2023年中考數(shù)學【熱點?重點?難點】專練（江蘇專用）

重難點04最值問題

【命題趨勢】

最值問題，在中考里，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生能力

區(qū)分度最重要的地方。在各地中考種都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。

【滿分技巧】

1）.在代數(shù)部分最值問題，多出現(xiàn)在函數(shù)部分，無論是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都需要先求自變審的取值范

圍，再求函數(shù)解析式，根據(jù)實際向題，求得最值。有關內容在前面的一次函數(shù)、二次函數(shù)中都有諸多體現(xiàn)。

近幾年，利用配方法求最值來解戾一些實際問題，也常常見到。

2）.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：（1）幾何圖形中在

特殊位置下的最值；（2）比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉

及的基本方法還有：利用軸對稱變換、旋轉變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差

小于第三邊”等；③借助于圓的知識；④二次函數(shù)的最值法解決。

3）幾何最值問題中的基本模型舉例

圖形

軸對稱最值原理兩點之間線段最短兩點之間線段最短三角形三邊關系

（將軍飲馬）A,8為定點，/為定直線，A,8為定點，/為定直線，

A,B為定點，/為定直線，MN為直線/

特征P為直線1上的一個動P為直線/上的一個動

上的一條動線段，求AM+BN的最小值

點，求AP+8P的最小值點，求I4PBPI的最大值

作其中一個定點關于定先平移AM或使M,N重合,然后作其中一個定點關于定

轉化

直線1的對稱點作其中一個定點關于定直線,的對稱點直線/的對稱點

圖形

折疊最值

原理兩點之間線段最短

在△ABC中，M,N兩點分別是邊AB,BC上的動點，將△8MN沿MN翻折，B點的對應點

特征

為連接AB；求4萬的最小值.

轉化轉化成求AB'+B'N+NC的最小值

【限時檢測】

A卷（真題過關卷）

一、單選題

1.如圖，E為正方形4BCD邊AD二一點，AE=1,DE=3,P為對角線8D上一個動點，則P/+PE的最小

值為（）

A.5B.4V2C.2V10D.10

【答案】A

【分析】連接EC交BD于尸點，根據(jù)“兩點之間線段最短”，可知P4+PE的最小值即為線段EC的長，求出EC

的長即可.

【詳解】連接EC,交8D于P點

???四邊形/BC。為正方形

?,"點和C點關于8D對稱

:.PA=PC

PA+PE=PC+PE=EC

根據(jù)“兩點之間線段最短“，可知PA+PE的最小值即為線段EC的長.

V/F=1,DE=3

AD=4

:.DC=4

???CE=y/DE2+CD2=?+42=5

???P/l+PE的最小值為5

故選:A

【點睛】本題主要考查了正方形的性質和兩點之間線段最短，這是一個將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性

質并且能夠識別出將軍飲馬模型是解題的關鍵.

2.如圖，中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點尸為AC邊上的動點，過點尸作，力8于點D,

則P8+P0的最小值為（）

A.—B.-C.5D.-

4S3

【答案】B

【分析】作點8關于AC的對稱點"，過點夕作夕0_148于點。，交AC于點P,點P即為所求作的點，此時

PB+PO有最小值，連接/1?，根據(jù)對稱性的性質，可知：RP=PP,二△力?。，根據(jù)SAABB，=S~IBC+

SgWc=2s△謝，即可求出PB+P。的最小值.

【詳解】解：如下圖，作點8關于4c的對稱點9,過點力作eD1力8于點。，交AC于點P,連接A*,點

PU為所求作的點，此時P8+P。有最小值，

根據(jù)對稱性的性質，可知:BP=B'P,

在At△ABC中，LACB=90,71C=4.BC=3,

AB=yjAC2+BC2=5,

根據(jù)對稱性的性質，可知;ZMBC三△AB'C,

S&ABB，=S&ABC+SMB'C=2s△而。，

即三xA3?5'。=2x28。?AC,

22

???SB'D=24,

ED=y,

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，解題的關鍵是掌握軸對稱的性質.

3.如I圖，正方形ABC。的邊長為4,點M在QC上，HOM=1,N是4c上一動點，則。N+MM的最小值為

()

C.2V5D.5

【分析】由正方形的對稱性可知點B4。關于直線AC對稱，連接BM交AC于V,M即為所求在RsBCM

中利用勾股定理即可求出BM的長即可二

【詳解】???四邊形A3CO是正方形,

?,?點8與。關于直線AC對稱,

:.DN=BN,

連接8。，BM交AC于連接DM,

???當3、MM共線時，DN+MN有最小值,則8M的長即為QMhWN的最小值,

???AC是線段8。的垂直平分線，

又?；CQ=4,DM=\

：.CM=CDDM=4\=3,

在RsBCM中，BM4cM2+8c2=V32+42=5

故DN+MN的最小值是5.

故選：D.

【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題及正方形的性質，先作出。關于直線AC的對稱點，由軸對稱及

正方形的性質判斷出。的對稱點是點8是解答此題的關鍵.

4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-/+加+3的圖像與x軸交于A、C兩點，與x軸交于點C(3,0),

若P是x軸上一動點，點。的坐標為(0,-1),連接P。，則&PD+PC的最小值是()

A.4B.2+2應C.2&D.-+-\[2

23

【答案】A

【分析】過點尸作a7_L5C于J，過點。作?！╛L6C于〃，根據(jù)JZP。十PC=v7(P0十竽PC)=e(P。+P/),

求出。尸+尸/的最小值即可解決問題.

【詳解】解：連接8C,過點P作R/_L3C于過點。作。"_L3c于從

???二次函數(shù)y=-x2+bx+3的醫(yī)像與x軸交于點。(3,0),

：?b=2,

???二次函數(shù)的解析式為y=-/+2%+3,令y=0,f+2x+3=0,

解得工=-1或3,

??"(-1,0),

令1=0,產3,

:.B(0,3),

???。8=。。=3,

VZBOC=90°,

，NO8C=NOC8=45。，

VZ)(0,1),

：?OD=1,80=4,

?:DH1.BC,

???/DHB=90。,

設OH-x,則8”一工，

?：DH2+BH2=BD2,

.\x2+x2=42,

:.x—2近，

:.DH=2鼻,

?:PJLCB,

?"P/C=90。，

：,pj=^.pC,

:.@0+PC=V2(PD+yPC)=V2(PD+PJ),

〈DP+PJ>DH,

：.DP+PJ>2V2,

:.DP+PJ的最小值為2?,

???\交PO+PC的最小值為4.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關性質，以及等腰直角三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，得到

NO8C=/OCB=45。，P/=4PC是解題的關鍵.

5.如圖，四邊形48CD為矩形，715=3,8c=4.點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點.4ADM=

ZR4P,則8M的最小值為（）

A.1B.yC.V13-|D.V13-2

【答案】D

【分析】證明4力MO=90°,得出點M在。點為圓心，以A。為半徑的圓上，從而計算出答案.

【詳解】設AO的中點為0,以。點為圓心，4。為半徑畫圓

???四邊形ABC。為矩形

4MAD=90°

*：LADM=4BAP

???/M/D+/ADM=90°

???N4MD=90"

.?.點M在。點為圓心，以A。為半徑的圓上

連接。8交圓。與點N

???點4為圓0外一點

???當直線8M過圓心。時，BM最短

?：B02=AB2+AO2,A0=-AD=2

2

：,B02=9+4=13

：,B0=V13

，：BN=BO-AO=y/13-2

故選：D.

【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關知識.

6.如圖I,正方形力BCD中，點E是BC的中點，點P是對角線4c上的一個動點，設力P=x,PB+PE=y,

當點P從力向點C運動時，y與％的函數(shù)關系如圖2所示，其中點M是函數(shù)圖象的最低點，則點M的坐標是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)圖像，當P與C重合時，PB+PE=9即CB+CE=9,從而確定正方形的邊長為6,根據(jù)將軍飲馬

河原理，連接。七交AC于點G,當點P與點G重合時，PE+PB最小,且為QE的長即點M的縱坐標，利

用相似三角形，計算4G的長即為橫坐標.

【詳解】如圖，根據(jù)圖像，當戶與。重合時,PB+PE=9即CB+CE=9,

???點七是8C的中點，

:?BC=6,

連接交AC于點G,當點夕與點G重合時，PE+PB最小,且為的長即點M的縱坐標,

???四邊形48CO是正方形，AB=6；

：,CE〃AD,AC=V62+62=6\/2,DE=V62+32=375,

:.DCGESAAGD,

.CGCE1

..—=—=—,

AGAD2

,AC3

??=-9

AG2

AXG=4V2,

故點M的坐標為（4V2,3V5）,故A正確.

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形相似的判定和性質，函數(shù)圖像信息的獲取，將軍飲馬河原理，

熟練掌握正方形的性質，靈活運用三角形相似，構造將軍飲馬河模型求解是解題的關鍵.

7.如圖，點M是菱形/WC。的邊友:的中點，。為對角線3。上的動點，若43=2,N4=120。，則PM+

PC的最小值為（）

BMC

A.2B.V3C.>/2D.1

【答案】B

【分析】連接AM、AC,AM交BD于P,此時PM+PC最小，連接CP,由菱形的性質可知C和A關于8。

對稱，AP=CP,由條件易證△ABC是等邊三角形，根據(jù)三線合一可知AM_L8C,再根據(jù)勾股定理可求AM

的值，即可求解.

【詳解】解：連接AM、AC,AM交BD于P,

此時PM+PC最小，連接CP,

A________D

BMC

???四邊形A8CD是菱形,

，OA=OC,

和A關于對稱，

：,AP=PC,

???ZA=120°,

???NA8L60。，

?）△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=2,

???M是BC的中點，

：,ZBAM=30°,

:?BM=l,

：.AM-y/AB2-BM2=遍,

，PM+PC=AM=如.

故選B.

【點睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定

理等知識，解題的關鍵是準確找到P的位置.

8.如圖，。。的半徑是遍，。是。0上一動點，A是。。內部一點，且力。=B，則下列說法正確的是（）

①用的最小值為n-V5；②以的最大值為連+V3：③當匕04P=90。時，△PAO是等腰直角三角形;④△以。

面積最大為今

4

A.①③④B.???C.①②③D.②③④

【答案】C

【分析】分析知當A在線段PO上時，以取最小值，A在PO延長線上時，以取最大值，可以判斷①②是

否正確；當/。4，=90。時，根據(jù)勾股定理求出的長度，可以判斷③是否正確；作出A點的軌跡圓，知當

OAJ_PO時，三角形以。面積取最大值，通過計算判斷④是否正確即可.

【詳解】解：由題意知，當A在線段P。上時，以取最小值，A在。。延長線上時，力取最大值,

:.PA的最小值為遙-百，PA的最大值為石+V3,

故①②正確：

當NOAP=90。時，根據(jù)勾股定理得：AP=J(V6)2-(V3)2=6,

即A產二。4,三角形以O為等腰直角三角形，

故③正確；

作出A點軌跡圓如下：

知當。4J_P0時，三角形物O面積取最大值，最大值為：；xV3xV6=^,

故④錯誤，

綜上所述，正確的序號為：①②

故選：C.

【點睛】本題考查了圓的性質、勾股定理、線段最值等知識點，借助圓的性質判斷出線段的最值是解決本

題的關鍵.

二、填空題

9.如圖，在中，Z.ACB=90°,AC=BC,點C在直線MN上，Z.BCN=30°,點P為MN上一動點,

連接力尸，BP.當+的值最小時，乙CBP的度數(shù)為度.

B

M---------r—p—N

【答案】15

【分析】如圖，作8關于MN的對稱點。，連接力D,8D,CD,4P+BP的值最小,則MN交AD于P,由軸對

稱易證NCBP=NCOP,結合NBGV=30。證得△BCD是等邊三角形，可得力C=C),結合已知根據(jù)等腰三角

形性質可求出NCOP,即可解決問題.

【詳解】如圖，作8關于MN的對稱點。，連接4D,8D,CD,

???4P+BP的值最小，

則MN交4。于P,由軸對稱可知：

CB-CD,PB-PD,

???乙CBD=乙CDB,乙PBD=乙PDB,

???Z.CBP=乙CDP,

vZ.BCN=30°,

:?乙BCD=2乙BCN=60°,

.??△8C0是等邊三角形，

vAC=BC,

:.AC=CD,

:.Z.CAD=乙CDA,

?:乙ACB=90°,乙BCD=60°,

Z.CAD=LCDA=1(180°-/-ACB-乙BCD)=15°,

:?“BP=乙CDP=15°,

故答案為：15.

B

【點睛】本題考查等邊二角形判定和性質、軸對稱的性質、最短路徑問題、等腰二角形的性質；熟練掌握

相關性質的聯(lián)系與運用，會利用最短路徑解決最值問題是解答的關鍵.

10.如圖，在周長為12的菱形/BCD中，DE=1,DF=2,若P為對角線AC上一動點，則EP+"P的最小值

【答案】3

【分析】作尸點關于BC的對稱點F',連接EF'交BD于點匕貝lJPF=PC,由兩點之間線段最短可知當E、P、

卜在一條直線上時，EP+尸產有最小值，然后求得EF，的長度即可.

【詳解】解：作戶點關于BD的對稱點怪,則PF=PF。連接EF'交8D于點P.

EP+FP=EP+尸P.

由兩點之間線段最短可知：當E、P、〃在一條直線上時,EP+”的值最小，此時EP+*=EP+FP=EF'.

???四邊形48co為菱形，周長為12,

AB=BC=CD=DA=3,AB\\CD,

vAF=2,AE=1,

.-.DF=AE=lt

.?.四邊形力EF'。是平行四邊形,

???EF'=AD=3.

EP+FP的最小值為3.

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查的是菱形的性質、軸對稱路徑最短問題，明確當E、P、F'在一條直線上時EP+FP有

最小值是解題的關鍵.

11.如圖，在△48C中，^BAC=90°,AB=3,AC=4,垂直平分8C,點尸為直線上任意一點，則

AP+8P的最小值是_____.

【答案】4

【分析】由線段垂直平分線的性質可得BP=PC,可得當點A,P,。在一條直線上時，24+BP有最小值,

最小值為4c的長.

【詳解】解：連接PC.

???EF是8c的垂直平分線，

：.BP=PC,

：.PA+BP=APPC,

???當點A,P,C在一條直線上時，P4+BP有最小值，最小值為40=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，明確線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題

的關鍵.

12.如圖，拋物線y=/-軌+3與x軸分別交于48兩點（點A在點8的左側），與y軸交于點C,在其對稱

軸上有一動點M,連接MAMCMC,則△MAC周長的最小值是

【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型，先求出4(1,0)1(3,0)((0,3),由二次函數(shù)對稱性，4B關于對稱軸對稱,從

而=CA+CM+MA=CA^-CM+MB,AC=y/OA2+OC2=V10,則aMAC周長的最小值就是CM+

MB的最小值，根據(jù)兩點之間線段最短即可得到CM+M8的最小值為C,M,B三點共線時線段長，從而得

到CB=70c2+OB2=3y[3即可得到答案.

【詳解】解：?.?拋物線、=/-叔+3與1軸分別交于48兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,

???當y=0時，0=/一鈦+3解得％=1或%=3,即4(1,0),8(3,0)；當％=0時，y=3,即C(0,3),

由二次函數(shù)對稱性，48關于對稱軸對稱，即MA=MB,

:.C^MAC=CA+CM+MA=CA^-CM+MB,

vAC="M2+。。2=同,

二△M4C周長的最小值就是CM+MB的最小值，

根據(jù)兩點之間線段最短即可得到CM+MB的最小值為CM,B三點共線時線段C9長，???CB=『。。2+OR2=

3VL

??.△MAC周長的最小值為&4+CB=3&+同,

故答案為：3V2+V10.

【點睛】本題考查動點最值問題與二次函數(shù)綜合，涉及“將軍飲馬”模型求最值、二次函數(shù)圖像與性質、解一

元二次方程、勾股定理求線段長等知識，熟練掌握動點最值的常見模型是解決問題的關鍵.

13.如圖，在0。中，點A、點B在。0上，Z.AOB=90°,。/1=6,點C在。4上，且OC=2AC,總。是08的中

點，點M是劣弧力8上的動點，貝IJCM+20M的最小值為.

【答案】4同

【分析】延長。8到幾使得87=。8,連接MT,CT,利用相似三角形的性質證明MT=20M,求CM+2DM

的最小值問題轉化為求CM+MT的最小值.求出CT即可判斷.

【詳解】解：延長。3到7,使得67=08,連接MT,CT.

v0M=6,0D=DB=3,0T=12,

0M2=0D?0T,

0MOT

：?'9

0DOM

?:乙MOD=LT0M,

???AMODs^TOM,

DM_OM_1

而=而=T

MT=20M,

vCM+2DM=CM+MT>CT,

又?.在RtAOCT中，Z.COT=900,0C=4,OT=12,

ACT=y/OC2+OT2=V42+122=4>/10,

???CM+2DM>4V10,

??.CM+2DM的最小值為4g,

故答案為：4VTU.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線,

構造相似三角形解決問題.

14.如圖，直線y=x+4與％軸，y軸分別交于4和B,點C、。分別為線段48、。8的中點，P為0A上一動點,

當尸C+P。的值最小時，點P的坐標為.

【答案】（一1，0）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點力、8的坐標，再由中點坐標公式求出點C、。的坐標，根據(jù)對稱的性質

找出點。'的坐標，結合點。、。'的坐標求出直線GX的解析式，令y=0即可求出工的值，從而得出點尸的坐標.

【詳解】解：作點。關于工軸的對稱點。'，連接交x軸于點P,此時PC+PO值最小，最小值為CD',如圖.

令y=x+4中％=0,則y=4,

?,?點8的坐標為（0,4）；

令y=%+4中y=0,則％+4=0,解得：x=-4,

???點A的坐標為（一4,0）.

二點C、。分別為線段48、08的中點，

???點。（-2,2）,點0（0,2）.

???點。和點。關于％軸對稱，

???點。'的坐標為（0,-2）.

設直線的解析式為y=kx+b,

???直線CD'過點C（-2,2）,D'（O,-2）,

?『￡『，解瞰二，

???直線的解析式為y=-2x-2.

令y=0,則0=-2%-2,解得：x=—1,

，點P的坐標為（一1，0）.

故答案為：（—1，0）.

【點睛】本題考有了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及軸對稱中地知路徑問題，

解題的關鍵是求出直線CD'的解析式.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標利用

待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關鍵.

15.如圖，點Q是內任意一點,OP=3cm,點M和點N分別是射線。力和射線。8上的動點=30°,

則△PMN周長的最小值是.

【分析】分別作點P關于。4、。8的對稱點C、D,連接CD,分別交。4、OB于點M、N,連接

OP、OC、OD、PM、PN,當點M、N在CD上時，△PMN的周長最小.

【詳解】解：分別作點夕關于。人。8的對稱點。，D,連接CD,分別交。/、OB于點N,連接

???點P關于。4的對稱點為C,關于。8的對稱點為。，

；?PM=CM,OP=OC,/.COA=LPOM

???點夕關于OB的對稱點為。，

:?PN=DN,OP=OD,乙DOB=CPOB,

：.0C=OD=OP=3cm,乙COD=LCOA+Z.POA+乙POB+乙DOB=2^.POA4-2乙POB=2Z.AOB=60°,

???△CO。是等邊三角形,

：.CD=OC=OD=3(cm).

，APMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN2CD=3cm.

故答案為:3cm.

【點睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定.作點P關于04、08的對稱點C。是解題的

關鍵所在.

16.如圖所示的平面直角坐標系中,/(0,4),口(4,0),2是第一象限內一動點，02=2,連接則BP+g/P

的最小值是___________

【答案】V17

［分析】取點7(0,1),連接PT,BT.根據(jù)OP?=0T?。分有.=等,即可證明^P0T八AOP,即有詈=魯=%

進而可得PT="A,則有P8+|M=PB+PT,利用勾股定理可得87=Vl2+42=V17,則有BP+\AP>

V17,問題得解.

【詳解】解：如圖，取點7(0,1),連接PT,BT.

v7(0,1),4(0,4),5(4,0),

.%0T=1,0A=4,0B=4,

???OP=2,

OP2=OTOA,

.OP_OA

"OT-OP'

,:乙POT=Z.AOP,

???△POT?△AOP,

PTOP1

—=---=

FAOA2

PT=-2PA,

PB+-PA=PB+PT,

2

???BT=Vl24-42=V17,

PB+PT>后，

：.BP+\AP>y[Y7,（當8、P、T三點共線時取等號）

???8。+?8的最小值為舊.

故答案為：V17.

【點睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用

輔助線，構造相似三角形解決問題.

三、解答題

17.如圖，在△48C中，力8=4=484。=120。,力3邊的垂直平分線0￡"交88于點。，若4E=3,

（2）若點P是直線OE上的動點，直接寫出PA+PC的最小值為

【答案】（1）9

（2）9

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質可證為等腰三角形，由角度可證△4CE為30。直角三角形，再由

線段之間的關系即可求出8c的長；

(2)根據(jù)將軍飲馬原理即可得出P4+PC的最小值為8C的長度.

【詳解】(1)解：*：AB=ACf￡BAC=120°

：.LB=1C=1(180°-^BAC)=30°

??MB邊的垂直平分線交AB于點D,

：.BE=AE=3,

：.LBAE="=31r

LCAE=Z-BAC-Z.BAE=120°-30°=90°

在AMSE中，Z.C=30°

：.CE=2AE=6

???8C=BE+CE=3+6=9

(2)解：如圖,

取點力關于直線。E的對稱點，即點8：連接8(兩點，與直線DE交丁點P(E),

vPA=PB

APA+PC=PB+PC

根據(jù)兩點之間線段最短

則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9

【點睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關知識點有：垂直平分線的性質、將軍飲馬等，軸對稱性質的充分

利用是解題關鍵.

18.在△A8C中，△8=90。，。為8c延長線上一點，點E為線段4C,CD的垂直平分線的交點，連接應4,EC,

ED.

(I)如圖1,當NB4C=40。時，則Z4EO=。；

⑵當MAC=60。時，

①如圖2,連接/W,判斷△/1EO的形狀，并證明；

②如圖3,直線CF與ED交于點、F,滿足=P為直線CF上一動點.當PE-P。的值最大時，用

等式表示PE,PD與力8之間的數(shù)量關系為,并證明.

【答案】⑴100：

（2）①△4OE時等邊三角形，證明見解析；

②PE—P。=248.證明見解析.

【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質以及三角形內角和定理，四邊形內角和定理解決問題即可；

（2）①△4OE時等邊三角形，證明瓦4=ED,Z4EO=60。即可；②結論：PE-PD=2AB.如圖，作點。關

于直線C尸的對稱點連接CO',ED：當點P在￡7/的延長線上時，PE-PD的值最大，此時PE-PD=

ED1,利用全等三角形的性質證明E0=4C,可得結論.

【詳解】（1）解：???點:E為線段AC,CO的垂直平分線的交點，

：.EA=EC=ED,

：,LEAC=Z.ECA,乙ECD=（EDC,

?：^ABC=90°,^BAC=40%

=90°-40°=50°,

：.￡ACD=180°-50°=130°,

：,LEAC+Z-ACD+Z-EDC=260°,

：.LAED=360°-260°=100°,

故答案為：100.

（2）解：①結論：△力OE時等邊三角形.

理由：???點E是線段AC,的垂直平分線的交點，

：,EA=EC=ED,

J.LEAC=Z.ECA,乙ECD=cEDC,

??ZBC=90。，Z.BAC=60°,

：.LACB=90°-60°=30°,

:,乙ACD=180°-30°=150°,

：,Z-EAC+Z-ACD+Z-EDC=300°,

：.LAED=360°-300°=60°,

???A/IDE時等邊三角形；

②結論：PE-PD=2AB.

理由：如圖，作點。關于直線CF的對稱點D',連接CD',DD',ED'.

E

,：PE-PD=PE-PD'〈E?

則，點P在ED，的延長線上時，PE-PD的值最大，此時PE-PQ=EO\

*：LCFD+Z.CFE=180°,乙CFD=cCAE,

：.LCAE+/-CFE=180°,

：.^ACF+^-AEF=180°,

*：LAED=60°,

Az/1CF=120°,

=Z.FCD=30°,

：.￡DCF=/.FCD1=30°,

：.WCD'=60°,

VCD=CD',

???ACDO時等邊三角形，

：.DC=DD\ACDD'=2.ADE=60°,

：.LADC=乙EDD',

*：DA=DE,

:?hADC=^EDD'(SAS),

：,AC=ED\

Vz5=90°,Z.ACB=30°,

：.AC=ZAB,

：.PE-PD=2AB.

故答案為：PE-PD=2AB.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的

性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？?/p>

題型.

19.在棋盤中建立如圖所示的平面直角坐標系，其中力（一1,1）,8（4,3）,C（4,一1）處各有一顆棋子.

（1）如圖1，依次連接A,B,C,4得到一個等腰三角形（3C為底邊），請在圖中畫出該圖形的對稱軸.

⑵如圖2,現(xiàn)x軸上有兩顆棋子P,Q,且PQ=1（P在Q的左邊），依次連接A,P,Q,B,使得AP+PQ+QB

的長度最短，請在圖2中標出棋子P,。的位置，并寫出P,Q的坐標.

【答案】（1）圖形見解析；

（2）P（0,0）,（2（1,0）,圖見解析:

【分析】（1）直接畫出等腰三角形的對稱軸即可；

（2）將A向右平移1個單位得力'（0,1）,再作4關于x軸的對稱點4〃（0,一1）,連接A〃B交，軸于點。,

再將。向左平移1個單位得點P,此時，4P+PQ+Q8的長度最短；

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）如圖所示：將A向右平移I個單位得大（0,1）,再作N關于x軸的對稱點力〃（0,-1）,連接N'B交

上軸于點Q，再將。向左平移1個單位得點P,此時，4P+PQ,Q8的長度最短；

設的解析式為y=依+匕，將A〃（的-1）,8（4,3）代入得：

3?解得d，

???/〃8的解析式為y=x-l,

當y=0,0=x—1,

解得x=l,

點的坐標為（1,0）,

???戶的坐標為（0,0）.

【點睛】本題考查作圖問題，等腰三角形的對稱軸，線段和的最小值問題，靈活運用"將軍飲馬''模型是解題

的關鍵.

20.如圖,拋物線y=%2+版+(:與4軸交于4(-1,0),8(3,0)兩點.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵觀察函數(shù)圖象，直接寫出當x取何值時，y>0?

⑶設(1)題中的拋物線交)，軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點。，使得△QAC的周長最?。咳?/p>

存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=X2-2X-3；

(2)當不<—1或%>3時，y>0：

(3)。點坐標為(1,-2).

【分析】(1)已知了拋物線過人、8兩點，而拋物線的解析式中也只有兩個待定系數(shù)，因此可將A、8的坐

標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式；

(2)觀察圖象即可解決問題；

(3)本題的關鍵是找出Q點的位置，已知了B與A點關于拋物線的對稱軸對稱，因此只需連接BC,直線BC

與對稱軸的交點即為。點.可根據(jù)從。兩點的坐標先求出直線8c的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解

析式即可求出。點的坐標.

【詳解】(1)解：：拋物線y=%2+"+。與工軸的兩個交點分別為4(-1,0),8(3,0),

.fl-b+c=0=-2

“9+36+0=0'解得(=-3，

，所求拋物線的解析式為y=/-2x-3；

(2)解：觀察函數(shù)圖象，當不<-1或%>3時，y>U,

故答案為工〈一1或%>3；

(3)解：在拋物線對稱軸上存在點Q,使△Q4C的周長最小.

長為定值，

???要使△QHC的周長最小，只需QH+QC最小，

???點A關于對稱軸直線“一盤二1的對稱點是(3,0),

???。是直線8C與對稱軸直線％=1的交點，

設過點8,。的直線的解析式y(tǒng)=上工一3,把(3,0)代入，

A3/C-3=0,

.*./(=1>

???直線8C的解析式為y=%-3,

把%=1代入上式，

???。點坐標為(1,-2).

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象的交點等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解

決最短問題，屬于中考?？碱}型.

21.定義：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在Rta/IBC中，Z/1=90%AB=AC,點。、

E分別在邊48、AC上，AD=AE,連接DE、DC,點M、P、N分別為DE、DC、8c的中點，且連接PM、PN.

(1)觀察猜想

線段PM與PN填(“是”或“不是”)“等垂線段”.

(2N4DE繞點力按逆時針方向旋轉到圖2所示的位置，連接BD,CE,試判斷PM與PN是否為“等垂線段”,

并說明理由.

⑶拓展延伸

把A4DE繞點4在平面內自由旋轉，若。E=2,BC=4,請直接寫出PM與尸N的積的最大值.

【答案】(1)是

(2)是，答案見解析

【分析】(1)根據(jù)中位線的性質以及AB=AC,71D={E,可得MP=PN,由中位線性質可得MP||EC,PN||

BD,再由，B=/.ACB=4S。結合立行線的性質，可證ZMPO+ADPN=45°-/.DCB+45°+/.DCB=90°,

故線段PM與PN是“等垂線段”.

(2)先證△ABO三△ACE(SAS),可得=CE,根據(jù)中位線的性質得到MP=弁。，PN=匏。，即MP=PN；

由中位線性質可得MPIIEC,PN||BD,再由〃BC=^ACB=45。結合平行線的性質，可證/MPD+乙DPN=

90。，故線段PM與PN是“等垂線段”.

(3)由(2)可知，MP=PN,MP1PN,故PMxPN=PM?=竽當MN取最大值時，PM與PN的積有

最大值.當N、/、M三點共線，且點”在NM之間時，MN取最大值.此時MN=M4+4M.最后根據(jù)已知

條件，計算出最大值即可.

【詳解】(1)解：線段PM與PN是“等垂線段”.

理由如下：

???點M、P、N分別為DE、DC、8C的中點，

：

.MP=-2EC,2PN=-BD,

*：AB=AC,AD=AE,

：.AB-AD=AC-AE,

即BD=CE,

：.MP=PN.

二點M、P.N分別為〃乜、”C、a?的中點，

：,MP||EC,PN||BD,

???在RtUBC中，乙4=90。，AB=AC,

:.乙B=Z.ACB=45°,

：.LACD=45°-乙DCB,乙BDC=180°一4B-乙DCB=135°-乙DCB,

?：MP||EC,PN||BD,

:.乙MPD=LACD=45°-乙DCB,乙DPN=180°-乙BDC=180°-(135°-乙DCB)=45°+乙DCB,

:.乙MPD+乙DPN=45°-乙DCB+45°+乙DCB=90°,

；?MP工PN,即線段PM與PN是“等垂線段”，

故答案為：是.

(2)解：線段PM與PN是“等垂線段”，理由如下：

:A4OE繞點力按逆時針方向旋轉到圖2所示的位置，

：.AD=AE,LDAE=90°,

*：LBAC=90。，

：.LBAC-Z.DAC=Z.DAE-LDAC,

即血。=Z.CAE,

在ZM8D與△ACE中，

AB=AC

乙BAD=/-CAE,

DA=EA

:MABD三△4CE(SAS),

：.BD=CE,

???點M、尸、N分別為DE、DC、BC的中點，

：,MP=-EC,PN=^BD,

22

?:BD=CE,

：.MP=PN.

???點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，

：.MP||EC,PN||BD,

???在中，^6=90°,AB=AC,

：.LABC=/-ACB=45°,

：.AACD=45°-/.DCB,Z.DBC=450-Z-ABD,

乙BDC=180°-乙DBC-乙DCB=180°-(45°-/.ABD)-乙DCB=135°+乙ABD-Z.DCB

'：MP||EC,PN||BD,

:.乙MPD=乙ECD=Z,ECA+/.ACD,

VAABD三△ACE(SAS),

=^ACE,

即/MPD=(ECD=/-ABD+Z-ACD

乙DPN=180°-乙BDC=180°-(135°+乙ABD-乙DCB)=45c-乙ABD+乙DCB,

:,乙MPD+乙DPN=乙ABD+AACD+45°-Z.ABD+Z.DCB=45°+45°=90°,

：.MP1PN.

*：MP=PN,MP1PN.

故線段PM與PN是“等垂線段”.

(3)解：由(2)可知，MP=PN,MPA.PN,

故PMxPN=PM2=亭

當MN取最大值時，PM與PN的積有最大值.

???把△4DE繞點A在平面內自由旋轉，

工當N、4、M三點共線，且點4在NM之間時，

MN取最大值.

,此時MN=NA+AM.

???在RtUBC中,Z.BAC=9Q0,AB=ACtBC=4,。為BC的中點,

：.NA=-BC=2,

2

同理可得，MA=^DE=1,

???MN的最大值為3,0M與PN的積有最大值:

【點睛】本題考查了中位線的性質及運用，全等三角形的判定與性質以及圖形動態(tài)問題，綜合運用以上知

識是解題的關鍵.

22.已知ZiCDE與AABC有公共頂點C,△CDE為等邊三角形，在A/IBC中，/.BAC=120°.

⑴如圖1,當點E與點8重合時，連接AO,已知四邊形的面積為2V1求4B+4C的值；

(2)如圖2,AB=AC,A、七、。三點共線，連接力后、BE,取〃中點〃，連接AM,求證：AD=2AM-

(3)如圖3,AB=AC=4,CE=2,將△COE以C為旋轉中心旋轉，取。E中點F,當尸的值最小時，

4

求tan乙4BF的值.

【答案】(1)2或

(2)見解析

⑶臀

【分析】(1)延長AC到7,使得C7=8A連接DT,過點。做DN14T于N,證明△4BC三△TCD(SAS),得

出D4=DT,乙4OB=乙TDC,證明△D47為等邊三角形，設AN=TN=x,得出Sg.=\AT?DN=V3x2=

2V3,求出x的值即可得出答案；

(2)延長至IJ〃使得4H=AB,連接EH、C77,證明△ACD=△HCE(SAS),得出40=HE,證明力用為^BHE

的中位線，得出HE=24M=AO,即可證明結論；

(3)連接CT,過點A作AG1BC于點G,以點C為圓心，CF為半徑作圓，在4c上截取CM=fCF,連接Mr,

證明ZiCrM?△G4凡得出儀=#=蟲，即9M=凡得出BF+史AF=8"+/M,連接BM與0c交

AFCF444

于一點，當點尸在此點時，BF+最小，即8尸+立?!尸最小，過點M作MN1BC于點N,過點A作AQ1BM

4

于點。，求出4Q,8Q即可得出答案.

【詳解】(1)解：延長AC到7,使得CT=BA連接DT，過點。做DN14T于M如圖所示：

A

后為等邊二角形，Z.BAC=120",

：,DB=DC,/.BDC=60°,

四邊形480C中，乙BDC+Z-DCA+Z,CAB+A.ABD=360°,

：,LABD+Z.ACD=Z.DCT+^ACD=180°,

：.LABD=dCD,

在△480和47。0中，

(AB=TC

l^ABD=乙TCD，

(DB=DC

.,.△4FDSATCD(SAS),

：,DA=DT,/.ADB=Z.TDC,

：.LADB+Z.ADC=ATDC+/-ADC=Z.ADT=60°,

DAT為等邊三角形,

■:四邊形ABDC的面積為2g,

,?S^DAT=2\/3?

?；DNJ.AT,

:.乙ADN=30°,

設？IN=TN=x,

:.DN=@AN=Wx,

工5”.=^AT-DN=V3x2=2V3,

:.x—企，

：.AB+AC=CT+AC=AT=2x=2魚，

(2)證明：延長BA到“使得AH=48,連接EH、CH,如圖所示:

H

：.LHAC=60°,

*：AC=AH,

???ZMHC為等邊三角形，

：.LACH=60°,AC=AH=CH=AB,

??NCOE為等邊三角形，

：.LECD=60。，DC=DE=CE,

:SECD+Z.ECA=Z-ACH+Z.ECA,

：.LACD=乙HCE,

在八AC。和AHCE中，

(AC=HC

\LACD=乙HCE,

(CD=CE

.,.△/1CD=AWCF(SAS),

：.AD=HE,

???A為AH中點，M為BE中點，

?,/"的△8HE的中位線，

：,HE=2AM=AD,

：.AD=2AM；

(3)解：如圖，連接CF,過點A作4G18C于點G,以點。為圓心，CF為半徑作圓，在力C上截取CM=^CF,

4

連接MF,

A

yAB=AC=4,LBAC=120°,

C.LABC=LACB=|X(180°-120°)=30°,

：,AG=^AB=2,BG=ABxcos30°=2炳,

'：AB=AC=4,AG1BC,

:?BC=2BG=46,

???點尸為等邊三角形CDE的邊DE中點,

：?EF=DF=-DE=1,

2

：.CF=V22-l2=V3,

V-=-=^,ZFCM=^ACF,

CFAC4

AACFM八CAF,

.FMCMV3

??—=—=一，

AFCF4

.\FM=—AF

4f

：,BF+—AF=BF+FM,

4

???C/的長度為定值，

，在aCDE旋轉時，點尸在以。為圓心，為半徑的圓上運動,

，如圖，連接BM與OC交于一點，當點尸在此點時，8尸+/M最小，即8尸+半"最小，過點M作MNJ.8C

4

于點M過點A作力QIBM于點°,

E、N

D

S&ABC=~BCXAG=-X4V3X2=4百,

22

CM=—CF=—xV3=",

444

AM=AC-CM=4--=—,

44

*SMBC=：X4A/3=平，

'：LMNC=乙MCN=3U\

???MN=MC.,CN="M-MN2=*

：?BN=BC-CN=46-*哈

:.BM=7BN2+MN2=—,

4

.AN_2"BM_2、竽_26.