《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》綜合復(fù)習(xí)資料

一、填空題

1、一個盒子中有10個球，其中有3個紅球，2個黑球，5個白球，從中取球兩次，每次取一

個（無放回），則：第二次取到黑球的概率為：

取到的兩只球至少有一個黑球的概率為。

2、的概率密度為（），則。

3、已知隨機變量且與相互獨立，設(shè)隨機變量Z=2X-

y+5,則￡￥=；

DX=o

4、已知隨機變量X的分布列為

-I0|2

0.40.2p

則：EX=；

5、設(shè)與獨立同分布，且X?N（27）,則（

P(ABC)=-P(AB)=P(BC)=P(AC)=g

6、設(shè)對于事件、有128

則、都不發(fā)生的概率為

7、批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,從中任取一件，結(jié)果不是三等品，則取到

的是二等品的概率為0

8、相互獨立，且概率分布分別為

l<y<3

f(x)=5(

其它

則：E(X+Y)=：E(2X-3Y2)=

9、已知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為2%和1%,現(xiàn)從由工廠分別占30%和70%的

一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該產(chǎn)品是3工廠的概率為。

10、設(shè)X、丫的概率分布分別為

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2

則：E(X+2Y)=；E(X-4Y)=O

二、選擇題

1、設(shè)X和y相互獨立，且分別服從N〃，22)和N(L〃，則。

.P[X+Y<1)=1/2.P(X+Y<0]=1/2

.P[X-Y<0]=1/2.P[X-Y<1}=1/2

2、已知P(A)=0.4P(B)=0.6P(B\A)=0.5,則P(AUB)=。

A.1B.0.7

C.0.8D.0.5

3、設(shè)某人進行射擊，每次擊中的概率為1/3,今獨立重復(fù)射擊10次，則恰好擊中3次的概率

為。

4(守(§7B.3/3“鏟

C.。謠八《尸D.(守

4、甲、乙兩人獨立的對司一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目亦被命中,

則它是甲射中的概率是。

()0.6()5/11()0.75()6/11

5、設(shè)事件、滿足48UC,則下列結(jié)論正確的是。

()()

()()

6、設(shè)。X=4DY=1Pxy=0.6,則D(3X-2Y)=。

(A)40(B)34(O25.6(Q)17.6

7、設(shè)為來自總體X的一個樣本，%為樣本均值，EX未知，則總體方差QX的

無偏估計量為。

⑷匕￡*區(qū)-X)2⑻/I區(qū)-X)2

?/(X「EX)2⑼為儲(X「EX)2

8、設(shè)每次試驗成功的概率為2/3,則在三次獨立重復(fù)試驗中至少失敗一次的概率為.

()(2/3)3()1—(2/3尸(O(〃3)3()[一("3)3

9、設(shè)是隨機變量，常數(shù))，對任意常數(shù)，則必有.

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()E(X-C)2>E(X-H)2()

()()

三、解答題

0,x<0

1、設(shè)的分布函數(shù)為8刈=|“3,0<x<l+

1/2,1<x<2

I,x>2

（1）的概率分布;

（2）。

2、設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)

1/4,又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2%的次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有4%的次品，現(xiàn)從箱

中任取一件，求：

（1）取到的是次品的概絲；

（2）若已知取到的是次品，它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。

3、設(shè)隨機向量（X，丫）的概率密度為

C,0<x<l,0<y<2x

其他,

（1）常數(shù)0；

（2）關(guān)于x、丫的邊緣概率密度，并判斷x與丫是合相互獨立。

4、已知、分別服從正態(tài)分布M0,3?）和N（2,42）,且與的相關(guān)系數(shù)

，設(shè)，求：

（1）數(shù)學(xué)期望，方差：

（2）與的相關(guān)系數(shù)。

5、設(shè)乂，尤,…,X”為x的個樣本,

X?f（xN={a+〃P,0Vx<?|

其中2為未知參數(shù)，求丸的極大似然法估計量。

6、已知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由的產(chǎn)品分別占60%和

40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，求：

（I）該產(chǎn)品是次品的概座；

（2）若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是8工廠的概率。

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—X,4—X?HX、

⑵3?6“2.

16、設(shè)隨機變量（X,X）具有概率密度

f（x,y）={Ce-^,x>0,y>0\,

求（1）常數(shù)C；

（2）關(guān)于x和關(guān)于丫的邊緣分布密度。

17、設(shè)X=a因-23戶+”33-4元）2,其中x，石，*E是來自總體MO,Z?）的簡單隨機樣本。

試問當(dāng)。、方各為何值時，統(tǒng)計量X服從/分布，并指出其自由度。

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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》答案

一、填空題

1.1/517/45

2.1/2

3.05

4.0.41.84

5.52

6.13/24

7.1/3

8.3-11

9.7/13

10.3<

二、選擇題

1.C

2.C

3.B

4.C

5.B

6.C

7.J

8.B

9.J

三、解答題

1、設(shè)的分布函數(shù)為

0,x<0

1/3,()<X<1

F(x)=P{X<x}='

1/2,1<x<2

、1，x>2

求：（1）的概率分布：（2）

解.：（1）的概率分布列為

012

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1/31/61/2

（2）

2、設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中1/2是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)

1/4,又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2%的次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有4%的次品，現(xiàn)從箱

中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）已知取到的是次品，它是第一家工廠生產(chǎn)的概率。

解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是次品“；事件4表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的“

)。則,且兩兩互不相容。

(1)由全概率公式得

P(4)=E：=]P(4)■一〃⑷

121214

=—x------1-—x-------1--x——=0.025

210041004100

（2）由貝葉斯公式得

12

—x-----

^0=0.4

P(Af)P(A\A00.025

理/尸⑷尸㈤”

3、設(shè)隨機向量（X，丫）的概率密度為

C,0<x<1,0<y<2x

/(")=?

0,其他

求：（1）常數(shù)C；

（2）關(guān)于X、丫的邊緣概率密度，并判斷x與y是否相互獨立。

JJ/(x,y)dxdy=1=>C=1

解：（1）利用歸一性知:

⑵力（力=匚〃2）砂,

當(dāng)0vxv1時，有?.3=1"（匚）'燦=

其他情況時，/'（"）=°

2x,0<x<1

0,其他

綜合知

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,/、1_2,0＜歹＜2

為3=2

0,其他

同理

由于/(")豐fx(力X/；?3知X與y不相互獨立。

4、已知、分別服從正態(tài)分布N(0,3?)和N(2,42),且與的相關(guān)系數(shù)

，設(shè)，求：

(1)數(shù)學(xué)期望，方差；(2)與的相關(guān)系數(shù)。

解.：(1)由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得

=里+夕=哈+吟=gx0+gx2=/

=*DX+*DY+2x^pXY＞/DXy/DY

px3-+pX^-4-2x：x：x(一)x3x4=1+4-2=3

(2)

從而有與的相關(guān)系數(shù)

5、設(shè)為X的一個樣本，

X~f(xQ={〃+1)^,0<x</\

其中2>-1為未知參數(shù)，求丸的極大似然法估計量。

解：設(shè)為觀測值，則構(gòu)造似然函數(shù)

乙0=4+〃”(11：=盧/

InL=nln(A+1)+2軍//〃勺

令

?=一+電—=。

解的人的極大似然估計量為M

6、己知工廠生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由的產(chǎn)品分別占60%和

40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件，求：(1)該產(chǎn)品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么該產(chǎn)

品是4工廠的概率。

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解：設(shè)。表示“取到的產(chǎn)品是次品”；4“取到的產(chǎn)品是工廠的“；

“取到的產(chǎn)品是8工廠的則

(1)取到的產(chǎn)品是次品的概率為

P(C)=P(A)P(C\A)+P(B)P(C\B)

=2x，+迫x-L=2-

10010()100I(W500

<2)若取到的是次品，那么該產(chǎn)品是8工廠的概率為

‘?-P(C)-P(A)P(C］A)-^P(B)P(C\B)

4。x2.

_100too_2

2Z7

500

7、設(shè)的概率分布為

，/<x<5,(非一化y>0,

?(x)=4g)={

(o,其它,I。，y<0.

求；E(X+Y)^E(2X-3Y2).

解：由于X在有限區(qū)間［1,5］上服從均勻分布，所以￡￥=子=3；又由于丫服從參數(shù)為4的

指數(shù)分布，所以石丫=，。丫=/

16

因此由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)2、性質(zhì)3及重要公式得

E(X+Y)=EX+EY=3+-=3-

44

E(2X-3Y2)=2E(X)-3E(Y2)=6-3(DY+(EY)2)=6-：=5：。

o8

8、一口袋中裝有四只球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3?，F(xiàn)從袋中任取一球后不放回，再從袋中任

取一球，以X、丫分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：(I)X和丫的聯(lián)合概率分布；

(2)關(guān)于X和關(guān)于丫邊緣概率分布。

解：(1)(X,Y)的所有可能取值為(1,2)、(1,3)、(2,I)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、

(3,2)。由概率乘法公式得

p?2=p{x=1,y=2}=x=(

Pl3=p{x=i,丫=3}=*

同理得P2I=P22=P23=P32=J/6/3I=1/72。此外{x=/,Y=1}{X=3,Y=3}都是不可能事件，

所以〃〃=〃33=。，于是(，)的概率分布表為

YXI

I01/6M2

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21/61/61/6

31/121/60

(2)X的邊緣概率分布為

X123______

〃八1/41/21/4

y的聯(lián)合概率分布為

7123

1/41/21/4

9、設(shè)總體的分布列為

10

為的一個樣本，求的極大似然估計。

解：設(shè)為觀測值，的分布律為

()

于是似然函數(shù)

L(P)=0呼而=一切f

令，解得，因此的極大似然估計為

10、設(shè)--電路由三個相互獨立且串聯(lián)的電子元件構(gòu)成，它們分別以0.03、0.04、0.06的概率被損壞

而發(fā)生斷路，求電路發(fā)生斷路的概率。

解：設(shè)表示：“第個電子元件被損壞“(=1,2,3),則有P〃h)=0.03°P(A2)=

0.04P(A5)=0.06依題意所求概率為

P(A,UA2UA3)=P(At)+P(A2)+P(A3)-P(A,A2)-P(AJA3)-P(A2A3)

+P(AfA2A3)

=0.03+().04+0.06-0.03x().04-().04x().06

-().03x(),()6+().03x().04x().()6=0.124672

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11、設(shè)隨機地在1,2,3中任取一值，隨機地在1中任取一整數(shù)值，求：（1）

的分布律；（2）關(guān)于和的邊緣分布律。

解：3）、的概率分布表為

（2）關(guān)于的邊緣分布律為

關(guān)于的邊緣分布律為

23

12、設(shè)％,X3…，4為X的一個樣本，且X的概率分布為

其中久為未知參數(shù).為常數(shù).求久的極大似然估計。

解：設(shè)修，不，…，x“為X：X”…，?觀測值,構(gòu)造似然函數(shù)

La）=nn）=n，孫-一討

=詢〃JE-/-n;./-/

InL=nln（ka）-A￡；=/#+/〃［!；=/引一/

dlnl.

~dk

解得：—*=/￥=〃，因此的極大似然估計為

13、在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨立地等1,2,3路汽車，設(shè)每個人等車時間（單

位：分鐘）均服從［（）,5］上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。

解：設(shè)X表示每個人等車時間，且X服從［0,5］上的均勻分布，其概率分布為

（1/5,0<x<5

f（x）=\0,其它

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P{X<2}=ff（x）dx=f1/5dx=0.4

又設(shè)y表示等車時間不超2分鐘的人數(shù)，則卜800.4），所求概率為

P{Y>2]=1-P{Y<1}

=/-4x0.6,-Cjx0.4x0.62=0.352

14、一個盒子中有三只乒乓球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2o現(xiàn)從袋中任意取球二次，每次取一只

（有放回），以X、y分別表示第一次、第二次取得球上標(biāo)有的數(shù)字。求：（1）X和y的聯(lián)合概率分

布：

（2）關(guān)于X和丫邊緣分箱；（3）X和丫是否相互獨立？為什么？

解：⑴（X,Y）的所有可能取值為（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）o

〃〃=尸{x=/,y=/}=gx（=f為2=P{X=/,K=J}=JX|=￡

P21=p1x=2,y=/}=；xg=],P22=p{x=2,Y=2）=jXj=^

于是（，）的概率分布表為

11/92/9

22/94/9

（2）關(guān)于X和丫的邊緣意率分布分別為

X1212

P,-1/32/31/32/3

（3）X和丫相互獨立。因為％"有Pj=P"

15、設(shè)％,X2