所以圓錐的體積為P=1xur-h=1x7ixyx2=-^.

JJ4J

故選：B.

【變式2?2】（2025?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的“月牙形”陰影部分的邊緣是兩條不同曲線構(gòu)成，其

中一個(gè)是的外接圓的圓弧，另一個(gè)是以Z8為直?徑的圓的一部分圓弧，已知NXC8=g

NC=8C=1,則該月牙形即陰影部分面積為（）

-757TD.空上

424彳一五48

【答案】A

【解析】

如圖所示，根據(jù)已知和圖形知AB7AC?+BC?—2AC?BCcosZACB=6，

設(shè)以△力C3為外接圓的圓心為O,直徑2r由正弦定理得〃—一一二萬(wàn)一'，BPr=l,

sm——

32

10/46

在圓O,I1?根據(jù)圓心角和圓周角的關(guān)系，可知/AOB=-----------=?

由扇形面積公式可得S，/=辟—S^=l-r2—-l.r-r-sin—=--^，

七//Ky娟，B八AOH232334

易知以48直徑的半圓的半徑為穴=堂，即s半倒=■!■兀&?=■!?兀（正]=辿，于是

2卜網(wǎng)2228

故選：A.

【變式2-3]（2025-廣西南寧-模擬預(yù)測(cè)）某烘焙店制作了一個(gè)圓柱形狀的蛋糕，顧客要求均分成24塊，

店家計(jì)劃將蛋糕按左圖方式切割.先將蛋糕均分成8塊，再按照右圖將每個(gè)!角蛋糕近似的均分成三塊，

O

從弧XC的中點(diǎn)3出發(fā)，左右對(duì)稱各切I刀，已知右圖中DE=DF,EB=FB,4D=CD=『,則。E的長(zhǎng)度約

為（）

(其中sin9=O.383,7i:=3.142,計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)請(qǐng)保留到().01)

O

A.0.30rB.0.34rC.0.38rD.0.40r

【答案】B

【解析】設(shè)DC=DB=AD,DE=DF=x,

_1

c=g717*

ss--L

,DEFB-3場(chǎng)形mc一五

SDFFB=$4EDB+尸8=—xsin—xEDxDBx2=rrsin—

288

即rxsin—=—nr2,xx0.34〃

824

故選：B.

【變式2-4】體育老師為了方便學(xué)生練習(xí)擲鉛球，在操場(chǎng)上畫(huà)了一塊扇環(huán)形區(qū)域（圖中陰影部分），其中

我和部均以。為圓心，4。力=*0<9<兀）.若。4=15,OB=x（（）<x<\5）,且

,48+8+1⑥+曝=40（/表示弧長(zhǎng)），則這塊扇環(huán)形區(qū)域的面積最大值為（）

11/46

AD

8工、/7C

、、//

A.75B.90C.100D.120

【答案】C

【解析】由扇形弧長(zhǎng)公式可得48+8+/而+/數(shù)=2(157)+158+3=40,

乂S=-/9A->1一OB,

2AD2BC

所以S=—?152-3--X2-=-(15+x)(15-x)7?=—(15+x)(15-x)-+

222215+x

--x2+10x+75=-(x-5)2+100.

所以當(dāng)x=5時(shí)，S最大為100,

故選：C.

題型三：三角函數(shù)的概念

【典例3?1】（2025?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)

過(guò)點(diǎn)（4,一3）,則sin[a+?]=（）

4J

A.一速B.逑c五D,巫

10101010

【答案】D

—3344

f11Qinci-...........—...—.....ccwa----------------——

【解析】由題意知用a的終切經(jīng)仃點(diǎn)（2-J）,則"+(-3)25'…5'

ir,.(7tl.兀.冗3V24x/2V2

故sina+—=sinacos—+cosasm—=——x——+—x——=——,

L4)44525210

故選：D

<34、

【典例3?2】(2025?黑龍江哈爾濱?三模)已知點(diǎn)電廠可|是角a終邊上的一點(diǎn)，則sina+2cosa=()

22

A.-1B.IC.--D.-

12/46

【答案】D

43

4

【解析】由題意可得力池=5—coscr=

f3Y5，

+

$

432

則sina+2cosa=-y+2x—=—.

故選：D.

【解題總結(jié)】

設(shè)角a終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xj）,它到原點(diǎn)的距離為，,二心4=舊+產(chǎn),

則：sina=——一,cosa=■,X,tana=—(x#0)?

\!x2+y2>Jx2+y2x

【變式3?1】己知角a終邊上一點(diǎn)尸（2,〃?），若sina=趙，則實(shí)數(shù)〃?的值為（）

5

A.1B.2C.±1D.±2

【答案】A

【解析】依題意，sina=-^=y,解得川=L

故選:A

（）為其終邊上一點(diǎn)，且；則（）

【變式3?2】設(shè)。是第二象限角,Px,lcosa=x,tana=

A.GB.-V3C-TD-4

【答案】D

xx

【解析】依題意,cosa=，/2?且x<0.

11x/3

解得工=-石，則tana=—=—T==--------,

x出3

故選：D.

n

【變式3?3】（2025?貴州黔南?模擬預(yù)測(cè)）已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3,4）,則cos—+a()

12

34

A.BCD.

5-4-I

【答案】B

4

因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3,4）,則sin。

【解析】5?

13/46

所以cos^+aj=-sincr=-4

5

故選：B.

題型四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

【典例4-1］若sina+cosa=y,。＜。＜兀，則cos?a+2sina83a-sin2a=.

【■答Mre案fc?］V-8-7J17

9

【解析】由題意，sina+cosa=g,①

所以(sina+cosa『=I+2sincrcosa=—,即2sinacosa=

r17

則l-2sinacosa=(sina-cosa)”=—

因?yàn)閟inacosa＜0,且0＜々＜兀，所以sincr＞0,cosa＜0,

所以sina-cosa=，②

3

由①x②變形得cos'a-sin2a=一1亙

9

所以8s2a+2sinacosa—siYa-E—近三上叵

999

故答案為：士2叵

9

?4g一.什、n.isina+2cosdz

【典例4】右耳…3,則而…一，sin2a+2sinacosa=

I3

【答案】y/0.2—/0.3

sina+2cosatana+21

【解析】

sina-2cosatana-25

sin2a+2sinacosatan2a+2tana3

sin%+2sinacosa

sin%+cos%tan2cr+110

故答案為：—；土.

【解題總結(jié)】

齊次式轉(zhuǎn)化

14/46

①i次分式齊次竺也也吧同除以co義進(jìn)行弦化切.

csinx+t/cosx

②二次整式齊次asin\+戾iiucosx+ccos、除以11出?3+cos%=1),再除以cos^x進(jìn)行弦化切.

■-IF，.sin<z+2coscr

［變式4-1］已知tana=4,則mi—---------=____.

3sina-cosa

【答案】專

--sincz+2cusczUuicz+24+26

【解析】----------=-------r==77.

3sina-cosa3tana-1o3x4-111

故答案為:

【變式4-2］（2025?四川南充?一模）已知lana=3,貝ijsinaco$a=

【答案】2/0.3

.sinacosatana3

【解析】vtana=3,:sina-cosa=—-----------=——-------=—

sin-a+cos-oftan_cr+110

3

故答案為：—.

【變式4-3】已知tana=2,則馴14二名竺里=.-sin2a4-lcos2a=

sina+cosa34

417

【答案】記仁萬(wàn)

【解析】因?yàn)閠ana=2,則cosawO,

b,i3sina2cosa3tana23x224

所以-------------=---------=-------=—.

sina+cosatana+12+13

2.I212.21

、i-sin2*?+-CO52a—tan2*a+——x2+—~

2I2434?47.

—sin*2a+—cos'a=-----；----------；------=-——；-------—=--；------=—

34sin*a+cos'atan'a+12"+112

故答案為：r4看7

題型五：誘導(dǎo)公式

sin(7i-a)+sinI—+a

2

(典例5-1］已知tana=2,則

+cos(71+cr)

15/46

【答案】1

sina+cosatana+12+1,

【解析】原式=

2sina-cosa2tancr-12x2-1

故答案為：1.

【典例5-2】（2025?上海徐匯?三模）己知sina=、,且aw、，71）則tan（］+a

41

【答案

【解析】［tlsina=1,ae作冗,

4

則cosa=一1

cosa4

故tan

sincr3

4

故答案為：Y

J

【解題總結(jié)】

誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用

⑴求值：負(fù)化正，大化小,化到銳角為終了.

⑵化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名,同角名少為終了.

7T

cos(-+^)(l+sin2^)

【變式5?1】（2025?黑龍江牡丹江?模擬預(yù)測(cè)）若tan"-3,則

sin(7c+0)+sin(與+。)

【答案】1/0.6

8sq+。)。+sin20)_一sin6(1+2sin6cos0)_sin0(sin0+cos

【解析】當(dāng)tan。=-3時(shí),

sinm+9)+sinq+6)一一sinO-cos?―sinJ+cos。

_sin2O+sinOcos。_tan?6+tan9_(-3)2-3_3

sin2^+cos20tan2^+1(-3)2+15

故答案為：y

【變式5?2】（2025?北京大興?三模）已知函數(shù)/"）=cos2x,若/（戈+〃）=-/（刈對(duì)任意》7都成立,

則滿足條件的一個(gè)實(shí)數(shù)。的值是.

【答案】/（答案不啡一）

16/46

【解析】因?yàn)?(x+a)=-/(x),BPcos(2x+2a)=-cos2x,

所以2。=兀+2kn,〃wZ,gp6?=—^^7t,ZrGZ.

2

故答案為：y(答案不唯一)

【變式5?3】(2025?黑龍江牡丹江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sinx+(x+a)(x+l),若

玉E(-2,0),/(-x)=-f(x),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(TO)

[解析】/(r)=sin(-x)+(-x+d)(-x+1)=-sinx+(-x+a)(-x+1)

-f(x)=-sinx-(x+a)(x+1),

令f(-x)=-f(x)得-sinx+(-x+<?)(-x+1)=-sinx-(x+a\x+1),

化簡(jiǎn)得/+a=0,

由題意得，玉￡(-2,0)使得/(T)=—/'(江

即a=*在(-2,0)有解，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(Y,0).

故答案為：(T,0)

【變式5-4](2025?山東?模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和為S”，滿足

岫用TC+3…)+3%_3兀.

999=5",則

4J

【答案】竽

4

【解析】因?yàn)閟in+3%+cos-3^兀-a+34

1999999y，所以

「4Jk4J

sin,一71撲3(a「：J+sin(q地7T+36999_：)=0.

44

令g(x)=sinx+3x,則g(x)的定義域?yàn)镽,￡Lg(-x)=sin(-x)-3x=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù).乂因?yàn)?/p>

g'(x)=cosx+3>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

令%=%-：/2=卬999一：，則g(8)=-g(w)=g(一毛)，故芭=一與，即%-：=：-卬999，則叫999+%='，

2001,.2001,、200171

故$2001方-(q+?2ooi)=(q+)=-j—

200E

故答案為:

17/46

【變式5-5](2025?山東泰安?三模)數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為cn=2cos—,則?”=

I4J”=|

【答案】V2

【解析】由%=2cos[不卜可得i.8=2COS'人=2COS(TJ=C"，

所以匕｝是以8為周期的數(shù)列，且2025=8x253+1,q+q+…+。=0,

2025

所以ZG=q+Q+…+62025=253x°+q=&.

?=|

故答案為：血.

題型六：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

2sin一+acos(n-6)<)sin(-6r)

【典例6-1](多選題)已知〃。)=-----M_與——--------，則下列說(shuō)法正確的是()

陪+a)

A./(?)=-2sinacosa

B./(a)=2sin<2cos<2

C.若tana=3,則/(a)=]

D.若sina-cosa=無(wú)，則/(a)=1

22

【答案】BCD

■/、2cosor{-cosal{-sina)

[解析】J(a)=----------------------=2sinacosa,故A錯(cuò)反，B正確；

-cosa

甘，，mil\-2sinacosa2tana3岳「〒洋

若tana=3,則/(a)=2sinacosa=-^-------=—；----=故C正確；

sin'a+cos'atan*cr+15

若sina-cosa=①，兩邊取平方，整理得：1-2sinacosa=：.即sinacosa=1,

224

R[].f(a)=2sinacosa=2x；=；,故D正確;

故選：BCD.

/2025兀、

【典例6-2](多選題)已知角。滿足tan2a-6tanasina+9sin%=()，則cosa+—)

2722V2

A.0B.-1

~Y~T~

18/46

【答案】ACD

【解析】由tan2a-6tanasina+9sin2a=0,^(tana-3sina)2=0,

所以tana=3sina,則‘訪"=3sina,

cos<2

化簡(jiǎn)整理得sina(3cosa-1)=0,

所以sintz=O,或cosa=g,

當(dāng)cosa="時(shí)，sincr=±2后

3

（202s兀n

所以當(dāng)sin。=0時(shí)，，cosa+——=cos=-sincr=0,

Ia+—2

當(dāng)sina=刎2時(shí)，cos2025TT2N/2

a+-----=cosa+—-sina=-------

322J3

n.2c

當(dāng)sina=一時(shí)，cos白+小=cosa+—=-sina=-----

3223

故選：ACD

【解題總結(jié)】

⑴利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間

的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.

⑵注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.

【變式6-1］（多選題）在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便及計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù):

定義1-cosO為角，的正矢，記作versinO,定義1-sinO為角。的余矢，記作coversinO.下列說(shuō)法正確的是

()

.16;t3

A.versin---=—

32

.f3ac)八

B.versin(n-0)-coversin----9=0

I4c/

c_covcrsinv-1c—coversinx-versinx1_

c.若：■-=2,piyT7："：

versiav-12-(covcrsnix十vcrsntr3

D.函數(shù)/(x)=versin2024x-1+coversin2024x+￡的最大值為2+夜

\3，\6J)

【答案】ABC

.16n,16n.f_,n],n7t=1+；=|",故A正確:

【解析】對(duì)A：versin---=1—cos---==I—cos5n+—==I+cos—=

333J3

I37r

對(duì)B：versin(n-6)-coversinf--0|=l-cos((77rr-0)-l+sin^--0=cos0-cos0=0,故B正確;

I2

19/46

,coversin.v-1/一-sinx--

對(duì)C：由-----：---------=2=>---------=2=>tan.r=2,

vcrsinx-1-cosx

1-sinr-l+cosx=cosx-sinx=—anxI，故c正確;

2-(1-