基于高斯過程模型預(yù)測控制提升四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤精度的研究一、引言1.1研究背景與意義近年來，無人機(jī)技術(shù)取得了顯著的發(fā)展，在民用和軍事領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。四旋翼無人機(jī)作為一種典型的多旋翼無人機(jī)，因其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和飛行特性，成為了研究的熱點(diǎn)。四旋翼無人機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)、可垂直起降等優(yōu)點(diǎn)，在航拍、物流配送、環(huán)境監(jiān)測、農(nóng)業(yè)植保、軍事偵察等眾多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。在物流配送中，四旋翼無人機(jī)能夠快速將貨物送達(dá)指定地點(diǎn)，提高配送效率，特別是在一些交通不便的偏遠(yuǎn)地區(qū)或緊急救援場景下，其優(yōu)勢更為明顯；在農(nóng)業(yè)植保領(lǐng)域，無人機(jī)可以實(shí)現(xiàn)大面積的農(nóng)藥噴灑和農(nóng)作物生長狀況監(jiān)測，節(jié)省人力成本，同時(shí)提高作業(yè)的精準(zhǔn)度，減少農(nóng)藥的浪費(fèi)和對(duì)環(huán)境的污染。然而，四旋翼無人機(jī)的控制問題極具挑戰(zhàn)性。四旋翼無人機(jī)是一種高度非線性、欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合的系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)模型復(fù)雜，且在實(shí)際飛行過程中容易受到各種外部干擾，如風(fēng)力、大氣湍流等，以及內(nèi)部不確定性因素的影響，如電機(jī)特性的差異、傳感器噪聲等。這些因素使得四旋翼無人機(jī)的精確控制變得困難，尤其是在軌跡跟蹤控制方面，需要確保無人機(jī)能夠準(zhǔn)確地跟蹤預(yù)設(shè)的飛行軌跡，同時(shí)保持穩(wěn)定的飛行姿態(tài)。軌跡跟蹤控制是四旋翼無人機(jī)實(shí)現(xiàn)各種任務(wù)的基礎(chǔ)，其性能的優(yōu)劣直接影響到無人機(jī)能否高效、準(zhǔn)確地完成任務(wù)。例如，在航拍任務(wù)中，無人機(jī)需要精確地沿著預(yù)定的軌跡飛行，以獲取高質(zhì)量的圖像或視頻；在物流配送中，準(zhǔn)確的軌跡跟蹤是確保貨物準(zhǔn)確送達(dá)目的地的關(guān)鍵。為了實(shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)的精確軌跡跟蹤控制，研究人員提出了多種控制方法，如PID控制、滑?？刂?、反步法控制、模型預(yù)測控制（ModelPredictiveControl,MPC）等。PID控制是一種經(jīng)典的控制方法，具有結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，在四旋翼無人機(jī)的控制中得到了廣泛應(yīng)用。然而，PID控制依賴于精確的系統(tǒng)模型，對(duì)參數(shù)變化和外部干擾較為敏感，在復(fù)雜環(huán)境下的控制性能有限?；？刂茖?duì)系統(tǒng)的不確定性和干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，但存在抖振問題，可能會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度。反步法控制通過逐步構(gòu)建虛擬控制量，能夠有效地處理非線性系統(tǒng)的控制問題，但計(jì)算復(fù)雜度較高，且對(duì)系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性要求也較高。模型預(yù)測控制作為一種先進(jìn)的控制策略，近年來在四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制中受到了廣泛關(guān)注。MPC的基本思想是基于系統(tǒng)的模型預(yù)測未來一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)，通過求解一個(gè)在線優(yōu)化問題，得到當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)控制輸入，然后只執(zhí)行該控制輸入的第一個(gè)元素，在下一時(shí)刻重復(fù)上述過程。MPC能夠有效地處理多輸入多輸出系統(tǒng)、約束條件以及模型不確定性等問題，在軌跡跟蹤控制方面具有顯著的優(yōu)勢。它可以在考慮系統(tǒng)約束的情況下，優(yōu)化控制輸入，使系統(tǒng)的輸出盡可能地跟蹤參考軌跡，同時(shí)還能對(duì)系統(tǒng)的未來狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測和調(diào)整，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和魯棒性。然而，傳統(tǒng)的MPC方法依賴于精確的數(shù)學(xué)模型，而四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型往往存在不確定性和非線性，這限制了傳統(tǒng)MPC方法的應(yīng)用效果。為了解決這一問題，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的MPC方法應(yīng)運(yùn)而生。高斯過程模型作為一種強(qiáng)大的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型，能夠有效地處理不確定性問題，具有良好的泛化能力和預(yù)測精度。將高斯過程模型與MPC相結(jié)合，形成高斯過程模型預(yù)測控制（GaussianProcessModelPredictiveControl,GP-MPC），為四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制提供了新的思路和方法。GP-MPC利用高斯過程模型對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行建模和預(yù)測，能夠更好地適應(yīng)四旋翼無人機(jī)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性和多變的飛行環(huán)境，提高軌跡跟蹤控制的性能和魯棒性。綜上所述，研究基于高斯過程模型預(yù)測控制的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。從理論角度來看，GP-MPC融合了高斯過程模型和模型預(yù)測控制的優(yōu)勢，為解決非線性、不確定性系統(tǒng)的控制問題提供了新的方法和理論支持，有助于推動(dòng)控制理論的發(fā)展。從實(shí)際應(yīng)用角度來看，提高四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制性能，能夠進(jìn)一步拓展其在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用范圍，提高作業(yè)效率和質(zhì)量，為社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展做出貢獻(xiàn)。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，取得了豐碩的研究成果。在國外，許多科研機(jī)構(gòu)和高校在這一領(lǐng)域開展了深入研究。美國斯坦福大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)[1]提出了一種基于非線性模型預(yù)測控制的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤方法，該方法通過對(duì)無人機(jī)的非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行精確建模，在考慮系統(tǒng)約束的情況下，優(yōu)化控制輸入，實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜軌跡的精確跟蹤。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在軌跡跟蹤精度和穩(wěn)定性方面具有明顯優(yōu)勢，但計(jì)算復(fù)雜度較高，對(duì)硬件性能要求較高。德國慕尼黑工業(yè)大學(xué)的學(xué)者[2]利用自適應(yīng)滑?？刂扑惴▽?shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制，該算法能夠根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)自動(dòng)調(diào)整控制參數(shù)，有效提高了系統(tǒng)對(duì)不確定性和干擾的魯棒性。然而，滑模控制存在的抖振問題在一定程度上影響了控制精度和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，英國帝國理工學(xué)院的研究人員[3]將強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法應(yīng)用于四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制中，通過讓無人機(jī)在模擬環(huán)境中不斷學(xué)習(xí)和優(yōu)化控制策略，使其能夠在復(fù)雜環(huán)境下實(shí)現(xiàn)自主軌跡跟蹤。這種方法具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，但訓(xùn)練過程需要大量的時(shí)間和計(jì)算資源，且學(xué)習(xí)結(jié)果的可靠性和通用性有待進(jìn)一步提高。在國內(nèi)，眾多高校和科研單位也在四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制方面開展了大量研究工作。北京航空航天大學(xué)的研究團(tuán)隊(duì)[4]針對(duì)四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤問題，提出了一種基于反步法和模糊控制的復(fù)合控制策略。該策略結(jié)合了反步法對(duì)非線性系統(tǒng)的有效處理能力和模糊控制對(duì)不確定性的適應(yīng)性，通過模糊控制器對(duì)反步法設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)整，提高了系統(tǒng)的魯棒性和控制性能。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性，但模糊規(guī)則的設(shè)計(jì)和調(diào)整依賴于經(jīng)驗(yàn)，具有一定的主觀性。南京航空航天大學(xué)的學(xué)者[5]研究了基于自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)（ANFIS）的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制方法，利用ANFIS能夠自動(dòng)學(xué)習(xí)和調(diào)整模糊規(guī)則的特點(diǎn)，對(duì)無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行在線辨識(shí)和控制，取得了較好的控制效果。然而，ANFIS的結(jié)構(gòu)和參數(shù)優(yōu)化較為復(fù)雜，計(jì)算量較大。此外，哈爾濱工業(yè)大學(xué)的研究人員[6]提出了一種基于分布式協(xié)同控制的多四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤方法，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)無人機(jī)之間的協(xié)同飛行和軌跡跟蹤，為多無人機(jī)系統(tǒng)在復(fù)雜任務(wù)中的應(yīng)用提供了技術(shù)支持。但該方法在無人機(jī)之間的通信和協(xié)調(diào)方面存在一定挑戰(zhàn)，容易受到通信延遲和干擾的影響。隨著數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)的發(fā)展，高斯過程模型預(yù)測控制在四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制中的應(yīng)用逐漸受到關(guān)注。國外一些研究機(jī)構(gòu)已經(jīng)開始探索將高斯過程模型與MPC相結(jié)合的方法，以提高四旋翼無人機(jī)在不確定環(huán)境下的軌跡跟蹤性能。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于高斯過程回歸的模型預(yù)測控制算法，用于四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制。該算法利用高斯過程回歸模型對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行建模和預(yù)測，通過在線優(yōu)化得到最優(yōu)控制輸入。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠有效提高軌跡跟蹤的精度和魯棒性，但計(jì)算量較大，實(shí)時(shí)性有待進(jìn)一步提高。國內(nèi)在高斯過程模型預(yù)測控制應(yīng)用于四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制方面的研究相對(duì)較少，但也取得了一些初步成果。文獻(xiàn)[8]研究了基于高斯過程代理模型的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制方法，通過構(gòu)建高斯過程代理模型來近似無人機(jī)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)模型，降低了模型預(yù)測控制的計(jì)算復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，該方法在一定程度上提高了軌跡跟蹤的性能，但在實(shí)際應(yīng)用中還需要進(jìn)一步驗(yàn)證和優(yōu)化。綜上所述，目前國內(nèi)外在四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制方面已經(jīng)取得了許多成果，但仍存在一些問題和挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的控制方法在面對(duì)復(fù)雜環(huán)境和不確定性時(shí)，控制性能往往受到限制；而基于優(yōu)化算法和機(jī)器學(xué)習(xí)的方法雖然在一定程度上提高了系統(tǒng)的適應(yīng)性和魯棒性，但存在計(jì)算復(fù)雜度高、實(shí)時(shí)性差等問題。高斯過程模型預(yù)測控制作為一種新興的控制方法，為解決四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制中的不確定性問題提供了新的途徑，但在算法優(yōu)化、計(jì)算效率提升以及實(shí)際應(yīng)用驗(yàn)證等方面還需要進(jìn)一步深入研究。1.3研究內(nèi)容與方法1.3.1研究內(nèi)容四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)建模：深入分析四旋翼無人機(jī)的飛行原理，考慮其非線性、欠驅(qū)動(dòng)和強(qiáng)耦合的特性，綜合運(yùn)用牛頓-歐拉方程、空氣動(dòng)力學(xué)原理以及力-力矩平衡關(guān)系，建立精確的四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型。該模型不僅要描述無人機(jī)在理想狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)特性，還需考慮實(shí)際飛行中可能遇到的各種因素，如電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性、旋翼的氣動(dòng)干擾、空氣阻力以及重力等，為后續(xù)的控制算法設(shè)計(jì)提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。高斯過程模型預(yù)測控制算法設(shè)計(jì)：將高斯過程模型引入模型預(yù)測控制框架，利用高斯過程模型強(qiáng)大的不確定性建模能力，對(duì)四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型中的不確定性因素進(jìn)行準(zhǔn)確建模和預(yù)測。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)基于高斯過程模型預(yù)測控制的軌跡跟蹤控制算法，通過在線優(yōu)化求解控制輸入，使無人機(jī)能夠準(zhǔn)確跟蹤預(yù)設(shè)軌跡。具體而言，需要確定高斯過程模型的核函數(shù)、超參數(shù)，以及設(shè)計(jì)合適的代價(jià)函數(shù)和約束條件，以平衡軌跡跟蹤誤差、控制輸入的平滑性以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性。算法性能優(yōu)化與分析：針對(duì)所設(shè)計(jì)的高斯過程模型預(yù)測控制算法，研究其計(jì)算效率的優(yōu)化方法。由于高斯過程模型的計(jì)算復(fù)雜度較高，可能影響算法的實(shí)時(shí)性，因此需要采用降維技術(shù)、稀疏化方法或并行計(jì)算等手段，降低計(jì)算量，提高算法的運(yùn)行速度，使其能夠滿足四旋翼無人機(jī)實(shí)時(shí)控制的要求。同時(shí)，通過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，深入研究算法的穩(wěn)定性、魯棒性以及軌跡跟蹤精度等性能指標(biāo)，分析不同參數(shù)對(duì)算法性能的影響，為算法的實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析：搭建四旋翼無人機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，包括硬件系統(tǒng)和軟件系統(tǒng)。硬件部分主要包括無人機(jī)機(jī)體、電機(jī)、傳感器、控制器等；軟件部分則包括數(shù)據(jù)采集、處理程序以及所設(shè)計(jì)的控制算法。在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證基于高斯過程模型預(yù)測控制的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制算法的有效性和實(shí)用性。通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，將所提算法與傳統(tǒng)的控制算法進(jìn)行性能比較，如PID控制、滑模控制等，分析所提算法在不同飛行條件下的優(yōu)勢和不足。對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)分析，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，為進(jìn)一步改進(jìn)算法和優(yōu)化系統(tǒng)性能提供參考。1.3.2研究方法理論分析：運(yùn)用控制理論、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，對(duì)四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性、高斯過程模型預(yù)測控制算法的原理和性能進(jìn)行深入的理論分析。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分析算法的穩(wěn)定性、收斂性和魯棒性等理論性質(zhì)，為算法設(shè)計(jì)和性能優(yōu)化提供理論支持。仿真研究：利用MATLAB、Simulink等仿真軟件，搭建四旋翼無人機(jī)的仿真模型，對(duì)所設(shè)計(jì)的控制算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在仿真環(huán)境中，可以方便地設(shè)置各種飛行條件和干擾因素，模擬無人機(jī)在不同場景下的飛行情況，對(duì)算法的性能進(jìn)行全面評(píng)估。通過仿真研究，可以快速驗(yàn)證算法的可行性，發(fā)現(xiàn)算法存在的問題，并進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)和優(yōu)化，減少實(shí)際實(shí)驗(yàn)的成本和風(fēng)險(xiǎn)。實(shí)驗(yàn)研究：搭建實(shí)際的四旋翼無人機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在實(shí)驗(yàn)過程中，嚴(yán)格按照實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行操作，采集無人機(jī)的飛行數(shù)據(jù)，包括位置、姿態(tài)、速度等信息。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和處理，驗(yàn)證算法在實(shí)際飛行中的有效性和可靠性。通過實(shí)驗(yàn)研究，可以獲取真實(shí)的飛行數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)算法在實(shí)際應(yīng)用中的性能表現(xiàn)，為算法的實(shí)際應(yīng)用提供實(shí)踐依據(jù)。二、四旋翼無人機(jī)與高斯過程模型預(yù)測控制理論基礎(chǔ)2.1四旋翼無人機(jī)概述2.1.1結(jié)構(gòu)與工作原理四旋翼無人機(jī)主要由機(jī)架、四個(gè)旋翼、四個(gè)電機(jī)、電子調(diào)速器、飛行控制器、傳感器以及電源等部分組成。機(jī)架作為無人機(jī)的主體結(jié)構(gòu)，為其他部件提供安裝和支撐平臺(tái)，其設(shè)計(jì)通?？紤]到輕量化、高強(qiáng)度和空氣動(dòng)力學(xué)性能，以確保無人機(jī)在飛行過程中的穩(wěn)定性和機(jī)動(dòng)性。四個(gè)旋翼對(duì)稱分布在機(jī)體的前后、左右四個(gè)方向，處于同一高度平面，且結(jié)構(gòu)和半徑相同。電機(jī)是驅(qū)動(dòng)旋翼旋轉(zhuǎn)的動(dòng)力源，通過電子調(diào)速器接收飛行控制器的指令，精確調(diào)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)旋翼轉(zhuǎn)速的控制。飛行控制器作為無人機(jī)的核心大腦，負(fù)責(zé)處理來自各種傳感器的信息，如加速度計(jì)、陀螺儀、氣壓計(jì)、磁力計(jì)等，并根據(jù)預(yù)設(shè)的控制算法生成控制指令，發(fā)送給電子調(diào)速器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)無人機(jī)姿態(tài)和位置的精確控制。電源則為整個(gè)無人機(jī)系統(tǒng)提供所需的電能，通常采用高性能的鋰電池，以滿足無人機(jī)對(duì)能量密度和續(xù)航能力的要求。四旋翼無人機(jī)的工作原理基于牛頓第三定律和空氣動(dòng)力學(xué)原理。通過調(diào)節(jié)四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，改變旋翼產(chǎn)生的升力大小和方向，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)無人機(jī)姿態(tài)和位置的控制。具體來說，當(dāng)四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速同時(shí)增加時(shí)，旋翼產(chǎn)生的總拉力增大，當(dāng)總拉力大于無人機(jī)的重力時(shí)，無人機(jī)便會(huì)垂直上升；反之，當(dāng)四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速同時(shí)減小時(shí)，總拉力減小，無人機(jī)則會(huì)垂直下降；當(dāng)總拉力等于重力時(shí)，無人機(jī)能夠保持懸停狀態(tài)。在姿態(tài)控制方面，四旋翼無人機(jī)通過產(chǎn)生不平衡的力矩來實(shí)現(xiàn)俯仰、滾轉(zhuǎn)和偏航運(yùn)動(dòng)。以俯仰運(yùn)動(dòng)為例，當(dāng)電機(jī)1的轉(zhuǎn)速上升，電機(jī)3的轉(zhuǎn)速下降（且改變量大小相等），而電機(jī)2和電機(jī)4的轉(zhuǎn)速保持不變時(shí)，由于旋翼1的升力上升，旋翼3的升力下降，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)繞y軸的不平衡力矩，使機(jī)身繞y軸旋轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)俯仰運(yùn)動(dòng)。同理，通過改變電機(jī)2和電機(jī)4的轉(zhuǎn)速，保持電機(jī)1和電機(jī)3的轉(zhuǎn)速不變，可使機(jī)身繞x軸旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。對(duì)于偏航運(yùn)動(dòng)，由于旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)過程中會(huì)受到空氣阻力產(chǎn)生反扭矩，為了克服反扭矩影響，四個(gè)旋翼采用兩兩對(duì)角旋轉(zhuǎn)方向相同的方式。當(dāng)四個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速相同時(shí)，反扭矩相互平衡，無人機(jī)不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)電機(jī)1和電機(jī)3的轉(zhuǎn)速上升，電機(jī)2和電機(jī)4的轉(zhuǎn)速下降時(shí)，旋翼1和旋翼3對(duì)機(jī)身的反扭矩大于旋翼2和旋翼4對(duì)機(jī)身的反扭矩，機(jī)身便會(huì)在富余反扭矩的作用下繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)偏航運(yùn)動(dòng)。在水平運(yùn)動(dòng)方面，要實(shí)現(xiàn)無人機(jī)在水平面內(nèi)的前后、左右運(yùn)動(dòng)，需要使旋翼拉力產(chǎn)生水平分量。例如，在向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，增加電機(jī)3的轉(zhuǎn)速，使拉力增大，相應(yīng)減小電機(jī)1的轉(zhuǎn)速，使拉力減小，同時(shí)保持電機(jī)2和電機(jī)4的轉(zhuǎn)速不變，此時(shí)無人機(jī)首先會(huì)發(fā)生一定程度的傾斜，從而使旋翼拉力產(chǎn)生向前的水平分量，實(shí)現(xiàn)前飛運(yùn)動(dòng)。向后飛行則與向前飛行相反，通過調(diào)整電機(jī)1和電機(jī)3的轉(zhuǎn)速來實(shí)現(xiàn)。側(cè)向運(yùn)動(dòng)的原理與前后運(yùn)動(dòng)類似，通過調(diào)整對(duì)應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，使旋翼拉力產(chǎn)生側(cè)向水平分量，實(shí)現(xiàn)側(cè)向飛行。2.1.2動(dòng)力學(xué)模型為了實(shí)現(xiàn)對(duì)四旋翼無人機(jī)的精確控制，需要建立其動(dòng)力學(xué)模型。在建立模型時(shí)，通常定義兩個(gè)坐標(biāo)系：慣性坐標(biāo)系\{E\}和機(jī)體坐標(biāo)系\{B\}。慣性坐標(biāo)系固定在地面上，是一個(gè)靜止的坐標(biāo)系，用于描述無人機(jī)在空間中的絕對(duì)位置和姿態(tài)；機(jī)體坐標(biāo)系則建立在無人機(jī)的機(jī)體上，隨著無人機(jī)的姿態(tài)變化而變化，用于描述作用在無人機(jī)上的力和力矩。根據(jù)牛頓-歐拉方程，四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程可以分為平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程描述了無人機(jī)在慣性坐標(biāo)系下的位置和速度變化與所受外力之間的關(guān)系。設(shè)無人機(jī)的質(zhì)量為m，在慣性坐標(biāo)系下的位置向量為\mathbf{p}=[x,y,z]^T，速度向量為\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z]^T，所受合力為\mathbf{F}，重力加速度為\mathbf{g}=[0,0,g]^T（其中g(shù)為重力加速度的大?。?，則平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：m\ddot{\mathbf{p}}=\mathbf{F}-mg\mathbf{e}_3\tag{1}其中，\ddot{\mathbf{p}}表示位置向量的二階導(dǎo)數(shù)，即加速度向量；\mathbf{e}_3=[0,0,1]^T是單位向量，表示慣性坐標(biāo)系的z軸方向。在機(jī)體坐標(biāo)系下，四個(gè)旋翼產(chǎn)生的總升力可以表示為U_1，其方向沿機(jī)體坐標(biāo)系的z軸正方向。通過旋轉(zhuǎn)矩陣\mathbf{R}（由無人機(jī)的姿態(tài)角確定），可以將機(jī)體坐標(biāo)系下的升力轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系下。設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣\mathbf{R}的元素為r_{ij}（i,j=1,2,3），則在慣性坐標(biāo)系下，升力在x、y、z軸上的分量分別為：\begin{align*}F_x&=r_{13}U_1\\F_y&=r_{23}U_1\\F_z&=r_{33}U_1\end{align*}\tag{2}將式（2）代入式（1），可以得到四旋翼無人機(jī)在慣性坐標(biāo)系下的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的具體形式：\begin{align*}m\ddot{x}&=r_{13}U_1\\m\ddot{y}&=r_{23}U_1\\m\ddot{z}&=r_{33}U_1-mg\end{align*}\tag{3}轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程描述了無人機(jī)的姿態(tài)變化與所受力矩之間的關(guān)系。設(shè)無人機(jī)相對(duì)于機(jī)體坐標(biāo)系的角速度向量為\boldsymbol{\omega}=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]^T，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為\mathbf{J}（假設(shè)無人機(jī)質(zhì)量分布均勻?qū)ΨQ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為對(duì)角矩陣，即\mathbf{J}=\text{diag}(J_x,J_y,J_z)，其中J_x、J_y、J_z分別為繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量），所受力矩為\mathbf{M}，則轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：\mathbf{J}\dot{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega}\times(\mathbf{J}\boldsymbol{\omega})=\mathbf{M}\tag{4}其中，\dot{\boldsymbol{\omega}}表示角速度向量的一階導(dǎo)數(shù)，即角加速度向量；\boldsymbol{\omega}\times(\mathbf{J}\boldsymbol{\omega})是科里奧利力和離心力產(chǎn)生的力矩。在機(jī)體坐標(biāo)系下，通過調(diào)節(jié)四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，可以產(chǎn)生繞x、y、z軸的力矩。設(shè)電機(jī)i（i=1,2,3,4）產(chǎn)生的升力為T_i，力臂長度為l（電機(jī)到無人機(jī)質(zhì)心的距離），則繞x、y、z軸的力矩分別為：\begin{align*}M_x&=l(T_2-T_4)\\M_y&=l(T_3-T_1)\\M_z&=k(T_1+T_3-T_2-T_4)\end{align*}\tag{5}其中，k是與旋翼反扭矩系數(shù)有關(guān)的常數(shù)。將式（5）代入式（4），可以得到四旋翼無人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的具體形式：\begin{align*}J_x\dot{\omega}_x+(J_z-J_y)\omega_y\omega_z&=l(T_2-T_4)\\J_y\dot{\omega}_y+(J_x-J_z)\omega_x\omega_z&=l(T_3-T_1)\\J_z\dot{\omega}_z+(J_y-J_x)\omega_x\omega_y&=k(T_1+T_3-T_2-T_4)\end{align*}\tag{6}四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型具有非線性、強(qiáng)耦合和欠驅(qū)動(dòng)的特性。非線性體現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)方程中包含三角函數(shù)（如旋轉(zhuǎn)矩陣中的元素）以及角速度的乘積項(xiàng)（如轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程中的科里奧利力和離心力項(xiàng)），使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性關(guān)系。強(qiáng)耦合表現(xiàn)為無人機(jī)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)之間相互影響，例如，改變旋翼的轉(zhuǎn)速不僅會(huì)影響無人機(jī)的升力和姿態(tài)，還會(huì)通過反扭矩和空氣動(dòng)力學(xué)效應(yīng)影響其平動(dòng)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，各個(gè)姿態(tài)角之間也存在耦合關(guān)系，一個(gè)姿態(tài)角的變化可能會(huì)引起其他姿態(tài)角的改變。欠驅(qū)動(dòng)特性是指四旋翼無人機(jī)只有四個(gè)輸入（四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速），卻需要控制六個(gè)自由度（三個(gè)平動(dòng)自由度和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度），輸入數(shù)量小于輸出自由度數(shù)量，這使得無人機(jī)的控制問題變得更加復(fù)雜，需要采用特殊的控制策略來實(shí)現(xiàn)對(duì)其精確控制。2.2高斯過程模型預(yù)測控制原理2.2.1高斯過程基本理論高斯過程（GaussianProcess,GP）是一種強(qiáng)大的概率模型，在機(jī)器學(xué)習(xí)和統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它定義了一組隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，其中任意有限個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布都服從高斯分布。從本質(zhì)上講，高斯過程可以看作是一個(gè)無限維的高斯分布，它通過對(duì)函數(shù)空間進(jìn)行建模，能夠靈活地處理各種復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布和關(guān)系。在數(shù)學(xué)上，高斯過程由一個(gè)均值函數(shù)m(\mathbf{x})和一個(gè)協(xié)方差函數(shù)（也稱為核函數(shù)）k(\mathbf{x},\mathbf{x}')完全確定。對(duì)于給定的輸入空間\mathcal{X}，高斯過程GP(m(\mathbf{x}),k(\mathbf{x},\mathbf{x}'))表示對(duì)于任意有限個(gè)輸入點(diǎn)\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_n\in\mathcal{X}，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(\mathbf{x}_1),f(\mathbf{x}_2),\cdots,f(\mathbf{x}_n)服從聯(lián)合高斯分布：\begin{bmatrix}f(\mathbf{x}_1)\\f(\mathbf{x}_2)\\\vdots\\f(\mathbf{x}_n)\end{bmatrix}\sim\mathcal{N}\left(\begin{bmatrix}m(\mathbf{x}_1)\\m(\mathbf{x}_2)\\\vdots\\m(\mathbf{x}_n)\end{bmatrix},\begin{bmatrix}k(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_1)&k(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2)&\cdots&k(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_n)\\k(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1)&k(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_2)&\cdots&k(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_n)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\k(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_1)&k(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_2)&\cdots&k(\mathbf{x}_n,\mathbf{x}_n)\end{bmatrix}\right)\tag{7}其中，均值函數(shù)m(\mathbf{x})描述了函數(shù)的平均趨勢，它給出了在輸入點(diǎn)\mathbf{x}處函數(shù)值的期望值。在實(shí)際應(yīng)用中，均值函數(shù)通常設(shè)置為一個(gè)簡單的函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)（即m(\mathbf{x})=c，c為常數(shù)）或線性函數(shù)（如m(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T\mathbf{x}，\mathbf{w}為權(quán)重向量），也可以根據(jù)具體問題的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行選擇。協(xié)方差函數(shù)k(\mathbf{x},\mathbf{x}')則刻畫了不同輸入點(diǎn)之間函數(shù)值的相關(guān)性，它決定了高斯過程的性質(zhì)和形狀，是高斯過程建模的關(guān)鍵。協(xié)方差函數(shù)的值越大，表示兩個(gè)輸入點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越相似，相關(guān)性越強(qiáng)；反之，協(xié)方差函數(shù)的值越小，相關(guān)性越弱。常見的協(xié)方差函數(shù)有徑向基函數(shù)（RadialBasisFunction,RBF）核、Matérn核、多項(xiàng)式核、周期核等，每種核函數(shù)都有其獨(dú)特的性質(zhì)和適用場景。以RBF核為例，其表達(dá)式為：k(\mathbf{x},\mathbf{x}')=\sigma_f^2\exp\left(-\frac{1}{2l^2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}')^T(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\right)\tag{8}其中，\sigma_f^2表示信號(hào)方差，控制函數(shù)的波動(dòng)程度，\sigma_f^2越大，函數(shù)的波動(dòng)越大；l是長度尺度參數(shù)，決定了函數(shù)的平滑程度和相關(guān)性的范圍，l越大，函數(shù)越平滑，相關(guān)性的范圍越廣。RBF核是一種常用的協(xié)方差函數(shù)，它具有無限可微性，能夠很好地?cái)M合各種非線性函數(shù)，在許多實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)出良好的性能。在函數(shù)建模中，高斯過程具有獨(dú)特的優(yōu)勢。與傳統(tǒng)的參數(shù)化模型（如線性回歸模型）相比，高斯過程是非參數(shù)化的，它不需要預(yù)先假設(shè)函數(shù)的具體形式，而是根據(jù)數(shù)據(jù)自適應(yīng)地學(xué)習(xí)函數(shù)的特征。這使得高斯過程能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布和關(guān)系，具有更強(qiáng)的靈活性和泛化能力。例如，在對(duì)一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)，傳統(tǒng)的線性回歸模型可能無法準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的行為，而高斯過程可以通過合理選擇協(xié)方差函數(shù)，有效地捕捉系統(tǒng)的非線性特征，提供準(zhǔn)確的模型擬合和預(yù)測。此外，高斯過程還能夠提供預(yù)測的不確定性估計(jì)，這對(duì)于許多實(shí)際應(yīng)用（如風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、決策制定等）非常重要。通過計(jì)算預(yù)測值的方差或置信區(qū)間，可以評(píng)估預(yù)測結(jié)果的可靠性，為用戶提供更多的信息，幫助他們做出更明智的決策。2.2.2模型預(yù)測控制基本原理模型預(yù)測控制（ModelPredictiveControl,MPC）作為一種先進(jìn)的控制策略，在工業(yè)過程控制、機(jī)器人控制、航空航天等眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。其基本原理基于三個(gè)關(guān)鍵要素：預(yù)測模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正。預(yù)測模型是MPC的基礎(chǔ)，它用于根據(jù)系統(tǒng)的歷史信息和當(dāng)前輸入來預(yù)測未來一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的輸出。預(yù)測模型可以是基于系統(tǒng)物理機(jī)理建立的數(shù)學(xué)模型，也可以是通過數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等）獲得的模型。在四旋翼無人機(jī)的控制中，常用的預(yù)測模型包括基于牛頓-歐拉方程建立的動(dòng)力學(xué)模型，該模型能夠準(zhǔn)確地描述無人機(jī)在各種力和力矩作用下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化；以及基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的高斯過程模型，它可以有效地處理系統(tǒng)中的不確定性因素，對(duì)無人機(jī)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行建模和預(yù)測。預(yù)測模型的準(zhǔn)確性直接影響著MPC的控制性能，因此在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)系統(tǒng)的特點(diǎn)和需求選擇合適的預(yù)測模型，并對(duì)其進(jìn)行精確的建模和參數(shù)辨識(shí)。滾動(dòng)優(yōu)化是MPC的核心思想，它采用滾動(dòng)式的有限時(shí)域優(yōu)化策略。在每個(gè)采樣時(shí)刻，根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)和預(yù)測模型，預(yù)測未來一段時(shí)間（預(yù)測時(shí)域N_p）內(nèi)系統(tǒng)的輸出。然后，通過構(gòu)造一個(gè)性能指標(biāo)（如目標(biāo)函數(shù)），并考慮系統(tǒng)的各種約束條件（如輸入約束、輸出約束、狀態(tài)約束等），求解一個(gè)有限時(shí)域的優(yōu)化問題，得到當(dāng)前時(shí)刻起未來一段時(shí)間（控制時(shí)域N_c，N_c\leqN_p）內(nèi)的最優(yōu)控制輸入序列。目標(biāo)函數(shù)通常定義為系統(tǒng)輸出與參考軌跡之間的誤差以及控制輸入的變化量的加權(quán)和，通過最小化目標(biāo)函數(shù)，可以使系統(tǒng)的輸出盡可能地跟蹤參考軌跡，同時(shí)保證控制輸入的平滑性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例如，常見的二次型目標(biāo)函數(shù)可以表示為：J=\sum_{i=1}^{N_p}\left(\mathbf{y}(k+i|k)-\mathbf{r}(k+i)\right)^T\mathbf{Q}_i\left(\mathbf{y}(k+i|k)-\mathbf{r}(k+i)\right)+\sum_{j=0}^{N_c-1}\Delta\mathbf{u}(k+j|k)^T\mathbf{R}_j\Delta\mathbf{u}(k+j|k)\tag{9}其中，\mathbf{y}(k+i|k)是在時(shí)刻k預(yù)測的k+i時(shí)刻的系統(tǒng)輸出；\mathbf{r}(k+i)是k+i時(shí)刻的參考軌跡；\Delta\mathbf{u}(k+j|k)是在時(shí)刻k計(jì)算的k+j時(shí)刻的控制輸入增量；\mathbf{Q}_i和\mathbf{R}_j分別是輸出誤差和控制輸入增量的權(quán)重矩陣，用于調(diào)整跟蹤誤差和控制輸入變化量在目標(biāo)函數(shù)中的相對(duì)重要性。通過求解上述優(yōu)化問題，可以得到一組最優(yōu)的控制輸入序列\(zhòng)mathbf{u}^*(k|k),\mathbf{u}^*(k+1|k),\cdots,\mathbf{u}^*(k+N_c-1|k)。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，只將當(dāng)前時(shí)刻的控制輸入\mathbf{u}^*(k|k)作用于系統(tǒng)，在下一采樣時(shí)刻，重復(fù)上述優(yōu)化過程，重新計(jì)算最優(yōu)控制輸入序列，這種滾動(dòng)優(yōu)化的方式能夠及時(shí)考慮系統(tǒng)的時(shí)變特性和不確定性因素，使系統(tǒng)始終保持在最優(yōu)的運(yùn)行狀態(tài)。反饋校正是MPC能夠有效應(yīng)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)中存在的各種不確定性（如模型失配、干擾等）的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。由于實(shí)際系統(tǒng)中存在非線性、時(shí)變、噪聲等因素，基于預(yù)測模型得到的預(yù)測輸出往往與實(shí)際輸出存在偏差。為了提高控制的準(zhǔn)確性和魯棒性，MPC在每個(gè)采樣時(shí)刻獲取系統(tǒng)的實(shí)際輸出，并將其與預(yù)測輸出進(jìn)行比較，得到誤差信息。然后，根據(jù)誤差信息對(duì)預(yù)測模型進(jìn)行修正，以補(bǔ)償模型失配和干擾等因素對(duì)系統(tǒng)的影響，使得下一次的預(yù)測更加準(zhǔn)確。常見的反饋校正方法包括基于狀態(tài)觀測器的方法和基于自適應(yīng)控制的方法。基于狀態(tài)觀測器的方法通過設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器，對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并利用估計(jì)的狀態(tài)對(duì)預(yù)測模型進(jìn)行修正；基于自適應(yīng)控制的方法則根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)和誤差信息，在線調(diào)整預(yù)測模型的參數(shù)，以提高模型的準(zhǔn)確性和適應(yīng)性。通過反饋校正，MPC能夠及時(shí)調(diào)整控制策略，使系統(tǒng)的輸出更加接近參考軌跡，提高系統(tǒng)的控制性能和魯棒性。2.2.3高斯過程模型預(yù)測控制流程高斯過程模型預(yù)測控制（GP-MPC）將高斯過程模型與模型預(yù)測控制相結(jié)合，充分利用了高斯過程模型對(duì)不確定性的建模能力和模型預(yù)測控制的滾動(dòng)優(yōu)化特性，為四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制提供了一種有效的解決方案。其控制流程主要包括以下幾個(gè)關(guān)鍵步驟：數(shù)據(jù)收集、建模、預(yù)測和控制輸入求解。在數(shù)據(jù)收集階段，為了建立準(zhǔn)確的高斯過程模型，需要收集大量與四旋翼無人機(jī)運(yùn)行相關(guān)的數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)包括無人機(jī)的狀態(tài)信息（如位置、姿態(tài)、速度等）、控制輸入（如電機(jī)轉(zhuǎn)速）以及各種環(huán)境因素（如風(fēng)力、氣壓等）。數(shù)據(jù)的質(zhì)量和豐富程度直接影響著高斯過程模型的性能，因此在數(shù)據(jù)收集過程中，需要確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性、完整性和代表性。可以通過實(shí)驗(yàn)測量、傳感器采集等方式獲取數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，如濾波、去噪、歸一化等，以提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量。例如，使用高精度的慣性測量單元（IMU）來測量無人機(jī)的姿態(tài)和加速度信息，通過全球定位系統(tǒng)（GPS）獲取無人機(jī)的位置信息，利用風(fēng)速傳感器測量環(huán)境風(fēng)速等。同時(shí)，為了增加數(shù)據(jù)的多樣性，可以在不同的飛行條件下（如不同的飛行軌跡、不同的天氣條件等）進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。建模階段是GP-MPC的核心環(huán)節(jié)之一，利用收集到的數(shù)據(jù)建立高斯過程模型。首先，根據(jù)問題的特點(diǎn)和數(shù)據(jù)的分布情況，選擇合適的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。均值函數(shù)通常選擇為簡單的常數(shù)函數(shù)或線性函數(shù)，如前面提到的m(\mathbf{x})=c或m(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T\mathbf{x}，以描述系統(tǒng)的平均趨勢。協(xié)方差函數(shù)的選擇則更為關(guān)鍵，它決定了高斯過程模型的靈活性和擬合能力。常見的協(xié)方差函數(shù)如RBF核、Matérn核等都有各自的特點(diǎn)和適用場景。例如，RBF核適用于對(duì)光滑函數(shù)進(jìn)行建模，能夠很好地捕捉數(shù)據(jù)中的非線性關(guān)系；Matérn核則在處理具有不同平滑度的數(shù)據(jù)時(shí)表現(xiàn)出更好的性能。在確定均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)后，需要通過最大似然估計(jì)、貝葉斯推斷等方法來估計(jì)模型的超參數(shù)（如協(xié)方差函數(shù)中的參數(shù)\sigma_f^2、l等）。以最大似然估計(jì)為例，通過最大化觀測數(shù)據(jù)在高斯過程模型下的似然函數(shù)，來確定超參數(shù)的最優(yōu)值，使得模型能夠最好地?cái)M合數(shù)據(jù)。通過建立準(zhǔn)確的高斯過程模型，可以對(duì)四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行有效的建模和不確定性估計(jì)，為后續(xù)的預(yù)測和控制提供基礎(chǔ)。預(yù)測階段基于建立好的高斯過程模型，根據(jù)當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)和未來的控制輸入，預(yù)測四旋翼無人機(jī)未來一段時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)。在每個(gè)采樣時(shí)刻，將當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)（如位置、姿態(tài)等）作為輸入，結(jié)合高斯過程模型，預(yù)測未來預(yù)測時(shí)域N_p內(nèi)的狀態(tài)。由于高斯過程模型能夠提供預(yù)測的不確定性估計(jì)，因此可以得到預(yù)測狀態(tài)的均值和方差。預(yù)測狀態(tài)的均值表示對(duì)未來狀態(tài)的最佳估計(jì)，而方差則反映了預(yù)測的不確定性程度。例如，對(duì)于四旋翼無人機(jī)的位置預(yù)測，通過高斯過程模型可以得到未來每個(gè)時(shí)刻的預(yù)測位置均值以及位置的不確定性范圍（由方差確定）。這些預(yù)測信息將用于后續(xù)的控制輸入求解，以實(shí)現(xiàn)對(duì)無人機(jī)軌跡的精確跟蹤?？刂戚斎肭蠼怆A段是GP-MPC的另一個(gè)核心環(huán)節(jié)，通過滾動(dòng)優(yōu)化的方式求解當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)控制輸入。在每個(gè)采樣時(shí)刻，根據(jù)預(yù)測得到的無人機(jī)未來狀態(tài)，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，并考慮系統(tǒng)的各種約束條件，如電機(jī)轉(zhuǎn)速的限制、無人機(jī)姿態(tài)的限制等，求解一個(gè)有限時(shí)域的優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)通常定義為無人機(jī)的實(shí)際軌跡與參考軌跡之間的誤差以及控制輸入的變化量的加權(quán)和，通過最小化目標(biāo)函數(shù)，可以使無人機(jī)的實(shí)際軌跡盡可能地接近參考軌跡，同時(shí)保證控制輸入的平滑性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例如，目標(biāo)函數(shù)可以表示為：J=\sum_{i=1}^{N_p}\left(\mathbf{p}(k+i|k)-\mathbf{p}_r(k+i)\right)^T\mathbf{Q}_i\left(\mathbf{p}(k+i|k)-\mathbf{p}_r(k+i)\right)+\sum_{j=0}^{N_c-1}\Delta\mathbf{u}(k+j|k)^T\mathbf{R}_j\Delta\mathbf{u}(k+j|k)\tag{10}其中，\mathbf{p}(k+i|k)是在時(shí)刻k預(yù)測的k+i時(shí)刻的無人機(jī)位置；\mathbf{p}_r(k+i)是k+i時(shí)刻的參考位置軌跡；\Delta\mathbf{u}(k+j|k)是在時(shí)刻k計(jì)算的k+j時(shí)刻的控制輸入增量；\mathbf{Q}_i和\mathbf{R}_j分別是位置誤差和控制輸入增量的權(quán)重矩陣。通過求解上述優(yōu)化問題，可以得到當(dāng)前時(shí)刻起未來控制時(shí)域N_c內(nèi)的最優(yōu)控制輸入序列\(zhòng)mathbf{u}^*(k|k),\mathbf{u}^*(k+1|k),\cdots,\mathbf{u}^*(k+N_c-1|k)。然后，只將當(dāng)前時(shí)刻的控制輸入\mathbf{u}^*(k|k)作用于四旋翼無人機(jī)，在下一采樣時(shí)刻，重復(fù)上述數(shù)據(jù)收集、建模、預(yù)測和控制輸入求解的過程，實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)優(yōu)化控制。通過這種方式，GP-MPC能夠?qū)崟r(shí)根據(jù)無人機(jī)的當(dāng)前狀態(tài)和未來預(yù)測，調(diào)整控制輸入，使無人機(jī)準(zhǔn)確地跟蹤參考軌跡，同時(shí)適應(yīng)各種不確定性因素的影響。三、基于高斯過程模型預(yù)測控制的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制算法設(shè)計(jì)3.1軌跡跟蹤控制問題描述四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤控制的核心目標(biāo)是確保無人機(jī)能夠準(zhǔn)確地跟蹤預(yù)設(shè)的飛行軌跡。在實(shí)際飛行過程中，無人機(jī)需要根據(jù)參考軌跡的變化，實(shí)時(shí)調(diào)整自身的位置和姿態(tài)，以最小化跟蹤誤差，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定、精確的飛行。為了準(zhǔn)確描述四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤問題，需要建立跟蹤誤差模型。設(shè)四旋翼無人機(jī)在慣性坐標(biāo)系下的實(shí)際位置向量為\mathbf{p}=[x,y,z]^T，速度向量為\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z]^T，姿態(tài)四元數(shù)為\mathbf{q}=[q_0,q_1,q_2,q_3]^T；參考軌跡的位置向量為\mathbf{p}_r=[x_r,y_r,z_r]^T，速度向量為\mathbf{v}_r=[v_{xr},v_{yr},v_{zr}]^T，加速度向量為\mathbf{a}_r=[a_{xr},a_{yr},a_{zr}]^T。定義位置跟蹤誤差為：\mathbf{e}_p=\mathbf{p}_r-\mathbf{p}\tag{11}速度跟蹤誤差為：\mathbf{e}_v=\mathbf{v}_r-\mathbf{v}\tag{12}姿態(tài)跟蹤誤差的定義相對(duì)復(fù)雜，由于四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)采用四元數(shù)表示，需要通過一定的運(yùn)算來計(jì)算誤差。首先，將參考姿態(tài)四元數(shù)\mathbf{q}_r=[q_{r0},q_{r1},q_{r2},q_{r3}]^T與實(shí)際姿態(tài)四元數(shù)\mathbf{q}進(jìn)行共軛運(yùn)算，得到誤差四元數(shù)\mathbf{e}_q：\mathbf{e}_q=\mathbf{q}_r\otimes\mathbf{q}^*\tag{13}其中，\otimes表示四元數(shù)乘法，\mathbf{q}^*=[q_0,-q_1,-q_2,-q_3]^T是\mathbf{q}的共軛四元數(shù)。為了更直觀地反映姿態(tài)誤差，通常將誤差四元數(shù)\mathbf{e}_q轉(zhuǎn)換為歐拉角形式，得到姿態(tài)跟蹤誤差\mathbf{e}_{\theta}=[\theta_{ex},\theta_{ey},\theta_{ez}]^T，轉(zhuǎn)換公式可根據(jù)四元數(shù)與歐拉角的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到。綜合位置、速度和姿態(tài)跟蹤誤差，構(gòu)建跟蹤誤差向量：\mathbf{e}=[\mathbf{e}_p^T,\mathbf{e}_v^T,\mathbf{e}_{\theta}^T]^T\tag{14}在實(shí)際飛行中，四旋翼無人機(jī)還會(huì)受到各種外部干擾和內(nèi)部不確定性因素的影響，如風(fēng)力、大氣湍流、電機(jī)特性的差異以及傳感器噪聲等。這些因素會(huì)導(dǎo)致無人機(jī)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)偏離參考軌跡，增大跟蹤誤差。因此，在設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制算法時(shí)，需要充分考慮這些不確定性因素，提高控制算法的魯棒性和適應(yīng)性，以確保無人機(jī)能夠在復(fù)雜環(huán)境下準(zhǔn)確地跟蹤參考軌跡。3.2高斯過程模型建模3.2.1數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理為了建立準(zhǔn)確的高斯過程模型來描述四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性，數(shù)據(jù)收集是至關(guān)重要的第一步。在實(shí)際飛行實(shí)驗(yàn)中，我們利用高精度的傳感器來獲取四旋翼無人機(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)。例如，采用慣性測量單元（IMU），它能夠?qū)崟r(shí)測量無人機(jī)的加速度、角速度等信息，為我們提供關(guān)于無人機(jī)姿態(tài)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)鍵數(shù)據(jù)；使用全球定位系統(tǒng)（GPS），可以精確獲取無人機(jī)在空間中的位置信息，確保我們對(duì)無人機(jī)的定位準(zhǔn)確無誤；而氣壓計(jì)則用于測量無人機(jī)的高度，進(jìn)一步完善了無人機(jī)的位置信息。同時(shí)，為了全面了解無人機(jī)的飛行狀態(tài)，還記錄了電機(jī)的轉(zhuǎn)速、電池的電量等其他相關(guān)參數(shù)。在不同的飛行條件下進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，包括不同的飛行軌跡（如直線、曲線、圓形等）、不同的飛行速度（低速、中速、高速）以及不同的環(huán)境條件（如不同的風(fēng)力、溫度、濕度等），以增加數(shù)據(jù)的多樣性和代表性。這樣可以使建立的高斯過程模型更好地適應(yīng)各種實(shí)際飛行場景，提高模型的泛化能力。收集到的數(shù)據(jù)往往包含噪聲和異常值，這些因素會(huì)嚴(yán)重影響高斯過程模型的準(zhǔn)確性和可靠性。因此，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，以去除噪聲和異常值，提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量。采用濾波算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理是一種常見的方法。例如，卡爾曼濾波是一種常用的線性濾波算法，它基于系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程，通過對(duì)當(dāng)前狀態(tài)的預(yù)測和觀測數(shù)據(jù)的融合，能夠有效地估計(jì)系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)，從而去除噪聲的干擾。對(duì)于非線性系統(tǒng)，擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）則是一種有效的選擇，它通過對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化近似，將卡爾曼濾波應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。除了卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波，還有其他濾波算法，如粒子濾波等，也可以根據(jù)具體的數(shù)據(jù)特點(diǎn)和應(yīng)用場景進(jìn)行選擇。在去除噪聲后，還需要檢測并剔除異常值。異常值可能是由于傳感器故障、數(shù)據(jù)傳輸錯(cuò)誤或其他突發(fā)因素導(dǎo)致的，它們會(huì)對(duì)模型的訓(xùn)練和預(yù)測產(chǎn)生較大的影響。一種常用的異常值檢測方法是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的3σ準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，如果某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與均值的偏差超過3倍的標(biāo)準(zhǔn)差，則認(rèn)為該數(shù)據(jù)點(diǎn)是異常值。例如，對(duì)于無人機(jī)的位置數(shù)據(jù)，如果某個(gè)位置測量值與其他測量值的偏差過大，超過了根據(jù)3σ準(zhǔn)則計(jì)算出的閾值，那么就可以判斷該數(shù)據(jù)點(diǎn)為異常值，并將其剔除。除了3σ準(zhǔn)則，還可以使用基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法，如孤立森林算法、One-ClassSVM等，這些方法能夠更有效地處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布和異常值情況。在實(shí)際操作中，首先對(duì)采集到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行初步的可視化分析，觀察數(shù)據(jù)的分布情況和趨勢，以便發(fā)現(xiàn)明顯的異常值和噪聲特征。然后，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選擇合適的濾波算法進(jìn)行去噪處理，再運(yùn)用異常值檢測方法對(duì)去噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢測和剔除異常值。經(jīng)過這樣的數(shù)據(jù)預(yù)處理過程，得到的高質(zhì)量數(shù)據(jù)為后續(xù)的高斯過程模型建模提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，能夠提高模型的訓(xùn)練效果和預(yù)測準(zhǔn)確性。3.2.2核函數(shù)選擇與參數(shù)優(yōu)化核函數(shù)在高斯過程模型中起著關(guān)鍵作用，它決定了模型的擬合能力和泛化性能。不同的核函數(shù)具有不同的特性，適用于不同類型的數(shù)據(jù)和問題。常見的核函數(shù)包括徑向基函數(shù)（RBF）核、Matérn核、多項(xiàng)式核、周期核等。RBF核是一種常用的核函數(shù)，其表達(dá)式為k(\mathbf{x},\mathbf{x}')=\sigma_f^2\exp\left(-\frac{1}{2l^2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}')^T(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\right)。RBF核具有無限可微性，能夠很好地?cái)M合各種非線性函數(shù)，對(duì)復(fù)雜的數(shù)據(jù)分布具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。在四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)建模中，由于無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)特性呈現(xiàn)出高度的非線性，RBF核能夠有效地捕捉到無人機(jī)狀態(tài)變量之間的復(fù)雜關(guān)系，從而提供準(zhǔn)確的模型擬合。它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算相對(duì)簡單，在許多實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)出良好的性能。然而，RBF核也存在一些缺點(diǎn)，例如它對(duì)數(shù)據(jù)的局部變化較為敏感，可能會(huì)導(dǎo)致過擬合問題，特別是在數(shù)據(jù)量較少或噪聲較大的情況下。Matérn核是另一類常用的核函數(shù)，它具有不同的平滑度參數(shù)。Matérn核的一般形式為k(\mathbf{x},\mathbf{x}')=\frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)}\left(\frac{\sqrt{2\nu}\|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\|}{l}\right)^{\nu}K_{\nu}\left(\frac{\sqrt{2\nu}\|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\|}{l}\right)，其中\(zhòng)nu是平滑度參數(shù)，\Gamma(\cdot)是伽馬函數(shù)，K_{\nu}(\cdot)是修正貝塞爾函數(shù)。Matérn核的優(yōu)勢在于它能夠更好地處理具有不同平滑度的數(shù)據(jù)，對(duì)于一些非光滑函數(shù)或具有局部特征的數(shù)據(jù)，Matérn核可能比RBF核表現(xiàn)更優(yōu)。在四旋翼無人機(jī)的應(yīng)用中，如果無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性在某些區(qū)域表現(xiàn)出非光滑的特點(diǎn)，或者數(shù)據(jù)中存在一些局部的變化趨勢，Matérn核可能更適合用于建模。例如，當(dāng)無人機(jī)在進(jìn)行快速機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化可能較為劇烈，此時(shí)Matérn核能夠更準(zhǔn)確地描述這種非光滑的動(dòng)態(tài)特性。然而，Matérn核的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高，特別是當(dāng)\nu取非整數(shù)時(shí)，計(jì)算修正貝塞爾函數(shù)會(huì)增加計(jì)算量。多項(xiàng)式核的表達(dá)式為k(\mathbf{x},\mathbf{x}')=(\mathbf{x}^T\mathbf{x}'+c)^d，其中c是常數(shù)，d是多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式核主要用于處理具有多項(xiàng)式關(guān)系的數(shù)據(jù)，對(duì)于一些具有明確多項(xiàng)式規(guī)律的數(shù)據(jù)，多項(xiàng)式核能夠很好地?cái)M合數(shù)據(jù)。在四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)建模中，如果無人機(jī)的某些狀態(tài)變量之間存在多項(xiàng)式關(guān)系，例如電機(jī)轉(zhuǎn)速與升力之間的關(guān)系可能在一定范圍內(nèi)近似為多項(xiàng)式關(guān)系，那么多項(xiàng)式核可以用于描述這種關(guān)系。多項(xiàng)式核的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，能夠快速得到模型的解。但是，它的局限性在于對(duì)數(shù)據(jù)的適應(yīng)性相對(duì)較弱，對(duì)于復(fù)雜的非線性關(guān)系可能無法準(zhǔn)確擬合。周期核適用于處理具有周期性變化的數(shù)據(jù)。在四旋翼無人機(jī)的飛行過程中，如果某些環(huán)境因素或無人機(jī)自身的運(yùn)動(dòng)特性具有周期性，例如無人機(jī)在周期性的風(fēng)場中飛行，或者無人機(jī)按照一定的周期進(jìn)行特定的動(dòng)作，那么周期核可以用于捕捉這種周期性變化。周期核的表達(dá)式通常為k(\mathbf{x},\mathbf{x}')=\sigma_f^2\exp\left(-\frac{2\sin^2\left(\frac{\pi\|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\|}{p}\right)}{l^2}\right)，其中p是周期參數(shù)。周期核能夠有效地描述數(shù)據(jù)的周期性特征，但它對(duì)周期的估計(jì)較為敏感，如果周期參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，可能會(huì)影響模型的性能。在選擇核函數(shù)時(shí)，需要綜合考慮四旋翼無人機(jī)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和建模需求。由于無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性復(fù)雜，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出高度的非線性和不確定性，通常RBF核和Matérn核是比較常用的選擇。RBF核因其良好的非線性擬合能力和相對(duì)簡單的計(jì)算，在大多數(shù)情況下能夠提供較好的建模效果；而Matérn核在處理非光滑或具有局部特征的數(shù)據(jù)時(shí)具有優(yōu)勢，可以根據(jù)數(shù)據(jù)的具體情況進(jìn)行選擇。為了進(jìn)一步提高高斯過程模型的性能，需要對(duì)核函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。核函數(shù)的參數(shù)直接影響模型的擬合能力和泛化性能，通過優(yōu)化參數(shù)可以使模型更好地適應(yīng)數(shù)據(jù)的分布。常見的核函數(shù)參數(shù)優(yōu)化方法包括交叉驗(yàn)證和最大似然估計(jì)。交叉驗(yàn)證是一種常用的模型評(píng)估和參數(shù)選擇方法。其基本思想是將數(shù)據(jù)集劃分為多個(gè)子集，在不同的子集上進(jìn)行模型訓(xùn)練和驗(yàn)證，然后綜合評(píng)估模型在各個(gè)子集上的性能，選擇使模型性能最優(yōu)的參數(shù)。以K折交叉驗(yàn)證為例，將數(shù)據(jù)集隨機(jī)劃分為K個(gè)互不相交的子集，每次選擇其中一個(gè)子集作為驗(yàn)證集，其余K-1個(gè)子集作為訓(xùn)練集，進(jìn)行K次訓(xùn)練和驗(yàn)證。在每次訓(xùn)練中，調(diào)整核函數(shù)的參數(shù)，例如對(duì)于RBF核，調(diào)整信號(hào)方差\sigma_f^2和長度尺度參數(shù)l，然后在驗(yàn)證集上評(píng)估模型的性能，常用的評(píng)估指標(biāo)包括均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）等。通過比較不同參數(shù)組合下模型在驗(yàn)證集上的性能，選擇使評(píng)估指標(biāo)最優(yōu)的參數(shù)作為最終的核函數(shù)參數(shù)。交叉驗(yàn)證能夠有效地避免過擬合問題，因?yàn)樗诙鄠€(gè)子集上進(jìn)行驗(yàn)證，更全面地評(píng)估了模型的泛化性能。最大似然估計(jì)是另一種常用的核函數(shù)參數(shù)優(yōu)化方法。它通過最大化觀測數(shù)據(jù)在高斯過程模型下的似然函數(shù)，來確定核函數(shù)參數(shù)的最優(yōu)值。對(duì)于高斯過程模型，似然函數(shù)可以表示為觀測數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。在給定核函數(shù)和數(shù)據(jù)集的情況下，通過對(duì)似然函數(shù)關(guān)于核函數(shù)參數(shù)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，求解得到使似然函數(shù)最大的參數(shù)值。例如，對(duì)于RBF核，通過最大化似然函數(shù)來確定\sigma_f^2和l的值。最大似然估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算效率較高，能夠快速得到參數(shù)的估計(jì)值。但是，它對(duì)數(shù)據(jù)的分布假設(shè)較為嚴(yán)格，如果數(shù)據(jù)的實(shí)際分布與假設(shè)的分布不一致，可能會(huì)導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確。在實(shí)際應(yīng)用中，通常將交叉驗(yàn)證和最大似然估計(jì)結(jié)合使用。首先使用最大似然估計(jì)方法得到核函數(shù)參數(shù)的初始估計(jì)值，然后在此基礎(chǔ)上，通過交叉驗(yàn)證方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化和調(diào)整，以獲得更好的模型性能。通過合理選擇核函數(shù)和優(yōu)化核函數(shù)參數(shù)，可以提高高斯過程模型對(duì)四旋翼無人機(jī)動(dòng)力學(xué)特性的建模精度，為后續(xù)的軌跡跟蹤控制提供更準(zhǔn)確的模型基礎(chǔ)。3.2.3模型訓(xùn)練與驗(yàn)證在完成數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理以及核函數(shù)選擇與參數(shù)優(yōu)化后，接下來進(jìn)行高斯過程模型的訓(xùn)練與驗(yàn)證。模型訓(xùn)練的目的是利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)來學(xué)習(xí)高斯過程模型的參數(shù)，使其能夠準(zhǔn)確地描述四旋翼無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性；而模型驗(yàn)證則是通過測試數(shù)據(jù)來評(píng)估模型的準(zhǔn)確性和泛化能力，確保模型在實(shí)際應(yīng)用中能夠可靠地運(yùn)行。使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)高斯過程模型進(jìn)行訓(xùn)練。在訓(xùn)練過程中，將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的輸入變量（如無人機(jī)的當(dāng)前狀態(tài)信息，包括位置、姿態(tài)、速度等）和對(duì)應(yīng)的輸出變量（如無人機(jī)在下一時(shí)刻的狀態(tài)信息）輸入到高斯過程模型中。根據(jù)選定的核函數(shù)和優(yōu)化后的核函數(shù)參數(shù)，計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的協(xié)方差矩陣。以RBF核為例，根據(jù)其表達(dá)式k(\mathbf{x},\mathbf{x}')=\sigma_f^2\exp\left(-\frac{1}{2l^2}(\mathbf{x}-\mathbf{x}')^T(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\right)，對(duì)于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的每一對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)\mathbf{x}_i和\mathbf{x}_j，計(jì)算它們之間的協(xié)方差k(\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j)，從而構(gòu)建協(xié)方差矩陣\mathbf{K}。然后，根據(jù)高斯過程的理論，通過對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行運(yùn)算，求解模型的參數(shù)，得到高斯過程模型的具體形式。在實(shí)際訓(xùn)練過程中，為了提高訓(xùn)練效率和穩(wěn)定性，可以采用一些優(yōu)化算法。例如，共軛梯度法是一種常用的迭代優(yōu)化算法，它通過在搜索方向上逐步迭代，尋找使目標(biāo)函數(shù)最小化的參數(shù)值。在高斯過程模型訓(xùn)練中，將模型的訓(xùn)練目標(biāo)（如最小化預(yù)測值與真實(shí)值之間的誤差）作為目標(biāo)函數(shù)，利用共軛梯度法來調(diào)整模型的參數(shù)，使得模型能夠更好地?cái)M合訓(xùn)練數(shù)據(jù)。此外，還可以使用隨機(jī)梯度下降法及其變種（如Adagrad、Adadelta、Adam等），這些算法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)具有較高的效率，能夠快速收斂到較優(yōu)的參數(shù)值。模型訓(xùn)練完成后，需要使用測試數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，以評(píng)估模型的準(zhǔn)確性和泛化能力。將測試數(shù)據(jù)集中的輸入變量輸入到訓(xùn)練好的高斯過程模型中，模型會(huì)輸出對(duì)應(yīng)的預(yù)測值。然后，將預(yù)測值與測試數(shù)據(jù)集中的真實(shí)值進(jìn)行比較，通過計(jì)算一些評(píng)估指標(biāo)來衡量模型的性能。常用的評(píng)估指標(biāo)包括均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）等。MSE的計(jì)算公式為MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2，其中n是測試數(shù)據(jù)的數(shù)量，y_i是真實(shí)值，\hat{y}_i是預(yù)測值。RMSE是MSE的平方根，即RMSE=\sqrt{MSE}，它能夠更直觀地反映預(yù)測值與真實(shí)值之間的平均誤差程度。MAE的計(jì)算公式為MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i|，它衡量的是預(yù)測值與真實(shí)值之間誤差的絕對(duì)值的平均值。除了這些基本的評(píng)估指標(biāo)，還可以通過繪制預(yù)測值與真實(shí)值的對(duì)比圖、殘差圖等方式來直觀地分析模型的性能。在對(duì)比圖中，可以清晰地看到預(yù)測值與真實(shí)值的差異，以及模型在不同數(shù)據(jù)點(diǎn)上的預(yù)測準(zhǔn)確性。殘差圖則用于展示預(yù)測值與真實(shí)值之間的殘差分布情況，如果殘差呈現(xiàn)出隨機(jī)分布，且均值接近于零，說明模型的擬合效果較好；如果殘差存在明顯的趨勢或異常值，可能表明模型存在問題，需要進(jìn)一步分析和改進(jìn)。通過對(duì)模型在測試數(shù)據(jù)上的性能評(píng)估，如果發(fā)現(xiàn)模型的準(zhǔn)確性和泛化能力不滿足要求，可以采取一些改進(jìn)措施。例如，可以重新檢查數(shù)據(jù)的質(zhì)量和預(yù)處理過程，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性；也可以嘗試調(diào)整核函數(shù)的類型或參數(shù)，或者增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)的數(shù)量和多樣性，以提高模型的性能。如果模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上表現(xiàn)良好，但在測試數(shù)據(jù)上性能較差，可能存在過擬合問題，此時(shí)可以采用正則化方法（如L1、L2正則化）來限制模型的復(fù)雜度，提高模型的泛化能力。通過不斷地訓(xùn)練、驗(yàn)證和改進(jìn)，最終得到一個(gè)性能良好的高斯過程模型，為四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制提供可靠的模型支持。3.3模型預(yù)測控制算法設(shè)計(jì)3.3.1預(yù)測模型建立利用訓(xùn)練好的高斯過程模型來預(yù)測四旋翼無人機(jī)未來的狀態(tài)。在每個(gè)采樣時(shí)刻k，將當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)\mathbf{x}(k)（包括位置、姿態(tài)、速度等信息）和未來的控制輸入序列\(zhòng)mathbf{u}(k|k),\mathbf{u}(k+1|k),\cdots,\mathbf{u}(k+N_c-1|k)作為高斯過程模型的輸入，預(yù)測未來預(yù)測時(shí)域N_p內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)\mathbf{\hat{x}}(k+1|k),\mathbf{\hat{x}}(k+2|k),\cdots,\mathbf{\hat{x}}(k+N_p|k)。設(shè)高斯過程模型為GP(m(\mathbf{x},\mathbf{u}),k(\mathbf{x},\mathbf{u},\mathbf{x}',\mathbf{u}'))，其中m(\mathbf{x},\mathbf{u})是均值函數(shù)，k(\mathbf{x},\mathbf{u},\mathbf{x}',\mathbf{u}')是協(xié)方差函數(shù)。對(duì)于未來時(shí)刻k+i（i=1,2,\cdots,N_p）的狀態(tài)預(yù)測，根據(jù)高斯過程的預(yù)測公式，有：\mathbf{\hat{x}}(k+i|k)=m(\mathbf{x}(k),\mathbf{u}(k|k),\cdots,\mathbf{u}(k+i-1|k))+\mathbf{\epsilon}(k+i|k)\tag{15}其中，\mathbf{\epsilon}(k+i|k)是預(yù)測誤差，它服從均值為零、協(xié)方差為\mathbf{K}(k+i|k)的高斯分布，\mathbf{K}(k+i|k)是根據(jù)協(xié)方差函數(shù)計(jì)算得到的協(xié)方差矩陣。在實(shí)際應(yīng)用中，為了提高預(yù)測的準(zhǔn)確性和效率，可以采用一些近似方法。例如，采用稀疏高斯過程模型，通過選擇一部分關(guān)鍵的數(shù)據(jù)點(diǎn)（稱為誘導(dǎo)點(diǎn)）來近似計(jì)算協(xié)方差矩陣，從而降低計(jì)算復(fù)雜度。具體來說，設(shè)誘導(dǎo)點(diǎn)集為\{\mathbf{z}_1,\mathbf{z}_2,\cdots,\mathbf{z}_m\}，則在預(yù)測時(shí)，只需要計(jì)算當(dāng)前輸入與誘導(dǎo)點(diǎn)之間的協(xié)方差，而不需要計(jì)算與所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的協(xié)方差，這樣可以大大減少計(jì)算量，提高預(yù)測速度。同時(shí)，為了保證近似的準(zhǔn)確性，需要合理選擇誘導(dǎo)點(diǎn)的數(shù)量和位置，可以通過一些優(yōu)化算法（如貪婪算法、隨機(jī)采樣算法等）來確定誘導(dǎo)點(diǎn)的分布，使得誘導(dǎo)點(diǎn)能夠較好地代表整個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的特征。3.3.2代價(jià)函數(shù)定義為了實(shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)的精確軌跡跟蹤，需要定義一個(gè)合適的代價(jià)函數(shù)，以衡量實(shí)際軌跡與參考軌跡之間的偏差以及控制輸入的變化情況。代價(jià)函數(shù)通常由跟蹤誤差項(xiàng)和控制輸入代價(jià)項(xiàng)組成。跟蹤誤差項(xiàng)用于衡量四旋翼無人機(jī)的實(shí)際狀態(tài)與參考軌跡之間的差異，它反映了無人機(jī)對(duì)參考軌跡的跟蹤精度。設(shè)參考軌跡在未來預(yù)測時(shí)域N_p內(nèi)的狀態(tài)為\mathbf{x}_r(k+1),\mathbf{x}_r(k+2),\cdots,\mathbf{x}_r(k+N_p)，則跟蹤誤差項(xiàng)可以表示為：J_{track}=\sum_{i=1}^{N_p}\left(\mathbf{\hat{x}}(k+i|k)-\mathbf{x}_r(k+i)\right)^T\mathbf{Q}_i\left(\mathbf{\hat{x}}(k+i|k)-\mathbf{x}_r(k+i)\right)\tag{16}其中，\mathbf{Q}_i是一個(gè)正定的權(quán)重矩陣，用于調(diào)整不同狀態(tài)變量的跟蹤誤差在代價(jià)函數(shù)中的相對(duì)重要性。例如，對(duì)于位置誤差，可以設(shè)置較大的權(quán)重，以強(qiáng)調(diào)對(duì)位置跟蹤精度的要求；對(duì)于姿態(tài)誤差，可以根據(jù)實(shí)際飛行任務(wù)的需求，設(shè)置適當(dāng)?shù)臋?quán)重?？刂戚斎氪鷥r(jià)項(xiàng)用于限制控制輸入的變化幅度，以保證控制輸入的平滑性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。過大的控制輸入變化可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的劇烈響應(yīng)，增加能量消耗，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)控制輸入在未來控制時(shí)域N_c內(nèi)的增量為\Delta\mathbf{u}(k|k),\Delta\mathbf{u}(k+1|k),\cdots,\Delta\mathbf{u}(k+N_c-1|k)，則控制輸入代價(jià)項(xiàng)可以表示為：J_{control}=\sum_{j=0}^{N_c-1}\Delta\mathbf{u}(k+j|k)^T\mathbf{R}_j\Delta\mathbf{u}(k+j|k)\tag{17}其中，\mathbf{R}_j是一個(gè)正定的權(quán)重矩陣，用于調(diào)整控制輸入增量的代價(jià)。\mathbf{R}_j的值越大，對(duì)控制輸入增量的限制越嚴(yán)格，控制輸入的變化就越小，系統(tǒng)的響應(yīng)也就越平滑，但可能會(huì)犧牲一定的跟蹤性能；反之，\mathbf{R}_j的值越小，控制輸入的變化可以更大，跟蹤性能可能會(huì)更好，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性和能量消耗可能會(huì)受到影響。因此，需要根據(jù)實(shí)際情況合理選擇\mathbf{R}_j的值，以平衡控制輸入的平滑性和跟蹤性能。綜合跟蹤誤差項(xiàng)和控制輸入代價(jià)項(xiàng)，得到總的代價(jià)函數(shù)為：J=J_{track}+J_{control}=\sum_{i=1}^{N_p}\left(\mathbf{\hat{x}}(k+i|k)-\mathbf{x}_r(k+i)\right)^T\mathbf{Q}_i\left(\mathbf{\hat{x}}(k+i|k)-\mathbf{x}_r(k+i)\right)+\sum_{j=0}^{N_c-1}\Delta\mathbf{u}(k+j|k)^T\mathbf{R}_j\Delta\mathbf{u}(k+j|k)\tag{18}在實(shí)際應(yīng)用中，還可以根據(jù)具體的飛行任務(wù)和需求，在代價(jià)函數(shù)中加入其他約束項(xiàng)，如無人機(jī)的能量消耗約束、避障約束等。例如，為了考慮能量消耗，可以在代價(jià)函數(shù)中增加一個(gè)能量消耗項(xiàng)，該項(xiàng)與電機(jī)的轉(zhuǎn)速、飛行時(shí)間等因素相關(guān)，通過調(diào)整能量消耗項(xiàng)的權(quán)重，可以在保證軌跡跟蹤精度的同時(shí)，盡量降低無人機(jī)的能量消耗，延長飛行時(shí)間。對(duì)于避障約束，可以通過設(shè)置障礙物的位置和范圍，在代價(jià)函數(shù)中加入一個(gè)懲罰項(xiàng)，當(dāng)無人機(jī)的預(yù)測軌跡接近障礙物時(shí)，懲罰項(xiàng)的值會(huì)增大，從而迫使優(yōu)化算法調(diào)整控制輸入，使無人機(jī)避開障礙物，確保飛行安全。3.3.3約束條件處理在四旋翼無人機(jī)的飛行過程中，存在著多種物理限制，這些限制需要在模型預(yù)測控制算法中作為約束條件進(jìn)行處理，以確保無人機(jī)的安全飛行和穩(wěn)定控制。主要的約束條件包括旋翼轉(zhuǎn)速限制和姿態(tài)角限制，同時(shí)還需要考慮控制輸入和狀態(tài)的其他約束。旋翼轉(zhuǎn)速限制是一個(gè)重要的物理約束。四旋翼無人機(jī)通過調(diào)節(jié)四個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速來產(chǎn)生升力和控制姿態(tài)，然而電機(jī)的轉(zhuǎn)速存在上限和下限。設(shè)電機(jī)i（i=1,2,3,4）的轉(zhuǎn)速為\omega_i，其最小轉(zhuǎn)速為\omega_{i\min}，最大轉(zhuǎn)速為\omega_{i\max}，則旋翼轉(zhuǎn)速約束可以表示為：\omega_{i\min}\leq\omega_i\leq\omega_{i\max},\quadi=1,2,3,4\tag{19}在實(shí)際飛行中，如果電機(jī)轉(zhuǎn)速超過了其最大轉(zhuǎn)速，可能會(huì)導(dǎo)致電機(jī)過熱、損壞，甚至失去控制；而如果轉(zhuǎn)速低于最小轉(zhuǎn)速，則可能無法提供足夠的升力，使無人機(jī)無法保持穩(wěn)定飛行。因此，在求解模型預(yù)測控制的優(yōu)化問題時(shí)，需要確?？刂戚斎耄措姍C(jī)轉(zhuǎn)速）滿足上述約束條件。姿態(tài)角限制也是必須考慮的約束。四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)角（俯仰角\theta、滾轉(zhuǎn)角\phi和偏航角\psi）在實(shí)際飛行中存在一定的限制范圍。過大的姿態(tài)角可能會(huì)導(dǎo)致無人機(jī)失去穩(wěn)定性，甚至發(fā)生失控。設(shè)俯仰角的限制范圍為[\theta_{\min},\theta_{\max}]，滾轉(zhuǎn)角的限制范圍為[\phi_{\min},\phi_{\max}]，偏航角的限制范圍為[\psi_{\min},\psi_{\max}]，則姿態(tài)角約束可以表示為：\theta_{\min}\leq\theta\leq\theta_{\max},\quad\phi_{\min}\leq\phi\leq\phi_{\max},\quad\psi_{\min}\leq\psi\leq\psi_{\max}\tag{20}在設(shè)計(jì)控制算法時(shí)，需要通過合理的控制策略，使無人機(jī)的姿態(tài)角始終保持在上述限制范圍內(nèi)。除了旋翼轉(zhuǎn)速限制和姿態(tài)角限制外，還需要考慮控制輸入和狀態(tài)的其他約束。例如，控制輸入增量的限制，過大的控制輸入增量可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的劇烈響應(yīng)，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)控制輸入增量\Delta\mathbf{u}的最大值為\Delta\mathbf{u}_{\max}，則控制輸入增量約束可以表示為：\|\Delta\mathbf{u}\|\leq\Delta\mathbf{u}_{\max}\tag{21}對(duì)于狀態(tài)約束，如無人機(jī)的位置和速度也存在一定的限制范圍。設(shè)無人機(jī)在x、y、z方向上的位置限制分別為[x_{\min},x_{\max}]、[y_{\min},y_{\max}]、[z_{\min},z_{\max}]，速度限制分別為[v_{x\min},v_{x\max}]、[v_{y\min},v_{y\max}]、[v_{z\min},v_{z\max}]，則狀態(tài)約束可以表示為：x_{\min}\leqx\leqx_{\max},\quady_{\min}\leqy\leqy_{\max},\quadz_{\min}\leqz\leqz_{\max}\tag{22}v_{x\min}\leqv_x\leqv_{x\max},\quadv_{y\min}\leqv_y\leqv_{y\max},\quadv_{z\min}\leqv_z\leqv_{z\max}\tag{23}為了處理這些約束條件，在模型預(yù)測控制算法中，通常采用基于優(yōu)化的方法。將約束條件作為優(yōu)化問題的約束，通過求解帶有約束的優(yōu)化問題，得到滿足約束條件的最優(yōu)控制輸入。例如，可以使用內(nèi)點(diǎn)法、序列二次規(guī)劃（SQP）等優(yōu)化算法來求解該優(yōu)化問題。內(nèi)點(diǎn)法通過在可行域內(nèi)部尋找一系列的迭代點(diǎn)，逐步逼近最優(yōu)解，在迭代過程中始終滿足約束條件；SQP方法則是通過將非線性約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列的二次規(guī)劃子問題來求解，每次迭代都根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)和約束條件求解一個(gè)二次規(guī)劃問題，得到搜索方向和步長，從而逐步逼近最優(yōu)解。通過合理地處理這些約束條件，可以確保四旋翼無人機(jī)在安全、穩(wěn)定的前提下，實(shí)現(xiàn)精確的軌跡跟蹤控制。3.3.4求解最優(yōu)控制序列在定義了代價(jià)函數(shù)和考慮了約束條件后，需要采用優(yōu)化算法來求解最優(yōu)控制序列，以最小化代價(jià)函數(shù)并滿足約束條件。常用的優(yōu)化算法包括內(nèi)點(diǎn)法、序列二次規(guī)劃（SQP）、遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等。內(nèi)點(diǎn)法是一種常用的優(yōu)化算法，它通過在可行域內(nèi)部尋找一系列的迭代點(diǎn)，逐步逼近最優(yōu)解。在內(nèi)點(diǎn)法中，引入了一個(gè)障礙函數(shù)來處理約束條件，將帶有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題。具體來說，對(duì)于一個(gè)帶有不等式約束g_i(\mathbf{u})\leq0（i=1,2,\cdots,m）和等式約束h_j(\mathbf{u})=0（j=1,2,\cdots,n）的優(yōu)化問題，內(nèi)點(diǎn)法構(gòu)造一個(gè)增廣目標(biāo)函數(shù)：\tilde{J}(\mathbf{u},\mu)=J(\mathbf{u})-\mu\sum_{i=1}^{m}\ln(-g_i(\mathbf{u}))+\sum_{j=1}^{n}\lambda_jh_j(\mathbf{u})\tag{24}其中，\mu是一個(gè)正數(shù)，稱為障礙參數(shù)；\lambda_j是拉格朗日乘子。通過不斷減小障礙參數(shù)\mu，并求解增廣目標(biāo)函數(shù)的最小值，逐步逼近原優(yōu)化問題的最優(yōu)解。在每次迭代中，使用牛頓法或擬牛頓法等迭代算法來求解增廣目標(biāo)函數(shù)的最小值，得到當(dāng)前的迭代點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，能夠處理復(fù)雜的約束條件，但對(duì)初始點(diǎn)的選擇較為敏感，需要較好的初始點(diǎn)才能保證算法的收斂性。序列二次規(guī)劃（SQP）是另一種常用的優(yōu)化算法，它通過將非線性約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列的二次規(guī)劃子問題來求解。在SQP算法中，首先根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)和約束條件，構(gòu)建一個(gè)二次規(guī)劃子問題，該子問題的目標(biāo)函數(shù)是原目標(biāo)函數(shù)的二次近似，約束條件是原約束條件的線性近似。然后，求解該二次規(guī)劃子問題，得到一個(gè)搜索方向和步長。根據(jù)搜索方向和步長，更新當(dāng)前的迭代點(diǎn)，再重新構(gòu)建二次規(guī)劃子問題，進(jìn)行下一次迭代。通過不斷迭代，逐步逼近原優(yōu)化問題的最優(yōu)解。SQP算法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，對(duì)初始點(diǎn)的要求相對(duì)較低，能夠有效地處理非線性約束優(yōu)化問題。但它需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和約束條件的梯度和海森矩陣，計(jì)算量較大。遺傳算法是一種基于自然選擇和遺傳機(jī)制的優(yōu)化算法，它通過模擬生物進(jìn)化過程中的遺傳、變異和選擇等操作，在解空間中搜索最優(yōu)解。在遺傳算法中，將控制輸入序列編碼為染色體，通過隨機(jī)生成初始種群，然后對(duì)種群中的每個(gè)染色體進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)估（即計(jì)算其對(duì)應(yīng)的代價(jià)函數(shù)值）。根據(jù)適應(yīng)度值，選擇適應(yīng)度較高的染色體進(jìn)行遺傳操作，如交叉和變異，生成新的一代種群。不斷重復(fù)這個(gè)過程，直到滿足停止條件（如達(dá)到最大迭代次數(shù)或適應(yīng)度值收斂）。遺傳算法的優(yōu)點(diǎn)是全局搜索能力強(qiáng)，能夠處理復(fù)雜的非線性問題，對(duì)初始點(diǎn)的依賴性較小。但它的計(jì)算量較大，收斂速度相對(duì)較慢，容易出現(xiàn)早熟收斂的問題。粒子群優(yōu)化算法是一種基于群體智能的優(yōu)化算法，它模擬鳥群覓食的行為，通過粒子在解空間中的運(yùn)動(dòng)來搜索最優(yōu)解。在粒子群優(yōu)化算法中，每個(gè)粒子代表一個(gè)潛在的解，粒子的位置表示解的取值，粒子的速度決定了其運(yùn)動(dòng)方向和步長。粒子根據(jù)自身的歷史最優(yōu)位置和群體的全局最優(yōu)位置來調(diào)整自己的速度和位置。在每次迭代中，每個(gè)粒子根據(jù)當(dāng)前的速度和位置更新自己的狀態(tài)，并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的代價(jià)函數(shù)值。然后，比較粒子的當(dāng)前位置和歷史最優(yōu)位置，更新歷史最優(yōu)位置；同時(shí)，比較所有粒子的歷史最優(yōu)位置，更新全局最優(yōu)位置