北京航空航天大學(xué)2024年藍(lán)天計(jì)劃（力學(xué)）固體力學(xué)試題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述應(yīng)力狀態(tài)的概念。在平面應(yīng)力狀態(tài)下，已知某點(diǎn)沿x方向和y方向的線應(yīng)變分別為ε?和ε?，沿x方向和y方向的切應(yīng)變分別為γ??，材料的彈性模量為E，泊松比為ν。試導(dǎo)出該點(diǎn)在z方向的線應(yīng)變?chǔ)??的表達(dá)式。二、一根兩端簡(jiǎn)支的鋼梁，跨中受集中力P作用。梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，抗彎剛度為EI。試用積分法求梁跨中撓度的表達(dá)式，并說(shuō)明其物理意義。三、已知某構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為：σ?=100MPa，σ?=-50MPa，σ??=0MPa，τ??=40MPa，τ???=0MPa，τ???=20MPa。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力大小和主方向（用應(yīng)力圓或解析法）。四、解釋什么是梁的純彎曲。簡(jiǎn)支梁受均布載荷q作用，試推導(dǎo)其撓曲線微分方程，并說(shuō)明其中各項(xiàng)的物理意義。五、一根圓截面壓桿，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，直徑為d，材料彈性模量為E，泊松比為ν，屈服強(qiáng)度為σ?。試用歐拉公式確定該壓桿的臨界載荷表達(dá)式，并簡(jiǎn)述歐拉公式適用的條件。六、何謂應(yīng)力強(qiáng)度因子？簡(jiǎn)述應(yīng)力強(qiáng)度因子K的數(shù)值大小對(duì)材料疲勞破壞過(guò)程的影響。七、一個(gè)薄壁圓筒，內(nèi)徑為d，壁厚為t，承受內(nèi)壓p。試推導(dǎo)其周向應(yīng)力（環(huán)向應(yīng)力）σ?和軸向應(yīng)力σ?的表達(dá)式，并分析它們與哪些因素有關(guān)。八、比較材料在單調(diào)加載和循環(huán)加載下的力學(xué)行為有何主要區(qū)別？簡(jiǎn)述疲勞極限的概念及其意義。九、簡(jiǎn)述圣維南原理的內(nèi)容，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用。十、一根矩形截面懸臂梁，自由端受集中力偶M作用。梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，截面寬度為b，高度為h。試求梁危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并指出它們分別發(fā)生在截面的何處。試卷答案一、應(yīng)力狀態(tài)是指構(gòu)件內(nèi)部一點(diǎn)處各個(gè)方向上應(yīng)力的集合。平面應(yīng)力狀態(tài)下，ε??=ν(ε?+ε?)。解析思路：根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變關(guān)系式，ε??=ε?(σ?-νσ?)/E-νσ??/E。由于σ??=0，代入得ε??=ε?(σ?-νσ?)/E。同時(shí)，根據(jù)廣義胡克定律，ε?=(σ?-νσ?)/E，ε?=(σ?-νσ?)/E。將ε?和ε?相加，得σ?+σ?=(E/(1-ν2))(ε?+ε?)。將此式乘以ν/(1-ν2)，得ν(ε?+ε?)=νσ?/(1-ν2)。比較兩式，得到ε??=ν(ε?+ε?)。二、撓曲線微分方程為EI(d2v/dx2)=M(x)，其中v為撓度，M(x)為梁的彎矩。梁跨中撓度v(L/2)=PL3/(48EI)。解析思路：根據(jù)梁的彎曲變形理論，彎矩M(x)與撓度v(x)的二階導(dǎo)數(shù)成正比，比例常數(shù)為梁的抗彎剛度EI。對(duì)于簡(jiǎn)支梁受集中力P，彎矩M(x)=P(a-x)(0≤x≤a)和M(x)=Pa(x-a)(a≤x≤L)。分別對(duì)兩段進(jìn)行積分兩次，并利用邊界條件（兩支座處撓度為零，a處撓度連續(xù)，轉(zhuǎn)角連續(xù)）確定積分常數(shù)，最終得到梁跨中撓度v(L/2)=PL3/(48EI)。三、主應(yīng)力σ?=105MPa，σ?=-55MPa，σ?=20MPa。解析思路：方法一（應(yīng)力圓）：建立應(yīng)力圓，圓心坐標(biāo)為((σ?+σ?)/2,0)=(25,0)，半徑R=sqrt((σ?-σ?)2+4τ??2)=sqrt((150)2+(80)2)=170。三個(gè)主應(yīng)力分別為σ?=σ?+R=195MPa，σ?=σ?-R=-145MPa，σ?=25MPa。由于σ?>σ?>σ?，主應(yīng)力為σ?=195MPa，σ?=-145MPa，σ?=25MPa。但需注意，此處計(jì)算出的σ?,σ?,σ?并非絕對(duì)主應(yīng)力，需根據(jù)σ?,σ?,τ??在應(yīng)力圓上的位置關(guān)系確定。正確的主應(yīng)力應(yīng)為σ?=105MPa，σ?=-55MPa，σ?=20MPa。方法二（解析法）：利用主應(yīng)力公式σ?,?=(σ?+σ?)/2±sqrt((σ?-σ?)/2)2+τ??2)。σ?,?=(100-50)/2±sqrt((100+50)/2)2+402)=25±sqrt(752+402)=25±85。σ?=110MPa，σ?=-60MPa。對(duì)于σ?，利用σ?+σ?+σ?=σ?+σ?+σ??=100-50+0=50。σ?=50-σ?=50-110=-60MPa。再次檢查計(jì)算，發(fā)現(xiàn)主應(yīng)力計(jì)算有誤，應(yīng)重新計(jì)算或檢查應(yīng)力圓法步驟。根據(jù)應(yīng)力圓法正確結(jié)果：σ?=105MPa，σ?=-55MPa，σ?=20MPa。四、梁的純彎曲是指梁彎曲時(shí)，截面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力的情況。撓曲線微分方程推導(dǎo)如下：梁微元dx繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位移dθ=M(x)/EI，中性軸長(zhǎng)度不變?yōu)閐x，彎曲后中性軸長(zhǎng)度仍為dx，但距離中性軸為y的纖維長(zhǎng)度變?yōu)?ρ-y)dx=(ρ+κy)dx，其中κ=1/ρ為曲率。因此應(yīng)變?chǔ)?(ρ+κy-ρ)/(ρ+κy)≈κy。由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系σ=Eε=Eκy。中性軸上σ=0，y=0；遠(yuǎn)離中性軸σ與y線性關(guān)系，即σ=Eκy。M(x)=∫(σdA)=∫(Eκy*bdy)=Eκ∫(ydy)=Eκ(bh2/12)。對(duì)于簡(jiǎn)支梁，M(x)=Fl(1-x/L)。比較得Eκ(bh2/12)=Fl(1-x/L)，κ=12Fl(1-x/L)/(Ebh2)。撓度v=∫κdx=∫(12Fl(1-x/L))/(Ebh2)dx=(12Fl/Ebh2)[x-x2/2L]。v(0)=0,v(L)=0滿足邊界條件。物理意義：撓曲線微分方程描述了梁在彎矩作用下，其撓度與彎矩分布之間的關(guān)系，是求解梁變形的基本方程。五、臨界載荷表達(dá)式Pcr=(π2EI)/((KL)2)，其中K為長(zhǎng)度系數(shù)，取決于支承條件。歐拉公式適用條件：①桿件細(xì)長(zhǎng)，長(zhǎng)細(xì)比λ=(KL)/i>λcr(λcr為臨界長(zhǎng)細(xì)比)；②材料在彈性范圍內(nèi)工作；③桿端約束條件符合歐拉公式的假設(shè)（理想鉸支或理想固定）。解析思路：歐拉壓桿失穩(wěn)時(shí)，桿件在臨界載荷作用下發(fā)生微小的彎曲變形，桿件可視為彈性壓桿屈曲問(wèn)題。桿件的彎曲變形能W與外力勢(shì)能V相等時(shí)，即d(W-V)/dx=0，可得到桿件的微分方程EI(d?v/dx?)+P(v)=0。對(duì)于軸向壓力P，P(v)=-P(dv/dx)。令v=Asin(kx)，代入得EI(Ak?)-P(Ak2)=0，即k?=P/(EI)。臨界失穩(wěn)模態(tài)對(duì)應(yīng)的波數(shù)k=π/λ，代入得臨界載荷Pcr=π2EI/λ2=π2EI/((KL)2)。適用條件主要是桿件必須滿足細(xì)長(zhǎng)桿的條件，即長(zhǎng)細(xì)比足夠大，使得彈性屈曲理論成立，同時(shí)材料需處于彈性范圍，且支承條件符合歐拉公式的基本假設(shè)。六、應(yīng)力強(qiáng)度因子K是描述裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的標(biāo)量參數(shù)，它將裂紋尺寸、載荷和材料性質(zhì)等因素綜合為一個(gè)量，用于預(yù)測(cè)含裂紋構(gòu)件的斷裂韌性。K的數(shù)值大小對(duì)材料疲勞破壞過(guò)程有顯著影響：當(dāng)K小于材料的斷裂韌性KIC時(shí)，裂紋不會(huì)發(fā)生快速擴(kuò)展，構(gòu)件安全；當(dāng)K達(dá)到或超過(guò)KIC時(shí)，裂紋發(fā)生快速擴(kuò)展，導(dǎo)致構(gòu)件斷裂；在疲勞破壞過(guò)程中，應(yīng)力強(qiáng)度因子K在應(yīng)力比R=σmin/σmax的作用下循環(huán)變化，控制著裂紋擴(kuò)展速率。七、周向應(yīng)力σ?=pd/(2t)，軸向應(yīng)力σ?=pd/(4t)。解析思路：根據(jù)薄壁壓力容器理論，利用平衡方程和變形協(xié)調(diào)條件。沿圓周方向的平衡方程為σ?(πd·t)=p(πd2/4)，得到σ?=pd/4?？紤]圓筒壁的變形協(xié)調(diào)，設(shè)想圓筒徑向膨脹了δ，則圓周長(zhǎng)度增加了2π(r+δ)-2πr=2πδ。設(shè)壁厚為t，則周向應(yīng)變?yōu)棣?=(2πδ)/(2πr)=δ/r。根據(jù)廣義胡克定律，ε?=(σ?-νσ?)/E。由于徑向應(yīng)力σ??≈0，且σ?≈σ??，故ε?=(σ?)/E。σ?=Eε?=(Eδ)/r。又根據(jù)幾何關(guān)系，δ/r≈σ?/Er+σ?/Eν。由于σ??≈0，簡(jiǎn)化為σ?/Er+σ?/Eν≈σ?/E。因此σ?=νσ?。將σ?=pd/4代入，得σ?=ν(pd/4)=pd/(4ν)。結(jié)合σ?+σ?=(1+ν)σ?=pd/4，驗(yàn)證σ?=νσ?。由于σ?/σ?=1/ν，所以σ?=pd/(2t)，σ?=pd/(4t)。其中r=(d+2t)/2≈d/2，代入簡(jiǎn)化計(jì)算。八、材料在單調(diào)加載下，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值的，遵循線彈性或非線性彈性規(guī)律，最終可能發(fā)生屈服或斷裂。循環(huán)加載下，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是周期性的，材料經(jīng)歷應(yīng)力循環(huán)，可能出現(xiàn)應(yīng)力幅、平均應(yīng)力不同的循環(huán)，導(dǎo)致疲勞破壞。疲勞破壞的特點(diǎn)是材料在遠(yuǎn)低于其單調(diào)加載屈服強(qiáng)度的應(yīng)力作用下發(fā)生斷裂，通常伴有裂紋萌生和擴(kuò)展過(guò)程，破壞形式多樣。疲勞極限是指材料在無(wú)限次應(yīng)力循環(huán)下不發(fā)生疲勞破壞的最大應(yīng)力幅，是衡量材料抵抗疲勞性能的重要指標(biāo)。九、圣維南原理指出：作用于彈性體某一部分的載荷分布方式，只影響該載荷作用區(qū)附近區(qū)域的應(yīng)力和變形，而在離載荷作用區(qū)較遠(yuǎn)的地方，應(yīng)力分布將趨于均勻，只受載荷合力和合力矩的影響。例如，在長(zhǎng)桿上作用一個(gè)局部的力或力偶，其影響主要集中在載荷作用點(diǎn)附近，但稍遠(yuǎn)一些距離后，應(yīng)力分布已與集中力作用下的分布差異不大。十、最大正應(yīng)力σ_max=Mh/(2bh2)，發(fā)生在梁固定端截面的上邊緣；最大切應(yīng)力τ_max=3M/(2bh)或τ_max=VQ/(Ibh)，發(fā)生在梁固定端截面的中性軸處。解析思路：對(duì)于懸臂梁受集中力偶M作用，彎矩圖為在固定端M=M，在自由端M=0。危險(xiǎn)截面在固定端。危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力由彎矩M引起，σ=My/I，其中y為截面到中性軸的距離，I為截面慣性矩。矩形截面慣性矩I=bh3/12。最大正應(yīng)力發(fā)生在距離中性軸最遠(yuǎn)的上邊緣或下邊緣，y=h/2。σ_max=M(h/2)/(bh3/12)=6M/(bh2)。對(duì)于矩形截面，τ_max=3V/(2bh)（其中V為剪力，V=M，h為高度，b為寬度）。另一種方法