成考高等數(shù)學(xué)(一)成人高考(專升本)試卷及答案(2025年)一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確選項的字母填在題后括號內(nèi)）1.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+ax)在x=0處可導(dǎo)，且f′(0)=2，則常數(shù)a等于（）A.1??B.2??C.3??D.4【答案】B2.若向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，則|α×β|的值為（）A.√21??B.3√6??C.6√3??D.9【答案】C3.設(shè)函數(shù)g(x)=x3?3x2+2，則g(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值與最小值之差為（）A.2??B.4??C.6??D.8【答案】D4.已知冪級數(shù)∑_{n=1}^{∞}(2n+1)(x?1)^n的收斂半徑為（）A.1??B.2??C.1/2??D.∞【答案】A5.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則A的伴隨矩陣adj(A)為（）A.[[4,?2],[?3,1]]??B.[[4,2],[3,1]]??C.[[1,?2],[?3,4]]??D.[[4,?2],[3,?1]]【答案】A6.設(shè)f(x)=e^{?x}sinx，則∫?^{π}f(x)dx的值為（）A.(1+e^{?π})/2??B.(1?e^{?π})/2??C.(1+e^{π})/2??D.1【答案】B7.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若E(X2)=6，則λ等于（）A.1??B.2??C.3??D.4【答案】B8.曲線y=lnx在點(diǎn)(e,1)處的曲率半徑為（）A.e??B.e√2??C.2e??D.e2【答案】B9.設(shè)二元函數(shù)z=x2y+xy2，則?2z/?x?y在點(diǎn)(1,2)處的值為（）A.6??B.7??C.8??D.9【答案】C10.設(shè)函數(shù)h(x)=|x?2|+|x+1|，則h(x)的最小值為（）A.0??B.1??C.2??D.3【答案】D二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分。請將答案直接填在橫線上）11.設(shè)極限lim_{x→0}(sin3x)/(ax)=1，則a=________。【答案】312.設(shè)函數(shù)f(x)=x^{x}，則f′(1)=________?！敬鸢浮?13.設(shè)矩陣B=[[2,1],[1,1]]，則B?1=________。【答案】[[1,?1],[?1,2]]14.設(shè)曲線C的參數(shù)方程為x=t2，y=t3，t∈[0,1]，則C的弧長為________?！敬鸢浮?13√13?8)/2715.設(shè)隨機(jī)變量Y服從區(qū)間[0,θ]上的均勻分布，若E(Y)=3，則θ=________?！敬鸢浮?16.設(shè)函數(shù)g(x)=∫?^{x}ln(1+t2)dt，則g″(0)=________。【答案】0三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=x3?3x+1，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）證明方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個實(shí)根?！窘獯稹浚?）f′(x)=3x2?3=3(x2?1)。令f′(x)=0得x=±1。當(dāng)x<?1時f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)增；當(dāng)?1<x<1時f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)減；當(dāng)x>1時f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)增。故f(x)在x=?1處取得極大值f(?1)=3，在x=1處取得極小值f(1)=?1。（2）因f(0)=1>0，f(1)=?1<0，且f(x)在[0,1]上連續(xù)，由零點(diǎn)定理知存在c∈(0,1)使f(c)=0。又f′(x)<0于(0,1)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)減，故根唯一。18.（本題滿分12分）計算二重積分?_D(x+y)dσ，其中D為由直線y=x，y=2x及x=1圍成的閉區(qū)域?！窘獯稹拷稽c(diǎn)：(0,0)，(1,1)，(1,2)。將D分為兩部分：D?:0≤x≤1，x≤y≤2x。?_{D?}(x+y)dσ=∫?1∫_x^{2x}(x+y)dydx=∫?1[x(2x?x)+?(4x2?x2)]dx=∫?1(x2+3x2/2)dx=∫?15x2/2dx=5/6。19.（本題滿分14分）設(shè)矩陣A=[[3,1],[0,2]]，（1）求A的特征值與特征向量；（2）計算A^{10}?！窘獯稹浚?）|λI?A|=0?(λ?3)(λ?2)=0，得λ?=3，λ?=2。對λ?=3，解(3I?A)x=0得特征向量v?=(1,0)^T；對λ?=2，解(2I?A)x=0得特征向量v?=(1,?1)^T。（2）A可對角化，P=[[1,1],[0,?1]]，P?1=[[1,1],[0,?1]]，A=P[[3,0],[0,2]]P?1，A^{10}=P[[3^{10},0],[0,2^{10}]]P?1=[[3^{10},3^{10}?2^{10}],[0,2^{10}]]。20.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)z=e^{xy}，（1）求dz；（2）求曲面z=e^{xy}在點(diǎn)(1,1,e)處的切平面方程?！窘獯稹浚?）dz=?z/?xdx+?z/?ydy=ye^{xy}dx+xe^{xy}dy。（2）令F(x,y,z)=e^{xy}?z，則?F=(ye^{xy},xe^{xy},?1)，在(1,1,e)處法向量n=(e,e,?1)。切平面方程：e(x?1)+e(y?1)?(z?e)=0，化簡得ex+ey?z=e。21.（本題滿分14分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=k(1?x2)，?1≤x≤1，（1）求常數(shù)k；（2）求E(X)與Var(X)?！窘獯稹浚?）∫_{1}^{1}k(1?x2)dx=1?k[x?x3/3]_{1}^{1}=1?k·4/3=1?k=3/4。（2）E(X)=∫_{1}^{1}x·3/4(1?x2)dx=0（奇函數(shù)）。E(X2)=∫_{1}^{1}x2·3/4(1?x2)dx=3/4∫_{1}^{1}(x2?x?)dx=3/4·(2/3?2/5)=1/5。Var(X)=E(X2)?[E(X)]2=1/5。22.（本題滿分14分）求微分方程y″?4y′+4y=e^{2x}的通解?！窘獯稹刻卣鞣匠蘲2?4r+4=0?r=2（重根）。齊次通解y_h=(C?+C?x)e^{2x}。