《常微分方程》期末考試試題

目錄

《常微分方程》期末考試題（一）.............................2

《常微分方程》期末考試題（二）.............................7

《常微分方程》期末考試題（三）............................14

《常微分方程》期末考試題（四）............................19

《常微分方程》期末考試題（五）............................25

《常微分方程》期末考試題（六）............................32

《常微分方程》期末考試題庫(kù).................................37

1

《常微分方程》期末考試題（一）

一、填空題（每空2分，共16分）。

1、方程空=/+）尸滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是xoy平面.

dr

dr

2.方程組一=F（x,Y）,xeR,YGR"的任何一個(gè)解的圖象是n+1________維空間中

dv

的一條積分曲線.

3.//（x,y）連續(xù)是保證方程曳=〃尤V）初值唯一的充分條件.

_

_d.-v--

_

dr

4.方程組.小的奇點(diǎn)（0,0）的類型是中心

I一-X

1dr

5.方程＞，=A/+g（V）2的通解是），=Cr+gc2

6.變量可分離方程M（x）N（）"k+〃（L'二°的積分因子是、

N（）,，）PL（x）

7.二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y=5（x）,），=%*）成為其基本解組的充要條件是退

性無(wú)關(guān)

8.方程）產(chǎn)+4/+4），=0的基本解組是e-x,比工

二、選擇題（每小題3分，共15分）。

9.一階線性微分方程包+p（x）y=4（x）的積分因子是（A）.

ch-

（A）（B）"J，—?（D）…仔加

10.微分方程yInvdr+（x-Iny）dy=0是（B）

（A）可分離變量方程（B）線性方程

（C）全微分方程（D）貝努利方程

11.方程x（y—l）dxtr（x‘一l）d片0的所有常數(shù)解是（C）.

（A）x=±\（B）y=±\

（C）y=±\,x=±l（D）y=1,x=1

12.〃階線性非齊次微分方程的所有解（D）.

（A）構(gòu)成一個(gè)線性空間（B）構(gòu)成一個(gè)〃-1維線性空間

（C）構(gòu)成一個(gè)〃+1維線性空間（D）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間

2

13.方程V=Jy2-/+2（D）奇解.

（A）有一個(gè)（B）有無(wú)數(shù)個(gè)（C）只有兩個(gè)（D）無(wú)

三、計(jì)算題（每小題8分，共48分）。

14.求方程曳=2個(gè)二）'2的通解

5X2

h八,y,dydy〒口duu-u~u

解：令±=〃，則ni)=〃+工上，于是，一=------,-----

xdxdxdxx\-u

r

所以原方程的通解為>=—,)，=X

14-Cx

15.求方程2dA-+(/+]11工川丁=0的通解

x

解：取M(x,}?)=~?N(x,y)=y3+Inx

x

則M3,y)=N,(x,y)=L于是原方程為全微分方程

x

所以原方程的通解為公+J'y3dy=C

*AT

即y\nx+^y4=C

16.求方程y=(y')2-卬+白上的通解

解：令y'=p，得到丁二〃2一初+十（*）,兩端同時(shí)關(guān)于求導(dǎo),

整理得迎一1'=0,則

1公）

Y廠

取2〃一工=0,得〃=彳，代入（*）得解y=—

24

取血-1=0,得〃=T+C,代入（*）得原方程得通解為

dx

2

y=—+Cx+Cx2

2

17.求方程）,一3），'=*的通解

解對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為尤—34=0,

特征根為4=（）,4=3

3

故齊次方程的通解為y=G+Ge3x

因?yàn)椤?5不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為

y⑶二Ae"

代入原方程，得

25Ap—15Ae"=e5t

即A=—,

10

3x5r

故原方程的通解為y=C,+C2e+p-e

18.求方程y"+y'-2y=e*(cosx-7sinx)的通解

解：先求解對(duì)應(yīng)的其次方程：)，〃+)，'-2>=0,則有，

2x

萬(wàn)+X-2=(),4=1,A2=-2;y=Ge'+C2e

因?yàn)閿?shù)a±，N=l±i不是特征根，故原方程具有形如

y1=e'(Acosx+Bsiiix)的特解。

將.上式代入原方程，由于y=e'(Acosx+Bsinx)

y[=e'[(A+B)cosx+(8-A)sinx]

y；=ex[2Bcosx-2Asinx]

故)，"+)/—2y=e'[23cosx-2Asinx]+c[(A+Bjcosx+(B-A)sinx\

-2e'(Acosx+Bsinx)=e'(cosx-7sinx)

或(33-A)cos/-(3+34)sinx=cos/-7sinx

比較卜.述等式兩端的cos.jsinx的系數(shù),可得—A+3B=1L3N—8=—7

因此,A=2,5=1.故y=e'(2cosx+lsinx)

xv

所求通解為y=e'(2cosx+Isinx)+C}e+C2e

19.求方程組四=(35]丫的實(shí)基本解組

dx1-53

4

2_35

解：方程組的特征多項(xiàng)式為~，其特征根是42=3±5i,那么

5A-32

屬于4的特征向量%=

屬于4的特征向量%=

(7(3+5i)x-汕、

則方程的基本解組為①?（6=

「一+5小IM"'小'

其實(shí)基本解組為中小尬/（0）。

而"L-lf-z-I

i

因此所求實(shí)基本解組為

,

O（x）=01（x>DI-（O）

_\(ie(3+5i)xA5/)xY-fe3zcos5x/'sin5x、

{3=5i)x3/

~2[-e-/5小Jj/J-[-esin5xcos5x?

四、應(yīng)用題(每小題11分,共11分)。

20.(1)求函數(shù)/?)=*的拉普拉斯變換

xn-3/+2x=2/

（2）求初值問(wèn)題的解

x(O)=(),/(())=()

（2）設(shè)dx（f）]=X（s）,x“）是已知初值問(wèn)題的解。對(duì)已知方程兩端同時(shí)使用拉普

拉斯變換，可分別得到

張〃-3/+2x]=小〃]-3噌1+2回=X（s）p_3S+2]=X^2-35+2）

=X（s）（s-加-2）;

小叫=2￡叫=三

2

故有X—Fy

5

1O1

使用部分分式法，可得X(s)=----------+——

\'s-\5-25-3

由(1)可知，de']=，；de2']二—；d/']二—!-

s-1s-25-3

故所求的初值解為乂。=6'-2/，+/，。

五、證明題(每小題10分，共10分)。

對(duì)任意與及滿足條件OY%Y1的兒.方程包二）。-1）

21證明:的滿足條件

CU-1+V+）,2

)*o)=%的解y=y(x)在(YO,+8)上存在。

證：由于/*')')=譚言

(2)，-1)(1+八),2)一),(),一］)2)，

/、?（?"）=

(l+x2+y2)2

在全平面上連續(xù)，所以原方程在全平面上滿足解的存在唯?性定理及解的延展定理?xiàng)l件.

又顯然y=0,)，=l是方程的兩個(gè)特解..現(xiàn)任取/￡(-oo,+8),y0e(0,1),記

y=y(x)為過(guò)So，)'o)的解，那么這個(gè)解可以唯一地向平面的邊界無(wú)限延展，又上不能穿

越y(tǒng)=l,下不能穿越y(tǒng)=0,因此它的存在區(qū)間必為(-8,+8).

6

《常微分方程》期末考試題（二）

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分）

1、微分方程y'y'sinx-y+2沖sinx=O的階數(shù)是,是否為齊次線性方

程-.

2、當(dāng)M（x,y）,N（x,y）滿足時(shí)，方程”（蒼），）公+N（x,y）力=0稱

為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。

3、若X,Q）（i=l,2,…為齊次線性方程的〃個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一齊線性方程的

所有解可表為_(kāi)_______________________

4、方程曲=7^^的常數(shù)解是.

5、方程），"-2）/+），=x"的特解可設(shè)為

二、單選題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分）

xdy-ydx_

?L、1?----Z----

A.J—B.d\—C.d⑹D.6/(ln|xy\)

2、"x"+江-x=()的通解為(G，C?為任意常數(shù))

,,111

A.X=C/4-C2rB.x=c1t+c2eC.x=clt+c2-D.x=c1-+c2—

3、.微分方程的)；=+2x-W=2x+x?+/-＞一)，2公共解為

A.y=x3+1B.y=x2+]C.y-x2D.y=x3

4、)小一(y-x)小，=0的積分因子為

1111

A.U=-B.U=—C.U=—D.U=--------7

y~xyx~x~4-y~

5、函數(shù)耳(x,y)=(x+y)2+y4與匕(x,y)=x2+y2

A.均為常正的B.均為定正的C.匕常正，匕定正D.匕定正，匕常正

三、解下列微分方程（本題共5小題，分值:6+6+6+6+12,滿分36分）

7

1、求方程)公+(y+lnx)6fy=0

x

2、求方程y2(y—1)=(2-)，'『的通解

y3

3、求方程(2盯+x2y+^—)dx+(x2+y2)dy=0的通解

4、求解方程孚=62一孫2的通解

cixx

5、求解方程工”+/-2工=85訪21的一個(gè)特解

四、(本題io分)試求方程組；=>G+助的解而⑴.

--11「12]「/

奴0)=,A=,/")=

143I

J1J1I——

五、證明題(本題共2小題，分值:10+9,滿分19分)

1、已知方程半=2)，,并且滿足y(0)=1,證明方程解存在唯一性.

dx

2、給定方程x+5x+6_r=/⑺，其中/⑺在一8<fV8上連續(xù)，設(shè)〃]("〃2(，)是上

述方程的兩個(gè)解。證明極限㈣[%⑺一匕(川存在。

一、填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分20分)

1、微分方程(y丁+)，'sinx-(y)$+29sinx=0的階數(shù)是色—,是否為齊次線

性方程上.

2、若。⑺和〃⑺都是％'=〃?)%的基解矩陣,則。⑺和〃⑺具有的關(guān)系是

〃⑴=。⑺C其中C為n*n奇異矩陣o

y)

3、初值問(wèn)題卜'=,"的解滿足積分方程)仃)=y0+「/(s,)，($))&*

3%)=y0一.兒.一

8

4、A_||「?一二I是恰當(dāng)方程,則咨|」十5

蟲

-6+勿

力

當(dāng)

參數(shù)

滿足

條牛

小

5、二維平面自治系統(tǒng)，辦

以

才-+

a+d<O,ad-bc>0N.為穩(wěn)定的奇點(diǎn)。

二、單選題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分)

1、一階線性方程包+p。)y=q(x)的積分因子是—B一.

dx

.-(p(x)di[p(x)dxf-^(.v)dr[(/Mdx

A.p=e3B.p=e}C.p=e1D.p-ei

2、方程包=/通過(guò)點(diǎn)(3「i)的解的最大存在區(qū)間是_人__.

dx

A.(2,+8)B.(0,-oo)C.(-oo,+oo)D.(-oo,3)

3、曲線盯=1滿足方程—C_.

A.yf-x=0B.xy'-y=1C.xy'+^=0D.x2y'=1

4、如果sin/,sin/是二階線性方程L[x]=Z+a](t)x'+a2(t)x=/?)的解，

則下列是UH=0的解的是—C____.

A.el+e2'+2sin/B.e1+2sin/C.e21D.sinr

5、函數(shù)h(x,y)=(x+y)2+/與匕(x,y)=(x+y)2—D—.

A.均為常正的B.均為定正的C.匕常正，匕定正D.匕定正，匕常正

三、解下列微分方程(本題共5小題，分值:6+6+6+6+12,滿分36分)

4、求方程包=62-孫2的通解。

dxx

解：這是n=2時(shí)的伯努利不等式，令2=尸:算得生二-)，-2包.................2分

dxdx

(h6ct2

代入原方程得到￡=-?z+x,這是線性方程，求得它的通解為z==+、..2分

dxxx68

]Cx~_y6尤"

帶回原來(lái)的變量y,得到一==+—或者一一一二c,這就是原方程的解。

yX68y8

9

此外方程還有解y=0.2分

1、—dx+（y3+lnj）dy=0

x

解因?yàn)榭?'=理，所以原方程是全微分方程

dyxox

取(%,)，。)=(1,0),原方程的通解為

|d,r+J。y'dy=C即

?X

)，山岡+；)J=。......................2分

2、/(/-i)=(2-y)2

解：令2-)/=?則原方程消去V后，有

y2(l-)?/)=y2r由此，得y=；Tdy=-\]dt

/=1+/2dx=^-=-—dt

Vr

所以x=力+c=1+c

1

X=—FC

故原方程的通解為:i分

y=--t

t

3、（2xy+x2y+《）公+（*+y2）dy=0

々刀c223N~

W：因?yàn)椤?2x+x+y,—=2x

dydx

又因?yàn)?------=N

dydx

所以方程有積分因子：U(x)="

方程兩邊同乘以/得:

10

cx(2A)?+廠y+--)dx+,(廠+y-)dy=0

3

[e\2xy+x1y)dx+exx2dy]+[ex—cbc+exy2dy|=0

3

也即方程的解為"fy+*匕=c

3

5^x"+x'—2x=8sin2f;

解：x”+￡-2x=0的通解是x=CE+Ge--設(shè)原方程的特解

是x=Asinf+8cos，,

將x=Asinr+3cosr代入原方程得

(-6A-2B)sinr+(2A-6B)=8sin2t,

6

A=-

一6A-28=8

所以有，5

2A-6B=02

B=-

5

2r

所以原方程的通解是x=C/+C2e--|sin/-|cosr;

四、（本題10分）試求方程組；=41+如的解血）

-112

。(。)=,A=JQ)=:

43

A—1—2

解：det(2E—A)==(4+1)(A—5)=0

-42-3

4=—1,4=5

a取m

（4石-4）匕=（）得匕=

-a

P取J]

(AE-A)V=0得嶺=

222。

則基解矩陣中”）=

ii

①⑺①"(0切=

312

+--

一e

45

①Q(mào))f①T(s)f(s)ds=23011

--

一e

-25

10

因此方程的通解為：的）=o（r）（i）1（（）切+o（z）￡cp-1（s）/⑸A

一312

-rT

e5r+-e-e--

5r45

23011

--T-

十

e-e十

25

一10

..........2分

五、證明題（本題共2小題，分值:10+9,滿分19分）

1、已知方程半=2x（1+），）,并且滿足y（0）=0,證明方程解存在唯一性.

UA

證明：①構(gòu)造等價(jià)積分式

）仆）=）,（0）+12工（1+））公，兩端求導(dǎo)得原方程，所以構(gòu)造積分式與原問(wèn)題同解;

........................................2分

②進(jìn)行迭代

K=y(o)=o；

)，］=y(0)+［；2x(1+%)dx=X；

%=>(())+￡2x(1+x)心=d+#；

③證明迭代的序列是收斂的

由于構(gòu)造的迭代序列收斂于一級(jí)數(shù)，及1,證明），“是收斂的；

“一?X

........................................2分

④證明收斂到的級(jí)數(shù)極為方程的解

12

給y〃=y(o)+］；2x(1+.%)公；求極限得：

J-1=)，(())+「2x(1+J-1心，所以產(chǎn)-1是方程的解...............2分

③證明解是唯一的

設(shè)y=f(x),y=h(x)均為方程的解，并且兩者不相等，則/(0)=〃(0)=0,

G(x)=f(x)-h(x)

G(x)=/(x)-〃(x)=2x(1-/(x))-2x(1-h(x))=2xG(x)

”(G(")e')=G(x)e*-2xG(x)"1=0；

dx

G(x)J=C

而當(dāng)x=0時(shí)，G(0)=0,/.C=O,/.G(x)=O,與/(x)w/?(x)相矛盾，所以解是唯

一的.證畢........................................................2分

2、〃個(gè)方程構(gòu)成的齊次線性微分方程組一定存在幾個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量。

證明：任取￡[〃,可，根據(jù)解的存在唯一性定理，......................2分

x=A（t）x分別滿足初值條件

0■()■

010

M&)=:,X>(fn)=2分

0I

的解凡。）,工2（，），…一定存在.....................................2分

又因?yàn)檫@n個(gè)解西⑺,々。），⑺的朗斯基行列式W（%）=lwO，所以

網(wǎng)（/）,工2（?！阿艘欢ㄊ蔷€性無(wú)關(guān)的，即證的所求。....................3分

13

《常微分方程》期末考試題(三)

一、填空題(30分)

1.蟲=P(x)y+Q(x)稱為一階線性方程，它有積分因子e^P{x}dx,其通解為

dx

2.函數(shù)/(x,y)稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果o

3.若以外為畢卡逼近序列?、舽的極限，則有M⑴一1(x)區(qū)o

4.方程包=x2+y2定義在矩形域R:-2<x<2-2<)，<2±,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)

dx

的解的存在區(qū)間是O

5.函數(shù)組62r的伏朗斯基行列式為。

6.若王(f)(i=l,2，…,〃)為齊線性方程的一個(gè)基本解組，X?)為非齊線性方

程的一個(gè)特解，則非齊線性方程的所有解可表為。

7.若①⑺是刀=A(t)x的基解矩陣，則向量函數(shù)(p(t)=是

X=4/次+/(。的滿足初始條件#&)=0的解；向量函數(shù)0。)=

是工=A(t)x+f(t)的滿足初始條件夕(I。)=〃的解。

8.若矩陣A具有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量匕，打，…,乙，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為

4,…4,那么矩陣①(1)=是常系數(shù)線性方程組x=A工的一個(gè)基解

矩陣。

9.滿足的點(diǎn)(x'，V),稱為駐定方程組。

一.計(jì)算題(60分)

10.求方程4/、2公+2(/),—1)6=0的通解。

11.求方程9+c東一x=0的通解。

ax

14

dy_22

12.求初值問(wèn)題｛區(qū)二廠一廠R：k+1|W1，NW1的解的存在區(qū)間，并求第二次

X-l)=0

近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。

13.求方程x"+9x=zsin31的通解。

14.試求方程組x=Ar+/⑺的解以/).

cix

15.試求線性方程組竺=2x—7y+19,=x—2)，+5的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類

dt

型及穩(wěn)定性。

三.證明題(10分〕

16.如果e(f)是x=Ax滿足初始條件〃的解，那么。(，)=[expA(f-/())17

常微分方程期終考試試卷答案

一.填空題(30分)

fP(x)dxf_、-fp(x)女,、

1.y=eJ(zIQ(zx)eJdx+c)

2.7*,)，)在R上連續(xù)，存在L>(),使|/(范必)一/。,力)|?4%一為|，對(duì)于任意

(X,必),*,%)6火

------h

(/?+!)!

6.x(z)=+x(r)

/=1

7.1①(田(s)/(s)ds

①(/)①T(/0)77+①①T(s)f(s)ds

8.卜"匕，6勾照,

15

9.X(x,y)=O,y(x,y)=0

二.計(jì)算題(60分)

gdM026N/，

10.解：---=8x~y,——=6x~y

dy'dx

oMdN

生芳=一(積分因子〃(y)=

兩邊同乘以〃(y)后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：4x2yidx+2)*(x3y-\)dy=0

a〃一4、一

—=M=4x2y3兩邊積分得：u=-x3y2+(p(y)

dx3'

—+(p\y)-N-2x3y7-2y

oy

得：(p(y)=-4y2

因此方程的通解為：y2(x3y-3)=c

11.解:令@=y=p則〃+e〃-x=0

dx

得：x=p+ep

那么y=jP。1=J〃(1+ep)dp

2

=g+pep-ep-\-c

x=p+e'

因此?方程的通解為：

y=^-+(p-\)ep+c

12.解：M=max|/(.r,y)|=4

|x-x0|<l=a]y-y0\<]=b,h=min(6f,-^-)=；

解的存在區(qū)間為卜―x0|=k+1|工〃二;

16

53

即—WxW—

44

令。(：(x)=)，o=0

"13]

01(x)=0+\X2dx=—+-

JJ

X7X4X11

<P(.r)=0+￡

263~18-9+42

3

又柒卜2^2=L

誤差估計(jì)為：帆⑴一以小高產(chǎn)1

24

2

13.解：Z4-9=0=>A,=3z,22=—3/

2=3;是方程的特征值，設(shè)x(t)=r(4f+B)?3〃

得：x"=(2A-95/+\2Ait+6Bi-9At2)e3it

則2A+12A萬(wàn)+68i=f

得：A=-----i,B=—

1236

1,i

因此方程的通解為：x(r)=Cjcos3r+c2sin3r--r-cos3r+—rsin3r

丸—1-2

14.解：det(AE-^)==(A+1)(/1-5)=0

-42-3

4=-1,2)=5

［聞取用7

（4七-A）巧=u得

(2,E-A)V2=0得匕=￡取嶺二|

■--\2p\~|_2_

則基解矩陣①（。=

17

①⑺①T(0),二

312

5

e+-e-

一45

①⑴(①T(s)/(s)ds23011

5--

一ee

-25

10

因此方程的通解為：兇）=0（/）01（0切+中（，）（」(s),f(s)ds

一3

-

230

-

10

一

2x-7y+19=0_x=\

15.解：《工-2)，+5=0=

)，=3

(1,3)是奇點(diǎn)

…19?5

令X=%+一,Y=v——

2?2

—=2X-7y,—=x-2K

cltdt

7

3+矛=()

A—2

可得：入=限入?=_揚(yáng)

因此（1，3）是穩(wěn)定中心

三.證明題(10分)

16.證明：由定理8可知0(，)=①⑺①"仇切+①⑺，①i(s)/(s)/

-1

又因?yàn)棰佗?exp4,中一(%)=(expA/o)=exp(-4())

/(.V)=0

所以0(/)=expA/-exp(-A/0)77

又因?yàn)榫仃?At)?(-At0)=(-4。)?⑷)

所以°(。=卜邛A(一｝

18

《常微分方程》期末考試題（四）

一、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

（請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無(wú)分）.

1、方程M（x,），）dx+N（x,），）d），=O有積分因子u=u（y）的充要條件為

1（AN々、

T7——L=。（丫）

Mydxdy）

2、y）連續(xù)是保證/（x,y）對(duì)y滿足利普希茨條件的&送生條件?

3、函數(shù)組一,6-',/'的朗斯基行列式值為_(kāi)______k2/'=-6。匕

4、若），=0（x）,y=02（彳）是二階齊次線性微分方程的基本解組，則它們無(wú)（有或無(wú)）

共同零點(diǎn).

5、若矩陣4具有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量匕，匕，…一”，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為

4,4,…4.，那么常系數(shù)線性方程組x=Ax的一個(gè)基解矩陣①⑺=

/,片①乜,…,”叫.

二、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.）

（請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的括號(hào)中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無(wú)分）

1、形如蟲=尸"）），+。。）），〃（〃工0,1）的方程是（D）.

dx

A.歐抖方程B.貝塞爾方程C.黎卡爾方程I）.伯努力方程

2、設(shè)〃（X）,9。）連續(xù)，＞'］（X）,》2（不）是丁"+〃（幻）/+夕（幻）=0在（7,+8）上的兩個(gè)線

性無(wú)關(guān)解，且）:（（））=0,%"（（））=（），則（A）?

（A）p（0）=0,式0）=0（B）p（0）=l,夕（0）=0

（C）p（0）=0,久0）=1（D）0（0）=1,（7（0）=1

19

3、二階非齊次線性微分方程的所有解（C）.

（A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間（B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間

（C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間（D）構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間

4、如果/（X,），），都在M），平面上連續(xù),而且/*,），）有界，則方程

3），

電=/（X,y）的任?解的存在區(qū)間（A）.

d.t

（A）必為（-8,+8）（B）必為（（）,+8）

（C）必為（一8,0）（D）將因解而定

5、若①（元）是齊次線性方程組一=A（x）y的一個(gè)基解矩陣，7為非奇異〃X〃常數(shù)矩

dx

陣，那么①（x）r是否還是此方程組的基解矩陣（B）.

（A）不是⑻是（C）也許是（D）也許不是

三、計(jì)算題（本題共4小題，每小題6分，共24分）（求下列微分方程的通解）

1.包

d.rp+x2y

9r

1、解：將方程變?yōu)椋ヾy=——-dx...........................................................（2分）

（1+廠）

則有ydy=—+1）.......................（1分）

（1+尸）

從而得；y2=]n（]+f）+c（c為任意的常數(shù)）...................（3分）

2、(%3+xy2)ch-+(x2y+yy>ly=0；

解:由于"=2肛=磔，所以原方程是恰當(dāng)方程.（2分）

dydx

假設(shè)存在〃使得它同時(shí)滿足方程：—=x3+xy2和—=x2y+y3

dxdy'

20

（1分）則有〃=一/+一%2），+8（），）且"二X2），+*（）,）,所以°（y）=y3

42oy

（2分）

^（y）=l/,即原方程的通解為：d+2fy2+y4=c......（1分）

4

3、X-2x+2x=e'cosf；

解：齊次方程的特征方程為之2-24+2=0,42=1土，

齊次方程的通解為x=e\cxcosr+c2sinr）........（2分）

令x-2x+2x=te0+i）,,并求其特解如下：

由于1+i是單根，故設(shè)特解為x=t（At+

代入原方程比較系數(shù)得A=--,B=-.

44

所以x=[（COST+/sin/）+z（sinr-/cos/）l.

4

則原方程有將解Re{x}=l/^（cosr+/sinr）.............（3分）

4

故原方程的通解為x=efcosr+c^sinr）+—r^（cos/+Zsinr）.......（1分）

4

4、t2x+3tx+x=0；

解：令方程的解為x=J,代入原方程有—1）