蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第3章勾股定理單元測(cè)試卷

一.選擇題（共10小題）

1.下列長(zhǎng)度的三根線段，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.3cm,5cm,5cniB.4cm,8?！?，5cm

C.5cm?13cm,12c/??D.2cm,1cm,4cm

2.如圖，將長(zhǎng)為的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端力和當(dāng)然后把中點(diǎn)C垂直向上

拉升3a〃至點(diǎn)。，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

D

;

ACS水平面

A.2cmB.3cmC.4cwD.6cm

3.如圖，在△48c中，乙4=90°,8E是△48c的角平分線,ED工BC于點(diǎn)、D,BC=5,

AB=3,則OE的長(zhǎng)是（）

三C

AEC

A.1.5B.2C.2.5D.3

?=JC=10,BC=12,則黑

4.如圖，在△力8c中，點(diǎn)。是角平分線力。、BE的交點(diǎn),若4

的值為（）

■

DC

A.4B.2C.—D.近

234

5.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有立木，系索其末，委

地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問(wèn)索長(zhǎng)幾何？”，大意是：如圖，木柱4

繩索AC比木柱力8長(zhǎng)3尺，BC長(zhǎng)8尺，則繩索AC的長(zhǎng)度是（）尺.

A

B1-1---------

A55R73「15「21

6622

6.如圖，?棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角,

7.如圖，在△力8c中，乂〃=4,4。=3,BC=5.將△48。沿著點(diǎn)力到點(diǎn)。的方向平移到

△。￡產(chǎn)的位置，圖中陰影部分面積為4,則平移的距離為（）

A.3-A/6B.V6C.3+、用D.2證

8.若△48C的三邊〃、爪c滿足（a-b）2+\a2+b2-^|=0,則△48C是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

9.在△/8C中，4B=3c*AC=4cm.SC=5cm,在△/8C所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將4

力8c分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)的條數(shù)為

（）

A.3B.4C.5D.7

10.我們知道，三個(gè)正整數(shù)。、b、C滿足。2+62=/,那么，〃、力、。成為一組勾股數(shù)；如果

一個(gè)正整數(shù)m能表示成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)小y的平方和.即6=/+,，，那么稱m為廣義勾

股數(shù)，則下面的結(jié)論:

①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù);

④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)；⑤若x=〃，?〃2,尸2〃“2=》+/落其中心八

Z,/〃，〃是正整數(shù)，則X,y,Z是一組勾股數(shù).

其中正確的結(jié)論是（）

A.①③④⑤B.②④C.②③⑤D.②④⑤

二.填空題（共6小題）

11.在△力8c中，8c=6：8c邊上的高40=4,且8。=2,則△XCO的面積為.

12.在RtZ\4C8中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D.若48=10,4C=6，BD

=5,則點(diǎn)。到力4的距離是

底端離墻的距離8C為3米，當(dāng)梯子下滑到

14.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校力與河對(duì)岸水上樂(lè)園8之間的距離，在學(xué)校附近

選一點(diǎn)C，利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得N4=60°,ZC=90°,AC=\km.據(jù)此，可求得學(xué)校與

水上樂(lè)園之間的距離力4等于

15.如圖，在一個(gè)高為5陽(yáng)，長(zhǎng)為13〃?的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少是

5m

13加

21.Rt△48c中，ZC=90°，點(diǎn)D、E分別是4。、8C邊上的點(diǎn)，點(diǎn)尸是一動(dòng)點(diǎn).令NPDA

=ZL4PEB=42,ZDPE=Za.

(1)若點(diǎn)。在線段力8上，如圖1所示，且Na=60°,求N1+N2的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)尸在線段4?上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則Na、Nl、N2之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

22.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端

氣候，有極強(qiáng)的破壞力.如圖，監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)到一臺(tái)風(fēng)中心沿監(jiān)測(cè)點(diǎn)8與監(jiān)測(cè)點(diǎn)/所在

的直線由東向西移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與48兩點(diǎn)的距離分別為300公〃、

40051,且N4C8=9(r,過(guò)點(diǎn)C作CEL4B于點(diǎn)E,以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，半徑為260A%

的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域，臺(tái)風(fēng)的速度為25knUh.

(1)求監(jiān)測(cè)點(diǎn)A與監(jiān)測(cè)點(diǎn)B之間的距離：

(2)請(qǐng)判斷海港C是否會(huì)受此次臺(tái)風(fēng)的影響，若受影響，則臺(tái)風(fēng)影響該海港多長(zhǎng)時(shí)間？

若不受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.(1)如圖1,在△43C中，ZACB=90°,力￡是角平分線，C。是高，AE、相交

于點(diǎn)凡NCFE與NCEF的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖2,在中，N4CB=90°,CO是4力邊上的高，若△/8C的外角N84G

的平分線交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R其反向延長(zhǎng)線與8C邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡探究N'CFE

與NCQ的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由;

(3)如圖3,在△/AC中，邊48上存在一點(diǎn)D,使得N4CD=NB,N氏1C的平分線

AE交CD于點(diǎn)F,交BC于E.△X8C的外角NA4G的平分線所在直線與4C的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)M.請(qǐng)補(bǔ)全圖形并直接寫(xiě)出與NCPE的數(shù)量關(guān)系.

即圖2圖3

參考答案

一.選擇題（共10小題）

1.下列長(zhǎng)度的三根線段，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.3cm?5cm,5cmB.4cni,Scm?5cm

C.5cm?13。〃?，12cmD.2cm,1cm?4cm

解：A.V32+52=34,5?=25,

32+52X52,

???不能構(gòu)成直角三角形，

故力不符合題意；

B、???42+52=41,82=64,

.\424-52^82,

，不能構(gòu)成直角三角形，

故3不符合題意：

C、???122+52=169,132=169,

.\122+52=132,

???能構(gòu)成直角三角形，

故C符合題意；

D、V2+4=6<7,

???不能構(gòu)成三角形，

故。不符合題意：

故選：C.

2.如圖，將長(zhǎng)為的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端力和8,然后把中點(diǎn)。垂直向上

拉升3cm至點(diǎn)。，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cni

解：RtAJCD+?AC=^AB=4cm,CD=3cm；

根據(jù)勾股定理，得：JD=7AC2+DC2=5（?！保?；

：.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cw)；

故橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm.

故選：A.

3.如圖，在△/AC中，乙4=90°,B石是△力4c的角平分線，EDLBC于點(diǎn)、D,BC=5,

AB=3,則QE的長(zhǎng)是()

A.1.5B.2C.2.5D.3

解：???在△48C中，ZJ=90°,

：?AEtAB.

乂3E是△川?C的角平分線，EDLBC,

：,AE=DE.

設(shè)DE=AE=x,

：.^AB*AC=^AB^AE+^AC*ED,即=X3X4=5X3x+《X5x.

222222

3

解得X

2

即DE=\.S.

故選：A.

4.如圖，在△力8C中，點(diǎn)。是角平分線力。、8E的交點(diǎn)，若48=4C=10,8C=12,

C運(yùn)

23。?牛

解：如圖：作。尸_L48于凡

'：AB=AC>ADABAC.

；?NODB=90°.BD=CD=6.

??AD=7100-36=8.

,：BE平分/ABC.

：?OF=()D,BF=BD=6,AF=\O-6=4.

設(shè)OQ=OP=x,則40=8-x,

在RtZ\/lO/中，根據(jù)勾股定理得：

(8-.r)2=X2+42.

/?x=3.

：.OD=3.

.0D

??麗節(jié)方

故選：A.

5.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有立木，系索其末，委

地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問(wèn)索長(zhǎng)幾何？”，大意是：如圖，木柱48J_8C,

繩索AC比木柱/3長(zhǎng)3尺，4。長(zhǎng)8尺，則繩索AC的長(zhǎng)度是()尺.

1521

C.D.

22

解：設(shè)4c=%尺，則18=(%-3)尺,

'：ABLBC,

???△川?。是直角三角形,

由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,

即(x-3)2+82=/,

解得尸入（尺），

即：繩索力。的長(zhǎng)度是卷尺.

故選：B.

6.如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，

這棵大樹(shù)在折斷前的高度為（）

A.10米B.15米C.25米D.30米

解：VZi5JC=30o,N8C4=90°,8C=5米，

，/18=2C8=10米，

???這棵大樹(shù)在折斷前的高度為48+40=15米.

故選：B.

7.如圖，在△48c中，/5=4,AC=3,BC=5.將△N8C沿著點(diǎn)力到點(diǎn)C的方向平移到

△DEF的位置,圖中陰影部分面積為4,則平移的距離為（）

解：??"B=4,AC=3,BC=5,

.\AB2+AC2=BC2,

。是直角三角形，2/1=90°,

:將△/4C沿著點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移到戶的位置，

???△。所的面積=/\48。的面積=恭3乂4=6，DF=AC=3,

:圖中陰影部分面枳為4,

.DCV4

.DC2

..虧=7?

解得：DC=4i，

即平移的距離是CF=AC-。。=3-遍，

故選：A.

8.若△44c的三邊a、b、c滿足(a-b)2+\a2+b2-c2|=0,則△48c是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

解：,:(a-b)2+\a2+b2-c2|=0,

?'?a-b=0,a2+b2-c2=0?

解得：a=b,a2+b2=c2,

的形狀為等腰直角三角形；

故選：C.

9.在△力8C中，4B=3c*AC=4cm.BC=5cm,在A/BC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將4

/8C分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)的條數(shù)為

()

A.3B.4C.5D.7

解：如圖所示：AB=3cm、AC=4cm.BC=5cm,

CTc5GGC7°

V32+42=52,

是直角三角形，ZBAC=90°.

當(dāng)CCi=4C=4,AC=CC2,AB=ACy=3,BA=BC*=3,CSA=C5B,C6B=C6C,CJA

=AB都能得到符合題意的等腰三角形.

故這樣的直線最多可通的條數(shù)為7.

故選：D.

10.我們知道，三個(gè)正整數(shù)。、力、C滿足〃2+〃2=°2,那么，人從右成為一組勾股數(shù)；如果

一個(gè)正整數(shù)，〃能表示成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)X、y的平方和.即/〃=x2+）2,那么稱加為廣義勾

股數(shù)，則下面的結(jié)論：

①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)：

④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)；⑤若x=〃，-〃2,尸2〃?〃，z=〃?2+〃2,其中x,八

z,用，〃是正整數(shù)，則長(zhǎng)歹，z是一組勾股數(shù).

其中正確的結(jié)論是（）

A.①③④⑤B.②④C.②③⑤D.②④⑤

解：①不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，

???7不是廣義勾股數(shù)，故①結(jié)論錯(cuò)誤；

②?門3=22+32,

???13是廣義勾股數(shù)，故②結(jié)論正確；

③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和不一定星廣義勾股數(shù),如5和10星廣義勾股數(shù)，但星它們的和

不是廣義勾股數(shù)，故③結(jié)論錯(cuò)誤；

（4）V5=l2+22,13=22+32,65=5X13,65是廣義勾股數(shù)，兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義

勾股數(shù)，

如2和2都是廣義勾股數(shù)，但2X2=4,4不是廣義勾股數(shù)，故④結(jié)論正確；

24224

⑤二中+/=（ZM2,fJ2）2,1.（2,nn）=m+2mn+n,

2=（〃*+〃2）2=/?4,|_2,?2?2+?47

.*.^2+>^=22,

又知x,y,z,/〃，〃是正整數(shù)，則x,y,z是一組勾股數(shù).

故⑤結(jié)論正確；

???依次正確的是②④⑤.

故選：D.

二.填空題（共6小題）

11.在△力4c中，BC=6,邊上的高力0=4,且8。=2,則△4C。的面枳為

16.

解：根據(jù)題意，分以下兩種情況:

①如圖：

:.CD=BC-BD=6-2=4,

?-SMCD=^CD-AD=^X4X4=8,

乙乙

②如圖:

：?CD=BD+BC=8,

???SmQ=?力。=X8X4=16，

乙乙

故答案為：8或16.

12.在RtZXXCB中，ZC=90°,力。平分N84C交8C于點(diǎn)。.若48=10,AC=6,BD

=5,則點(diǎn)。到力8的距離是3.

/?C=7AB2-AC2=V102-62=8,

?:BD=5,

:?CD=3,

過(guò)點(diǎn)D作DELAB于E,

?.3。平分N8/C,

:.CD=DE=3,

???點(diǎn)。到44的距離是3,

故答案為：3.

13.如圖，一架梯子長(zhǎng)5米，底端離墻的距離4c為3米，當(dāng)梯子下滑到。E

解：在Rt△48c中，根據(jù)勾股定理，可得：4c=?-BC2=N52-32=4（米），

：.DC=AC-AD=4-1=3（米）,

在Rtz^OCE中，CE=4DE2_DC2=N52-32=4（米），

：.BE=CE-BC=4-3=\（米）,

故答案為：1.

14.如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量學(xué)校/與河對(duì)岸水上樂(lè)園8之間的距離，在學(xué)校附近

選一點(diǎn)C,利用測(cè)量?jī)x器測(cè)得乙4=60°,NC=90°,AC=\km.據(jù)此，可求得學(xué)校與

水上樂(lè)園之間的距離等于2km.

解：VZJ=60°,ZC=90°,AC=\km.

.??N8=30°，

；?AB=2AC=2（km）.

故答案為：2.

15.如圖，在一個(gè)高為5m，長(zhǎng)為13〃?的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少是，

13m5m

解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度=五立幣=12,

???地毯鋪滿樓梯是其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長(zhǎng)度至少是12+5=17米.

故答案為：17/〃.

16.如圖，己知在中，ZACB=W',HC=8，8c=16,。是/C上的一點(diǎn)，CD

=3,點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)沿射線8C方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為八過(guò)點(diǎn)、D作DE_4P于點(diǎn)E.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)」為5或11時(shí),能使

DE=CD?

解：①點(diǎn)夕在線段4c上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作?！阓1_力產(chǎn)于E,如圖1所示:

圖1

則N/EO=NPEO=9(r,

:?NPED=NACB=90°,

???PO平分/力尸C,

:?/EPD=/CPD,

又,：PD=PD,

：.(4/IS),

:?ED=CD=3,PE=PC=\6-2t,

：.AD=AC~CD=8-3=5,

?"E=4,

：.AP=AE+PE=4+16-2/=20-2r,

在RtZXXPC中，由勾股定埋得：82+(16-2t)2=(20-2t)

解得：Z=5；

②點(diǎn)夕在線段4c的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作QE_LXP于區(qū)如圖2所示:

同①得：4PDEmRPDC(AAS),

:?ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：,AD=AC-CD=S-3=5,

^?AE=49

：.AP=AE+PE=4+2t-16=2/-12,

在RtZ\/lPC中，由勾股定理得：82+(2/-16)2=(2Z-12)2,

解得：/=!!.

綜上所述，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)/的值為5或11時(shí)，能使。E=CD

三.解答題(共7小題)

17.△48C的三邊長(zhǎng)分別為6,x+2,x+4,若該三角形是以"4為斜邊的直角三角形，求x

的值.

解：由勾股定理得：G2+(x+2)2=(x+4)2,

解得：x=6.

18.一棵高⑵〃的大樹(shù)被折斷，折斷處A距地面的距離力。=4.5加點(diǎn)B為大樹(shù)頂端著地處).

在大樹(shù)倒下的方向停著一輛小轎車，小轎車距大樹(shù)底部C的距離CO為65〃，點(diǎn)。在

C8的延長(zhǎng)線上，求大樹(shù)頂端著地處8到小轎車的距離8D

A

咐、［

IHi、、、

CBD

解：在RlZ\/8C中，日勾股定理得，

=22

^C7AB-AC=77.52-4.52=6(加,

；?BD=CD-BC=0.5］機(jī))，

???大樹(shù)頂端著地處B到小轎車的距離AQ為0.5米.

19.如圖，在△44C中，14=10,BC=8,AC=6,力。垂直力B交8C的延長(zhǎng)線于D

（1）求證：△力8c為直角三角形；

（2）求線段力力的長(zhǎng).

(1)證明：??14=10,BC=8,JC=6,

BC2+AC2=82+62=100,J52=102=100,

：.BC2+AC2=AB2,

???△ABC為直角三角形，

:?/ACB=90°；

(2)解：設(shè)CQ=x,則8O=8C+CQ=8+x,

VZJC5=90°,

/.Z/1CD=1800-ZJCZ?=90°,

在中，，4￡>2=,4C2+O52=36+X2,

'：ABVAD,

：.ZBAD=90°,

在中，AD2=BD2-AB2=(8+X)2-100,

.??36+/=(8+x)2-100,

解得：x=4.5,

=22=2

???JDVAC<DV6+4.52=75，

???/Q的長(zhǎng)為7.5.

20.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,力、B、C、。均在網(wǎng)格格點(diǎn)上.

（1）求四邊形力改7）的面枳；

（2）NBCD是直角嗎?為什么？

解:(1)四邊形”8的面積是5X5?N1X5?、X1X4?N1X2?]X2X4

乙匕44

-1X1

=25-2.5-2-1-4-1

=14.5；

(2)N8CO是直角,

理由是：連接8力，

由勾股定理得：87)2=32+42=25,8c2=22+42=20,CD2=l2+22=5,

所以8c2+3=8￡>2,

即/8C。是直角.

21.左△XBC中，NC=90°,點(diǎn)。、￡分別是4C、8c邊上的點(diǎn)，點(diǎn)尸是一動(dòng)點(diǎn).令/PDA

=Z1,/PEB=/2,NDPE=Na.

(1)若點(diǎn)夕在線段45上，如圖1所示，且Na=6()°,求NI+N2的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)尸在線段48上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則Na、ZKN2之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

解：(1)VZC=90°,

???4+NB=90°,

VZa=60°,

AAAPD+ABPE=\^°-60°=120°,

VZl=1800-ZAPD-ZJ,Z2=I8O0-NB-NBPE,

AZ1+Z2

=180°-ZAPD-Z^+1800-4B-NBPE

=360°-(NAPD+/BPE+/A+/B)

=360°-(120°+90°)

=150°,

/.Zl+Z2=150°；

(2)VZC=90°，

???4+NB=90°,

?；Na+NAPD+/BPE=180°,

/.ZAPD+ZBPE=\80°-Na,

VZl=1800-ZAPD-ZA,Z2=180°-ZB-ZBPE,

/.Z1+Z2

=180°-ZAPD-Z/1+180°?/B?/BPE

=360°-(180°-Za+90°)

=90°+Na,

/.Zl+Z2=90°+Za.

22.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端

氣候，有極強(qiáng)的破壞力.如圖，監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)到一臺(tái)風(fēng)中心沿監(jiān)測(cè)點(diǎn)8與監(jiān)測(cè)點(diǎn)4所在

的直線由東向西移動(dòng)，已知點(diǎn)。為一海港，且點(diǎn)。與48兩點(diǎn)的距離分別為3005人

4OOA/7B且N/1C6=9()C,過(guò)點(diǎn)C作CEL1B丁點(diǎn)E,以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，半徑為260〃〃?

的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域，臺(tái)風(fēng)的速度為25kmih.

(1)求監(jiān)測(cè)點(diǎn)A與監(jiān)測(cè)點(diǎn)B之間的距離；

(2)請(qǐng)判斷海港。是否會(huì)受此次臺(tái)風(fēng)的影響，若受影響，則臺(tái)風(fēng)影響該海港多長(zhǎng)時(shí)間？

若不受影響，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）在Rl4/18。中，/C=300h〃，EC=400Zv〃,

?*-J5=7AC2+BC2=V3002+4002=500（.），

答：監(jiān)測(cè)點(diǎn)A與監(jiān)測(cè)點(diǎn)B