湖南省湘一名校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．已知向量與的方向相同，則（

）A．-3 B．-1 C．1 D．34．已知正四棱臺(tái)上?下底面的面積分別為4和144，側(cè)面等腰梯形的高為13，則該四棱臺(tái)積為（

）A． B．688 C． D．8885．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A． B． C． D．6．設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，已知，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，則滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．28．設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，滿(mǎn)足，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．10．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若是等腰三角形，則邊上的高為11．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，已知，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．存在大于1的正整數(shù)，使得C．對(duì)任意D．當(dāng)時(shí)，三、填空題12．已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則.13．已知是拋物線上三點(diǎn)，直線與的斜率互為相反數(shù)，直線的斜率為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.14．已知，則的最大值為.四、解答題15．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式及最大值.16．將9個(gè)相同的小球放入甲?乙?丙3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)小球，假設(shè)每一種放球的結(jié)果都是等可能的，記甲?乙?丙盒中的小球個(gè)數(shù)分別為.(1)設(shè)事件“”為，求；(2)設(shè)為的中位數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.17．A4紙是長(zhǎng)?寬比為的矩形紙張.設(shè)一張A4紙的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，以?xún)砷L(zhǎng)邊的中點(diǎn)連線為折痕，將矩形折起，連接，得到如圖所示的直三棱柱是的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，三棱柱的體積為，且為鈍角，求二面角的正弦值.18．已知橢圓的離心率為，上?下頂點(diǎn)分別為，且.（1）求的方程.（2）是橢圓的左頂點(diǎn)，是上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（ii）證明：為定值.19．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若無(wú)零點(diǎn)，但有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）設(shè)為的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案題號(hào)12345678910答案CBDBADCCBCABC題號(hào)11答案ACD1．C【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故選：C2．B【詳解】由，即，，又，所以.故選：B3．D【詳解】因向量與的方向相同，則，則或.若，，，滿(mǎn)足題意；若，，，不滿(mǎn)足題意.故選：D4．B【詳解】如圖，正四棱臺(tái)，取上下底面正方形的中心，再取分別為的中點(diǎn)，過(guò)作，則由題意可得，，則，則在中，，則該四棱臺(tái)積為.故選：B5．A【詳解】若，則，但，故；若，則，解得：，但，與假設(shè)矛盾，故不成立；若，則利用奇函數(shù)性質(zhì)：，由于，有，故，因此：，解得：.綜上：.故選：A6．D【詳解】由是兩個(gè)相互獨(dú)立，得，而則，所以.故選：D7．C【詳解】由題意有：令，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以成等差?shù)列，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，作出與的圖像，由圖可知，，若成等差數(shù)列，則公差為，分別為,符合題意，此時(shí),綜上所述，的所有正零點(diǎn)從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，則滿(mǎn)足條件的有3個(gè)，故選：C.8．C【詳解】如圖所示：

設(shè),則,在中，，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，即.又，即，即，化簡(jiǎn)得，又所以故選：C9．BC【詳解】由已知，則，，，則，即，A選項(xiàng)：由，可知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由，，所以，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，則，，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.10．ABC【詳解】選項(xiàng)A，由余弦定理：，結(jié)合題干條件，可得：，因此，故A正確.選項(xiàng)B，由正弦定理：.已知，代入得：，故B正確.選項(xiàng)C，由正弦定理：，已知，即，結(jié)合，則，故C正確.選項(xiàng)D，若是等腰三角形：由，知A為鈍角，故等腰三角形中A必為頂角，即，則，此時(shí)三角形存在，上的高h(yuǎn)滿(mǎn)足：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．ACD【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，得，解得；當(dāng)時(shí)，，得，得，故A正確；對(duì)于B：由可得.若存在，則有，顯然不成立，故，因此可化成.，同理可證得均大于1，故且單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：猜想對(duì)，.當(dāng)時(shí)，，成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，命題成立.綜上，對(duì)任意，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，且由選項(xiàng)B可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又由選項(xiàng)B可知，恒成立，因此易知當(dāng)時(shí)，.由，得，因此，當(dāng)時(shí)，，則，得，故，即，則當(dāng)時(shí)，.由選項(xiàng)C可知，，故證即證.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故可得，累乘后得：當(dāng)時(shí)，，得證，故D正確.故選：ACD.12．1【詳解】由求導(dǎo)得，則，依題意，，解得.故答案為：1.13．【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)橹本€與的斜率互為相反數(shù)，所以，即，得，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，即，所以，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：14．【詳解】設(shè)，則，由，可得，設(shè)，則有，其中所以，所以，即，整理得，解得，又因?yàn)?，所以，所以的最大值為，即的最大值?故答案為：15．(1)；(2)，20.【詳解】（1）在數(shù)列中，，則，兩式相減得，而，，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）得，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.16．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【詳解】（1）根據(jù)插板法，將9個(gè)相同的小球放入甲?乙?丙3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)小球，那么基本事件總數(shù)，滿(mǎn)足，且，的有共3種，根據(jù)古典概型概率公式.（2）設(shè)為的中位數(shù)，的可能取值為，當(dāng)時(shí)，有共3種，所以，當(dāng)時(shí)，有共9種，所以，當(dāng)時(shí)，有共13種，所以，當(dāng)時(shí)，有共3種，,的分布列:1234的數(shù)學(xué)期望為17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由且為中點(diǎn)，得，又三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）取中點(diǎn)，故平面，又由（1）知，所以?xún)蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，由題意得，所以三棱柱的體積，所以，又為鈍角，所以，所以，即，則，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，即，設(shè)二面角的平面角為，，所以，所以二面角的正弦值.18．（1）；（2）（i）；（ii）【詳解】（1）由題意得，，，，得，則的方程為；（2）（i），直線，聯(lián)立，得，得或，則，代入中得，，故；（ii）因，則由（i）可得，，則直線的方程為，則，因，則直線，聯(lián)立，得，即，則，則.19．(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)（i）區(qū)間（ii）【詳解】（1）由題意得，令，則，判別式，①當(dāng)時(shí)，解得，則恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，解得，則方程有個(gè)實(shí)根，由求根公式可知方程的解為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單