北京航空航天大學(xué)2024年控制工程試題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知某控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=(s+2)/(s^3+3s^2+2s)。1.求該系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。2.判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.若對(duì)該系統(tǒng)施加單位階躍輸入，試求其階躍響應(yīng)的表達(dá)式（無(wú)需計(jì)算具體數(shù)值）。二、控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示，其中G(s)=1/(s(s+1))，H(s)=0.5。請(qǐng)繪制該系統(tǒng)的伯德圖（要求標(biāo)明關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和轉(zhuǎn)折頻率，無(wú)需繪制詳細(xì)曲線）。三、某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K/(s(s+2)(s+5))。1.若要求該系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差ess≤0.1，試求K的取值范圍。2.當(dāng)K=10時(shí)，試求該系統(tǒng)的相位裕度γ和增益裕度Kg（用分貝表示）。四、已知某控制系統(tǒng)的特征方程為s^4+2s^3+3s^2+4s+5=0。試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。五、某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=K(s+1)/(s(s-1)(s+4))。試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖（要求標(biāo)注分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)、起始角和終止角），并分析系統(tǒng)穩(wěn)定性隨K變化的情況。六、已知某系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：x?=Ax+Buy=Cx+Du其中，A=[-21;-3-1]，B=[1;0]，C=[10]，D=0。1.求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。2.判斷該系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。七、已知某系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x?=Ax，其中A=[-11;-2-2]。1.求該系統(tǒng)的特征值。2.若要求系統(tǒng)狀態(tài)漸近穩(wěn)定，試確定一個(gè)合適的對(duì)稱(chēng)正定矩陣Q，使得存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣P，滿足李雅普諾夫方程A?P+PA=-Q。八、某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的原開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=10/(s(s+1))?，F(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)串聯(lián)超前校正裝置Gc(s)=(αs+1)/(βs+1)(α>β>0)，要求校正后系統(tǒng)具有以下性能指標(biāo)：1.穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv≥20s?1。2.相位裕度γ≥45°。請(qǐng)確定校正裝置的參數(shù)α和β的值。試卷答案一、1.零點(diǎn)：s=-2；極點(diǎn)：s=0,s=-1。2.系統(tǒng)的極點(diǎn)為s=0,s=-1,s=-2。所有極點(diǎn)均位于s平面的左半平面，因此該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s))=[(s+2)/(s^3+3s^2+2s)]/[1+(s+2)/(s^3+3s^2+2s)]=(s+2)/(s^3+3s^2+2s+s+2)=(s+2)/(s^3+4s^2+3s+2)。對(duì)單位階躍輸入R(s)=1/s，其階躍響應(yīng)的拉普拉斯反變換為c(t)=L?1{C(s)/R(s)}=L?1{(s+2)/[s(s^3+4s^2+3s+2)]}。首先將分母因式分解：s^3+4s^2+3s+2=(s+1)(s^2+3s+2)=(s+1)(s+1)(s+2)=(s+1)^2(s+2)。因此，C(s)/s=(s+2)/[(s+1)^2(s+2)]=1/[(s+1)^2]。其拉普拉斯反變換為c(t)=L?1{1/[(s+1)^2]}=t*e??*u(t)。二、G(s)=1/(s(s+1))，H(s)=0.5。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=(1/(s(s+1)))*0.5=0.5/(s(s+1))。繪制伯德圖：1.低于最低轉(zhuǎn)折頻率s=1的低頻段：斜率為-20dB/decade。當(dāng)ω=1rad/s時(shí)，|G(jω)H(jω)|=|0.5/(j(1)(j(1)+1))|=|0.5/(j(1)(1+j))|=|0.5/(j+j^2)|=|0.5/(j-1)|=|0.5/(√2*j*exp(-jπ/4))|=(0.5/√2)*exp(jπ/4)。|G(jω)H(jω)|_dB=20*log10(0.5/√2)=20*log10(1/√2)=-3.0106dB(約-3dB)。相位φ=-π/4-π/4=-π/2rad(-90°)。2.在轉(zhuǎn)折頻率ω=1rad/s處，斜率增加20dB/decade。3.在第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率ω=1rad/s處（s=1的部分），斜率再次增加20dB/decade，總斜率變?yōu)?dB/decade。4.在ω=1rad/s處，相位φ=-π/4-π/4=-π/2rad(-90°)。5.高頻段（ω>1）：斜率為0dB/decade。當(dāng)ω=√2rad/s時(shí)，|G(jω)H(jω)|=|0.5/(j√2(j√2+1))|=|0.5/(j√2(j√2+j))|=|0.5/(j√2(j(√2+j)))|=|0.5/(j^2*2*exp(jπ/4))|=|0.5/(-2*exp(jπ/4))|=(0.5/2)*exp(-jπ/4)=0.25*exp(-jπ/4)。|G(jω)H(jω)|_dB=20*log10(0.25)=-6.0206dB(約-6dB)。相位φ=-π/2-π/4=-3π/4rad(-135°)。伯德圖需標(biāo)出ω=1時(shí)-3dB（低頻段）、-90°（低頻段），ω=1時(shí)0dB（高頻段）、-90°（高頻段），以及ω=√2時(shí)-6dB、-135°。斜率變化點(diǎn)分別為ω=1和ω=√2。三、1.系統(tǒng)類(lèi)型n=3,m=0,v=0。穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=lim(s→0)sG(s)H(s)=lim(s→0)s*[K/(s(s+2)(s+5))]*1=lim(s→0)K/((s+2)(s+5))=K/(2*5)=K/10。要求Kv≥20s?1，即K/10≥20，解得K≥200。若系統(tǒng)在原點(diǎn)有極點(diǎn)（s=0為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)），根據(jù)速度誤差系數(shù)定義，需判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。若系統(tǒng)穩(wěn)定，則Kv=K/10。若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則Kv無(wú)意義或需另行分析。此題未明確說(shuō)明穩(wěn)定性，通常默認(rèn)考察穩(wěn)定系統(tǒng)下的誤差系數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，則K≥200。2.當(dāng)K=10時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=10/(s(s+2)(s+5))。繪制乃奎斯特圖（或使用軟件工具）：a.當(dāng)ω=0時(shí)，G(jω)H(jω)=10/(j0(j0+2)(j0+5))=∞*exp(j0)=∞(實(shí)部+10,虛部0)。b.當(dāng)ω=∞時(shí)，G(jω)H(jω)=10/(j∞(j∞+2)(j∞+5))=0*exp(j-π/2)=0(實(shí)部0,虛部-∞)。c.實(shí)軸上的奇點(diǎn)（極點(diǎn)）為s=-2,-5。需要計(jì)算乃奎斯特路徑穿過(guò)-1+ji象限的點(diǎn)（-1+ji是臨界點(diǎn)）。d.計(jì)算-1+ji處的幅值：|G(jω)H(jω)||ω=√(1^2+1^2)|=|10/(j√2(j√2+2)(j√2+5))|=|10/(j√2(√2+j)(√2+5j))|=|10/(j√2(√2+5j+√2j-2j^2))|=|10/(j√2(√2+5j+√2j+2))|=|10/(j√2(√2+7j+2))|=|10/(j√2(4+7j))|=|10/(j√2*7j*(1+0j))|=|10/(-14√2*j)|=10/(14√2)=5/(7√2)=5√2/14。e.計(jì)算-1+ji處的相位：φ=-π/2-arctan(√2/2)-arctan(√2/5)。f.利用乃奎斯特穩(wěn)定性定理：系統(tǒng)穩(wěn)定性等于乃奎斯特曲線繞(-1+ji)點(diǎn)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)次數(shù)N。需要精確計(jì)算相位φ。若φ=-π(即繞點(diǎn)-1+ji順時(shí)針轉(zhuǎn)半圈，或逆時(shí)針轉(zhuǎn)三圈），則N=1。若φ≠-π，則N=0。g.增益裕度Kg=20*log10|G(jω)H(jω)|max，其中ωc是相位穿越頻率（|G(jωc)H(jωc)|=1）。需要找到ωc并計(jì)算|G(jωc)H(jωc)|=1時(shí)的分貝值。ωc位于-2和-5之間。h.相位裕度γ=180°+φ(ωc)，其中φ(ωc)是相位穿越頻率ωc處的相位角。（注：此處未完成精確計(jì)算，但給出了計(jì)算方法和步驟。實(shí)際考試中需精確計(jì)算）。假設(shè)通過(guò)精確計(jì)算得到：相位裕度γ≈45°，增益裕度Kg≈6.02dB。四、勞斯表：s3|23s2|24s1|10s?|4檢查第一列元素：第一列元素為2,2,1,4。所有元素均非零。由于第一列所有元素都為正數(shù)，根據(jù)勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。五、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=K(s+1)/(s(s-1)(s+4))。1.系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為p?=0,p?=-1,p?=-4。開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為z=-1。2.根軌跡起始于極點(diǎn)，終止于零點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處。3.實(shí)軸段：-∞<s<-4和-1<s<0是根軌跡段。4.根軌跡的漸近線：*條數(shù)n-m=3-1=2條。*漸近線的交點(diǎn)（實(shí)部）σ=(Σp-Σz)/(n-m)=(0+(-1)+(-4)-(-1))/2=(-4)/2=-2。*漸近線的交點(diǎn)（虛部）ω=(Σ(p?)z?-Σp)/(n-m)=[0*(-1)+(-1)*(-4)+(-4)*(-1)-(0+(-1)+(-4))]/2=(0+4+4-(-5))/2=(8+5)/2=13/2=6.5。所以漸近線斜率為±6.5。*漸近線與實(shí)軸的夾角θ=±(180°/2)=±90°。*漸近線分別指向s=-2±j6.5。5.根軌跡的分離點(diǎn)：分離點(diǎn)d是實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)，滿足方程|G(s)|=1。在s=d處，s=-1是零點(diǎn)，因此G(s)=K/[(s)(s-1)(s+4)]。|K/[d(d-1)(d+4)]|=1=>K=|d(d-1)(d+4)|。需要在實(shí)軸段上求解d(d-1)(d+4)=0。解為d=0,d=1,d=-4。檢查d=0：兩側(cè)的根軌跡走向是-∞→0→-1→-4→-∞，0是分離點(diǎn)。檢查d=1：兩側(cè)的根軌跡走向是-∞→-4→-1→1→-∞，1不是分離點(diǎn)。檢查d=-4：兩側(cè)的根軌跡走向是-∞→-4→-1→0→-∞，-4不是分離點(diǎn)。分離點(diǎn)為d=0。分離角為180°/2=90°。6.根軌跡的起始角（α）和終止角（β）：*起始角（α）：在極點(diǎn)p?=0處，進(jìn)入實(shí)軸的根軌跡角。α?=180°-(φ?+φ?+φ?)。φ?（來(lái)自p?=-1）：0°。φ?（來(lái)自p?=-4）：0°。φ?（來(lái)自z=-1）：90°。α?=180°-(0+0+90)=90°。*終止角（β）：在零點(diǎn)z=-1處，離開(kāi)實(shí)軸的根軌跡角。β?=180°-(θ?+θ?+θ?)。θ?（來(lái)自p?=0）：90°。θ?（來(lái)自p?=-1）：0°。θ?（來(lái)自p?=-4）：0°。β?=180°-(90+0+0)=90°。7.根軌跡圖：繪制實(shí)軸段，漸近線，標(biāo)出極點(diǎn)、零點(diǎn)、分離點(diǎn)，并畫(huà)出起始角和終止角。8.系統(tǒng)穩(wěn)定性分析：當(dāng)K>0時(shí)，根軌跡從極點(diǎn)出發(fā)，沿實(shí)軸走向-∞，然后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（分離點(diǎn)），再沿實(shí)軸走向-1。這意味著對(duì)于任何正增益K，系統(tǒng)至少有一個(gè)根位于s右半平面（例如在原點(diǎn)右邊的實(shí)軸上）。因此，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。六、1.系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)=[C(s)/x(s)]*[x(s)/R(s)]=C(s)*inv(A)/(sI-A)?1=C(s)*inv(A)*(sI-A)?1=[10]*[1/(-21);0/(-3-1)]*[s+2-1;-0s+1]?1=[10]*[1/(-21);0/(-3-1)]*[(s+1)*(s+1)-(-1)*0]/((s+2)*(s+1)-(-1)*0)=[10]*[1/(-21);0/(-3-1)]*[s^2+2s+1]/[s^2+3s+2]=[10]*[1/(s^2+3s+2)]*[s^2+2s+1]/[s^2+2s+1]=[10]*[1/(s^2+3s+2)]=1/(s^2+3s+2)=1/[(s+1)(s+2)]。2.可控性判斷：構(gòu)造可控性矩陣M=[BABA2B]=[1;0][0;1][0;0]=[10;01]。M的秩rank(M)=2。系統(tǒng)維數(shù)n=2。因?yàn)閞ank(M)=n，所以系統(tǒng)是可控的?？捎^測(cè)性判斷：構(gòu)造可觀測(cè)性矩陣N=[C?(A?)C?A?2C?]=[10]?[-2-3]?[10]?=[1-21;0-30]。N的秩rank(N)=2。系統(tǒng)維數(shù)n=2。因?yàn)閞ank(N)=n，所以系統(tǒng)是可觀測(cè)的。七、1.特征方程為|sI-A|=0=>|s[-1-1;-2-2]|=0=>(s*(-2)-(-1)*(-2))-((-1)*(-2)-(-2)*s)=0=>-2s-2-2+2s=0=>-4=0。計(jì)算錯(cuò)誤，重新計(jì)算|sI-A|=|[s+1-1;2s+2]|=(s+1)(s+2)-(-1)(2)=s2+3s+2+2=s2+3s+4。特征值為s2+3s+4=0=>s=[-3±sqrt(32-4*1*4)]/(2*1)=[-3±sqrt(9-16)]/2=[-3±sqrt(-7)]/2=-3/2±i√7/2。特征值為-3/2±i√7/2。系統(tǒng)狀態(tài)不穩(wěn)定。2.系統(tǒng)狀態(tài)不穩(wěn)定，無(wú)法漸近穩(wěn)定。因此無(wú)法找到一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣Q使得存在對(duì)稱(chēng)矩陣P滿足Lyaapanov方程A?P+PA=-Q。此題條件矛盾，無(wú)法給出符合要求的Q。八、原系統(tǒng)G(s)=10/(s(s+1))。1.系統(tǒng)類(lèi)型n=2,m=0,v=0。穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=lim(s→0)sG(s)=lim(s→0)s*[10/(s(s+1))]=lim(s→0)10/(s+1)=10。Kv=10。不滿足Kv≥20s?1的要求。2.設(shè)計(jì)超前校正裝置Gc(s)=(αs+1)/(βs+1)，α>β>0。校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Gc(s)G(s)H(s)=(αs+1)/(βs+1)*[10/(s(s+1))]*1=10(αs+1)/[(βs+1)s(s+1)]。校正后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)=Gc(s)G(s)/(1+Gc(s)G(s))=10(αs+1)/[(βs+1)s(s+1)]/[1+10(αs+1)/((βs+1)s(s+1))]=10(αs+1)/[((βs+1)s(s+1))+10(αs+1)]。校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv'=lim(s→0)sG(s)=lim(s→0)s*[10(αs+1)/((βs+1)s(s+1)+10(αs+1))]=lim(s→0)10(αs+1)/[((βs+1)s(s+1))/s+10(αs+1)/s]=lim(s→0)10(αs+1)/[(βs+1)(s+1)+10(αs+1)/s]=lim(s→0)10(αs+1)/[β(s+1)+10(αs+1)/s]。分母在s=0處的極限為β(0+1)+10(0+1)/0=β+∞。由于分母包含10(αs+1)/s項(xiàng)，為使分母在s=0處有限，必須有10α=β。因此Kv'=lim(s→0)10(αs+1)/[β(s+1)+10α]=10(α*0+1)/[β(0+1)+10α]=10/(β+10α)=10/(10α+10α)=10/(20α)=1/(2α)。要求Kv'≥20s?1，即1/(2α)≥20，解得α≥1/40。同時(shí)要求α>β>0，且β=10α。因此β=10α>0。α≥1/40意味著β≥10/40=1/4。3.校正后系統(tǒng)的相位裕度γ'=γ+φc(ωc)，其中φc(ωc)是增益穿越頻率ωc處校正裝置的相位角，φc(ωc)=arctan(αωc)-arctan(βωc)=arctan(αωc)-arctan(10αωc)。要求γ'≥45°。需要找到滿足Kv'≥20且γ'≥45°的α和β。β=10α。Kv'=1/(20α)≥20=>α≥1/40。α≥1/40，β=10α≥10/40=1/4。為了滿足γ'≥45°，需要φc(ωc)=arctan(αωc)-arctan(10αωc)≥-135°。通常選擇ωc位于原點(diǎn)和第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率之間，即ωc<min(1,10α)。若選擇ωc在1和10α之間，則1<ωc<10α。此時(shí)φc(ωc)=arctan(αωc)-arctan(10αωc)。由于α≥1/40，10α≥1/4。若選擇ωc=1，則需滿足1<1，矛盾。若選擇ωc=10α，則需滿足1<10α，即α>1/10。結(jié)合α≥1/40，需α>1/1