《概率統(tǒng)計(jì)A》期末練習(xí)

一、統(tǒng)計(jì)總體與樣本：三大分布

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為了(X),分布函數(shù)為歹⑴，且/(x)>0J(x)=/(-x),-8<x

v+oo；對(duì)O〈a<l,設(shè)Xa是方程產(chǎn)⑴二a的解，下列表述中正確的結(jié)論是A.

cc

(A)P{—x2。<XWx}=1—a(B)P{xa<X<xa}=l--

,-T'-I2,-22

(C)P[\X\<xJ=l-^(D)P{\X\>xa}=^

242乙

2.設(shè)Xi,X2,…,X〃為來自總體X的樣本，(〃22)；總體均值EX=〃,

_|n

總體方差。x=〃，記》=-ZXk.則對(duì)任意￡>(),成立c

〃Jt=l

-nv-。一

(A)—(B)P{|X-Z/|>6)>—

￡~

2_(T2

?p氏川—2(D)PUXiK"藤

3.設(shè)總體X?MO,扇),Xi,X2,...?Xi5為總體X的一個(gè)樣本,

則下列各式中正確的是

這X；

115

(A)一次?N(OJ)(B)--------F(5,10)

°F2工X；

j=6

2±X：

(D)￡X：~/(15)

(C)--------F(5,10)

Zx；/=!

j=6

4.設(shè)總體X~N(4，b2),X1,X2，…,X〃為總體X的一個(gè)樣本，X為樣本均值，S為

樣本方差，則下列結(jié)論中成立的是一A.

(A)n(X~^~(B)/(…

8-(y~

(C)yjn-\?/(7/—1)(D)2X「X「NW，6)

S

5.設(shè)總體,XPX2,---,Xn為來自總體X的樣本(n>2)；記

區(qū)'X&,s7t(X「反f,下列表述中正確的結(jié)論是_A

nk=\

(又一4)2

(A)?F(l,/7-l)

/n

(C)二「/伽)X一〃(、

(D)~s/~~i(〃)

b74n

_1n

6.設(shè)總體X?MMb2),Xi,X2,…,X〃為來自總體X的樣本，記N=-￡X一則下

^=1

列各式中正確的是一B.

___"1

2

(A)X「N~Z(0,——<T)(B)X,-X-W,-。2)

nn

(C)溫/xE"⑺(D)—用2~/(〃)

oi=i

7.設(shè)X1,X2,,X“是來自正態(tài)總體N(O,1)的簡單樣本，則當(dāng)常數(shù)。=時(shí),

￡XjI-----------

統(tǒng)計(jì)量c服從r分布,，匕'

8.設(shè)總體*~短(-1,42),乂,乂2,...,*9為總體乂的一個(gè)樣本,X為樣本均值,

則P{|X|<1}二,(已知中(1.5)=0.9332).0.4332

_1n

9.設(shè)總體*~"(〃02)/”*2「/”是來自于乂的一個(gè)樣本,令X=—￡Xj,

?i=l

22

s=—￡(%;-7),則。S?

〃一1寸

10.設(shè)XPX2,,X9是來自總體X?N(〃Q2)的簡單隨機(jī)樣本，

[6]9]9

S2=KZ(X&L%)2，Z=，則統(tǒng)計(jì)量Z服從的分

2

ok=\J*=7/k=7S

布為.f(1,2)

11.設(shè)X'X2,…,X”是來自正態(tài)總體N(O,1)的一個(gè)樣本則統(tǒng)計(jì)量

xj+'（￡匕尸服從的分布為_________.zTm+i）

yn-mi=/H+1

116

12.設(shè)X「X,,…,X?2為來自于正態(tài)總體NUM)的樣本.試求：(l)u='￡(Xj-〃)

16I=i

132

服從的分布；(2)V=/Z(X/—〃)2服從的分布；⑶令丫=/=1，求

?32

107=172

Z（X7-A）

六17

丫服從的分布.

解由條件知，XrX2,…,乂32相互獨(dú)立，同服從N(〃4)分布,

2^~N(0,1),⑴，

44

116Y_116

(I)U=+~N(0J),......................2分

VIO/=!41。；_]

⑵/⑴,7次-2>6),……3分

416缶缶4

16

(3)因?yàn)閁與丫相互獨(dú)立，由t分布的定義知，y_1(X「M)_U

J[(x廠〃尸7^6

V」=17

所以y服從自由度為16的t分布。.................................3分

13.設(shè)總體X和y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布77(0,，)，而X「X2，.,X9和

匕匕,…,％分別是來自總體X和y的簡單隨機(jī)樣本，試求：(I)￡xj服從的分布；

/=!

9

「Ex’

(2)工￡片服從的分布；(3)統(tǒng)計(jì)量服從的分布；(令。服從的分布

<y~；=i2-

解：⑴根據(jù)題設(shè)條件知ZX-N（O,9，）；3分

1=1

19Y199y

⑵菽不~M。］），＞W(wǎng)M），后卒2（；）2~八9）；……6分

9

（3）由f分布的構(gòu)造方式，得到（/二際卡」

即統(tǒng)計(jì)量U服從自由度為9的，分布;..................9分

(4)U2..........12分

14.設(shè)總體X~N（AQ2）,Y~N（M）,且X與丫相互獨(dú)立，X1,X2,…,X”，

__1n_1切

X心,…，，別是來自x和y的樣本，令又=上?：,y=-Y^,

s：二」一，；（x,-M）2,試求：⑴亍服從的分布，歹服從的分布；⑵

乂一歹；（4_〃2）服從的分布；（3）統(tǒng)計(jì)量,二X_歹：（必一〃2）服從的的分布.

n?c/11

bJ_HSj-+—

VnmVnm

解：由正態(tài)總體樣本函數(shù)的分布知，

一1_1

（1）X~N（內(nèi),一拉）,丫?N（"”一S）,...........................4分

n~m

（2）x—y?％（從一〃2，。2（1+'）），..............................6分

nm

經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化得到X丫〃2）?N（O,1）；..........................8分

b\一+—

Vnm

（3）又由定理三知5一?$..........................10分

b

再由t分布定義知

T=X<；(…)=-一尸…)/”i?/，

/]1crV\>n+\lmycr~(〃-1)

2十藐

7二一尊從一的?叱])。..............................12分

即

cL

二、參數(shù)估計(jì)部分

1.設(shè)總體X的概率密度為/(X,。)=|萬’~~,(0>0)

0,其它

又為,也,…,X”為來自于總體X的樣本值，則參數(shù)。的極大似然估計(jì)1=B.

(A)minfXj.x,,---.%,,)(B)max(xl,x2.--.x,,)(C)x(D)J

x

e~{x~eyx>6

2.設(shè)總體X的概率密度為了(x,e)=<八'一八，又箝，心…，犬〃為來自于總

0,x<0

體X的樣本值，則參數(shù)e的極大似然估計(jì)為c.

(A)七(B)<9=max{xp--%xJ(C)3=min{X1,…,x“}(D)3=1

ni=l

3.設(shè)Xi,X2,…，X〃為來自總體X的樣本(〃之2)；總體均值EX=〃，總體方差。X=〃,

記少…勺”-對(duì)，表述中正確的結(jié)論是3

772/i\

(A)又~NQ/彳)(B)/鳥rt?7(〃一1)

1〃—

(C)生是的無偏估計(jì)量(D)X—

4.設(shè)王,…,X〃是來自正態(tài)總體N(〃,/)的樣本，當(dāng)。=C時(shí),筋=燈+行2是

22

//的無偏估計(jì)，其中又」汽X,，(T=—Y(X,-X).

n-\,.I

(A)--1(B)工(C)--(D)-

n-\n-\nn

5.設(shè)Xi,X2,…，又”是來自總體M〃，/)的樣本，〃已知,下列幾個(gè)作為二的估計(jì)量中,

較優(yōu)的是A.

(A)其，力氏_〃)2(B)月二」又產(chǎn)

〃山〃-1四

I?_1?-1

(C)6；=-E(X,「X)2(D)/二--￡(X,.-A)2

6.設(shè)Xi,X2,X3為來自總體X的一個(gè)簡單樣本，總體均值EX二從總體方差QX二

下列兒個(gè)總體均值"的無偏估計(jì)量中，方差最小的是

11

6+X+X

B)2-26-3

A1A3J

(C)^=-X1+-X2+-X3(D)O=-X]+-X2-X.

7.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望〃置信度為0.95,置信區(qū)間的上、下限分別為伙孫也…，山)

與a(x\,X2,...,xw),則該區(qū)間的意義是A.

(A)P{a(xI,x2,---,xn)<//</?(x1,x2,---,xZJ)}=0.95

(B)P{a(xl,x2,^^xn)<X<b(x[,x2,--9xn)}=0.95

(C)P{a(x1,x2,---,^)<X<Z?(xI,x2,---,x?)}=0.95,其中又為樣本均值

(D)P{a(x,孫…，5)KX-〃工貿(mào).,電，…，怎)}=095

8.設(shè)總體x?MM?！?，其中/未知；xi,4…,X”為來自總體x的樣本，

給定下列表述中正確的結(jié)論是一A.

P{x-t(n-<p<x+ta(n-\)-r=}=\-a

I——a

(B)P{x-t^￡(??)-^=r<//<x+r05)言}二1-a

(C)P{x-ta(n-\)-^=<jLi<x+ta(n-1)-^=}=a

22中7

(D)P{x-za^=<p<x+za-^=]=\-a

,_y7nl-27n

9.設(shè)總體X~M"),。2),孫X2,為來自總體X的一組樣本值,川己知。

I〃

則參數(shù)M的極大似然估計(jì)夕=.擾=-2(七-〃0)2

〃/=1

10.設(shè)必,X2,…,M為來自總體X的樣本；總體均值砧二從總體方差。X二/，常

Ft-1|

數(shù)C,使得cX（Xj+「Xj）2為，的無偏估計(jì)，則。=.c=——-

11.設(shè)X],X2，X3為來自總體X的一個(gè)樣本,EX=〃,0X=b2,給出三個(gè)估計(jì)量

131.1|5-13|

d.X得X2+.X3,夕2=*/+注,^3=-Xl+-X2--X3,

（1）證明這三個(gè)估計(jì)量都是總體均值〃的無偏估計(jì)量；（2）計(jì)算這三個(gè)估計(jì)量的方

差；（3）問這三個(gè)估計(jì)量哪一個(gè)最佳.

2

證：（1）已知X”Xz，X3獨(dú)立同分布,EXf.=〃,DXf=a,Z=l,2,3,

E0.=E（-X,+—X,+-X.）=-EX.+—EX,+-EX.=（-+—+1）//=z/,

51102235110-235102

人115131

EOi=（§+^+丘）"=〃，E仇=（-+---）X/=Z^

所以a,a都是"的無偏估計(jì)量;.................................4分

(2)DO=D(-X.4--X,+-XJ=(-)2DX+(―)2DX.+(-)2DX.

X151()~25]10“2

=l(-)2+(-)2+(-)2]<72=—CT2,

5102100

四=審+6+舄)”=^4

+6+(-《)”=含",............4分

(3)因?yàn)関Da，所以。最佳，(或最優(yōu))。..........4分

12.設(shè)總體X的分布律為P{X=x}=”p廣”,x=l,2,…,%,乂2,…,X。是來自于

X的樣本，試求參數(shù)p的矩估計(jì)量.

解：總體矩EX=、＞P{X=x}.......................................2分

x=l

I1

=-〃)1P=PT--_T7=一，...............4分

1—

令一=EX=X,...............................................6分

P

得p的矩估計(jì)量為力=m.

8分

三、假設(shè)檢驗(yàn)部分

1.設(shè)總體X~N(〃,CJ2),孫X2,…，K”為來自總體X的樣本(〃之2);記X=—VX.,

￡(七-行.在未知方差〃，檢驗(yàn)假設(shè)%：〃=〃。時(shí)，選取檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量及

72-1

1=1

丁=》一(〃一1)

服從的分布是

2.設(shè)總體X?M〃，/)，孫孫…，九〃為來自總體x的樣本(〃22)；記工=一?,,

〃1

2

?=—Y(Xf-X).如果給定。。2,檢驗(yàn)假設(shè)/：/=分2時(shí)，選取檢驗(yàn)用的統(tǒng)計(jì)量

〃一1普

T17(〃-1)S2([\

及服從的分布是w=—己—Z("1)

%

四、隨機(jī)過程部分

1.設(shè)隨機(jī)過程X(f)=asin(W+0),ZG(―8,+oc),其中a,G(W0)是實(shí)常數(shù),

。服從區(qū)間(0,2乃)上的均勻分布，

試求：(1)寫出e的概率密度八夕)；(2)E[X(r)]；(3)￡lX(r)X(/+r)]；

解：(1)/(夕)={2萬；............................4分

10,其它

(2)仇X(7)]=E[asin(m+。)]=j：asin(c"+e)f(eW。

=[2^sin(^/+/9)-U/<9=0；....................................8分

Jo21

(3)E[XQ)XQ+r)]=E[asin(碗+€))?〃sin(69(r+r)+0)]

E[a2—(cosCOT-cos(cot+co{t+r)+20))]

吟聞。s?-￡3s3+M+，)+2@))]

2

(COSM；...............................12分

(4)時(shí)間均值河=X(ej)=lim.f/X(e,t)di

/txU

=lim!「,asin(〃+。)力=lim￡.—(一cos(創(chuàng)+。))匕

2/J-，/t+r2/co

..a-cos(<w/+O)+cos(-col+0)_A，,八

=111117-------------；-------------U，.............16分

/->+?>2<y/

(5)時(shí)間相關(guān)函數(shù)

X")X(/+r)=X(e,t)X(e,t+r)=lim]LX(ej)X(ej+T)dt

=6/

lirn~J/sin(37+O)?asin[o"+r)+?]c〃

/->+co2/

92

=『―[37)+2⑼力=幺cos函..................20分

出2/L22

2.設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Xcos(m+。)J￡(-8,+oo)淇中69(W0)是實(shí)常數(shù)，

X服從N(l,l)分布，。服從區(qū)間(-左,萬)上的均勻分布，且X與。相互獨(dú)立”

試求：⑴寫出/的概率密度/慨)；(2)E[X[t)];(3)E[X(/)Xa+r)]；

⑷lim]j：X(e")力；(5)]im=j：X(%/)X(ej+r)力.

/—>-H)OZl/—>.82/

解：(1)/(。)=?至.............................2分

0,其它

(2)EX=1,DX=1,EX2=DX+(EX)2=2；..............................4分

E[X(t)]=E[XCOS(69/+0)J=EX?E[COS(6L?+0)]

=￡%]cos(69Z+0)f(9)d0=cos(ft?r+0)-^—(16=0；...8分

(3)E[X(r)X(Z+T)]=E[Xcos(欣+。)?Xcos(旗/+r)+0)]

91八

=EX~E[—(cos(cot4-co(t+工)+20)+cos69r)]

=2x—E[cos(d?r+co(t+」)+20)+cosCOT]

2

”i

=[cos(。/+69(r+r)+20)+cosCOT]——dO

JF171

-COSCOT；.............................12分

⑷時(shí)間均值河=X(ej)=limgf/X(ej)力

IiXI

=limZ7LXcos(函+⑼力=]im^T—而(加+?)匕

IT”2/-2/(0

一Xsin(<y/+0)-sin(-ry/4-0)_Q

=燉%------1-------_U'...............16分

(5)時(shí)間相關(guān)函數(shù)

X(t)X(t+r)=X(eJ)X(e,/+r)=m'J：X(e/)X(e,/+r)clt

/-?+0C2/T

Xcos(a/+。)?Xcos[<y(r+r)+OJJ/

2

XelCOS3T+COS[①⑵+7)+€)]

dt

■]im2iJ-/2

X2

=——COS69T.......................................................................20分

2

--0

33

3.設(shè)齊次馬爾可夫鏈{X”,〃=0,l,2,…}的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=iii

333

0--

I33

且初始概率分布為〃,(0)=P{X0=7)=iJ=1,2,3,

-J

試求：⑴P{X1=1,X2=2,X3=3};(2)P⑵；⑶P[X2=3}.

解:(1)

P{XI=1,X2=2,X3=3}

P[\}P{X=3|X=2,X、=1}

X1=1)P{X2=2|XI=32

=P{X,=1）P{X2=2|X.=1}P{X3=3|X2=2}=P{X.=1）-/712.7723

=之尸{X°=/}P{X1=1|X3

0=J）*P12，，23=Z/X。=j}PjX?Pi?*P23

>=iJ=l

=llxl（i4+（））=A

3333381

22、4

002、

3333399

111111252

（2）P（2）=P2=

333333999

2224￡

00

33J33；1993J

3

（3）P{X2=3}=Y刊X。=/}P{X?=31X。=，}=ZP{X。=j]p^

=旱+"=220分

399927

4.設(shè)齊次馬爾可夫鏈{X“,〃=OJ,2,…）的狀態(tài)空間為S={1,2,3},轉(zhuǎn)移概率矩陣為

（1）二步轉(zhuǎn)移概率矩陣P⑵；（2）平穩(wěn)分布（P],〃2，科）

242

---

399

1252

6

----

3999

2

43

---

3