尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.對(duì)工具的理解不準(zhǔn)確：學(xué)生可能會(huì)誤解直尺和圓規(guī)的使用規(guī)則。例如，直尺不能用來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度，只能用

來(lái)連接兩點(diǎn)：圓規(guī)可以開(kāi)到無(wú)限寬，但上面不能有刻度，只能拉開(kāi)成之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度。

2.作圖步驟混亂：尺規(guī)作圖需要按照?定的步驟進(jìn)行，如果步驟混亂或者遺漏了某些步驟，可能會(huì)導(dǎo)致作

圖失敗或者得出的結(jié)果不準(zhǔn)確。

3.對(duì)?幾何概念理解不足：尺規(guī)作圖涉及到許多幾何概念，如線段、角、垂線等。如果學(xué)生對(duì)這些概念的理

解不足，可能會(huì)導(dǎo)致作圖時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

4.忽略題目要求：在做尺規(guī)作圖題時(shí)，學(xué)生需要仔細(xì)閱讀題目要求，理解需要作什么圖形以及需要滿足的

條件。如果忽略了題目要求，可能會(huì)導(dǎo)致作圖結(jié)果與題目要求不符。

5.作圖精度不夠：尺規(guī)作圖需要一定的精度，如果作圖時(shí)精度大夠，可能會(huì)導(dǎo)致作圖結(jié)果不準(zhǔn)確。例如，

在作角平分線時(shí)，如果角度的劃分不準(zhǔn)確，就會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。

易錯(cuò)點(diǎn)1：等角作圖

例：己知：如圖，幺。8=20。，03平分/A℃.

(1)以射線。。為一邊，在ZAOD的外部作NOOE,使NDOE=NCOO；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求

寫作法)

(2)若44?！辏?105。10',求ZA8的補(bǔ)角的大小.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)107025‘

【分析】本題主要考杳了尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握

定義.

(1)根據(jù)尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法進(jìn)行作圖即可；

(2)根據(jù)ZAQ8=20。，。8平分NAOC,WillZAOC=2ZAOB=2x20°=40°,根據(jù)NDOE=NCOQ,

ZDOE+ZCOD=ZEOC,求出NDOE=/COD=32。35',得III幺。￡>=/。0。+/〃七=32。35'+400=72。35',

然后求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：如圖，N￡>O￡即為所求作的角；

(2)解：VZAOB=20°,08平分NAOC,

???ZAOC=2ZAOB=2x20°=40°,

*/ZAOE=105010,,

???ZEOC=ZAOE-ZAOC=105°10,-40°=65°10r,

V/DOE=/COD,ZDOE+NCOD=ZEOC,

???/DOE=Z.COD=32。35',

ZAOQ=NCOQ+ZAOC=32°35'+40°=72°35',

:.1800-72°35,=107Q25,,

：?小的補(bǔ)角的大小為107。25'.

（1）在。8的下方作/80。=440。，僅用直角三角板完成作圖，并說(shuō)明作圖的依據(jù)：

⑵在（1）的基礎(chǔ)上，若N/4OD=160。，求/BOC的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）20°

【分析】（1）將直角板一邊沿著OC方向，頂點(diǎn)與。點(diǎn)重合，沿著另一條直角邊畫射線。。即可；

（2）根據(jù)已知條件求出NAOC=70。，再由/8OC=NAQ8-NAOC即可得到答案.

【詳解】（1）解：將直角板?邊沿著OC方向，頂點(diǎn)與。點(diǎn)重合，沿著另?條直角邊畫射線0。即可.

ZAO6=90°,乙COD=90°,

ZAOB=^AOC+^COB.

NCOD=/DOB+ZCOB,

NBOD=ZAOC；

(2)解：???Z4OD=160。，ZCOD=90°,

...ZAOC=ZAOD-ZCOD=160°-90°=70°,

.?.Z.BOC=ZAOB-ZAOC=90°-70°=20°.

變式2：如圖，Z4OC=Z^OD=90°.

（2）設(shè)NDOC=。，=求夕與。之間的關(guān)系式；

（3）請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中，僅利用三角板畫出NMPN,使NM/W=N￡P(guān)/J（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】（1）ZA8=N8OC

（2）夕=180。一儀

⑶見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，即可得到答案；

（2）結(jié)合角的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）以PF為直角的一邊作NMPF,再以￡P(guān)為直角的一邊作NEPN,NMQV即為所求作.

【詳解】（1）解：:NAOC=N8OD=90。，

/DOC+ZAOD=90°,Z1DOC+Z1BOC=900,

??.ZAOD=/BOC；

(2)解：設(shè)NDOC=a,ZAOB=fi,則〃=4OD+a+NCO",

."+a=ZAOD+a+Z.COB+a,

..A+a=NAOC+N8O。=180。，

/.A=1800-a；

(3)解：如圖所示，/M0V即為所求.

?;EPN,/MPF=900,

：.ZEPN+AEPM=ZA/PF+Z￡7W,

:.NMPN=/EPF.

N

【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算，同角的余角相等，作圖-復(fù)朵作圖，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)2：垂線作圖

例：如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、。均

在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

0

-1--??,

.4

C；

--￡)

(1)畫線段A8,畫直線AC.

(2)過(guò)點(diǎn)。畫直線AC的垂線，垂足為E.

(3)點(diǎn)。到直線AC的距離為線段一的長(zhǎng)度.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)DE

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、直線、射線、線段、垂線、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段、直線的定義畫圖即可.

(2)結(jié)合網(wǎng)格，過(guò)點(diǎn)。作OE垂直直線4c即可.

(3)由點(diǎn)到直線的距離可知，點(diǎn)。到直線AC的距離為線段OE的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)解：如圖，線段八區(qū)、直線AC即為所求.

(2)如圖，OE即為所求.

(3)點(diǎn)0到直線AC的距離為線段OE的長(zhǎng)度.

故答案為：DE.

變式1：如圖，在射線A8上有一點(diǎn)M,請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D，完成以下問(wèn)題:

(1)過(guò)點(diǎn)M作射線AC的垂線，垂足為點(diǎn)〃；

(2)在線段”。上任取一點(diǎn)N(不與”，。重合)，連接MN；

(3)在線段MA,MU,MN中，線段最短，依據(jù)是.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

⑵見(jiàn)解析；

(3).”“，垂線段最短

【分析】(1)根據(jù)垂線的作法作圖即可；

(2)根據(jù)平行線的作法作出平行線即可；

(3)根據(jù)直線外一點(diǎn)到該直線的所有線段中，垂線段最短即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖所示，直線即為所求;

⑶解：VMH0AC,Z.MH<AM,MH<MN,

理由：直線外一點(diǎn)到該直線的所有線段中，垂線段最短.

故答案為MH,垂線段最短.

【點(diǎn)睛】題目主要考查垂線、平行線的基本作法及垂線段最短的性質(zhì)，理解垂線及平行線的作法是解題關(guān)

鍵.

變式2：在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為I個(gè)單位長(zhǎng)度，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示，現(xiàn)

將AABC向右平移3格，再向下平移2格，得到△OER使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)

C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)立

(1)畫出△DEE

(2)在圖中畫出的A8邊上的高線CG(保留利用格點(diǎn)的作圖痕跡);

（3）AABC的面積為；

（4）若AB的長(zhǎng)為5,AB邊上的高CG=

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，順次連接即口:；

（2）利用格點(diǎn)的特點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作48的垂線即可；

（3）利用AABC所在矩形的面積減去周圍3個(gè)三角形的面積即可求解：

（4）利用（3）的結(jié)論和三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，將AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別向右平移3格，再向下平移2格，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，順

次連接即可得到△/）"；

（2）解：如圖，利用格點(diǎn)的特點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作A8的垂線CM交AB于點(diǎn)G,CG即為A8邊上的高線;

（3）解：ZkABC的面積為:4x4——x4x1--x3x1---x3x4=—

13

故答案為：y;

（4）解：由（3）得SMBC=—,

???-ABCG=—,

22

:AI3=5,

???-x5CG=—.

22

13

解得CG=￡,

13

故答案為:y.

【點(diǎn)睛】本題考杳平移變換、格點(diǎn)作圖及三角形面積的求法，利用格點(diǎn)特點(diǎn)作出4B的垂線是解題的關(guān)健.

易錯(cuò)點(diǎn)3：角平分線作圖

例：已知：如圖RL&ABC,ZC=90°.

⑴用尺規(guī)作圖法做NA8C平分線交4c于點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）若AB=IO,CD=3,求△A80的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵15

【分析】本題考查了作圖——角平分線，以及角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)角平分線的作法作圖即可；

（2）過(guò)點(diǎn)。作與點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)定理得到QE=ZX?=3,即可求山△A8O的面積.

【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)。即為所求；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。與點(diǎn)E,

Q8。是NA8C的平分線，DEJ.AB,BC±AC,

:.DE=DC,

DC=3>

DE=3?

"\BD=-^xDE=-xlOx3=!5.

22

變式1：請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）如圖I,已知利用直尺和圓規(guī)，作/84C的平分線八。交于點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）；

（2）如圖2所示，A。是AA5c"的年平分線石、尸分別是AB、AC上的點(diǎn)，旦NEDf+N6AC=18。。，求證：

DE=DF.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)角平分線的基本作圖方法作圖即可；

（2）過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)〃，作QQ^AC于點(diǎn)Q，證明△曰〃運(yùn)△凡犯（AAS）,得出OE=QF，即可得

出答案.

【詳解】（1）解：如圖，作N8AC的平分線人。交8C于點(diǎn)。；

A

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OHJ./W于點(diǎn)H,作QQ^AC于點(diǎn)Q,

則NE〃D=NFQO=90。,

平分/84C,

/.DH=DQ,

QZEDF+ZBAC=180%

:.ZAED+ZAFD=\S00,

ZDFQ+ZAFD=\S00,

/.ZDEH=ZDFQ,

ZDEH=/DFQ

在4EHD和AFQD中<NEHD=AFQD,

DH=DQ

.?.△EHD^AFQD(AAS),

：.DE=DF.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了角平分線的基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵作圖輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法.

變式2：如圖，在“8C中，。是力8邊上的一點(diǎn)，且4C=4).請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊BC上找一點(diǎn)M,使

得2ACM=S“.(保留作圖痕跡，不寫作法).

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線，作出/C4B的角平分線交于"，則點(diǎn)M到AC的距離與

到AD的距離相等，根據(jù)AC=A。進(jìn)而可得S“CM=SWW,即可求解，熟練掌握尺規(guī)作圖作角平分線的方

法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：作出/C43的角平分線交8。于例，

???點(diǎn)M到AC的距席與到AD的距離相等，

,/AC=AD,

Lc”=S?

如圖所示，點(diǎn)M即為所求:

c

M

B

D

易錯(cuò)點(diǎn)4：垂直平分線作圖

例：如圖，在矩形A8C。中，AC是對(duì)角線.

（1）利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)。，交邊人。于點(diǎn)E,交邊BC于點(diǎn)F（要求：尺規(guī)作圖并

保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）：

（2）連接AA、CE,求證四邊形AEb為菱形.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】

本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的性質(zhì).

（1）利用基本作圖作AC的垂直平分線即可；

（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到M/AC,OA=OC,再證明△AOEgACO9得到OE=O尸，然后

利用對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形得到結(jié)論.

【詳解】（1）

解：如圖，為所作；

(2)

證明：TE產(chǎn)垂直平分AC,

：.EFLAC,OA=OC,

???四邊形A3CO為矩形,

/.AD//BC,

ZDAC=ZBCA,

在aAOE和△(%>「中，

NEAO=NFCO

<OA=OC,

NAOE=/CO”

/.AAOE^ACOF(ASA),

:.OE=OF,

??.AC與石"互相垂直平分,

???四邊形A￡C"為菱形.

變式1：如圖，在“8C中，AO是△A8C的角平分線.

（1）請(qǐng)用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作AO的垂直平分線，分別交Ab,4c于點(diǎn)“，N：（保留作圖痕跡，不寫作

法）

（2）連接DM,DN,試判斷四邊形/U〃）N的形狀，并證明.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵四邊形AMDV是菱形，證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線，菱形的判定等知識(shí)，解題的美健是理解題意，正確

作出圖形.

（1）根據(jù)要求作出圖形；

（2）結(jié)論：四邊形AMDV是菱形.證明四邊相等可得結(jié)論.

【詳解】（1）圖形如圖所示：

A

N

wx

BDC

(2)結(jié)論：四邊形AMEN是菱形.

理由：設(shè)MN交AO于點(diǎn)。.

?.MV垂直平分線段

:.MA=MD,NA=DN,

?.?AO平分/8AC,

:.ZOAM=^O/\N,

vZO/VW+ZAMO=90°,ZOAN+ZANO=90°,

:.ZAMO=ZANOf

：.AM=AN=DM=DN,

???四邊形AMZW是菱形.

變式2：A、8是兩個(gè)村莊，口、￡2是兩條馬路.為發(fā)展經(jīng)濟(jì)，提高農(nóng)民收入，鎮(zhèn)政府決定建立一個(gè)蔬菜批

發(fā)市場(chǎng)，選址要使市場(chǎng)到兩條馬路和兩個(gè)村莊的距離都相等.請(qǐng)你川尺規(guī)在圖中找出市場(chǎng)的位置.（不用寫

作法，但是要保留作圖痕跡）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線和角平分線的實(shí)際應(yīng)用，線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖，

到兩個(gè)村莊的距離相等，則蔬菜批發(fā)市場(chǎng)在線段A3的垂直平分線上，到兩條馬路的距離相等，則蔬菜批發(fā)

市場(chǎng)在"、L2夾角的角平分線上，據(jù)此作圖即可.

【洋解】解：如圖所示，作線段人B的垂直平分線和〃、L2夾隹的角平分線，二者的交點(diǎn)尸即為所求.

易錯(cuò)點(diǎn)5：平行線作圖

例：作圖題：

圖①圖②

（1）在圖①中，作過(guò)點(diǎn)P作直線垂足為從作直線P0〃。。；

⑵請(qǐng)直接寫出圖①中三角形Q鉆的面枳是平方單位；

（3）在圖②中過(guò)點(diǎn)P作直線PC〃04（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.）

【答案】（1）見(jiàn)解析；

⑵11；

（3）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了兩直線平行的判定，尺規(guī)作圖作出相等角的作法，熟記平行線的判定定理，尺規(guī)作圖

的步驟是解題關(guān)鍵.

（1）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)作出圖形即可；

（2）利用割補(bǔ)法即可求解；

（3）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，過(guò)點(diǎn)P利用尺規(guī)作出N8PC=N8Q4即可解決問(wèn)題.

【詳解】（1）解：直線PH和直線即為所作，

2

=11平方單位；

故答案為：II;

(3)解:如圖，直線PC即為所求.

B

變式1：如圖，點(diǎn)。在△ABC的邊的延長(zhǎng)線上，利用尺規(guī)作圖法在AC的延長(zhǎng)線上求作一點(diǎn)E,使得

DE//AH.(不寫作法，保留作圖痕跡)

【分析】本題主要考查尺規(guī)作圖，根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可，熟練掌握作一個(gè)角等于已知

角的尺規(guī)作圖以及平行線的判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，①以4,力為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，交DB于點(diǎn)H,交AB與N；

②以。為圓心，MN長(zhǎng)度為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)G；

③連接DG,延長(zhǎng)OG,交AC于點(diǎn)E；

??,/CDE=NB,

/.DE//AB,

???點(diǎn)七即為所求.

變式2：如圖，NC4E是&48C的一個(gè)外角.

(1)尺規(guī)作圖，過(guò)A作8c邊的平行線AO.(保留作圖痕跡，不要求寫作法);

(2)在(1)的條件下，若A3平分NC4E.求證：AI3=AC.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】此題考查了作一個(gè)角等于己知角，平行線的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊，

(1)作NB4G=N8,即可得到AO〃8C；

(2)利用A。平分/CAE得到NE4O=/D4C,根據(jù)AO〃AC推出NE4O=N&NC=N。人C,由此得到

ZB=ZC,即可推出4?=AC；

熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)如圖所示，以B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫孤，交A8,3C于點(diǎn)M,N,以A為圓心，以長(zhǎng)

為半徑畫弧，交AE于凡再以尸為圓心MN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于G,連接AG即為所求平行線A。.

E

???/E4G=/8,

???AD//BC；

(2)???4。平分/。45.

???ZEAD=ZDAC,

'：AD//BC,

???/EAD=ZB,ZC=ZDAC,

J/B=/C,

:.AB=AC.

易錯(cuò)點(diǎn)6：平移網(wǎng)格作圖

例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（2,7）,8（2,3）,C（6,3）,點(diǎn)用在線段AC上，坐標(biāo)為（4,5）.

（1）（不用畫圖，直接寫坐標(biāo)）點(diǎn)M關(guān)于直線8C對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是」如果將向右平移2個(gè)單位，平移

后點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)M"的坐標(biāo)是二

（2）在線段上找一點(diǎn)尸，使N4PA=NMPC.（不必寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)出點(diǎn)P）

【答案】（1）（4/），（6,5）；

⑵作圖見(jiàn)解析.

【分析】（I）根據(jù)軸對(duì)稱和平移得性質(zhì)即可求解；

（2）連接AM',與8C相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求；

本題考查了軸對(duì)稱、平移，坐標(biāo)與圖形，作角相等，掌握軸對(duì)稱和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：???點(diǎn)M關(guān)于直線8c對(duì)稱的點(diǎn)為

???點(diǎn)用’的坐標(biāo)是（4,1）；

將A/WC向右平移2個(gè)單位，平移后點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（6,5）；

故答案為：（4/），（6,5）；

理由：???點(diǎn)M與點(diǎn)/W關(guān)于直線對(duì)稱,

:.5PC=/M'PC,

,:<M'PC=ZAPB,

工ZAPB=AMPC.

變式1：己知：“8C在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,3）、以3,4）、C（2,2）1網(wǎng)格中每個(gè)

X

（1）洛”8C向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得△A4G，則點(diǎn)C1的坐標(biāo)是；

（2）作圖：以點(diǎn)8為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△&與G，使△&卜。2與AABC位似，且相似比為2:1；

（3）點(diǎn)4的坐標(biāo)是，△4與G的面積是平方單位.

【答案】（1）（2,-1）

⑵見(jiàn)解析

⑶（1,0）,10

【分析】本題考查了作圖（位似變換），掌握畫位似圖形的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律，“上加下減，左減右加“，求解即可；

（2）延長(zhǎng)班至IJA2使得砒=284,延長(zhǎng)8c到G使得8G=2BC,連接4。?，則可得到△&Bq；

（3）根據(jù)Q的位置求解即可，利用割補(bǔ)法求解△&/G的面積即可.

【詳解】（1）解：如圖，△ABCi為平移后的三角形，

G點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）

故答案為：（2,-1）

（2）如圖，△&網(wǎng)G為所求的三角形，

（3）由圖形可得，g的坐標(biāo)為（1,0）,

△4/G的面積=6x4--x2x4--x2x4--x6x2=l0（平方單位）.

222

變式2：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1.

（1）按要求作圖：△A8C關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△AaG；

（2）冷點(diǎn)A先向上平移3個(gè)單位，再向右平移8個(gè)單位得到點(diǎn)人的坐標(biāo)為

⑶求“8。的面積.

【答案】（1）作圖見(jiàn)洋解

⑵[3,2）

23

⑶a/WC的面積為萬(wàn)

【分析】（1）根據(jù)圖形關(guān)于軸對(duì)稱圖形的定義和方法（原圖關(guān)鍵點(diǎn)到軸的距離等于對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到軸

的距離）即可求解：

（2）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律即可求解；

（3）運(yùn)用"割補(bǔ)法''求幾何圖形面積即可.

【詳解】（1）解：“8C關(guān)于》軸對(duì)稱的圖形△A4G,如圖所示，

??.△A4G即為所求圖形的位置.

（2）解：根據(jù)圖示可得，4（-5「1）,將點(diǎn)A先向上平移3個(gè)單位，再向右平移8個(gè)單位得到點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為-5+8=3,縱坐標(biāo)為-1+3=2,

???&（3,2）,

故答案為：（3.2）.

（3）解：如圖所示，將△A4C補(bǔ)成矩形8底/，平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,

.?.CD=EF=4,CF=DE=7,DA=5,AE=2,BE=3,BF=1,

長(zhǎng)方彩

???SCDEF=CD.CF=4x7=28,SACDA=1x4x5=10,S^ER=；AE?6E=2x3=3,

乙乙乙乙

1|7

SMFC=_BF?CF=_x\x7=一,

ZADFC_222

,723

**?S^ABC=S&方形CDEF~SdCD「SAAEB-SBFC,§115^=28-10-3--=^-,

???的面積為彳23

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的變換，掌握?qǐng)D形關(guān)于軸對(duì)稱的作圖方法，點(diǎn)的平移規(guī)律，“割

補(bǔ)法”求計(jì)算圖形的面積的方法是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)7：軸對(duì)稱網(wǎng)格作圖

例：如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4,l）,8（-3,3）,C（-l,2）.

⑴作出AABC關(guān)于丁軸對(duì)稱的△ABC,并寫出C的坐標(biāo)：

⑵求出△AEC'的面積；

⑶在x軸上畫出點(diǎn)P,使H+PC的值最小，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】（1）見(jiàn)解析，仁（1,2）

嗚

⑶見(jiàn)解析，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3,0）

【分析】

本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)健是周圍軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)

稱解決最短問(wèn)題.

（1）根據(jù)關(guān)于），軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)4、B，、C點(diǎn)的包標(biāo)，然后描點(diǎn)，順次連接49、BC、AC

即可;

（2）利用割補(bǔ)法求三角形面枳即可；

（3）作C點(diǎn)關(guān)于工軸的對(duì)稱點(diǎn)C〃，連接AU交工軸于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所作.

【詳解】（1）如圖所示，夕C即為所求，

???C（L2）：

（2）SAABC=3x2-—x2xl--x3xl-ix2xl=—；

（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求,

???點(diǎn)?的坐標(biāo)為（一3,。）.

變式1：如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)48、C在小正方形的頂點(diǎn)上.完

成下列作圖（不寫畫法，保留作圖痕跡）

（1）在圖中畫出與關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱的△A4G;

⑵僅使用無(wú)刻度的直尺作出AC邊上的高.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了作圖一軸對(duì)稱變換、作三角形的高，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出點(diǎn)4B、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4、%G，再順次連接即可；

（2）根據(jù)格點(diǎn)作出AC邊上的高即可.

【詳解】（1）解：如圖，△A8?即為所求;

(2)解：如圖，線段4。即為所求,

變式2：如圖，在下列帶有坐標(biāo)系的網(wǎng)格中，△AEC的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上,

A(-3,3),B(-4,-2),C(O-l),畫圖過(guò)程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示

(1)在圖1中，畫出"BC關(guān)于滔日對(duì)稱的AOEC(點(diǎn)。與點(diǎn)A對(duì)應(yīng))，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)；

(2)在圖1中，畫出△48C的中線AM,點(diǎn)M的坐標(biāo)為二

(3)在圖2中，畫出“的高橋'(保留作圖痕跡).

【答案】(1)(4,一2)

(2)(-2,-1.5)

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考杳了在網(wǎng)格中作三角形的高和中線以及作軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，掌

握網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

(1)作出點(diǎn)A、3關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)。、E,然后順次連接即可，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)連接PQ,交于一點(diǎn)M,連接AM即可，根據(jù)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；

(3)連接8V,交AC于一點(diǎn)F,則M即為“WC的高.

【洋解】(1)解：作出點(diǎn)4、B關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)。、E,則△OEC即為所求作的三角形

故答案為：(4,-2).

(2)解:連接PQ,交BC于一點(diǎn)M,連接AM,點(diǎn)M即為所求,

根據(jù)作圖可知，點(diǎn)M為所在方格的中點(diǎn)上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,-1.5).

故答案為：(-2,-1.5)；

(3)解：連接8N,交AC于一點(diǎn)八如圖所示:

J隼

易錯(cuò)點(diǎn)8：中心對(duì)稱作圖

例：如圖，在方格網(wǎng)中已知格點(diǎn)—3。和點(diǎn)尸，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成以下作圖.

c：：：BTT'\

(1)畫出,使得△AWC和AA4c關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱；

⑵請(qǐng)?jiān)诜礁窬W(wǎng)中標(biāo)出所有使以點(diǎn)A,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的。點(diǎn).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】此題考查了無(wú)刻度的直尺作圖，用到的知識(shí)點(diǎn)是中心對(duì)稱、平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握中心

對(duì)稱的作法，作平行四邊形時(shí)注意畫出所有符合要求的圖形.

(1)根據(jù)中心對(duì)稱的作法，找出對(duì)稱點(diǎn)，即可畫出圖形；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定，畫山使以點(diǎn)A、B,P、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)即可.

【詳解】(1)解：如圖所示：

UlkA'B'C為所求;

變式1：如圖1與圖2,在邊長(zhǎng)均為I個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)及點(diǎn)。均在格點(diǎn)

I-請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺完成作圖（保留作圖痕跡）.

圖1圖2

（1）在圖1中，作8c關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱的△A&C；

（2）在圖2中.

①作人4次?繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)上的；

②請(qǐng)直接寫出：點(diǎn)小到AC的距離為.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵①見(jiàn)解析；②2

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)干，B\C即可;

（2）①利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題即可；

②判斷出是直角三角形，利用等積法，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖1中，即為所求.

圖2

②過(guò)點(diǎn)8作A。_LAC于點(diǎn)

AB=y]22+42=2>/5?BCuh+f=石，AC=>/32+42=5>

V(2V5)2+(V5)2=52,

???AB2+BC2=AC2,且ZABC=90。，

SAM=—ABxBC=—ACxBD,

△22

即昨A"=26x石=2,

AC5

???點(diǎn)3到AC的距離為2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查-旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理和逆定理，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)

合的思想解決問(wèn)題.

變式2：如圖所示,在dBC中，4—2,3),次—3,1),C(-L2).

(1)洛向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，畫出平移后的△ABC"

⑵將“BC繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)18()。，畫出旋轉(zhuǎn)后的△&與G；

(3)由作圖可知△4B|G與△△282G成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)見(jiàn)解析；

⑶[2,0)

【分析】本題考查了作圖的綜合問(wèn)題一平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱.

(1)首先將點(diǎn)A、B、C分別向右平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)A、&、C，順次連接即可；

(2)將A、B、。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180%得到點(diǎn)為、%、C2,順次連接即可；

(3)通過(guò)計(jì)算可得A4，用層和GG相交于點(diǎn)(2,0),根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義即可解答.

【詳解】(1)解：AA臼G如圖所示；

(2)解：△為與G如圖所示;

(3)解：連接A4，和GG，

???對(duì)稱中心為（2,0）.

故答案為:（2,0）.

易錯(cuò)點(diǎn)9：切線作圖

例：如圖，已知RsABC（NC=90。）.

（1）作一個(gè)圓，使圓心。在AC上，且與AB、BC所在直線相切（不寫作法，保留作圖痕跡，并說(shuō)明作圖的

理由）；

（2）尺規(guī)作圖：作。。，使得圓心。在邊A8上，0。過(guò)點(diǎn)A且與邊4c相切于點(diǎn)。（請(qǐng)保留作圖痕跡，標(biāo)明

相應(yīng)的字母，不寫作法）.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題考查了綜合作圖、圓的切線的判定和性質(zhì)以及角的平分線的性質(zhì)定理，正確確定圓心。的位

置是關(guān)鍵.

（1）作出/A4C的角平分線，角平分線與AC的交點(diǎn)。是圓心，以。為圓心，以O(shè)C為半徑作圓即可；

（2）作/胡。的角平分線A。交AC與。，過(guò)。點(diǎn)作。。垂直于AC,交A4與。，以。為圓心，以。。為

半徑作圓即可.

【詳解】（1）如圖所示，0。即為所求

I0B是NABC的平分線，ZC=90°,

???點(diǎn)O到AB的距離等于到BC的距離OC.

???00與AB、8C所在直線相切

（2）如圖所示，0。即為所求作的圖形

A

(1)如圖①，點(diǎn)。在斜邊A8上，以點(diǎn)O為圓心，06長(zhǎng)為半徑的圓交AA于點(diǎn)。，交6C于點(diǎn)E與邊AC"相

切于點(diǎn)F.求證：Z1=Z2;

(2)在圖②中作。M,使它滿足以下條件：

①圓心在邊A4上；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)&③與邊4c相切.(尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法)

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題主要考杳圓和切線的性質(zhì)和基本作圖的綜合應(yīng)用.掌握連接圓心和切點(diǎn)的半徑與切線垂直是

解題的關(guān)鍵.

(1)由切線的性質(zhì)可得/0州=90。=/。，推出Ob〃4C,由平行線的性質(zhì)可得N1=NO/W,由等邊對(duì)等

角可得N2=N0FB,等量代換可得N1=N2；

(2)先作/ABC的角平分線，與AC交于點(diǎn)尸，再作反的垂直.平分線，與AB交于點(diǎn)M,以點(diǎn)M為圓心，

為半徑作圓即可.

【詳解】(1)證明：如圖①，連接。尸，

???與與C相切于點(diǎn)尸,

???ZOE4=90°=ZC,

二.OF〃BC,

N1=/OFB,

OF=OB,

Z2=ZOFB,

N1=N2;

:,MF=MB，

???5BF=ZMFB,

又丁BF平分上ABC,

：."BF=NCBF,

：.ZCBF=NMFB,

:.MF〃BC,

'：ZC=90°,

:.FM1AC,

:.OM與邊AC相切.

變式2：如圖，已知△ABC是銳角三角形（AC<A8）.

⑴請(qǐng)?jiān)趫DI中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作直線/，使/上的各點(diǎn)到仄C兩點(diǎn)的距離相等；設(shè)直線/與

AB.8。分別交于點(diǎn)M、N,作一個(gè)圓，使得圓心0在線段MV匕且與邊A3、8C相切；（不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若BC=2,求。。的半徑為

~-

【答案】（1）見(jiàn)解析；

乙

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是理解題意，正確作出圖形.

（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）過(guò)點(diǎn)。作OE_L八4于E,設(shè)OE=ON=r,由勾股定理求出MV的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可得出答

案.

【詳解】（1）解：如圖直線/,00即為所求.

圖1

（2）解：過(guò)點(diǎn)。作OE_LA/3于￡,設(shè)OE=ON=r,如圖,

A

\

BNC

圖2

???B/W=g,BC=2,MN垂直平分線段8C,

/.BN=CN=\,

:?MN=dBM2_BN?=」（-I2=-,

解得,?=；,

故答案為：—.

易錯(cuò)點(diǎn)10：相似作圖

例：如圖，在中，48=AC,請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖，在求作一點(diǎn)。，使△ABCsaOAC.（不寫作

法，保留作圖痕跡）

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖-相似變換，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問(wèn)題.作線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)。，連接AD,點(diǎn)。即為所求.

【洋解】解：如圖，點(diǎn)。即為所求.

理由：由作圖可知/)A=￡)C,

:.zc=zmc,

VAB=AC,

???ZB=ZC=ZDAC,

"ABCsQAC.

變式1：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)《對(duì)稱圖形一圓》、《圖形的相似》兩章內(nèi)容后，結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，想嘗試解決以

下尺規(guī)作圖問(wèn)題，聰明的你請(qǐng)幫助他完成.

問(wèn)題背景：已知點(diǎn)產(chǎn)是四邊形A8CO中4B邊上一點(diǎn)，請(qǐng)用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作出滿足下列條件的點(diǎn)P.

問(wèn)題2.如圖2,ZA=ZB=90°,AADPS^BPC；

問(wèn)題3.如圖3,ZA=ZB=45°,^ADP^^BPC.

(友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡)

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】(1)作點(diǎn)。關(guān)于直線A3的對(duì)稱點(diǎn)E,連接CE交A8于P,連接P。，于是得到

(2)作C。的垂直平分線MN交C。于。，以點(diǎn)。為圓心，0C為半徑作圓0,交AB于點(diǎn)、P,于是得到

△ADPs史PC；

(3)作。C的垂直平分線，過(guò)點(diǎn)D作AA的垂線交AB于點(diǎn)以。為頂點(diǎn)，CO為角的一條邊，作

/DCO=ZADP,交CO的垂直平分線于一點(diǎn)。，以。為圓心，以O(shè)C為半徑作圓，與48的交點(diǎn)即為所求

作的點(diǎn)

【詳解】(1)如圖1,△加即為所求.

(2)如圖2,△APD即為所求.

(3)如圖3,△A0D即為所求.

【點(diǎn)睛】本題是相似形的綜合題，考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì),

等腰直角三角形的性質(zhì)，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵.

變式2：如圖，8。為平行四邊形A8CO的對(duì)角線，點(diǎn)E為邊A8上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊4。上求作一

點(diǎn)凡使得AAEF?AC".（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得到

ZAEF=/BDC,進(jìn)而求解.

【詳解】解：

???ZAEF=ZBDC,

作圖如下，點(diǎn)尸即為所求.

無(wú)刻度尺作圖專題

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.找點(diǎn)不準(zhǔn)確：由于是無(wú)刻度的直尺，找點(diǎn)的準(zhǔn)確性是關(guān)鍵。點(diǎn)可能位于格點(diǎn)上，也可能是圖形上的特殊

點(diǎn)，如中點(diǎn)、N等分點(diǎn)、重心、垂心、圓心等。對(duì)這些點(diǎn)的準(zhǔn)確識(shí)別是作圖的基礎(chǔ)。

2.對(duì)特殊角度的理解不準(zhǔn)確：特殊角如45度、60度、120度、90度等，在作圖時(shí)需要在格點(diǎn)上準(zhǔn)確找到。

對(duì)這些特殊角的理解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖錯(cuò)誤。

3.對(duì)特殊線的理解不準(zhǔn)確：特殊的線，如垂線、中線、高等，需要按照其特性進(jìn)行作圖。對(duì)這些特殊線的理

解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖失誤。

4.對(duì)特殊圖形的理解不準(zhǔn)確：特殊圖形如正方形、平行四邊形、特殊平行四邊形等，需要根據(jù)其特性進(jìn)行作

圖。對(duì)這些特殊圖形的理解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖錯(cuò)誤。

5.對(duì)圓的相關(guān)性質(zhì)理解不準(zhǔn)確：在找圓心、弦長(zhǎng)等過(guò)程中，需要喑助圓的相關(guān)性質(zhì)，如圓心在弦的垂直平分

線上，同弧所對(duì)圓周角相等。對(duì)這些性質(zhì)的理解不準(zhǔn)確，可能導(dǎo)致作圖失誤。

6.比例和長(zhǎng)度的誤解：在無(wú)刻度尺作圖中，經(jīng)常需要根據(jù)已知圖形或角度推斷出其他線段的比例或長(zhǎng)度。這

需要對(duì)圖形的比例關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系有深入的理解。如果這些關(guān)系理解不清，或者計(jì)算錯(cuò)誤，都可能導(dǎo)致作

圖錯(cuò)誤。

7.作圖步驟混亂：無(wú)刻度尺作圖需要按照一定的步驟和順序進(jìn)行，如先確定基準(zhǔn)點(diǎn)，再連接線段，然后作垂

線或平行線等。如果作圖步驟混亂，不僅可能導(dǎo)致作圖錯(cuò)誤，還可能影響作圖效率。

8.忽略細(xì)節(jié)：無(wú)刻度尺作圖要求精確度高，需要注意每一個(gè)細(xì)節(jié)，如線的粗細(xì)、角度的精確性、點(diǎn)的位置等。

如果忽略這些細(xì)節(jié)，可能會(huì)導(dǎo)致作圖結(jié)果不準(zhǔn)確。

9.缺乏空間想象力：無(wú)刻度尺作圖需要良好的空間想象力，能夠根據(jù)已知條件想象出未知部分的形狀和位置。

如果空間想象力不足，可能會(huì)導(dǎo)致作圖困難。

易錯(cuò)點(diǎn)1：三角形的四心

例：圖①、圖②、圖③都是4x4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).的頂點(diǎn)人B、C均在

格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖.

⑴在圖①中作“BC邊A8上的高C0.

(2)在圖②中作邊5c上的高AE.

⑶在圖③中作.ABC邊AC上的高I3F.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

⑶見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了畫三角形的高：

（1）取格點(diǎn)。，連接c。，CD即為所求；

（2）取格點(diǎn)E,連接AE,AE即為所求；

（3）設(shè)A￡與C7）交于0,連接〃。并延長(zhǎng)交AE于F,則稱'即為所求.

【洋解】（1）解：如圖所示，C。即為所求；

圖①

（2）解：如圖所示，AE1即為所求;

力匕------------

圖②

（3）解：如圖所示，M即為所求.

D

圖③

變式1：如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△A8C的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，僅

用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖（保留作圖痕跡）.

CC

圖1圖2

（I）在圖1中畫GEF，使得史EF與的相似比為1：血.

（2）在圖2中畫出AABC的重心0.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作出圖形即可；

（2）根據(jù)三角形重心的定義即可得到結(jié)論：

本題考查了作圖-相似變換，三角形的重心，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）畫圖如圖，

D

由網(wǎng)格可知：AI3=2,BC=M，AC=3近，

DE=C.，EF=亞,DF=3,

.DEEFDF_1

**AB-7c-V2*

???ADEF與W?C相似且相似比為1:,

:.立)￡尸即為所求：

(2)畫圖如圖,

由。。和AE為“18。的中線,

???點(diǎn)0是的重心，

???點(diǎn)。即為所求.

變式2：如圖是由小正方形組成的.3x3網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)4、B、C都是格點(diǎn).僅

用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成作圖，保留作圖痕跡，標(biāo)出相應(yīng)字母.

(1)在圖①中，畫出aABC的中線8W；

⑵在圖②中，畫出AABC的中線八N；

(3)在圖③中作出△/18c的外心0.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了格點(diǎn)作圖，中線的定義“三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線是中線“，三角形外心的定義“三

角形三條垂直平分線的交點(diǎn)是三角形的外心

(1)連接BM,即為所求，

(2)連接G”,交BC于點(diǎn)N,連接AN,AN即為所求；

(3)連接S7V/K相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O即為所求.

【詳解】(1)解：如圖所示：6M即為所求；

?/ZAMP=NCMQ,NAPM=NCQM,AP=CQ,

:yAPM'CQM,

：,AM=CM,即點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，

???BM即為所求：

(2)解；如圖所示:AN即為所求；

Z.GEN=/HFN,/GNE=4HNF、GE=HF,

：.0EN沿4HFN,

:?EN=FN,

:?BN=CN,即點(diǎn)N為BC中點(diǎn),

:.AN即為所求：

(3)解：如圖，點(diǎn)。即為所求；

???四邊形切必是正方形，

???ST垂直平分A8,

???四邊形R/7X是正方形，

：.OJ=OT,即點(diǎn)。在."的垂宜平分線上,

???點(diǎn)。在AC的垂直平分線上，

???點(diǎn)。為“8C的外心，

點(diǎn)。即為所求.

易錯(cuò)點(diǎn)2：平行四邊形

例：請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

圖①圖②

(1)如圖①，在菱形AACO中，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，請(qǐng)過(guò)E作出行3的平行線.

(2)如圖②，在YABCO中，點(diǎn)E,是。。的中點(diǎn)，請(qǐng)找出BC的中點(diǎn).

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理；

(1)如圖所示，連接AC、8D交于0,連接E0并延長(zhǎng)，交A0于凡則直線E尸即為所求；

(2)如圖所示，連接4C、BD交于0,連接E。并延長(zhǎng)，交A3于G,連接CG,BE交于H,連接并延

長(zhǎng)交8c于凡點(diǎn)尸即為所求.

【洋解】(1)解：如圖所示，連接AC、BD交于0,連接E0并延長(zhǎng)，交A。于F,則直線痔即為所求；

由菱形的性質(zhì)可得。為AC中點(diǎn)，得0E是△ABC中位線，則OE

（2）解：如圖所示，連接AC、4。交于。，連接石。并延長(zhǎng)，交A3于G,連接CG,BE交于H,連接?！ú?/p>

延長(zhǎng)交8C于”，點(diǎn)尸即為所求.

由菱平行四邊形的性質(zhì)可得。為AC中點(diǎn)，得0E是△O8C中位線，則OE〃水?,則四邊形BCEG是平行四

邊形，則〃為CG中點(diǎn)，則O”〃CE,可證明四邊形OEb為平行四邊形，則OE=C尸=：8C,即尸為8c

的中點(diǎn).

變式1：如圖，在平行四邊形A8CO中，利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（1）在NB4O的內(nèi)部作射線4石，作NE45=N8；

（2）在線段。。上作線段。尸，使"=80.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

⑵見(jiàn)解析.

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法以及平行四邊形

的性質(zhì).

（1）利用尺規(guī)作圖，作出相等的角即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得8c=D4,即D4=O9，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，射線AE即為所求，

（2）在平行四邊形ABC。中8C=A￡>,

由?？傻肈4=D9

如圖，線段。尸即為所求.

變式2：已知四邊形A8C。是平行四邊形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求作圖.

（2）如圖②，點(diǎn)P為4。上任意一點(diǎn),，在4。上找出一點(diǎn)。，使8P=OQ.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖，平行四邊形的性質(zhì)；

（1）連接AC交80于點(diǎn)。，作直線。。交C。于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q即為所求作.

（2）連接4C交于點(diǎn)。，作在AP交8c于點(diǎn)E,作直線。上交AO于點(diǎn)"，連接CF交BD于點(diǎn)Q,點(diǎn)、Q

即為所求作.

【詳解】（1）如圖，點(diǎn)。即為所求作.

（2）如圖，點(diǎn)。即為所求作.

AD

易錯(cuò)點(diǎn)3：矩形

例：如圖，四邊形A3CO為矩形，且有隹=DE.請(qǐng)用無(wú)刻度宜尺完成下列作圖，保留必要的可圖痕跡.

亡E白E

BCBQC

圖1圖2

（1）在圖1中求作BC邊的中點(diǎn)尸；

（2）在圖2中的邊BC上求作點(diǎn)〃，使8G=C”.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定：

（1）連接AC/。，過(guò)AC8。的交點(diǎn)與點(diǎn)E作直線，交BC于點(diǎn)F,即可?

（2）方法一：連接AG,并延長(zhǎng)HG交EF于點(diǎn)P,連接OP交BC于點(diǎn)”，即可；方法二：連接A”，交.EF

于點(diǎn)Q,連接。Q,并延長(zhǎng)。。交8C于點(diǎn)”，即可；

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；

士

BF：C

1

（2）解：如圖，點(diǎn)”即為所求.

變式1:如圖,正方形48CO,矩形。CEE并排放置，CE<CD.請(qǐng)用一把無(wú)刻度直尺完成下列作圖（保留

作圖痕跡）.

圖1

（1）在圖1中作C7）中點(diǎn)G：

（2）在圖2的邊4c上找點(diǎn)P,使得9二C￡.

【答案】（1）圖見(jiàn)解析

（2）圖見(jiàn)解析

【分