12/122026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)卷（全國(guó)一卷03）（考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合,,則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得,故選B.2．有一組樣本數(shù)據(jù)1,2,2,2,3,5,去掉1和5后,相較于原數(shù)據(jù)不變的是（）A．平均數(shù) B．極差 C．方差 D．中位數(shù)【答案】D【解析】樣本數(shù)據(jù)1,2,2,2,3,5的平均數(shù)為,極差為4,中位數(shù)為2,去掉1和5后的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,極差為1,中位數(shù)為2,故平均數(shù)和極差都發(fā)生變化,中位數(shù)不改變,由于去掉1和5后,數(shù)據(jù)的波動(dòng)性更小,故相比較于原數(shù)據(jù),方差變小,故ABC錯(cuò)誤,D正確.故選D.3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,以為圓心且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),,則（

）A．8 B．4 C． D．【答案】C【解析】點(diǎn),漸近線為,焦點(diǎn)距離兩漸近線的距離均為.由于圓過(guò)原點(diǎn),故其半徑為.因此,故選C.4．在中,的平分線交于,則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理得,解得,而為三角形內(nèi)角,所以,所以.根據(jù)正弦定理,解得.故選D.5．已知平面向量,,,若,則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由,,得,,因?yàn)?所以,則.因?yàn)?,,因?yàn)?,,所以,與不平行,由已知不一定為,與不一定垂直,故選B.6．“角股猜想”是“四大數(shù)論世界難題”之一,至今無(wú)人給出嚴(yán)謹(jǐn)證明．“角股運(yùn)算”指的是任取一個(gè)自然數(shù),如果它是偶數(shù),我們就把它除以2,如果它是奇數(shù),我們就把它乘3再加上1．在這樣一個(gè)變換下,我們就得到了一個(gè)新的自然數(shù)．如果反復(fù)使用這個(gè)變換,我們就會(huì)得到一串自然數(shù),該猜想就是：反復(fù)進(jìn)行角股運(yùn)算后,最后結(jié)果為1．我們記一個(gè)正整數(shù)經(jīng)過(guò)次角股運(yùn)算后首次得到1（若經(jīng)過(guò)有限次角股運(yùn)算均無(wú)法得到1,則記）,以下說(shuō)法有誤的是（

）A．可看作一個(gè)定義域和值域均為的函數(shù) B．在其定義域上不單調(diào),有最小值,無(wú)最大值C．對(duì)任意正整數(shù),都有D．是真命題,是假命題【答案】A【解析】依題意,的定義域是大于1的正整數(shù)集,A錯(cuò)誤；由,得在其定義域上不單調(diào),而,,則有最小值1,由經(jīng)過(guò)有限次角股運(yùn)算均無(wú)法得到1,記,得無(wú)最大值,B正確；對(duì)任意正整數(shù),,而,因此,C正確；對(duì)任意正整數(shù),每次除以2,最后得到1的次數(shù)為,因此,由,知是假命題,D正確.故選A.7．四面體為正三棱錐,其側(cè)棱,底面邊,底面ABC的中心為,將一半徑為的半球放于棱錐內(nèi)部,半球的底面與棱錐底面重合,且半球底面圓心與點(diǎn)重合,將另一半徑為的小球放置于該半球正上方且該球與三棱錐的三側(cè)面都相切,當(dāng)最小時(shí),的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】連接,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),因另一小球在該半球正上方,且與正三棱錐的三個(gè)側(cè)面均相切,故其球心在線段上,連接,則球必與相切,設(shè)切點(diǎn)為,連接.由題意,球的半徑為,半球的半徑為,而,則,易得與相似,故有,則,即,因,即,則,該二次函數(shù)的開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為,故時(shí),最小,此時(shí)滿足題意.故選A.

8．若對(duì)任意均成立,則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】構(gòu)造,,可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,且當(dāng)趨近于0時(shí),趨近于；當(dāng)趨近于時(shí),趨近于；則在定義域內(nèi)存在唯一零點(diǎn),即,可得,若對(duì)任意均成立,即,令可得,即,整理可得,即,可得；若,構(gòu)造,則,令,解得；令,解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,則,可得,則,可得,符合題意；綜上所述：,所以實(shí)數(shù)的最大值為1.故選C.二、選擇題：本題共3小題,每小題6分,共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)是其共軛復(fù)數(shù),下列說(shuō)法正確的是（）A．若,則為實(shí)數(shù)B．若,則C．D．【答案】AD【解析】由題意設(shè),則.選項(xiàng)A,,則,所以為實(shí)數(shù),所以A正確；選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,此時(shí),所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,當(dāng),,此時(shí),所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,,即,所以D正確.故選AD.10．已知,則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】A：若,則,故A錯(cuò)；B：由,則,故B對(duì)；C：,由,,故,則,故C對(duì)；D：若,則,故D錯(cuò).故選BC.11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線就是其中之一.設(shè)曲線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于,兩點(diǎn),點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以下說(shuō)法正確的是（

）A．曲線關(guān)于軸對(duì)稱B．曲線恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．面積的最大值為D．滿足的點(diǎn)有且只有2個(gè)【答案】ABD【解析】曲線上的任意點(diǎn),其關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,代入曲線方程,,即點(diǎn)也在曲線上,所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱,故A正確；取可得,所以,,所以,由曲線可得,所以,即.由,所以.當(dāng),此時(shí),代入曲線的方程成立,所以直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值為,所以面積的最大值為,故C錯(cuò)誤；由選項(xiàng)C可知,,,取,可得,所以,,取,可得,所以直線與曲線交于點(diǎn),直線與曲線交于點(diǎn),所以曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,,,故B正確；坐標(biāo)平面內(nèi)到定點(diǎn),的距離和為的點(diǎn)的軌跡為以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,設(shè)橢圓方程為,由已知可得,又,,所以,所以橢圓方程為,聯(lián)立,所以,所以,所以,所以,故橢圓與曲線的交點(diǎn)為,,故滿足的點(diǎn)有且只有2個(gè),故D正確.故選ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.12．某人騎共享單車上班,第一條路線較短但擁擠,路途用時(shí)（單位：）服從正態(tài)分布；第二條路線較長(zhǎng)但不擁擠,路途用時(shí)（單位：）服從正態(tài)分布.若有一天他出發(fā)時(shí)離上班時(shí)間還有8,則.（精確到0.0001）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】0.0165【解析】由,得,由,得,所以.13．已知且函數(shù)的圖象恰有三條對(duì)稱軸在上,則其在上共有個(gè)極大值點(diǎn)．【答案】2【解析】先作出函數(shù)的圖象,如圖．

由圖可知函數(shù)圖象在軸右側(cè)靠近的四條對(duì)稱軸分別是：由于,,則把函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,即可得函數(shù)的圖象,為了滿足函數(shù)的圖象恰有三條對(duì)稱軸在上,則只需要將函數(shù)圖象對(duì)稱軸壓縮倍到區(qū)間內(nèi),且將函數(shù)圖象對(duì)稱軸壓縮倍不能到區(qū)間內(nèi),因此其在上共有2個(gè)極大值點(diǎn)．14.已知函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②存在,使得；③對(duì)于任意的,都有；④對(duì)于任意的,都有．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②③④【解析】因?yàn)?所以,,因?yàn)?,所以,故①錯(cuò)誤；若,則,即,,即,令,因?yàn)?所以存在,使得,即,所以存在,使得,故②正確,因?yàn)?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以也單調(diào)遞減,所以,,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以也單調(diào)遞增,所以,即,即對(duì)于任意的,都有,故③正確；由②可知,存在,使得,結(jié)合③可知當(dāng),,,即,可知當(dāng),,,即,因?yàn)?,得,即,當(dāng),有,因?yàn)?所以,所以,所以,即,當(dāng),有,因?yàn)?所以,所以,即,所以對(duì)于任意的,都有,故④正確.故答案為②③④.四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸.15．（13分）已知是公差為2的等差數(shù)列,是公比為2的等比數(shù)列,滿足,．(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；(2)記,的前項(xiàng)和分別為,,若,求的值．【解析】（1）依題意,,,又,則,（3分）解得,因此,所以數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為.（7分）（2）由（1）得,,,（10分）由,得,而,所以.（13分）16．（15分）如圖,在三棱錐中,側(cè)面是全等的直角三角形,是公共的斜邊,且,另一個(gè)側(cè)面是正三角形.

(1)證明：；(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使與平面成角？若存在,確定的位置；若不存在,說(shuō)明理由.【解析】（1）證明：取中點(diǎn),連接,如圖所示：是正三角形,,則,,平面,平面,平面.（6分）（2）由（1）知平面,平面平面平面,以為原點(diǎn),方向?yàn)檩S,方向?yàn)檩S,過(guò)作垂直于平面的線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,所以（8分）不妨設(shè),,解得,,設(shè),則,（10分）易知,平面的一個(gè)法向量為,（11分）與平面成角,解得,故當(dāng)時(shí),與平面成角.（15分）

17．（15分）已知拋物線的準(zhǔn)線與半橢圓相交于兩點(diǎn),且,點(diǎn)是半橢圓上一動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,記的中點(diǎn)為.（i）證明軸；（ii）求面積的取值范圍.【解析】（1）由題可知,拋物線的準(zhǔn)線為,則有得,所以.（3分）（2）（i）設(shè)點(diǎn),且滿足.由題意可知切線斜率不會(huì)為0,即設(shè)切線為,代入得,由可得.①（5分）設(shè)切點(diǎn),拋物線的上半部曲線函數(shù)關(guān)系式為,,則,故,將其代入①可得.②（7分）設(shè)切線為,切點(diǎn),同理可得.③由②③可知,是方程的兩根,所以,中點(diǎn)的縱坐標(biāo),所以軸.（9分）（ii）又,,所以代入②③可知,是的兩點(diǎn),即直線方程為.則（12分）又因?yàn)榍?所以.令,,由二次函數(shù)性質(zhì)可知,其在上單調(diào)遞減,故,所以.（15分）

18．（17分）在蜜蜂群體中,偵察蜂發(fā)現(xiàn)食物源后,通過(guò)“蜜蜂舞”向同伴(觀察蜂)指示食物源的距離(單位：百米)．設(shè)食物源距離為隨機(jī)變量,其概率分布為：,,,．在每次“蜜蜂舞”中,偵察蜂選擇搖擺的概率為,選擇直線奔跑的概率為,通過(guò)3次“蜜蜂舞”疊加傳遞距離信息,且每次“蜜蜂舞”中偵察蜂選擇直線奔跑或搖擺相互獨(dú)立,即搖擺次數(shù)服從二項(xiàng)分布,其中、、．(1)求食物源距離的方差；(2)求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)觀察蜂需要根據(jù)觀察到的擺動(dòng)次數(shù)來(lái)判斷食物源的距離,設(shè)判斷函數(shù)為,,其中,若損失函數(shù)為,求的值使得最?。畢⒖紨?shù)據(jù)：,參考公式：對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量、有．【解析】（1）解：由題意知,食物源距離為隨機(jī)變量,且,可得期望,則方差.（4分）（2）解：由題意知,當(dāng)時(shí),,則；當(dāng)時(shí),,則；當(dāng)時(shí),,則,（7分）隨機(jī)變量的取值為,則,即；；；,（10分）故隨機(jī)變量的分布列為0123所以期望為.（12分）（3）解：由（1）（2）知,,,,,故,（14分）則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時(shí),最小.（17分）19．（17分）已知函數(shù),．(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在唯一的極值且為極小值,求的取值范圍；(3)設(shè),若存在使得對(duì)恒成立,求的最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí),由,得,（1分）又,則,,所以,即在單調(diào)遞增,故的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)減區(qū)間.（4分）（2）由（1）可知,根據(jù)題意得：.（?。┤?①時(shí),,,此時(shí),故在無(wú)極值點(diǎn)．（5分）②當(dāng)時(shí),令,得．由,,,則,從而在單調(diào)遞增．又,,由零點(diǎn)存在性定理可知,存在,使得．從而當(dāng),,當(dāng),．在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以是在上唯一的極值且為極小值,故符合題意．（7分）（ⅱ）若,,令,,,則．令,則,故在單調(diào)遞增,所以,即,所以在單調(diào)遞增．

因?yàn)?時(shí),,所以的值域?yàn)椋十?dāng)時(shí),有唯一解,且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；此時(shí)在有唯一極大值點(diǎn),不合題意,故舍去．綜上,．（10分）（3）解法一：由（2）可知,有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn),故．