解答題解析幾何根據(jù)近幾年的高考情況，面積問(wèn)題、定值定點(diǎn)、斜率關(guān)系（和/積）、證明問(wèn)題、最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題以及圓錐曲線常與數(shù)列、參數(shù)方程結(jié)合。面積問(wèn)題中常與橢圓、拋物線、雙曲線結(jié)合考查，涉及三角形、四邊形等圖形；最值問(wèn)題涉及距離、面積、斜率、角度等，也高考的難點(diǎn)之一，證明問(wèn)題常涉及三點(diǎn)共線、直線垂直、角平分線等；斜率問(wèn)題常與韋達(dá)定理和向量結(jié)合。解讀2025全國(guó)一卷T18(2)是隱藏的軌跡探究問(wèn)題,要求考生依據(jù)特定數(shù)量關(guān)系分析幾何條件強(qiáng)化對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)幾何意義的深度理解,此類試題綜合性強(qiáng),求解時(shí)往往深度關(guān)聯(lián)三角函數(shù)、平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等模塊,試題設(shè)計(jì)打破傳統(tǒng)“條件一結(jié)論”的固化模式,引導(dǎo)考生從機(jī)械刷題轉(zhuǎn)向深度理解,切實(shí)落實(shí)了減少死記硬背、增強(qiáng)思維靈活性的改革要求,是區(qū)分高階思維能力的有效載體,預(yù)測(cè)2026高考將命制凸顯“多維條件關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化代數(shù)與幾何轉(zhuǎn)化能力”的試題:①結(jié)合參數(shù)約束條件下的動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線特征的探究，以開(kāi)放式設(shè)問(wèn)考查動(dòng)態(tài)分析能力;②設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)最值問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)思想與參數(shù)范圍分析，突出知識(shí)的融會(huì)貫通與綜合應(yīng)用.題型1軌跡問(wèn)題（2025·浙江麗水·一模）已知是橢圓上的兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且的橫坐標(biāo)之和為，設(shè)直線為線段的中垂線，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為．求垂足橫坐標(biāo)的取值范圍，并求的軌跡方程．【答案】(1)；(2)，且.【思路分析】【分析】（1）根據(jù)橢圓上兩點(diǎn)代入方程求解的值即可得橢圓方程；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，分別討論直線的斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時(shí)確定直線的方程與直線聯(lián)立得橫坐標(biāo)與的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)得的取值范圍，結(jié)合圓的定義從而得的軌跡方程.【規(guī)范答題】【詳解】（1）由題意解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，則，，①當(dāng)時(shí)，的中垂線為軸，過(guò)點(diǎn)向中垂線作垂線，垂足為點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則，所以，將代入橢圓方程得，所以，從而或，線段的中垂線方程為，即．故線段的中垂線過(guò)定點(diǎn)故垂足軌跡是在以為圓心，半徑為的圓弧，其方程為過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為，聯(lián)立方程組消去得，因?yàn)椋?，綜上①，②所得所以垂足軌跡方程是，且．求軌跡方程一般會(huì)用到以下方法：1.直接法先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為；再根據(jù)題目中動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何等量關(guān)系（如距離、角度、斜率等），直接將幾何條件轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)等式。2.幾何法利用平面幾何性質(zhì)（如垂直平分線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、圓的性質(zhì)），找到動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何等式，再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)方程，簡(jiǎn)化計(jì)算。3.相關(guān)點(diǎn)法先明確動(dòng)點(diǎn)與已知曲線（或可求軌跡的點(diǎn)）的“相關(guān)關(guān)系”（即隨運(yùn)動(dòng)）；再根據(jù)幾何條件，用表示出Q的坐標(biāo)（即，）。接著將代入Q所在的已知曲線方程，得到含的等式；最后化簡(jiǎn)該等式，并結(jié)合實(shí)際條件（如定義域）約束，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。4.定義法首先分析動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，判斷是否符合圓、橢圓、拋物線、雙曲線等基本軌跡的定義（如橢圓定義：到兩定點(diǎn)距離和為定值且大于定點(diǎn)間距）。若直接匹配定義，可直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；若需確定參數(shù)，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程形式，結(jié)合題目條件（如定點(diǎn)坐標(biāo)、定值大?。┯么ㄏ禂?shù)法求解參數(shù)，最后驗(yàn)證方程是否符合軌跡定義及題目限制。易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)：需注意等量關(guān)系中的隱含限制條件（如構(gòu)成三角形需三點(diǎn)不共線、斜率存在需分母不為0等），對(duì)所得方程進(jìn)行化簡(jiǎn)和范圍約束，最終得到符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。1.（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程.(2)若直線l的斜率為，求的面積.(3)設(shè)點(diǎn)Q滿足，求點(diǎn)Q的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意得，結(jié)合可求出，從而可求出橢圓方程；（2）設(shè)，求出直線的方程，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，從而可求出的面積；（3）設(shè)，，由，得，將代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合前面的式子得，兩式相比化簡(jiǎn)可求得，代入其中的一個(gè)化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)Q的軌跡方程.【詳解】（1）由題意得，由得，得，所以，得，則，故橢圓C的方程為；（2）由（1）可知，則，因?yàn)橹本€l的斜率為，所以直線l的方程為，設(shè)，由，得，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為；（3）設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，所以?），直線l的方程為，由，得，，則，所以，代入（*），可得：，當(dāng)時(shí)，，得（且），所以，化簡(jiǎn)整理得當(dāng)時(shí)，得，，即，滿足上面的方程，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為2.（2025·山東聊城·一模）已知圓，圓，動(dòng)圓與、都外切.(1)求圓心的軌跡方程；(2)設(shè)，、是圓心軌跡上的不同兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若直線與的斜率之積等于，求動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓、圓都外切，則，，所以，，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，，則，所以，，所以，圓心的軌跡方程為.（2）若直線與軸垂直，則直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得①，則且，可得且，由韋達(dá)定理可得，，，整理可得，即，整理可得，若，此時(shí)，方程①為，由于，解得，此時(shí)直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，，所以，直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)椋【€段的中點(diǎn)，則，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，由題意可得，可得，易知直線的方程為，聯(lián)立可得，直線交軸于點(diǎn)，交圓于、兩點(diǎn)，，則，所以，，易知點(diǎn)的軌跡為劣?。ú话ǘ它c(diǎn)），其長(zhǎng)度為.3．（2025·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與軌跡相交于兩點(diǎn)（可以相同）時(shí)，，．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)．【分析】（1）取，根據(jù)幾何關(guān)系得出，即可得出點(diǎn)的軌跡為橢圓，進(jìn)而求出其方程即可；（2）直線斜率不存在時(shí)求得，斜率存在時(shí)，設(shè)，根據(jù)，可求出，因點(diǎn)在直線上，則將值代入直線方程中即可求得點(diǎn)滿足的方程，再根據(jù)求出，進(jìn)而得出的范圍，求出軌跡方程，即可求出軌跡長(zhǎng)度.【詳解】（1）取，記線段的中點(diǎn)為，連接，由于線段的中點(diǎn)為，則，，設(shè)圓的半徑為，圓與圓內(nèi)切于，連接，則三點(diǎn)共線，且，于是，又，根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，則軌跡的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)重合，則由，可得，，，則點(diǎn)三點(diǎn)重合，此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，由，得，則，，得，由，，得，，，故，化簡(jiǎn)得，所以，得，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在直線上，所以，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)符合上式，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，線段端點(diǎn)為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度．題型2弦長(zhǎng)問(wèn)題(江西省九江市多校聯(lián)考2025年9月高三聯(lián)考解析第15題)已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為2.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【思路分析】【分析】（1）由已知求，由關(guān)系求，寫(xiě)出方程；（2）由已知可得，求出直線方程，聯(lián)立-消元-韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求解.【規(guī)范答題】【詳解】（1）由已知可得，所以，所以，所以的方程為.（2）因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以，所以直線的斜率，方程為，由，得，設(shè)，則，所以.弦長(zhǎng)公式的兩種形式(1)若A,B是直線y=kx+m與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程聯(lián)立后消去y，得到一元二次方程，則.(2)若A,B是直線x=my+n與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且由兩方程聯(lián)立后消去x，得到一元二次方程，則.1.（2025·河南·二模）設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A(1)求C的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)Mt,2為C準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且MF⊥l，求AB【答案】(1)x=?1(2)AB【解題思路】（1）根據(jù)拋物線方程即可得準(zhǔn)線方程，（2）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，求解直線方程，聯(lián)立與拋物線方程，即可根據(jù)韋達(dá)定理以及焦點(diǎn)弦公式求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閽佄锞€C的方程為y2=4x，所以拋物線C（2）因?yàn)镸t,2在C的準(zhǔn)線上，所以t=?1，即M易得F的坐標(biāo)為1,0，此時(shí)kMF因?yàn)镸F⊥l，所以kMF?k所以l的方程為y=x?1，設(shè)Ax1,聯(lián)立y2=4x,y=x?1,消去y并整理得x所以AB=2.（2025·安徽·一模）已知雙曲線C：x2a2(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且OA?OB=0（點(diǎn)O【答案】(1)x(2)6【解題思路】（1）根據(jù)離心率以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可聯(lián)立求解曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)得3k【解答過(guò)程】（1）由題意可得4a2?故雙曲線方程為C:x（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，可設(shè)Ax則OA=將其代入雙曲線方程xA又OA?OB=此時(shí)AB=2當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)Ax聯(lián)立y=kx+mx故3?k則OA=1+化簡(jiǎn)得3k2+3=2所以AB=1+k=6當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)AB=當(dāng)k≠0時(shí)，此時(shí)AB=∵3?k2≠0,∴因此AB=綜上可得AB∈題型3面積問(wèn)題（2025·廣東深圳·二模）已知點(diǎn)，，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0，且，求的面積.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】軌跡問(wèn)題——橢圓、橢圓中三角形（四邊形）的面積【思路分析】【分析】（1）設(shè)，由斜率公式根據(jù)，進(jìn)而可得；（2）由題意可得，，進(jìn)而可得直線，，分別聯(lián)立橢圓方程可得點(diǎn)，，進(jìn)而可得，，即可得的面積.【思路分析】【詳解】（1）設(shè)，由題意有：，化簡(jiǎn)得：，又，故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的傾斜角為，由，得，得，故，，即，，聯(lián)立，解得或2（舍），故，聯(lián)立，解得或2（舍），故，又，，，故.直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積，處理方法：1.一般方法：（其中為弦長(zhǎng)，為頂點(diǎn)到直線AB的距離），設(shè)直線為斜截式.進(jìn)一步，==2.特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著軸或者軸拆分成兩個(gè)三角形，不過(guò)在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一般在軸或者軸上，此時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng).3.坐標(biāo)法.設(shè)，則.4.面積比的轉(zhuǎn)化.三角形的面積比及其轉(zhuǎn)化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉(zhuǎn)化為可以利用設(shè)線法完成的線段之比或者設(shè)點(diǎn)法解決的坐標(biāo)形式，通常有以下類型：①兩個(gè)三角形同底，則面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離之比②兩個(gè)三角形等高，則面積之比轉(zhuǎn)化為底之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)之比）③利用三角形面積計(jì)算的正弦形式，若等角轉(zhuǎn)化為腰長(zhǎng)之比④面積的割補(bǔ)和轉(zhuǎn)化5.四邊形的面積計(jì)算在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見(jiàn)的情況是四邊形的兩對(duì)角線相互垂直，此時(shí)我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，借助三角形面積公式求解.6.注意某條邊過(guò)定點(diǎn)的三角形和四邊形當(dāng)三角形或者四邊形某條邊過(guò)定點(diǎn)時(shí)，我們就可以把三角形，四邊形某個(gè)定頂點(diǎn)和該定點(diǎn)為邊，這樣就轉(zhuǎn)化成定底邊的情形，最終可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.當(dāng)然，你需要把握住一些常見(jiàn)的定點(diǎn)結(jié)論，才能察覺(jué)出問(wèn)題的關(guān)鍵.1.（河北省石家莊市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試第16題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出橢圓方程（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合三角形面積公式求解直線方程.【小問(wèn)1詳解】由于橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，所以，，即，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知右焦點(diǎn)，依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)，.將直線的方程代入橢圓方程可得：，展開(kāi)并整理得.所以，.根據(jù)，可得：所以.的面積，，則：,即，解得.將代入直線的方程，可得直線的方程為，即.2．（2025·河南信陽(yáng)·一模）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求曲線的方程；(2)若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).①求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出的坐標(biāo)；②求三角形面積的最大值.【答案】(1)，且(2)①證明見(jiàn)解析，；②【分析】（1）設(shè)，則有即可求解；（2）①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理有，，由即可求解；②點(diǎn)到直線的方程為，，代入，利用二次函數(shù)即可求解.【詳解】（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線和直線的斜率乘積為，，即即，.曲線的方程為，且.（2）①設(shè)點(diǎn)、，若軸，則且，，，此時(shí)，，不合題意.設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)，則，整理可得，解得.直線的方程為，∴直線過(guò)定點(diǎn).②直線的方程為.點(diǎn)到直線的距離為，，令，則，因?yàn)闀r(shí)，故當(dāng)時(shí)，取最大值.3.（19-20高三上·山東淄博·期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為和，由4個(gè)點(diǎn)、、和組成了一個(gè)高為，面積為的等腰梯形.（1）求橢圓的方程;（2）過(guò)點(diǎn)的直線和橢圓交于兩點(diǎn)，求△面積的最大值.【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由梯形的高和面積可得結(jié)果.（2）由，設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理，即可求出面積最大值.【詳解】（1）由題意可知，又由，可得橢圓方程為：（2），設(shè)過(guò)直線AB為，與橢圓方程聯(lián)立可得：，由韋達(dá)定理可得令，則，當(dāng)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，有最大值【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：，三角形底是定值，高分別為A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此設(shè)直線AB方程為，可使計(jì)算簡(jiǎn)單.本題考查了運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題目.題型4定點(diǎn)問(wèn)題（2025·山西呂梁·一模）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)作直線.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為.【規(guī)范答題】【解析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，得，由橢圓的焦距為，得，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè),，代入橢圓方程得，由題知，當(dāng)時(shí)，設(shè),、,，顯然，由，得，即，由為線段的中點(diǎn)，得，直線的斜率，由，得直線的方程為，即，因此直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)為軸亦過(guò)點(diǎn)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系,找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).1．(河北省衡水市桃城區(qū)2026屆高三上學(xué)期暑假開(kāi)學(xué)解析第18題)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)是的左頂點(diǎn)，，是上異于點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，且.（i）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求；（ii）證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)（i）;（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，建立的方程組，求解即得橢圓方程；（2）（i）設(shè)，利用推得，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得；（ii）依題設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由化簡(jiǎn)可推得，即得或，代入直線方程分別檢驗(yàn)，即得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）由題意，，解得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）設(shè)，由（1）可得，因，則，由可得，代入，整理得：，解得（不合題意，舍去）或，故得，則.（ii）因，直線的斜率不能為0，可設(shè)其方程為：，代入，整理得：，則，設(shè)，則（*），則，化簡(jiǎn)得，因，代入整理得：，將（*）代入，可得，去分母可得：，化簡(jiǎn)得：，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)由解得，則，因，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，不合題意，舍去.故直線過(guò)定點(diǎn).2．(河北省邢臺(tái)市卓越聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高三調(diào)研解析第18題)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).（i）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的周長(zhǎng)；（ii）若直線分別與橢圓交于點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）由題意可得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）聯(lián)立直線與橢圓方程即可得到坐標(biāo)，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可得到三角形的周長(zhǎng)；（ii）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，然后分別聯(lián)立直線與橢圓方程，表示出的縱坐標(biāo)，再由代入計(jì)算，即可得到的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意可得，則，因?yàn)榻裹c(diǎn)，則，所以橢圓方程為.（2）（i）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，則直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，解得，不妨設(shè)點(diǎn)，，則，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的性質(zhì)可得，所以的周長(zhǎng)為，又，所以的周長(zhǎng)為，所以當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的周長(zhǎng)為.（ii）依題意可設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，整理可得，設(shè)，則，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，整理可得，設(shè)，則，又，所以，同理可得，由題意與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，整理可得，即，，將代入上式可得，又不恒為，故，所以直線恒過(guò)點(diǎn).題型5定值問(wèn)題（2025·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的上頂點(diǎn)為A(0,2)，線段OA的中垂線交C于B,D兩點(diǎn)，且|BD|=6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)E為橢圓C上位于直線BD上方（不與點(diǎn)B,D重合）的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線DE的平行線交橢圓C于點(diǎn)F，點(diǎn)M為直線EF與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N為直線BE與OM的交點(diǎn).證明：直線OM與直線DE的斜率之積為定值；【答案】(1)x(2)證明見(jiàn)解析【思路分析】（1）設(shè)出橢圓方程，求出點(diǎn)B,D坐標(biāo)，進(jìn)而求出橢圓方程.（2）設(shè)出直線DE方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)E，同理可得點(diǎn)F坐標(biāo)，再按EF的斜率存在與否求出直線OM與直線DE的斜率之積.【規(guī)范答題】（1）設(shè)橢圓C:x2a2+y2線段OA的中垂線方程為y=1，由BD=6，則B(?3,1),D(3,1)，9所以橢圓C:x（2）由ED//FB，且點(diǎn)E位于直線BD上方，得直線ED與直線FB的斜率k相等，且k<0，設(shè)直線ED:y=k(x?3)+1，代入橢圓C:x整理得(1+3kΔ=當(dāng)k=?1時(shí)，直線DE與橢圓C相切，則?1<k<0，設(shè)E(xE,yE設(shè)F(xF,yF由M為直線EF與BD的交點(diǎn)，則設(shè)M(x當(dāng)直線EF的斜率不存在時(shí)，xM整理可得18k2=6，解得k=?直線OM的斜率kOM=3當(dāng)直線EF的斜率存在時(shí)，1??3k2直線OM的斜率kOM=1所以直線OM與直線DE的斜率之積為定值，即為?1定值問(wèn)題的方法：消參法/由特殊到一般消參法：選擇變量，一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率等；把要求解的定值表示成含上述變量的式子并利用其他輔助條件來(lái)減少變量的個(gè)數(shù)，使其只含有一個(gè)變量；化簡(jiǎn)式子得到定值.由題自的結(jié)論可知要證明為定值的量必與變量的值無(wú)關(guān)。由特殊到一般：由特例（斜率為0或者斜率不存在的情況）得出一個(gè)值，此值一般就是定值；1.（2025·陜西漢中·一模）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程；(2)求證1A【答案】(1)x(2)證明見(jiàn)解析【解題思路】（1）由題意，列方程組，求出a,b的值，即得橢圓方程；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx【解答過(guò)程】（1）由題可知2c=2ca=故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x（2）設(shè)Ax1,y1由x=ty?1x24+y故y于是，AB=故1=AB故1AF12.（2025·山西·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求C的方程；(2)過(guò)雙曲線C右支上一動(dòng)點(diǎn)M分別作C兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線分別交于P，Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：平行四邊形MPOQ的面積為定值，并求出該定值．【答案】(1)x(2)證明見(jiàn)解析，定值1【解題思路】（1）根據(jù)離心率的概念，將點(diǎn)A2（2）由（1）求得Pn+2m4,n+2m2【解答過(guò)程】（1）由已知可得e=ca=又因?yàn)閏2=a將點(diǎn)A2,2代入雙曲線方程，得聯(lián)立①②得a2=1，所以所以雙曲線方程為：x2（2）由（1）得雙曲線漸近線方程為l1:y=2x，設(shè)Mm,n，則lMQ:y=2x+n?2m聯(lián)立l1和lMP，解得交點(diǎn)則平行線l1和lMQ之間的距離則平行四邊形MPOQ的面積S=OP由于M在雙曲線上，則m2?n所以平行四邊形MPOQ的面積為定值1.

題型6定直線問(wèn)題（2025·浙江·二模）已知F是橢圓E:x2a2+y

(1)求橢圓E的方程；(2)點(diǎn)Mx1,y1x1>0,y1>0①求FP?4②設(shè)A1,A2分別為橢圓E的左?右頂點(diǎn)，不垂直x軸的直線MF交橢圓于另一點(diǎn)N，直線NA1與直線MA2交于點(diǎn)【答案】(1)x(2)①42?9；②是，直線方程為【思路分析】（1）由已知得到關(guān)于a,c的方程，解得a,c，然后求解b2（2）①由已知可得P4x1,0，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得FM=2?12x1，代入FP?4FM，由基本不等式即可求解；②設(shè)直線MN：x=my+1m≠0，Nx【規(guī)范答題】（1）由已知ca=1所以b2=a（2）①因?yàn)榍芯€l:xx14+yy13因?yàn)辄c(diǎn)Mx1,y1x1又FM=因?yàn)镕P=4x1?1>0所以FM=2?所以FP?4當(dāng)且僅當(dāng)4x1=2x1，即x②由已知設(shè)直線MN：x=my+1m≠0，N由x24+則y1+y所以my因?yàn)锳1?2,0，Nx因?yàn)锳22,0，Mx所以x=6即點(diǎn)Q4,2y1x與直線MN聯(lián)立，得x=m因?yàn)閤1=myx=m即x12x即點(diǎn)R在直線x=2上.定直線問(wèn)題是指因圖形變化或點(diǎn)的移動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)在定直線上的問(wèn)題.這類問(wèn)題的核心在于確定定點(diǎn)的軌跡，主要方法有：(1)設(shè)點(diǎn)法：設(shè)點(diǎn)的軌跡，通過(guò)已知點(diǎn)軌跡，消去參數(shù)，從而得到軌跡方程；(2)待定系數(shù)法：設(shè)出含參數(shù)的直線方程、待定系數(shù)法求解出系數(shù)；(3)驗(yàn)證法：通過(guò)特殊點(diǎn)位置求出直線方程，對(duì)一般位置再進(jìn)行驗(yàn)證.1．(全國(guó)名校聯(lián)盟2026屆高三開(kāi)學(xué)模擬考數(shù)學(xué)解析第18題)已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率為2，圓與恰有兩個(gè)交點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)為的左頂點(diǎn)，過(guò)且斜率存在的直線交的右支于兩點(diǎn)，直線分別交圓的另一點(diǎn)于.（i）證明：三點(diǎn)共線；（ii）設(shè)直線與直線交于，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓過(guò)雙曲線頂點(diǎn)求出，再由離心率即可得解；（2）（i）設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式可證明，即可得證；（ii）設(shè)直線方程，聯(lián)立圓的方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，求出，得出直線方程，聯(lián)立方程求出點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值得證.【詳解】（1）因?yàn)閳A與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，由雙曲線及圓的對(duì)稱性知，圓過(guò)雙曲線的左右頂點(diǎn)，所以，又，所以，故，所以雙曲線的方程為.（2）（i）由（1）知，,設(shè)過(guò)的直線方程為，，如圖，由，可得，，其中，，，，為圓的一條直徑，三點(diǎn)共線.（ii）不妨設(shè)直線，其中，由（i）可知，由，可得，解得,故可得，即，，直線，由，可解得，點(diǎn)在定直線上.2.（2025·安徽蚌埠·三模）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)Q(0,6)的直線（非y軸）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線與直線BP相交于點(diǎn)D，求證：線段AD的中點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)x(2)證明見(jiàn)解析【解題思路】（1）根據(jù)離心率得到a=2c，將P3,（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+6，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)點(diǎn)B，P，D共線，得到方程，求出xD，得到x0=x1+xD2=3kx2?x12k【解答過(guò)程】（1）由e=ca=12，得a=2c將點(diǎn)P3,32代入橢圓方程，得9所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）易知直線AB斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx+6，并設(shè)點(diǎn)Ax1,聯(lián)立方程，y=kx+6,3x2所以x1+x2=?48k3+4由條件，yD=y1，點(diǎn)B，P，D共線，其中則x2所以xDx0=108ky0而kx所以kx1k而x0=3k又y0=kx即線段AD的中點(diǎn)在定直線y=?3題型7切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（2024·廣東汕頭·一模）已知點(diǎn)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn).(1)判斷直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)（i）如果把（1）的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明；（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請(qǐng)利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點(diǎn)，直線：與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn).【答案】(1)1個(gè)，理由見(jiàn)解析；(2)（i）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為；（ii）證明見(jiàn)解析.【規(guī)范答題】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，得，即由消去y得：，則，顯然，所以該直線與雙曲線有且只有1個(gè)公共點(diǎn).（2）（i）由（1）知，直線與雙曲線相切于點(diǎn)，所以過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為.證明如下：顯然，即，由消去y得：，于是，因此直線與雙曲線相切于點(diǎn)，所以過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為.（ii）當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，由對(duì)稱性知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，線段的中點(diǎn)，由消去y得：，由，得，則，又，于是，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論切線方程：(1)過(guò)圓上任意一點(diǎn)的切線方程為.(2)過(guò)橢圓的切線方程為：；(3)過(guò)雙曲線的切線方程為：；(4)過(guò).切點(diǎn)弦方程(1)過(guò)圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為.(2)過(guò)橢圓+=1外一點(diǎn)Px0,y0(3)過(guò)雙曲線的切點(diǎn)弦方程為：；(4)過(guò).說(shuō)明：上述公式的記憶方法均可用“抄一代一”，即把平方項(xiàng)其中一個(gè)照抄，另一個(gè)將變量用已知點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)代入(從曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，切線方程可將原方程作如下方法替換求出，，，，).1.（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為2．(1)求；(2)已知點(diǎn)，，是拋物線的兩條切線，，是切點(diǎn)，求．【答案】(1)2(2)【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ瑒t其到圓心距離減去半徑為2，故.（2）由（1）可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.如圖：

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線一定有斜率，故設(shè)切線方程為：，即，代入得：，整理得：.因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以或.當(dāng)時(shí)，由，所以切點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，所以切點(diǎn).所以2.（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，的橢圓的離心率，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），滿足當(dāng)時(shí)，到左焦點(diǎn)的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)?shù)淖畲笾敌∮?時(shí)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，與軸交于，與軸交于，求的最小值.【答案】(1)或；(2).【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在橢圓上，所以，又，所以，又，所以，即，又，聯(lián)立可得，解得或，又，解得或，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)：，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)切點(diǎn)，①當(dāng)且時(shí)，橢圓的方程可化為，求導(dǎo)得，所以切線斜率為，切線方程為，整理得，又，化簡(jiǎn)可得過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線方程為；②當(dāng)且時(shí)，橢圓的方程可化為，求導(dǎo)得，所以切線斜率為，切線方程為，整理得，又，化簡(jiǎn)可得過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線方程為；③當(dāng)且時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線方程為，綜上所述，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線方程為，令，可得，即，同理可得，所以，又，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.題型8角平分線問(wèn)題（2025·陜西西安·二模）已知平面上動(dòng)點(diǎn)到的距離比到直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為（在第一象限），若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于M，N兩點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【規(guī)范答題】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，平方化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，平方化簡(jiǎn)得，由可知，不合題意，舍去，綜上，曲線的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)椋?，故過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，又直線的斜率為，故，解得，故，又，所以軸，要使，只需，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，解得或，設(shè)，則，則，故，此時(shí)直線的斜率取值范圍是.角平分線的證明和探索一般用以下4個(gè)方法：方法1：向量夾角公式計(jì)算余弦值方法2：直線夾角公式計(jì)算正切值方法3：正切的二倍角公式方法4：點(diǎn)線距離和角平分線性質(zhì)1.（2025·北京延慶·一模）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且，離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是直線上不同于點(diǎn)Q的一點(diǎn)，直線BP與橢圓E交于點(diǎn)M，直線AM與直線交于點(diǎn)N，判斷是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】（1）由題意得，解得，所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得，則‖，所以，設(shè)，則，所以，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是直線上不同于點(diǎn)Q的一點(diǎn)，所以，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以存在點(diǎn)P，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合直線的方程和橢圓方程可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.2.（2025·山東泰安·一模）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，分別為橢圓的上?下頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)已知過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線不過(guò)橢圓四個(gè)頂點(diǎn).（i）設(shè)的面積分別為，若，求的最大值；（ii）若在軸上方，為的角平分線，求直線的方程.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【解析】（1）由題意知，，橢圓方程為，（2）（i）設(shè)，則，，，，，又在橢圓上，，，，即，，，，；（ii）設(shè)，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，，直線的傾斜角為，，，又，，由題意的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，由，得，設(shè)，則，又，，即，整理得，，，的方程為.題型9范圍最值問(wèn)題（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線C：上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．(1)若點(diǎn)P是直線與圓的交點(diǎn)，求a；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【思路分析】（1）聯(lián)立方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程運(yùn)算求解即可；（2）設(shè)，，根據(jù)中垂線方程以及雙曲線的切線方程解得，換元令，可得，令，可知關(guān)于x的方程有正根，更換主元法求范圍即可.【規(guī)范答題】（1）聯(lián)立方程：，解得或，即點(diǎn)為或，將點(diǎn)代入雙曲線C：可得，解得，所以.（2）先證：在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，顯然直線過(guò)點(diǎn)，即，，聯(lián)立方程，消去y可得，即，則，解得，所以在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.設(shè)，，則，可得線段OP的垂直平分線為，即，設(shè)直線與雙曲線C切于點(diǎn)x1,y1則，即，且，即，整理可得，又因?yàn)樵陔p曲線C上，則，即，可得，解得（舍負(fù)），則，令，則，可得，令，則關(guān)于x的方程有正根，即關(guān)于t的方程在內(nèi)有根，設(shè)，若，即，則，不合題意；若，即，則，解得，不合題意；若，即，則，解得；綜上所述：，則，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍問(wèn)題的方法一般題目中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．圓錐曲線中的最值問(wèn)題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，P是E的右支上一點(diǎn)，且，的面積為3．(1)求E的方程；(2)若E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)的直線l與E的右支交于M，N兩點(diǎn)，直線AM和BN的斜率分別即為和，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面積及雙曲線的定義，利用勾股定理求解即可；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式化簡(jiǎn)可得，代入中化簡(jiǎn)即可得出最值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為()，，由題可知，，即，又，故E的方程為.（2）如圖，

由題可知，且直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，將方程和聯(lián)立，得，，，，,直線與的右支有交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.2.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線：上的一點(diǎn)，直線交于A，B兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為2.(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求出，則得到準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)點(diǎn)，計(jì)算斜率得到，聯(lián)立直線與拋物線得到，則得到韋達(dá)定理式，代入即可得到，則，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到最值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在：y2=2pxp>0所以，解得.所以的準(zhǔn)線方程為.（2）由（1）知：，設(shè)Ax1,y1，同理可得，所以，即.聯(lián)立得，由得.（*），，，所以，整理得.所以，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，滿足（*）式，故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)斜率之積的式子得到，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再代入得到，最后統(tǒng)一變量得到利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.題型10多個(gè)專題綜合（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，軸，線段的中點(diǎn)為，且軸．(1)求的方程；(2)已知為上三個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限．（ⅰ）若點(diǎn)在原點(diǎn)，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，求．（ⅱ）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足，，的重心在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【規(guī)范解析】（1）將代入的方程，得，所以，所以，解得，故的方程為；（2）（?。┰O(shè)，，則，因?yàn)?，所以，即，①又的中點(diǎn)為，所以，，由，得，與①聯(lián)立可得．又，則，令，則，設(shè)方程的兩根分別為，得，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，，即，所以；（ⅱ）由，得，即，即，即，所以，又，所以，所以，所以，即，所以，所以為等腰三角形，設(shè)重心，，，，的中點(diǎn)為，則由，得，，直線的斜率，由，即，可知，所以，即，即，所以，則，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，整理得，則，，所以，由，得，解得，所以，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．解析幾何會(huì)與解三角形、立體幾何、數(shù)列等結(jié)合考查。1.（2025·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交于另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，再過(guò)作斜率為的直線交與另一個(gè)點(diǎn)，設(shè)與關(guān)于軸對(duì)稱，以此類推一直做下去，設(shè).(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍；(3)求的面積.【答案】(1)(2)，(3)16【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，解得.（2）由可知，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，且，過(guò)，，且斜率為的直線，聯(lián)立方程，消去可得，解得或，因，故，即，故數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，又，所以，所以所以，又是關(guān)于的遞增函數(shù)，故，的取值范圍是.（3）由（2）可知：，，，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，，所以的面積為.2.（2025·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)其中點(diǎn)A在x軸上方連接，將平面xOy沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，.(1)當(dāng)時(shí)，①求三棱錐的外接球的表面積；②求三棱錐的體積；(2)是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)①；②；(2)存在，【解析】（1）①由題可知，，則.直線的傾斜角，則斜率.所以直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓方程得或.又因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以.所以為邊長(zhǎng)是的正三角形，且.折疊后，.又因?yàn)?，所以；外接圓半徑；外接圓半徑.三棱錐外接球半徑為.三棱錐的外接球的表面積為.②因?yàn)槎娼菫橹倍娼撬缘捷S距離即為三棱錐的高，.底面的面積所以.即三棱錐的體積為.（2）設(shè)翻折前，翻折后.設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立得，，則.翻折前，翻折后，由,，所以.分母有理化所以.則.又因?yàn)?，所以，將代入上式，整理得，整理得因?yàn)椋?1.（河北省石家莊市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試第16題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出橢圓方程（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合三角形面積公式求解直線方程.【小問(wèn)1詳解】由于橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，所以，，即，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知右焦點(diǎn)，依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)，.將直線的方程代入橢圓方程可得：，展開(kāi)并整理得.所以，.根據(jù)，可得：所以.的面積，，則：,即，解得.將代入直線的方程，可得直線的方程為，即.2．（25-26高三上·湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)分別過(guò)，作平行直線，，若直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在軸上方.（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）求四邊形的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)（?。?（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)題意可知，則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，即可求解；（2）（?。┰O(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，解出，的坐標(biāo)，根據(jù)距離公式即可求解；（ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式說(shuō)明，四邊形為平行四邊形，可得四邊形的面積四邊形的面積的一半，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出平行四邊形的高，即可求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）圓，則圓心，，因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，由于，所以，又，根據(jù)橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，所以，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：.（2）由題可得直線，的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，，（?。┮?yàn)?，所以，?lián)立，可得：，解得：或，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方.，所以，即，所以聯(lián)立，可得：，解得：或，因?yàn)辄c(diǎn)，在軸上方.，所以，即，所以，所以.（ⅱ）聯(lián)立，可得：，所以，，則，聯(lián)立，可得：，所以，，則所以，且，則四邊形為平行四邊形，為對(duì)角線的交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知，四邊形的面積四邊形的面積的一半，四邊形的高，所以，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以四邊形的面積的取值范圍為：.3．(濰坊市開(kāi)學(xué)調(diào)考2026屆高三數(shù)學(xué)解析第18題)已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)為．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于M，N兩點(diǎn)（B不在上），過(guò)N作直線的垂線，垂足為Q．①求的最小值；②求的最大值．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）由離心率可得，結(jié)合可得橢圓方程；（2）①設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式可得，然后令，結(jié)合函數(shù)知識(shí)可得答案；②由題可得Q在以為直徑的圓T上，過(guò)B作圓T切線，切點(diǎn)為J，由幾何知識(shí)可得，然后由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合①可得最值.【詳解】（1）因的離心率為，則，從而，又右頂點(diǎn)為，則，，則橢圓方程為：；（2）①因過(guò)點(diǎn)的直線不過(guò)點(diǎn)B，則直線斜率不為0，設(shè)：.將直線與橢圓聯(lián)立，則，消去得：.因，設(shè)，則.則，令，則.設(shè),則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，故,即,故得,即的最小值為；②由題，，則Q在以為直徑的圓T上，B在圓T外，如圖，過(guò)B作圓T切線，切點(diǎn)為J，連接JQ，JM，由弦切角定理可得，又，則，從而.又連接，則，.由（1），即，則，又由①得：，則，因，則，此時(shí).則的最大值為.4.（湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2026屆高三上學(xué)期月考（三）數(shù)學(xué)試卷第17題）已知P為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，，為的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，橢圓的焦距為2．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線l為圓的切線，且l與相交于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，則可得出c的值，再由三角形面積公式可求得b的值，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由于直線l為圓的切線，注意討論直線l的斜率存在情況，先確定一般情況下的取值范圍，再確定特殊情況下的值，最后整合兩種情況下的范圍，即取兩者的并集，最終得到的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】依題意，，所以．在中，，解得，所以，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立整理得，則，則，則．又直線l為圓的切線，則，即，則．又，于；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，則，，．綜上，5．(2025年8月浙江省名校協(xié)作體高三數(shù)學(xué)解析第18題)已知橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，直線PD與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N.①已知點(diǎn)M坐標(biāo)為，求點(diǎn)橫坐標(biāo)（用表示）；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)①；②存在，【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程即可求解；（2）①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解即可；②計(jì)算可得，設(shè)，可得，結(jié)合化簡(jiǎn)得到，設(shè)直線，進(jìn)而得到直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)直線的方程為，且，，即，聯(lián)立，得，則，即，且，則，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為.由①知，，，則，即，設(shè)，與①同理可得，則，則，設(shè)直線，則，則，又，則，則直線，所以直線過(guò)定點(diǎn)，則為中點(diǎn)時(shí)，則，，則，因此，存在定點(diǎn)，使得為定值.1．（2025·北京·高考真題）已知橢圓E:x2a2+(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Mx0,y0x0≠0在橢圓E上，直線x0x+2y0y?4=0與直線y=2，y=?2分別交于點(diǎn)A【答案】(1)x(2)S【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出a,c，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系求出b，即可得到橢圓方程；（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)A,B坐標(biāo)，即可求出OAOB，再根據(jù)S法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到∠AOM=∠BOM，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【詳解】（1）由橢圓可知，2a=4，所以a=2，又e=ca=22故橢圓E的方程為x2（2）聯(lián)立x0x+2y0y?4=0整理得，2x又x024+y故①式可化簡(jiǎn)為8y2?16y0所以直線x0x+2y設(shè)Ax1,y1故設(shè)x2<x聯(lián)立x0x+2y聯(lián)立x0x+2y所以S=2OAOB故S1法二：不妨設(shè)Ax1,y1故設(shè)x2聯(lián)立x0x+2y聯(lián)立x0x+2y若x1=0由對(duì)稱性，不妨取x0=2tan∠BOM=2，tan∠BOM=同理，當(dāng)x2=0當(dāng)x1x2≠0時(shí)，則k又x024所以tan=?xtan∠BOM=則tan∠AOM=tan∠BOM所以S12．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知橢圓C:x2a(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)(0,?2)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為2，求|AB|．【答案】(1)x(2)5【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出基本量后可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)t表示面積后可求t的值，從而可求弦長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，故a=2，而離心率為22，故c=故b=2，故橢圓方程為：x（2）由題設(shè)直線AB的斜率不為0，故設(shè)直線l:x=ty+2，A由x=ty+2x2故Δ=16t4且y1故S△OAB解得t=±6故AB=3．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知A(0,3)和P3,32(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且△ABP的面積為9，求l的方程．【答案】(1)1(2)直線l的方程為3x?2y?6=0或x?2y=0.【分析】（1）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于a,b的方程，解出即可；（2）方法一：以AP為底，求出三角形的高，即點(diǎn)B到直線AP的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到B點(diǎn)坐標(biāo)，則得到直線l的方程；方法二：同法一得到點(diǎn)B到直線AP的距離，再設(shè)Bx0,y0，根據(jù)點(diǎn)到直線距離和點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點(diǎn)B到直線AP的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗(yàn)證直線AB斜率不存在的情況，再設(shè)直線y=kx+3，聯(lián)立橢圓方程，得到點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線PB【詳解】（1）由題意得b=39a2所以e=1?（2）法一：kAP=3?320?3=?AP=0?32設(shè)點(diǎn)B到直線AP的距離為d，則d=2×9則將直線AP沿著與AP垂直的方向平移125此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，設(shè)該平行線的方程為：x+2y+C=0，則C+65=1255當(dāng)C=6時(shí)，聯(lián)立x212+y2即B0,?3或?3,?當(dāng)B0,?3時(shí)，此時(shí)kl=32，直線l當(dāng)B?3,?32時(shí)，此時(shí)kl=12當(dāng)C=?18時(shí)，聯(lián)立x212+Δ=綜上直線l的方程為3x?2y?6=0或x?2y=0.法二：同法一得到直線AP的方程為x+2y?6=0，點(diǎn)B到直線AP的距離d=12設(shè)Bx0,y0，則x即B0,?3或?3,?法三：同法一得到直線AP的方程為x+2y?6=0，點(diǎn)B到直線AP的距離d=12設(shè)B23cosθ,3sin聯(lián)立cos2θ+sin2θ=1即B0,?3或?3,?法四：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，此時(shí)B0,?3S△PAB=12×6×3=9，符合題意，此時(shí)kl=當(dāng)線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，聯(lián)立橢圓方程有y=kx+3x212+y29解得x=0或x=?24k4k2+3令x=?24k4k2同法一得到直線AP的方程為x+2y?6=0，點(diǎn)B到直線AP的距離d=12則?24k4k2此時(shí)B?3,?32，則得到此時(shí)kl=12綜上直線l的方程為3x?2y?6=0或x?2y=0.法五：當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l:x=3,B3,?32此時(shí)S△ABP當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)PB:y?32=k(x?3)y=k(x?3)+32x212Δ=24k2?12kx1A到直線PB距離d=3k+∴k=12或32，均滿足題意，∴l(xiāng):y=12x或法六：當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l:x=3,B3,?32此時(shí)S△ABP當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l:y=k(x?3)+3設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為Q，令x=0，則Q0,?3k+聯(lián)立y=kx?3k+3233+4k其中Δ=8k2則3x則S=12|AQ|xP則直線l為y=12x或y=324．（2023·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)P在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線A2P交y軸于點(diǎn)Q，若三角形A1PQ的面積是三角形【答案】(1)橢圓的方程為x24+(2)y=±6【分析】（1）由a+c=3a?c=1解得a=2,c=1，從而求出b=（2）先設(shè)直線A2P的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，再由韋達(dá)定理可得xA2?xP，從而得到P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo).由S△A【詳解】（1）如圖，

由題意得a+c=3a?c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以橢圓的方程為x24+（2）由題意得，直線A2P斜率存在，由橢圓的方程為x2設(shè)直線A2P的方程為聯(lián)立方程組x24+y2由韋達(dá)定理得xA2?所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直線A25．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【答案】(1)?1；(2)162【分析】（1）由點(diǎn)A(2,1)在雙曲線上可求出a，易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px1,y1（2）根據(jù)直線AP,AQ的斜率之和為0可知直線AP,AQ的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)tan∠PAQ=22即可求出直線AP,AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP,AQ與雙曲線方程求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)，即可得到直線PQ的方程以及PQ的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線PQ的距離，即可得出【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px聯(lián)立y=kx+mx22所以，x1+x2=?所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化簡(jiǎn)得，8k2+4k?4+4m所以k=?1或m=1?2k，當(dāng)m=1?2k時(shí)，直線l:y=kx+m=kx?2+1過(guò)點(diǎn)故k=?1．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線PA,AQ的傾斜角為α,βα<π2<β，因?yàn)閗AP當(dāng)P,Q均在雙曲線左支時(shí)，∠PAQ=2α，所以tan2α=2即2tan2α+此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)P,Q均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)閠an∠PAQ=22，所以tanβ?α即2tan2α?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0，PQ=163，點(diǎn)故△PAQ的面積為12［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為α，0<α<π2，由tan∠PAQ=2由2α+∠PAQ=π，得kAP=tan聯(lián)立y1?1x1?2=2同理，x2=10+423，而|AP|=3|x由tan∠PAQ=22，得故S【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問(wèn)結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線PA,PB的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)P,Q坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)P,Q坐標(biāo)過(guò)程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．6．（2020·全國(guó)III卷·高考真題）已知橢圓C:x225+y2m2=1(0<m<5)（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．【答案】（1）x225+【分析】（1）因?yàn)镃:x225+y（2）方法一：過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，垂足為M，設(shè)x=6與x軸交點(diǎn)為N，可得△PMB?△BNQ，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線AQ的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得△APQ的面積.【詳解】（1）∵C:x225+y2m根據(jù)離心率e=ca=1?b∴C的方程為：x225+（2）［方法一］：通性通法不妨設(shè)P,Q在x軸上方，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，垂足為M，設(shè)直線x=6與x軸交點(diǎn)為N根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖∵|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，∠PMB=∠QNB=90°，又∵∠PBM+∠QBN=90°，∠BQN+∠QBN=90°，∴∠PBM=∠BQN，根據(jù)三角形全等條件“AAS”，可得：△PMB?△BNQ，∵x225+16y225=1，設(shè)P點(diǎn)為(xP,yP)，可得可得：xP225+1625=1，解得：xP=3或x①當(dāng)P點(diǎn)為(3,1)時(shí)，故MB=5?3=2∵△PMB?△BNQ，∴|MB|=|NQ|=2，可得：Q點(diǎn)為(6,2)，畫(huà)出圖象，如圖∵A(?5,0),Q(6,2)，可求得直線AQ的直線方程為：2x?11y+10=0，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為d=2×3?11×1+10根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AQ=6+52+2?02=5②當(dāng)P點(diǎn)為(?3,1)時(shí)，故MB=5+3=8，∵△PMB?△BNQ，∴|MB|=|NQ|=8，可得：Q∵A(?5,0),Q(6,8)，可求得直線AQ的直線方程為：8x?11y+40=0，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為d=8×根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AQ=∴△APQ面積為：12×185×5［方法二］【最優(yōu)解】：由對(duì)稱性，不妨設(shè)P，Q在x軸上方，過(guò)P作PE⊥x軸，垂足為E．設(shè)D(6,0)，由題知，△PEB≌△BDQ．故BPQB①因?yàn)镻(3,1),A(?5,0),Q(6,2)，如圖，所以，S△APQ②因?yàn)镻(?3,1),A(?5,0),Q(6,8)，如圖，所以S△APQ綜上有S［方法三］：由已知可得B5,0，直線BP,BQ的斜率一定存在，設(shè)直線BP的方程為y=kx?5，由對(duì)稱性可設(shè)k<0，聯(lián)立方程y=k(x?5),x225由韋達(dá)定理得5xP=將其代入直線BP的方程得yP=?10k則|BP|=80因?yàn)锽P⊥BQ，則直線BQ的方程為y=?1則Q6,?因?yàn)閨BP|=|BQ|，所101+k2即64k2?14k2?1=0，故當(dāng)k=?18時(shí)，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為直線PQ的方程為y=79x+103，點(diǎn)A故△APQ的面積為12當(dāng)k=?12時(shí)，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為直線PQ的方程為y=13x，點(diǎn)A(?5,0)到直線PQ故△APQ的面積為12綜上所述，△APQ的面積為52［方法四］：由（1）知橢圓的方程為x225+不妨設(shè)Px0,設(shè)直線AP:y=k(x+5)(k>0)．因?yàn)閨BP|=|BQ|,BP⊥BQ，所以y0由點(diǎn)