數(shù)與式綜合提升卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）

1.（3分）（2024?山東淄博?中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（）

A.31B.-第c.十3|D.一5

【答案】A

【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練學(xué)

握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可.

31=-

【詳解】解：A、’3是正數(shù)，符合題意；

B、-3?=-9是負(fù)數(shù)，不符合題意；

C、-1-31=-3是負(fù)數(shù)，不符合題意；

D、一是負(fù)數(shù)，不符合題意；

故選:A.

2.（3分）（2024?山東德州?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

2242

Aa+a=aBa（a+1）=a+1

Qa2-a4=a6D（o-l）2—a2-l

【答案】C

【分析】此題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、同底數(shù)嘉乘法、完全平方公式等知識(shí)，根據(jù)運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可作出判斷即可.

【詳解】A.*+Q2=2Q2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B-（a+i）=Q2+a,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C/.Q4=Q6,故選項(xiàng)正確，符合題意；

D（。-1）2=次-2。+1,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

Ayx->

3.（3分）（2024?河北?中考真題）已知A為整式，若計(jì)算3萬(wàn)一=的結(jié)果為虧，則A=（）

A.xB.yC.x+yD.f

【答案】A

【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題的

關(guān)健.

yx-y_??

由題意得+二=xy.y；,對(duì)1G十行進(jìn)行通分化簡(jiǎn)即可.

4yX-）

【詳解】解：…，的結(jié)果為大,

y__4

...r2+xy+xy-xy+y：,

/.U-y）（x+y）xA

...ry（x+y）xy（x+y）-xy（x+y）-"+V-*y+必，

:A-X,

故選：A.

4.（3分）（2024.重慶.中考真題）估計(jì)收豕2+避）的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和1G之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可.

【詳解]解：???厄（亞+\3）=2<6+G,

而4<業(yè)4=2而<5,

?.10<2v6+6<11,

故答案為：C

5.（3分）（2024,廣西?中考真題）如果a+b=3,Qb=l,那么a3b+2Q2b2+Q/的值為（）

A.0B.1C.4D.9

【答案】D

【分析】本題考查因式分解，代數(shù)式求值，先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，利用整體代入法，求值即可.

【洋解】解：M+b=3,Qb=l,

.a]b+2加"+uh1=ab（a2+2ab+b2）

=ab（Q+b）2

=lx32

=9.

故選D.

6.（3分）（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書(shū)》中記載了一列數(shù)：1,

1，2,3,5，……，這一列數(shù)滿(mǎn)足：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)

的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫(xiě)下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答.

本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類(lèi)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】這一列數(shù)為：1，1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù).

由于2024+3=674…2,

即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，

???奇數(shù)有674X2+2=1350個(gè).

故選：D

7.（3分）（2024?江蘇南通?一模）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式"2+bx+c（Q￡°）,當(dāng)X=Q時(shí)，該多項(xiàng)式的值

為C-。，則多項(xiàng)式次-招+3的值可以是（）

795

A.4B.2C.4D.2

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，整式的乘法運(yùn)算，通過(guò)消元法將代數(shù)式化簡(jiǎn)為二次函數(shù)的形式

是解題的關(guān)鍵.由已知得加+a'+c=c-a,化簡(jiǎn)得。2=-0-1,所以

十（/十4,再求出。的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

可求出次一科+3的取值范圍，由此可判斷答案.

【洋解】；當(dāng)x=Q時(shí)，該多項(xiàng)式的值為c-a,

：?/+Qb+c=c-a9

整理得+"D=0,

7（1^0,

???a?+b+1=09

即a1-b-l,

.*.a2-b2+3=-b-l-b2+3

=-b2—b+2

12S

=-（g）+；,

'?,a2=-b-law0,

.%/）<-1,

???當(dāng)b=-l時(shí)，a2-b2+3=-（b+i）2+；=^

根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)b<-l時(shí)，a2-b2+3<2

故選A.

111

8.（3分）（2024?山東濟(jì)南?一模）設(shè)XWO,y0O,Z0O,則三數(shù)“'7,'+；,/+；中（）

A.都不大于一2B,都不小于一2

C.至少有一個(gè)不大于一2D.至少有一個(gè)不小于一2

【答案】C

【分析】首先把三個(gè)數(shù)相加，得到由己知可知""產(chǎn)-2,

可得+據(jù)此即可判定.

r至解】崔x+y+y+z+Z+r=(x+-)+(y+^)+(z+i)

【詳解】解：y1

vx^O,y￡0,z0O,

.?.x+;S-2,y^-<-2z+;4-2,當(dāng)且僅當(dāng)大=丫=2=-1時(shí)，取等號(hào)

iii

?、x+-+y+-+z+-4?(

y*x,

iii

當(dāng)這三個(gè)數(shù)都大于，時(shí)，這三個(gè)數(shù)的和一定大于-6,這與*+7+y+;+/+;&-6矛盾，

二這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不大于-2,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用不等式的取值及反證法，判定命題的真假，難度比較大.

9.(3分)(2024?重慶開(kāi)州?模擬預(yù)測(cè))有一臺(tái)特殊功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕

對(duì)直的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù).，則顯示I孫一Ml的

結(jié)果，如依次輸入1,2,則輸出的結(jié)果是=此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求

差后再取

絕對(duì)值的運(yùn)算.

下列說(shuō)法：

①依次輸入1，2,3,4,則最后輸出的結(jié)果是2；

②若將2,3,6這3個(gè)整數(shù)任意地一個(gè)一個(gè)輸入，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果的最大值是5；

③若隨意地一個(gè)一個(gè)地輸入三個(gè)互不相等的正整數(shù)。，2,b,全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果為k.若k

的最大值為2024,則4的最小值為2020.

其中正確的個(gè)數(shù)有()個(gè)

A.0R.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考杳了絕對(duì)值，絕對(duì)值方程.理解題意并分情況求解是解題的關(guān)鍵.

依次輸入1,2,3,4,運(yùn)算結(jié)果依次為|1-2|=1,|1-3|=2,|2-4|=2,即最后輸出的結(jié)果是2,可判

斷①的正誤；將2,3,6這3個(gè)整數(shù)任意地一個(gè)一個(gè)輸入，當(dāng)?shù)谝缓偷诙屋斎霝?或3,第三次輸入

為6時(shí)，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果最大，最大值為112-3|-6|=5,可判斷②的正誤；令b為最大的正

整數(shù)，當(dāng)1時(shí)，左的最大值為仍?|1?2||二2024,可求滿(mǎn)足要求的解b=2025,此時(shí)女的最小值為

|1-|2025-2||=2022；當(dāng)b>a>2020時(shí)，％的最大值為|b-|a-2||=|b-a+2|=2024,可求滿(mǎn)足要求

的解為b-a=2022,此時(shí)人的最小值為|a-|b-2||二|a-b+2|=2020；綜上所述，女的最小值為2020,

進(jìn)而可判斷③的正誤.

【詳解】解：依次輸入1,2,3,4,運(yùn)算結(jié)果依次為=|1-3|=2,|2-4|=2,...最后輸出的結(jié)

果是2,①正確，故符合要求；

將2,3,6這3個(gè)整數(shù)任意地一個(gè)一個(gè)輸入，當(dāng)?shù)谝缓偷诙屋斎霝?或3,第三次輸入為6時(shí)，全部輸

入完畢后顯示的結(jié)果最大，最大值為112-3|-6|=5,②正確，故符合要求；

令b為最大的正整數(shù)，當(dāng)。=1時(shí)，k的最大值為仍Tl-2||=2024,

解得,b=2025或b=-2023（舍去），

此時(shí)女的最小值為|1一|2025-2||二2022.

當(dāng)b>a>2020時(shí)，）的最大值為|IHQ-2||=|b-a+2|=2024,

解得，b-a=2022或b-a=-2026（舍去），

此時(shí)k的最小值為|a-|b-2||二|a-b+2|=2020.

綜上所述，出的最小值為2020,

???③正確，故符合要求：

故選：D.

10.（3分）（2024?安徽安慶?一模）生物學(xué)指出，在生物鏈中大約只有10%的能量能夠流動(dòng)到下一個(gè)營(yíng)

養(yǎng)級(jí)，在力T/3T這條生物鏈中（”“表示第7t個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)，n=l,2,?,?,6）,要使“6獲得

785千焦的能量，那么需要〃1提供的能量約為（用科學(xué)記數(shù)法表示）（）.

A.785X105千焦B.7-85xl07千焦

C.78.5X106千焦口.785X108千焦

【答案】B

【分析】根據(jù)10%的能量能夠流動(dòng)到下一個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)可知：要使〃b獲得785千焦的能量，那么需要提供

的能量約為785X10千焦，以此類(lèi)推.設(shè)需要提供的能量約為x千焦.根據(jù)題意列方程0?1'=785計(jì)

算，即得.

本題主要考查了乘方的應(yīng)用.熟練掌握乘方的意義及運(yùn)算法則，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【洋解】設(shè)需要〃I提供的能量約為x干焦.

根據(jù)題意得：0?1、=785.

.10-sx=785

??，

解得，X=7.85X0,

.??需要”1提供的能量約為765x〔O’千焦.

故選：B.

二,填空題(共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分)

11.(3分)(2024?江西南昌?中考真題)分解因式：2a2-4a+2=_.

【答案】2(a-l)2

【詳解】解：先提取公因式2后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：

原式=2(az-2a+1)=2(a-l)2

故答案為：2(QT)2.

1t1

12.(3分)(2024?四川內(nèi)江?中考真題)已知實(shí)數(shù)a,。滿(mǎn)足帥=1,那么/二彳十行:；的值為.

【答案】1

【分析】先根據(jù)異分母的分式相加減的法則把原式化簡(jiǎn)，再把帥=1代入進(jìn)行計(jì)算即可.

11

【詳解】解：a；+16+1

b2?1?/?1

二(a2?l)(b2+1)

a2+b2+2

a2b24-a2+b24-1

a2+d2+2

(ab)2+a2+b2+1

?,?ab=1

a?+〃+2_a?+-2+2_

二原式I24-a:+d2+1a2+b2+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉(zhuǎn)化已知條件后整體代入

求值；轉(zhuǎn)化所求問(wèn)題后將條件整體代入求值：既要轉(zhuǎn)化條件，也要轉(zhuǎn)化問(wèn)題，然后再代入求值.

13.(3分)(2024?四川內(nèi)江?中考真題)一個(gè)四位數(shù)，如果它的千位與十位上的數(shù)字之和為9,百位與

m

個(gè)位上的數(shù)字之和也為9,則稱(chēng)該數(shù)為“極數(shù)〃.若偶數(shù)相為“極數(shù)〃，且方是完全平方數(shù)，則山=—；

【答案】1188或4752

【分析】此題考查列代數(shù)式解決問(wèn)題，設(shè)出〃，的代數(shù)式后根據(jù)題意得到代數(shù)式的取值范圍是解題的關(guān)

鍵，根據(jù)取值范圍確定可能的值即可解答問(wèn)題.設(shè)四位數(shù)〃?的個(gè)位數(shù)字為X,十位數(shù)字為)，，將，〃表示出

m

來(lái).根據(jù)不是完全平方數(shù).得到可能的值即可得出結(jié)論.

【洋解】解：設(shè)四位數(shù)機(jī)的個(gè)位數(shù)字為X,十位數(shù)字為戶(hù)(工是0到9的整數(shù)，)，是0到8的整數(shù))，

.m=1000(9-y)+100(9-x)+y+x=99(100-10y-x),

,?,朋是四位數(shù)，

.99(100-lOyr)是四位數(shù),

即100003)(100-10y-x)<10000,

m

-=3(100-10y-x)

30-<3(100-1Oy-x)<303-

3，3」,

m

??陽(yáng)是完全平方數(shù)，

,3(100Toy一幻既是3的倍數(shù)也是完全平方數(shù)，

...3(100-10y-X)只有36,81,144,225這四種可能,

???大是完全平方數(shù)的所有m值為1188或2673或4752或7425,

又機(jī)是偶數(shù)，

...m=1188或4752

故答案為:1188或4752.

14.(3分)(2024?廣東廣一州?中考真題)如圖，把"1,0,&3三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線(xiàn)路4B上的電流為

/,電壓為u,則0=孫+恤+g當(dāng)RI=20.3R2=31,9R3=47.fi/=2.2時(shí),U的值為—.

彳1/B

R\R】R\

【答案】220

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.根據(jù)

U=,,?1+IR2+g將數(shù)值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：？"=皿?/%+〃“，

當(dāng)心=20.3^2=31.9口3=47.8仁2.2時(shí)，

U=20.3X2.2+31.9X2.2+47.8X2.2=(20.3+31.9+47.8)X2.2=220,

故答案為：220.

15.(3分)(2024?重慶?中考真題)一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)時(shí)=麗，若滿(mǎn)足

a+d=b+C=9,則稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”.例如：四位數(shù)1278,?/+8=2+7=>...3278是“友

誼數(shù)〃.若前出是一個(gè)“友誼數(shù)〃，且b-a=c-b=l,則這個(gè)數(shù)為；若M=而那是一個(gè)〃友誼數(shù)，，，設(shè)

MF(M)?訪(fǎng)+

F(M)=o,且n-是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到a+d=1)+c=，J,再由b-a=c-b=1可求出。、從

F(M)+前+43a+b+€

c、d的值，進(jìn)而可得答案；先求出M=999a+90b+99,進(jìn)而得到石=9。+8+——,根

F(M)+55+c33a?b+63a?!?+￡

據(jù)-n是整數(shù)，得到W+8.13是整數(shù)，即13是整數(shù)，則3a+b+6是13的倍數(shù)，求

出a0H,再按照〃從大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：???加益是一個(gè)“友誼數(shù)”，

.?.a+d=b+c=9,

又?.b-Q=c-b=1,

：.b=4.c=5,

...Q=3.d=6,

.?.這個(gè)數(shù)為3456；

vM=。尻4是一個(gè)“友誼數(shù)"，

...M=1000a4-100b+10c+d

=1000a+100b+10(9-b)+9-a

=999a+90b+99,

M

F(M)=7=llla+10d+ll

F(M)+而+4

111。+10b+11+10a+b+10c+d

=13

llla+10b+11+10a+b+10(9-b)+9-c

二13

120a+d+110

=13

117a+3a4-5+1044-6

~13

一-3af!>+?

=9a+8+———

1J，

f(M)>5F+c3

―n是整數(shù)，

3a?d+63a

9a+8+^—是整數(shù)，即F-是整數(shù)，

,3a+b+6是13的倍數(shù)，

?.,a、b、c、d都是不為。的正整數(shù)，且a+d=b+c=9,

.-.aSH,

...當(dāng)。=8時(shí)，31S3a+b+6038,此時(shí)不滿(mǎn)足3。+b+6是掃的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a=7時(shí)，28W3a+b+6035,此時(shí)不滿(mǎn)足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a=6時(shí)，2503a+8+6032,此時(shí)可以滿(mǎn)足3a+b+6是13的倍數(shù)，即此時(shí)b=2,則此時(shí)

d=3.c=7,

???要使M最大，則一定要滿(mǎn)足4最大,

.??滿(mǎn)足題意的M的最大值即為6273；

故答案為:3456；6273.

16.（3分）（2024?北京?中考真題）聯(lián)歡會(huì)有A,B,C,。四個(gè)節(jié)目需要彩排.所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排

開(kāi)始。一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開(kāi)始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min）如

下:

節(jié)目ABCD

演員人數(shù)102101

彩排時(shí)長(zhǎng)30102010

已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開(kāi)始到這位演員參演的

節(jié)目彩排開(kāi)始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）。

若節(jié)目按M-8-C-D，，的先后順序彩排，則節(jié)目。的演員的候場(chǎng)時(shí)間為min；

若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排

【答案】60

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

①節(jié)目。的演員的候場(chǎng)時(shí)間為30+10+20=60min：②先確定。在A的前面.，8在。前面，然后分類(lèi)

討論計(jì)算出每一種情況下，所有演員候場(chǎng)時(shí)間，比較即可.

【詳解】解：①節(jié)目。的演員的候場(chǎng)時(shí)間為30+10+20=60min,

故答案為：60；

②由題意得節(jié)目A和。演員人數(shù)一樣，彩排時(shí)長(zhǎng)不一樣，那么時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么。在A

的前面，8和。彩排時(shí)長(zhǎng)一?樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時(shí)長(zhǎng)會(huì)短一些，那么B

在力前面，

???①按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：(10+2+1)x20+(10+1)x10+1x30-400分鐘;

②按照Cf順序,則候場(chǎng)時(shí)間為:(104-211)X20+(10+1)X10+10X10=470分鐘;

③按照C-A-B—D順序,則候場(chǎng)時(shí)間為:(10+2+1)X20+(2+1)X30+1X10=360分鐘；

④按照順序,則候場(chǎng)時(shí)間為:(10+10+1)X10+(10+1)X20+1X30=460分鐘;

⑤按照"C-D-佩序,則候場(chǎng)時(shí)間為:(10+10+1)X10+(10+1)X20+10X10=530分鐘;

⑥按照-CY順序,則候場(chǎng)時(shí)間為:(10+10+1)X10+(10+10)X10+10X20=610分鐘

??.按照C-4一〃-0順序彩排,候場(chǎng)時(shí)間之和最小,

故答案為：C—.

三,解答題（共9小題，滿(mǎn)分72分）

17.（6分）（2024?山西?中考真題）⑴計(jì)算：（—6）X［Q+［（-3）+（-1）］

（2）化簡(jiǎn):（士十六）*言.

【答案】(1)T0:(2)772

【分析】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算及負(fù)整數(shù)指數(shù)痔，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)

鍵.

（1）先算括號(hào)里面的，再算乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，最后算加減即可;

（2）先算括號(hào)里面的，再把除法化為乘法，最后約分即可.

【詳解】解：⑴（-6）XHT+K7+（T）］

+(-3-1)

=-10.

(2)(=+?)+直

%+1+X-1(x4-l)(x-l)

=(x+l)(x-l)x+2

2x(x+l)(x-l)

=(x+l)(x-l)x+2

bC

18.（6分）（2024?福建?中考真題）已知實(shí)麴也CM3滿(mǎn)足3帆+"=

⑴求證：》2-12QC為非負(fù)數(shù)；

（2）若《瓦。均為奇數(shù)，m,ri是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵m,八不可能都為整數(shù)，理由見(jiàn)解析.

【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力.

（1）根據(jù)題意得出b=Q（3m+n）,c=amn,進(jìn)而計(jì)算科一修。。，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

（2）分情況討論，①小，八都為奇數(shù)；②m,八為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合

已知條件分析即可.

bc

【洋解】（1）解：因?yàn)閍。，

所以b=a（3m+n）,c=amn

則b2-12ac=|a（3m+n）］2-12a2mn

=a2(9m2+6mn+nz)-12a2mn

=a2(9m2-6mn+n2)

=a2(3m—n)2

因?yàn)閍,m,ri是實(shí)數(shù)，所以/（3巾-九）220,

所以》2-12QC為非負(fù)數(shù)

（2）m斯不可能都為整數(shù).

理由如下：若根，八都為整數(shù)，其可能情況有：①小，八都為奇數(shù)；②小斯為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶

數(shù).

①當(dāng)小刀都為奇數(shù)時(shí)，則3m+”必為偶數(shù).

b

又+”=所以b=a（3m+n）.

因?yàn)镼為奇數(shù)，所以。（3m+幾）必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾.

②當(dāng)m斯為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則7ml必為偶數(shù).

又因?yàn)閙n=Z,所以c=anm.

因?yàn)镼為奇數(shù)，所以。小八必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾.

綜上所述，小，八不可能都為整數(shù).

19.（6分）（2024?河北?中考真題）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸,甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)依

次為-4,2,32,乙數(shù)軸上的三點(diǎn)。，E,尸所對(duì)應(yīng)的數(shù)依次為0,x,12.

UJAABAC.4

DEF

乙。x12

AB

⑴計(jì)算A,B,。三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和，并求冗的值：

⑵當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)。上下對(duì)齊時(shí)，點(diǎn)、B,C恰好分別與點(diǎn)Eb上下對(duì)齊，求x的值.

1

【答案】⑴30,6

⑵x=2

【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的含義，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵;

（1）直接列式求解三個(gè)數(shù)的和即可，再分別計(jì)算48/C,從而可得答案；

（2）由題意可得，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段是成比例的，再建立方程求解即可.

【洋解】（1）解：???甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)依次為一4,2,32,

...-4+2+32=30,/1K=2-（-4）=2+4=6,40=32-（-4）=32+4=36,

AB61

一■—■■

：.AC366.

（2）解：???點(diǎn)A與點(diǎn)。上下對(duì)齊時(shí)，點(diǎn)8,C恰好分別與點(diǎn)E,尸上下對(duì)齊，

DE_DF

.?.而~~AC,

J.63€,

解得:x=Z

20.(8分)(2024?山東威海?中考真題)定義

我們把數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)。的絕對(duì)值.數(shù)軸上表示數(shù)。，〃的點(diǎn)A,8之間的距離

AB=a-b(a^b).特別的，當(dāng)。20時(shí)，表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于a-0.當(dāng)Q<0時(shí)，表示數(shù)。的

點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于0-a.

應(yīng)用

如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)人從表示-3的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)

8從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng).

AB

I?

一3O12

⑴經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A,3之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度？

(2)求點(diǎn)A,B到原點(diǎn)距離之和的最小值.

【答案】⑴過(guò)4秒或6秒

(2)3

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：

(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為-3+X,笈表示的數(shù)為12—2%根據(jù)“點(diǎn)A,B之間的距離等于3個(gè)單

位長(zhǎng)度"列方程求解即可；

(2)先求出點(diǎn)A,8到原點(diǎn)距離之和為I-3+W+|12-2”|,然后分x<3,35x06,x>6三種情況討

論，利用絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則A表示的數(shù)為-3+%,4表示的數(shù)為12-2X,

根據(jù)題意，得|12-2x-(-3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，經(jīng)過(guò)4秒或6秒，點(diǎn)A,B之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度；

(2)解：由(1)知：點(diǎn)A,3到原點(diǎn)距離之和為|-3+x|+|12-2x|,

當(dāng)x<3時(shí)，|-3+耳+|12-2x|=3-x+12-2x=15-3X,

..XV3,

...15-3x>6,即|.3+%|+|12-冽>6,

當(dāng)34x46時(shí)，卜3++|12-2x|=x-3+12-2x=9-x,

???3SxS6,

...3g9T46,即3G|-3+x|+|12-2x|W6,

當(dāng)x>6時(shí)，|-3+x|+|12-2x|=x-3+2x-12=3x-15,

:x>6,

...3115>3,即|-3+x|+|12-2x|>3,

綜上，1-3+x|+|12-2x|N3,

???點(diǎn)A,8到原點(diǎn)距離之和的最小值為3.

21.（8分）（2024?四川涼山?中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問(wèn)題：

下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)......第〃行有九個(gè)

點(diǎn)…

容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10.

⑴探索：三角點(diǎn)陣中前.8行的點(diǎn)數(shù)之和為，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為,那么，前貨行的點(diǎn)數(shù)之和

為_(kāi)_____

⑵體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前川行的點(diǎn)數(shù)之和（填“能"或“不能〃）為500.

⑶運(yùn)用：果廣場(chǎng)要擺放若十種造型的盆景，具中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，

第二排4盆，第三排6盆……第"排2n盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？

1

【答案】⑴36：120：2rlm+1）

⑵不能

⑶一共能擺放20排.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)前〃行的點(diǎn)數(shù)和是500,即可得出關(guān)于〃的一元二次方程，解之即可判斷；

（2）先得到前〃行的點(diǎn)數(shù)和是Mn+1）,再根據(jù)題意得出關(guān)于〃的一元二次方程，解之即可得出〃的

值.

【洋解】⑴解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+4+5+6+7+8=式1+8）><8=36,

前15行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+31+15）X15=120

那么,前門(mén)行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+…+n==2+1）；

1

故答案為:36；120；”5+1）：

（2）解：不能，

理由如下：

由題意/m+D?5°0,

行/+H-1000=0

zJ=P-4X（-1000）=4001,

此方程無(wú)正整數(shù)解，

所以三角點(diǎn)陣中前〃行的點(diǎn)數(shù)和不能是500；

故答案為：不能；

⑶解：同理，前H行的點(diǎn)數(shù)之和為2+4+6+…++

由題意得"5+1）=420,

得M+n-420=0,即（n+21）（n-20）=0,

解與川=20或n=-21（舍去），

???一共能擺放20排.

22.（9分）（2024,江蘇無(wú)錫?一模）閱讀下面材料：

?個(gè)含有多個(gè)字母的式子中，如果任意交換兩個(gè)字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對(duì)稱(chēng)

式,例如：a+b+c,abc,a2+b2,...

含有兩個(gè)字母a,b的對(duì)稱(chēng)式的基本對(duì)稱(chēng)式是a+b和ab,像a2+b?,（a+2）（b+2）等對(duì)稱(chēng)式都可以用

a+b,

ab表示，例如：a?+b2=（a+b）2-2ab.請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：

11

（1）式子①a2b2②a?-b?③1'I中，屬于對(duì)稱(chēng)式的是（填序號(hào)）：

（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n.

1ba

①若m=-2m=2,求對(duì)稱(chēng)式戶(hù)的值；

a44-1d44-1

②若n=-4,直接寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)式h的最小值.

baa，?1-+117

【答案】（1）①③；（2）①;+2=6；②=一十二的最小值為T(mén)

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)式的定義進(jìn)行判斷；

1?a2+b2（o+bp-2ab

（2）①先得到a+b=-2,ab=2,再變形得到一荔~,然后利用整體代入的方法計(jì)

算：

②根據(jù)分式的性質(zhì)變形得到*+*=標(biāo)+7+〃+而，再利用完全平方公式變形得到（a+b）2-

（a+b）2-2ab￡2￡2a4+1b*+1

2ab+—即~,所以原式=幾012+2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可確定k+F廠的最小值.

11

【詳解】解：（1）式子①a2b2②a?-b2年9'Z中，屬于對(duì)稱(chēng)式的是①③.

故答案為①③；

（2）vx2+（a+b）x+ab=x2+mx+n

二a+b=m,ab=n.

①a+b=2,ab=2,

ab=ab=ab=j=6:

(a+?-2ab

=(a+b)2-2ab+a:b2

而?E

=m2+8+16

1717

=1/2+2,

17

vi€m2^O,

Q，+1-+117

???a2承的最小值為2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，關(guān)鍵是根據(jù)題FI所給的定義及完全平方公式進(jìn)行求解即可.

23.（9分）（2024?江蘇鹽城?中考真題）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

小明買(mǎi)菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷(xiāo)售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問(wèn)題

銷(xiāo)售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

圖I

分析問(wèn)題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開(kāi)圖上可以看成

點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開(kāi)圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有〃個(gè)籽，每列有Z個(gè)籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（〃，火均為正整數(shù)，n>k^3,d>0）,如圖1所示.

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為，共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總

長(zhǎng)為;

方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為:

方案3：圖3是銷(xiāo)售員斜著鏟籽示意圖，寫(xiě)出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng).

解決問(wèn)題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫(xiě)出比較過(guò)程，并對(duì)銷(xiāo)售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià).

壬三小卜卜川…

?三三"刖1…

圖1圖2圖3

【答案】分析問(wèn)題：方案1：S-1)d；2k.2(M-1)混；方案2：2("l)dn；方案3：5x(2k-l)nd；解

決問(wèn)題：方案3路徑最短，理由見(jiàn)解析

【分析【分析問(wèn)題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解.；方

M_典

案3：根據(jù)圖得出斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為二―二〒，根據(jù)題意得一共有2幾列，2k行,斜著鏟相

當(dāng)于

有〃條線(xiàn)段長(zhǎng)，同時(shí)有2k-l個(gè)，即可得出總路徑長(zhǎng)；

解決問(wèn)題：利用作差法比較三種方案即可.

題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：方案L根據(jù)題意每行有〃個(gè)籽，行上相鄰兩籽的間距為d,

??.每行鏟的路徑長(zhǎng)為6-1)4

???每列有k個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，

.?.相當(dāng)于有2〃行，

.??鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為2S-l)d〃，

故答案為:(n-l)d；2k,2(n-\)(ik,

方案2：根據(jù)題意每列有k個(gè)籽，列上相鄰兩籽的間距為d,

???每列鏟的路徑長(zhǎng)為也-1)4

???每行有，個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，，

??.相當(dāng)于有2n列，

???鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為2(k-1川凡

故答案為:2(fc-l)dn.

方案3：由圖得斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為=7,

根據(jù)題意得?共有2〃列，2〃行，

斜著鏟相當(dāng)于有〃條線(xiàn)段長(zhǎng)，同時(shí)有2k-1個(gè)，

二鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為：5x(2I)nd；

解決問(wèn)題

由上得：2(n-l)dk-2(k-l)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)>0,

方案1的路徑總長(zhǎng)大于方案2的路徑總長(zhǎng);

2伏-1)赤一qx(2k-l)dn=[(2-必k-2+它]dn

22,

?#>k23,

當(dāng)k=3時(shí)，

(2-72)x3-2+之=4-X>0

22,

2(/c-l)dn--x(2k-l)c/n>0

.??方案3鏟籽路徑總長(zhǎng)最短，銷(xiāo)售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對(duì)菠蘿的損耗.

24.(10分)(2024?廣東肇慶?一模)【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

由(a-b)2N0得，/+3N2a4如果兩個(gè)正數(shù)Q,b,即Q>0,b>0,則有下面的不等式:

a-￥h>2\aht當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)取到等號(hào).

【斃出問(wèn)題】若Q>0,b>0,利用配方能否求出Q+b的最小值呢？

4

【分析問(wèn)題】例如：已知x>°,求式子”十；的最小值.

解：令0=6=3,則由。+形2VM得義+戶(hù)2H='當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最

小值，最小值為小

【解決問(wèn)題】

請(qǐng)艱據(jù)上面材料回答下列問(wèn)題：

_____1

(1)2+32V3方(用“=，，“>，，〃<”填空)；當(dāng)”>0,式子”+；的最小值為；

【能力提升】

(2)用籬笆圍一個(gè)面枳為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻(墻長(zhǎng)20米)，問(wèn)這

個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

(3)如圖，四邊形4BC0的對(duì)角線(xiàn)4C、8。相交于點(diǎn)0,△40B、△C0D的面積分別是8和14,求四邊

形48C。面積的最小值.

【答案】(1)>,2；(2)當(dāng)長(zhǎng)、寬分別為8米，4米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是16米；

(3)四邊形力比不面積的最小值為22+85

【分析】本題考杳了配方法在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了等高三角形的在面枳計(jì)算中的應(yīng)用.

（1）當(dāng)*>0時(shí)，按照公式a+（當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)取等號(hào)）來(lái)計(jì)算即可；當(dāng)XV0時(shí)，-4x>0,

36

■~>0,則也可以按公式Q+力22”力（當(dāng)且僅當(dāng)Q=/）時(shí)取等號(hào)）來(lái)計(jì)算；

32

（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形花園靠墻的一邊的長(zhǎng)為x米，另一邊為y米，則xy=32,可得'=7,推出籬笆長(zhǎng)

64

=一+X

,利用題中結(jié)論解決問(wèn)題即可

(3)設(shè)SABOCM',已知S&WS=8,'△COD=14,則由等高三角形可知：S^BOC，S^CODsS^AOB-ShAOD,

用含元的式子表示出來(lái)，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可.

【詳解】解：（1）遂〉。，〉。，且2H3,

.2+3>2>^2x3.

cx+、21x2=2

XX

當(dāng)X>0時(shí)，x\lx,

故答案為：>,2：

（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形花園靠墻的?邊的長(zhǎng)為x米，另?邊為y米,

則0二32,

32

??y=，

，這個(gè)籬笆長(zhǎng)=F，2+”=（F+x）米,

646464

一+XN

根