《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》模擬試卷

一、填空題

1.三只考簽由三個(gè)學(xué)生輪流放回抽取一次，每次取一只，設(shè)4表示第i只考簽被抽到。=1,2,3),則“至少

有一只考簽沒亨被抽到"這一事件可表示為.

2.設(shè)P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AU8)=0.6,則P(A與)=.

3.一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球，7個(gè)白球，先后兩次不放回從袋中各取一球，則第二次取到的是黑球

的概率為.

0,x<0

4.隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(刈=彳0.4,OWxvl,則P{X=1)=.

1,x>1

5.設(shè)隨機(jī)變量X~N(〃,25)，且尸{X>5}=0.5,則〃=.

Ax,0<x<1

6.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為.，則常數(shù)4=_____.

0,其'已

7.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為七p的二項(xiàng)分布，且〃=16,D(X)=4,則〃=.

8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為

則P{X=Y}=.

9.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布,則P{X=E(X2)}=.

10.設(shè)隨機(jī)變量X?N(L1),y~N(-1,1),且X與y相互獨(dú)立，則E[(X-Y)2]=.

11.D(X)=1,D(Y)=9,2H=0.5,則O(3X-2y+l)=.

12,設(shè)x和y的方差DX和0y都存在，且滿足o(x+Y)=D(X-Y)，則x與y的相關(guān)系數(shù)

PXY=---------------?

13.設(shè)X1,X?,…,X1°是來自總體X%(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則統(tǒng)計(jì)量％2+*；+-+乂；)服從自由度

n=的%1分布.

14.設(shè)來自總體X~N(〃,l)的容量為16的樣本的樣本均值x=5.11,其未知參數(shù)〃的置信水平為1—a的

置信區(qū)間為(4.62,5.60),則a=.

15.設(shè)正態(tài)總體X其中〃，，均未知，X「X2,…,X”為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記

22

x=-txi,Q=y(xi-X),則檢驗(yàn)假設(shè)/：〃=o,M，o的/檢驗(yàn)方法使用統(tǒng)計(jì)量

2、計(jì)算題

x,0<x<1

1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)=?2-工，1WX<2，求⑴P{XN1};⑵分布函數(shù)此r).

0,其他

2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)A(X)=<；嬴1,⑴求y=/的概率密度函數(shù)fY(y);⑵求Y的

數(shù)學(xué)期望E(y).

r4-y,0<r<1,0<y<1

3.設(shè)X,y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為二人，⑴求X和y的邊緣概率密度函數(shù)

0,其他

力(x)和力.()，)；⑵推斷x與y的是否獨(dú)立？

4.將兩封信隨意投入3個(gè)郵筒，設(shè)x和y分別表示投入第1和2號(hào)郵筒中信的數(shù)目，⑴求x和y的聯(lián)合分

布律;⑵求X與丫的協(xié)方差Cov(X,Y).

2x

5.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)/(用8)，萬”，其中6>()為未知參數(shù)，X1,X2,…,X“是來自總

0,其他

休X的樣木.⑴求未知參數(shù)。的矩估量量2;⑵推斷所求的估量量J是否為。的無偏估量量.

1-W

6.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)/(元夕)=而e'(-8cx<+8),其中。>()為未知參

數(shù)：-6,-3,-1,2,4,7,8,9為來自總體的X樣本值，求6的極大似然估量值.

參考答案

一、填空題

i.AA2A2.0.33.0.34.0.65.5

9.±

6.27.0.58.0.410.6

2e

-又

11.2712.013.1014.0.0515.——rr-D

三、計(jì)算以下概率問題

1.解：(1)P{X>1)=1-P{X<1)=1-￡X^=0.5

xr-

J°皿=萬

當(dāng)l〈xv2時(shí)，F(xiàn)(x)=￡xdx+J'(2-x)dx=2x-y-1;當(dāng)上之2時(shí)，F(xiàn)(x)=1;

0,x<()

v"

—,0<x<l

所以/")=〈2

尸

<x<2

\,x>2

1,0<x<l,

x

2.解：⑴/("=<Fr(y)=P{r<j}=P{e<y)

0,其他

當(dāng)y<0時(shí)，鳥(y)=0;當(dāng)yNO,時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P[X<\ny]=Fx(\ny),

,—,1<j

A(.v)=6U)，于是人(y)={y

0,其他

⑵E(K)=E(ex)=￡e'dx=e-\

/?-KOfl|

3.解：⑴當(dāng)0vxvl時(shí)，人(x)=，f(x,y)dy=|(x+y)dy=x+—；

J—xJ()2

當(dāng)0<y<1時(shí)，人(y)=J：/(1,y)clx=￡(%+y)公=y+g；

(2)v/(x,y)*fxMfY(y)X與V不是相互獨(dú)立的。

4.解：⑴X和y各自的可能取值均為0,1,2,由古典概型計(jì)算得聯(lián)合分布律

X

012

Y

01/92/91/9

12/92/90

21/900

(2)E(X)=0X4/9+1X4/9+2X1/9=2/3,E(K)=0x4/9+1x4/9+2x1/9=2/3

+2x0x1/94-2x1x0+2x2x0=2/9,

三、求解統(tǒng)計(jì)問題(本大題15分)

代夕2x20

1.解：⑴〃=E(X)=J0x示公=7，

一人3—

以X代替〃，得。的矩估量量為。=；x.

人

⑵￡(夕)二七(；3乂—)=53￡：(—')==、￡(乂)=53]r0?不2一x^^=夕。是。的無偏估量量.

2.解」(。)=中(4。)力/卅=為工同

試題一

一、選擇題(10小題，共30分)

1.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,則A,B中至少有一個(gè)發(fā)生可表示為()L

A.A\JBB.AfBC.A-BD.AJB

2.對(duì)于任意兩個(gè)事件4與8,則必有P(A-B)=().

A.P(A)-P(AB)B.P(A)-P(B)+P(AB)C.P(A)-P(B)D.P(A)+P(B)

x0<x<A

3.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=0則常A二().

其他

A.1B.母C.2I).4

4.設(shè)。x=oy=2,x與y相關(guān)系數(shù)pxy=J,則D(x+y)=().

A.2B.4c.5D.6

5.某人射擊中靶的概率為則在第2次中靶之前已經(jīng)失敗3次的概率為().

A.4〃2(1-〃)3B.4〃(1-〃)3C.10p2(l-p)3D.p2(l-〃)3

6.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則。(X=EX2}=().

A.1B.2C.e~'D.-e''

2

7.設(shè)總體X?N(〃,9),其中"為未知參數(shù)，X1,X2，Xa為來自總體的容量為3的樣本.下面四個(gè)關(guān)于

〃的估量中，1)是無偏的.

A.-X.H—X2H—X、B.-X.+—X-H—

3?3.3-414J4

C.-X.4--X,+-XRD.-X.H—H—X

6,6263613-2

R.設(shè)乂，工,…兒是來自總體XN(O,1)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量X：+代+…北一()

2

A.Z(8)B.r(8)C.尸(1,8)D.N(0,8)

9.設(shè)來自總體X~N(〃,1)的容量為25的樣本，樣本均值為反，其未知參數(shù)〃的置信水平為的置

信區(qū)間為('-0392,^+0392),則。=().

A.0.05B.0.01C.0.025D.0.1

10.設(shè)總體乂-"(4。2)，4，/均未知，Xpx2r.X”為來自總體X的樣本，因?yàn)闃颖揪?，S?為樣本

2

方差，欲檢驗(yàn)假設(shè)//()：b?=(TJ；H］：(T工團(tuán)；，則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為().

2=3c./=3二又一〃()

5Tzy

二、計(jì)算題(7小題，每題10分，共70分)

1.男子有5%是色盲患者，女子有2%是色盲患者，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是

色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布律為

X卜1()14

Pk0.10.2a0.4

(i)求常數(shù)。；(2)設(shè)y=x?,求y的分布律;

3.設(shè)隨機(jī)變量(x,y)分布律為

-1012

00.()00.05().050.20

10.100.100.150.05

20.100.150.000.05

(1)求X和丫邊緣分布律；(2)求U=max(X,y)的分布律.

4.設(shè)X服從求⑴p{0.5<XK2};⑵QX

0?具他

5.隨機(jī)變量X服從［0,2］上的均勻分布，求y=3X-l的概密密度函數(shù).

4肛,0<x<l,0<y<l

6.設(shè)X,y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：/(x,y)=，求(1)X,y的邊緣概率密度函

0,其匕

數(shù)；⑵COV(X,Y)

7.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：：；，其中2>0為未知參數(shù)，X1,X?,…,X,為來自總體

的一組樣本，求：(1)以的矩估量量；(2)4的最大似然估量量。

參考答案

一、選擇題：

AABDA,DDAAB

二、計(jì)算題：

1設(shè)B表示色盲，Al表示取自男性，兒表示取自女性。

2

3

4、

一,0KxW2

5.2??(D

0,其它

2x,0<r<1,⑵，，0<y<1,

6.(1)f(x)=-0,其它…⑴‘八)"…(2')

x0,其它

224

⑵EX=-(V),EY=-(f),E(XY)=-(f)

339

1-i

7.(1)EX=-(2'),令￡X=X…(2')，得/==(lz)

AX

〃―/》xi

⑵L(/l)=n(/lJ4)=/re3…⑵)

/=1

模擬二

參考數(shù)據(jù)：%05(⑸=1.7531,%025(15)=2.1315,①(1)=0.8413,①(2)=0.9772

一、填空題：(每空2分，共20分)

1.設(shè)P(4)=0.6,P(8)=0.5,A與B相互獨(dú)立，則月：

2.袋中有5個(gè)球,其中3個(gè)新球,2個(gè)舊球,每次取?個(gè),無放回地取兩次,則兩次取到的均為新球的概率為.

3.設(shè)隨機(jī)變量XN(l,4),則P(-l<Xv3)=—;假設(shè)P(X>〃)=().5,則。=—

%0<^<4

4.設(shè)X的密度函數(shù)/")=則分布函數(shù)尸{戈)=,

0.其它

5.設(shè)X~6(10000,0.1),使用中心極限定理計(jì)算P{XW1030h

6.設(shè)E(X)=1,E(X2)=3,則O(2X+1)=

7.設(shè)隨機(jī)變量x,y相互獨(dú)立,且x~N(o/),y?N(I,4),則分布x—y?

8.乂，乂2是來自總體、(4。2)的樣本,當(dāng)4/滿足時(shí)，是〃的無偏估量.

9.設(shè)樣本均值和樣本方差為5=20,S?=16,樣本容量〃=16,寫出正態(tài)總體均值〃的置信水平為0.95的

置信區(qū)間______________________

二、求解以下概率問題［2小題，共28分)

1、(此題16分)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：

X-2-101

I]_

Pi

6336

(1)求P(-1.5<Xvl.5);(2)求分布函數(shù)/⑴；(3)求出期望E(X),方差。(X).

%,0<x<1

2、(此題12分)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)/(x)=<2—x,l<x<2,(1)求P(X20.5);(2)求

0,其他

出期望E(X),方差D(X).

三、求解以下各題(3小題，共28分)

1、(此題8分)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)=/I'I：：：2,求Y=e2x的概率密度.

0,具他

2、(此題8分)設(shè)隨機(jī)變量X,y相互獨(dú)立,且E(X)=l,E(y)=2,D(X)=2,D(y)=4,求

E(X2),相關(guān)系數(shù)以「。(乂丫).

3、(此題12分)設(shè)(X,y)的聯(lián)合概率分布為

123

00.10.20.1

10.20.10.3

（1）求邊緣分布律；（2）判別x與y是否相互獨(dú)立；（3）求c（w（x,y）.

四、求解以下數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題（3小題，共24分）

0<x<1

1、（此題8分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為/（x）=什,夕>0為未知參

0,其他

數(shù):乂,乂2,…,X〃，是取自總體的樣本，求6的矩估量.

Ae-Ax

2、（此題8分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為/（%）二?,4>0為未知參數(shù)，X1,X2,…,X。，是取

0.其他-

自總體的樣本，求;I的最大似然估量.

3、（此題8分）要求一種元件使用壽命不得低于1000小時(shí)，今從這批元件中隨機(jī)抽取25個(gè)，測(cè)得其壽命

的平均值為950小時(shí).該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為。=100小時(shí)的正態(tài)分布.試在顯著性水平a=0.05下

確定這批元件是否合格？設(shè)總體均值為即檢驗(yàn)假設(shè)

H)://>1000cH]:<1000.(參考值：“0.05=1MS,w()O25=1.96)

參考答案

0,

x<0

填空題：1.0.72.().33.0.6826,14.F(x)=<-x,0<x<45.0.8413

4------

1,共4

6.87.N(-l,5)8.a^b=\9.(20±2.1315)=(17.8685,22.1315)

二、求解以下概率問題

1.(1)P(-1.5<x<1.5)=P(X=-l)+P(X=0)+P(X=l)=%

—E(X2)《

oxv24'

(2)—2Wxv—1

122f

F(x')=?-1<x<0D(X)=E(X)-(EX)=-^4

O<x<1

x>1

2.(1)P(X20.5)=J；.忌+/(2-Q公=1+g=：

⑵E(X)=J：x?,以t+-外公=1

三、求解以下各題

1,l<x<2,3

I.o,其他，小y)=p(0')=*"y)

當(dāng)yNO,時(shí)，、()，)=P(X?fn)，)=R；Iny),f(y)=F；(y).,

當(dāng)），<0時(shí)，、（y）=o；Y

1

—,e<y<e

于是4(y)=2)，-

0,others

2.E(X2)=D(X)+(EX)2=2+1=3由于X,y相互獨(dú)立，故以丫=0

3.解⑴：_______________________________________

Y12

01

XPj0.30.30.4

0.40.6

Pi⑵p{x=o,y=i}wp{x=o}p{y=i},故x,y不獨(dú)立（其他做法也可以）

⑶E(X)=0*0.4+1*0.6=0.6，E(K)=1*0.3+2*0.3+3*0.4=2.1

E(xy)=1.3,Cov(X,y)=E(XY)-EXEY=13-0.6*2.1=0.04

四、求解以下數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題

=公=淺?招=昌?從而。二

1.矩估量EX

"In"#=(),得幺=1

2.MLE:L(A)=An口產(chǎn)-mL(K)=n\nA-幺工X,令

“X

3.拒絕域/?=（—,-%）=（,「1.645）=出喘00O=-2.5V—1.645

/\［n"

所以拒絕原假設(shè)”0,即認(rèn)為這批元件不合格.

模擬三

可能用到的數(shù)據(jù)：①⑴=0.8413,0（2）=0.9772,d25（35）=1.99006,/0025（36）=1.98667

一、填空題（此題共10空格，每空格3分，共30分）

1.拋一枚骰子，記錄其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為_______.

2.設(shè)AB為兩隨機(jī)事件，且P（4）=；,0（B）=g,P（同A）=g,則P（ADB）=_,P（AB）=

3.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)/（x）=《二._，則常數(shù).

〔0,其它

4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律為

X-103

Pi0.250.50.25

則P{|X-EX\<0.5）=_______.

5.設(shè)隨機(jī)變量X服從［0,10］上的均勻分布，則關(guān)于y的二次方程V+4），+X=0有實(shí)根的概率為

6.設(shè)隨機(jī)變量X的期望為1,方差為4,隨機(jī)變量Y的期望為0,方差為1,且X,丫的相關(guān)系數(shù)pXY=-0.2,

則Z=X-2Y+1的數(shù)學(xué)