第七章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）

7.1探索直線平行的條件

基礎(chǔ)篇

一.單選題

I.如圖，NA的同位角是（）

A.ZBOEB.NAOEC.ZBODD.ZAOD

2.兩條直線被第二條直線所截，則（）

A.同位角必相等B.內(nèi)錯(cuò)角必相等

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)D.同旁內(nèi)角不一定互補(bǔ)

3.下列條件不能使兩直線平行的是（）

A.內(nèi)錯(cuò)角相等B.同旁內(nèi)角互補(bǔ)

C.對(duì)頂角相等D.同位角相等

4.如圖，彎形管道A3CQ的拐角NA3c=120°,要保證管道力則N3CO等于（）

C.70°D.65°

5.如圖所示，直線a、b被c、d所截，下列條件中能說(shuō)明，的是（）

A.ZI=Z2B.Z2+Z4=180°C.N3=N4D.Zl+Z4=180°

6.如圖，能夠判斷。E〃AC的條件是（)

A

A.N1=N2B.Z4=ZCC.Zl+Z3=180°D.Z3+ZC=180°

7.下列圖形中，/I與/2是同位角的是（）

A.B.

8.如圖，點(diǎn)E在45的延長(zhǎng)線上，下列條件中能夠判定48〃CD的條件有（）

①NMQ+NA5C=180°；②N1=N2；③N3=N4；④NE+/5=N4QC.

A.①②B.②④C.①③D.@?

9.給出下列說(shuō)法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角；（3）平面

內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（4）從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，

叫做這點(diǎn)到直線的距離；其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

10.下列說(shuō)法：（I）同位角相等；（2）平行于同一條直線的兩直線平行；（3）同旁內(nèi)角相等，兩直線平行;

（4）同旁內(nèi)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直.其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.如圖，下列條件中不能判定的是（）

A.NA+/AOC=180°B.ZA=ZADE

C./ABD=4BDCD.NADB=NCBD

12.如圖，點(diǎn)。，E,r分別在的邊3C,AB,AC上，連接。E,DF,在下列給出的條件中，不能判

定A8〃O尸的是（）

A.ZA+Z2=180°B.Z1=Z4C.Z\=ZAD.NA=N3

13.如圖，圖中同位角的對(duì)數(shù)、內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)數(shù)、同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)，分別是（）

A.10,8,4B.1L7,5C.12,6,6D.13,5,7

二.填空題

14.小麗將兩塊完全相同的直角三角尺如圖所示，拼在一起，沿著三角尺的斜邊畫(huà)出線段48和CZ）,則小

麗判定A8〃CZ）,她的依據(jù)是

15.如圖所示，直線人B、CQ被直線石尸所截，交點(diǎn)分別為M、N,則NAMN的內(nèi)錯(cuò)角是,

16.如圖，直線c與八〃相交，Zl=35°,Z2=80°,要使直線。與》平行，直線。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

的度數(shù)至少是.

17.如圖，①N1=N2,②N3+Nl=180°,③N1=N4,④N2=/5,則上述條件可以推出的是（寫(xiě)

出所有正確的序號(hào)）.

18.一副三角板按如圖所示（共定點(diǎn)A）疊放在一起，若固定三角板4BC,改變?nèi)前錋OE的位置（其中

A點(diǎn)位置始終不變），當(dāng)。時(shí)，DE//AB.

19.如圖，下列結(jié)論：①N2與N3是內(nèi)錯(cuò)角：②N2與N8是同位角；③NA與N8是同旁內(nèi)用；④NA與

N4C8不是同旁內(nèi)角，其中正確的是.（只填序號(hào)）.

AC

三.解答題

20.填寫(xiě)下列空格：

已知：如圖，點(diǎn)E在A8上，且平分/ACQ,Z1=Z2.

求證：AB//CD.

證明：???（?￡平分/ACZ）（已知），

???（）.

VZ1=Z2（已知），

AZ1=（）.

:.AB"CD（）.

21.如圖，直線”與射線。后相交于點(diǎn)O,ZBOE=\30°,ZD=50°,48與。。平行嗎？為什么？

22.如圖，已知AC、8C分別是/BAD、NABE的平分線，且/1+N2=N4CB.求證：AD//BE.

23.光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線。

從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵?，形成光線〃，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有N1=N2,Z3=Z4,請(qǐng)判斷光線

a與光線〃足否平行，并說(shuō)明理由.

b

24.如圖，在RtZ\A3C中，ZA=90°,8。平分NA3C,M為邊AC上一點(diǎn)，MELBC,垂足為E,ZAME

的平分線交直線A8于點(diǎn)足試說(shuō)明8。與M/的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

25.將△AHC紙片沿折疊，其中

（1）如圖1,點(diǎn)。落在4c邊上的點(diǎn)尸處，AA與。Q是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）如圖2,點(diǎn)。落在四邊形45CQ內(nèi)部的點(diǎn)G處，探索與N1+N2之間的數(shù)豉關(guān)系，并說(shuō)明理由.

AA

提升篇

26.一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺AQE固定不動(dòng)，將含30°的三角尺48C繞頂點(diǎn)

A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，如圖2,當(dāng)NZMQ=15°時(shí)，BC//DE,貝］NZMQ（0°

VN84QV180。）符合條件的其它所有可能度數(shù)為（）

A.60°和135°B.45°、60°、105°、135°

C.30°和45°D,以上都有可能

27.如圖，直線所上有兩點(diǎn)4、C,分別引兩條射線AB、CD.NBAF=110°,CD與AB在直線方異側(cè).若

NOC"=60°,射線AB、C。分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和6度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為/秒，

在射線C。轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間/的值為時(shí)，CD與A8平行.

28.將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中，NA=60°,/。=30°；

NE=NB=45°）：

（1）若NDCE=35°,求N4CB的度數(shù)；

（2）猜想NAC8與NOCE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）請(qǐng)你動(dòng)手操作，現(xiàn)將三角尺ACO固定，三角尺3C￡的CE邊與CA邊重合，繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，

當(dāng)0°<ZACE<\S0°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請(qǐng)

直接寫(xiě)出/ACE角度所有可能的值（不必說(shuō)明理由）：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第七章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）

7.1探索直線平行的條件

基礎(chǔ)篇

單選題

1.如圖，NA的同位角是（）

ZAOEC.NBODD.4A0D

【詳解】解：根據(jù)同位角的定義，由圖可知NA的同位角是NBOE.

故本題選：A.

2.兩條直線被第三條直線所截，則（）

A.同位角必相等B.內(nèi)錯(cuò)角必相等

C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)D.同旁內(nèi)角不一定互補(bǔ)

【詳解】解：???兩條被截的直線不一定平行，

，截得的同位角不一定相等，內(nèi)錯(cuò)角不一定相等，同旁內(nèi)角不一定互補(bǔ).

故本題詵：D.

3.下列條件不能使兩直線平行的是（）

A.內(nèi)錯(cuò)角相等B.同旁內(nèi)角互補(bǔ)

C.對(duì)頂角相等D.同位角相等

【詳解】解：A、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，不合題意；

夙同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，不合題意；

C、對(duì)頂角相等，是兩直線相交，不能夠判斷兩直線平行，符合題意；

。、同位角相等，兩直線平行，不合題意.

故本題選：C.

4.如圖，彎形管道ABCD的拐角NABC=120°,要保證管道AB//CD,則NBC￡＞等于（）

C.70°D.65°

【詳解】解：當(dāng)NA8C+N8CD=180°時(shí)，可得AB〃CD,

VZABC=\20°,

AZBCD=6（r.

故本題選：A.

5.如圖所示，直線a、b被c、d所截，下列條件中能說(shuō)明?！Φ氖牵ǎ?/p>

A.Z1=Z2B.Z2+Z4=180°C.Z3=Z4D.Zl+Z4=180°

【詳解】解：???N3=N4,

???〃〃8（同位角相等，兩直線平行）.

故本題選：C.

6.如圖，能夠判斷?！辍?c的條件是（）

A.Z1=Z2B.Z4=ZCC.Nl+/3=180°D,N3+/C=180°

【詳解】解：VZ1=Z2,J.EF//AC,故不合題意；

B、VZ4=ZC,：.EF//AC,故不合題意：

C、VZI+Z3=18O°,:.DE//BC,故符合題意;

D.VZ3+ZC=180°,：,EF//AC,故不合題意.

故本題選：C.

7.下列圖形中，N1與N2是同位角的是（）

A.B.

【詳解】解：A、N1與N2不是同位角，故A不合題意；

B、N1與N2不是同位角，故8不合題意；

C、NI與N2是同位角，故。符合題意；

。、N1與N2不是同位角，故。不合題意.

故本題選：C.

8.如圖，點(diǎn)E在48的延長(zhǎng)線上，下列條件中能夠判定A8〃C。的條件有（）

①/6AO+/A8C=18（T；②/1=/2；@Z3=Z4；④/￡+/5=/AOC.

R

2

A.①②B.@@C.?@D.?@

【詳解】解：???/84。+乙48。=180°,???8C〃AD,故①不合題意；

VZ1=Z2,：.AB//CD,故②符合題意；

VZ3=Z4,：.BC//AD,故③不合題意；

VZE+Z5=ZADC,ZEDC+Z5=ZADC,:?/E=/EDC,:.AB//CD,故④符合題意.

故本題選：B.

9.給出下列說(shuō)法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）相等的兩個(gè)角是對(duì)

頂角；（3）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（4）從直

線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到直線的距離：其中正確的有（）

A.0個(gè)B.I個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【詳解】解：（1）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故原命題是假命題；

（2）相等的角不一定是對(duì)頂角，故原命題是假命題：

（3）同一平面內(nèi)，一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故原命題

是真命題；

（4）從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度，叫做該點(diǎn)到直線的距離，故原命題是假命題；

其中正確的有1個(gè).

故本題選：B.

10.下列說(shuō)法：（1）同位角相等；（2）平行于同一條直線的兩直線平行；（3）同旁內(nèi)角相等，

兩直線平行；（4）同旁內(nèi)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直.其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【詳解】解：（1）同位角不一定相等，故說(shuō)法錯(cuò)誤；

（2）平行于同一直線的兩直線平行，是平行公理的推論，故說(shuō)法正確：

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故說(shuō)法錯(cuò)誤；

（4）同旁內(nèi)角的兩個(gè)角的平分線不一定互相垂直，故說(shuō)法錯(cuò)誤；

綜上，正確的說(shuō)法只有（2）.

故本題選：A.

II.如圖，下列條件中不能判定的是（）

A.NA+NAZ)C=180°B.ZA=ZADE

C./ABD=/BDCD.ZADB=ZCBD

【詳解】解：A、當(dāng)NA+/ADC=180°時(shí)，可得：AB//CD,不合題意；

B、當(dāng)NA=NAQE時(shí)，匕得：AB//CD,不合題意；

C、當(dāng)N48O=N8QC時(shí)，可得：AI3//CD,不合題意；

。、當(dāng)NAOB=NCB。時(shí)，可得：AD//BC,符合題意.

故本題選：D.

12.如圖，點(diǎn)。，E,F分別在△A3C的邊3C,A3,AC上，連接。EDF,在下列給出的

條件中，不能判定AB〃。尸的是（）

BKDAC

A.ZA+Z2=180°B.Z1=Z4C.Z\=ZAD.NA=N3

【詳解】解：兒若N4+/2=180°.則AB〃/）/（同旁內(nèi)角巨補(bǔ).兩百線平行）：

B.若N1=N4,則A8〃。尸（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；

C.若N1=NA,則EO〃4C（同位角相等，兩直線平行）；

D.NA=N3,則（同位角相等，兩直線平行）.

故本題選：C.

13.如圖，圖中同位角的對(duì)數(shù)、內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)數(shù)、同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)，分別是（）

A.1（）,8,4B.11,7,5C.12,6,6D.13,5,7

【詳解】解：內(nèi)錯(cuò)角有：/GAB與NABC,N8AC與NABM,NMC與NAC8,N84C與

N4CN,NEBC與NACB,NABC與/MCH；

同位角有NGAF與NA8M,NGAB與NMBE,/BAC與NEBC,/布。與NA4C,ZGAF

與NACN,/FAC與NNCH,NGAB與NACB,NBAC與NBCH,NMBE與NMCH,NEBC

與NNC”，NABM與NACB,NA8C與NACM

同旁內(nèi)角：N8AC與NACB,/BAC與/ABC,NA8C與NAC8,/GA8與NA8M,ZEBC

與NBCH,NMC與N4C.

故本題選：C.

二.填空題

14.小麗將兩塊完全相同的直角三角尺如圖所示，拼在一起，沿著三角尺的斜邊畫(huà)出線段

和CQ,則小麗判定4B〃C7）,她的依據(jù)是

【詳解】解：由題意：NBCO=N48C=30°,

???4B〃CO（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故本題答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

15.如圖所示，直線48、CD被直線七戶所截，交點(diǎn)分別為M、N,則NAMN的內(nèi)錯(cuò)角是

【詳解】解：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，觀察上圖可知，NAMN的內(nèi)錯(cuò)角是NONM.

故本題答案為：/DNM.

16.如圖，直線c與.、6相交，Zl=35°,Z2=80°,要使直線。與〃平行，直線。繞

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是.

VZ3=Z1=35°時(shí)，a//b.

工要使直線。與〃平行，直線。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是80°-35°=45°.

故本題答案為：45°.

17.如圖，①N1=N2,②N3+Nl=180°,③N1=N4,④N2=N5,則上述條件可以

推出a//b的是（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）.

①當(dāng)N1=N2時(shí)，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得c,〃乩故①不合題意；

②當(dāng)N3+Nl=180°時(shí)，可得N6+N7=180°,由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得“〃兒故

②符合題意；

③當(dāng)Nl=/4時(shí)，可得Nl=/6,由同位角相等，兩直線平行得。〃從故③符合題意：

④當(dāng)N2=N5時(shí)，由同位角相等，兩直線平行得〃〃〃，故④符合題意.

故本題答案為：②③④.

18.一副三角板按如圖所示（共定點(diǎn)A）疊放在一起，若固定三角板ABC,改變?nèi)前錋QE

的位置（其中4點(diǎn)位置始終不變），當(dāng)NBAD=°時(shí)，DE//AI3.

【詳解】解：由題意得NAQE=30°,ZACB=ZDAE=90a,

①如圖，

當(dāng)/84。=/4。七=30°時(shí)，可得48〃。七：

②如圖，

D.

當(dāng)N/MQ+NQ=180°時(shí)，可得

則N8AO=I80°-Z￡>=150°.

故本題答案為：30或150.

19.如圖，下列結(jié)論：①/2與N3是內(nèi)錯(cuò)角：②N2與是同位角；③N4與N3是同旁

內(nèi)角；④NA與N4C8不氈同旁內(nèi)角，其中正確的是—.（只填序號(hào)）.

N2與N3是直線4B、直線8C,被直線C。所載的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因此①符合題意；

/2與NB是直線C。、直線BC,被直線A8所截的一對(duì)同位角，因此②符合題意；

NA與N4是直線AC、直線3C,被直線A4所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此③符合題意，

NA與NACB是直線AB、直線BC,被直線4c所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此④不合題意.

故本題答案為：①②③.

三.解答題

20.填寫(xiě)下列空格：

已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分NACQ,Z1=Z2.

求證：AB//CD.

證明：???CE平分NACO1已知），

:.（）.

VZ1=Z2（已知），

Z1=（）.

：.AB//CD().

【詳解】證明：YCE平分/ACQ（已知），

???N2=N3（角平分線的定義），

VZ1=Z2（已知），

AZ1=Z3（等量代換），

???A8〃CD（內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行）.

故本題答案為：Z2=Z3:角平分線的定義；Z3；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

21.如圖，直線AB與射線。石相交于點(diǎn)O,NBOE=130°,ZD=50°,48與CO平行

嗎？為什么？

B

C----------------------

【詳解】解：A8與C。平行，理由如下：

???/8?！?130°，

???NAOD-N6OE1—130°，

VZD=50°,

/.ZAOD+ZD=\3Q°+50°=180°,

：.AB//CD.

22.如圖，已知AC、BC分別是NBA。、N4BE的平分線，且N1+/2=NAC8.求證：AD

//BE.

.\Z1+Z2=^X180°=90°,

2

：AC、8C分別是28AO、NA8E的平分線，

???N1.NB4。，Z2=^ABE,

：.ZBAD+ZABE=2X(Z1+Z2)=180°,

:.AD"BE.

23.光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象,

如圖，光線。從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵?，形成光線從根據(jù)光學(xué)知識(shí)有N1

=Z2,Z3=Z4,請(qǐng)判斷光線。與光線〃是否平行，并說(shuō)明理由.

【詳解】解：平行，理由如下:

如圖，VZ1-Z2,

，N5=N6,

VZ3=Z4,

，N3+N5=N4+N6,

,\a//b.

24.如圖，在RtZ^ABC中，NA=90°,BD平分NABC,M為邊AC上一點(diǎn)，ME工BC,垂

足為E,NAME的平分線交直線44于點(diǎn)E試說(shuō)明4。與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

/

BEC

【詳解】解：BD//FM,理由如下：

VZA=90°,MEYBC,

???N4FM+NAMb=90°,NBEM=90°,

?.?/A+N4BC+NBEM+N4ME=360°,

，NABC+/AME=18(r,

*/BD平分ZABC,MF平分NAME,

AZAMF+ZABD=90°,

，NAFM=NAB。，

J.BD//FM.

25.將△ABC紙片沿。七折疊，其中NB=NC.

(1)如圖1,點(diǎn)C落在EC邊上的點(diǎn)尸處，人B與少產(chǎn)是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)如圖2,點(diǎn)C落在四邊形ABC。內(nèi)部的點(diǎn)G處，探索N8與21+N2之間的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

AA

圖1圖2

【詳解】解：(1)48與。尸平行，理由如下:

由翻折得：ZDFC=ZC,

又T/R=/C,

:"B=/DFC,

：.AB//DFx

(2)如圖，連接GC,

由翻折得：ZDGE=ZACB,

VZ1+ZGDC=18O°=NDGC+NDCG+NGDC,

AZ1+=ZDGC+ZDCG,

???N2+NGEC=18(r=ZEGC+ZECG+ZGEC,

：?42=NEGC+/ECG,

???N1+N2=NDGC+NQCG+/EGC+NECG=(ZDGC+ZEGC)+(NOCG+NECG)=

NDGE+ZDCE=2NACB,

???/8=NACB,

???N1+N2=2N8.

提升篇

26.一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°的三角

尺48C繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，如圖2,當(dāng)/%。=

15°時(shí)則N8AD(0°<ZHAD<180°)符合條件的其它所有可能度數(shù)為()

A.60°和135°B.45°、60°、105°、135°

C.30°和45°D,以上都有可能

【詳解】解：當(dāng)AC〃。后時(shí)，ZBAD=ZDAE=45°；

當(dāng)8c〃八。時(shí)，NDAB—/B-60°;

當(dāng)8C〃AE時(shí)，VZEAB=Zfl=60°,

AZBAD=ZDAE+ZEAB=450+60°=105°；

當(dāng)AB〃。上時(shí)，?.?NE=NEAB=90°,

AZBAD=ZDAE+ZE45=45°+90°=135°.

故本題選：B.

27.如圖，直線￡尸上有兩點(diǎn)A、C,分別引兩條射線AB、CD.NBA尸=1I(T,CD與AB

在直線EF異側(cè).若NQCF=60°,射線AB、CD分別繞A點(diǎn),C點(diǎn)以1度/秒和6度:秒的

速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為/秒,在射線CO轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)間/的值為—