【考點(diǎn)分析】第四節(jié)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

【考點(diǎn)一】簡單隨機(jī)抽樣

【典型例題I](1)某公司決定利用隨機(jī)數(shù)表對今年新招聘的800名員工進(jìn)行抽樣調(diào)查他們

對目前工作的滿意程度，先將這800名員工進(jìn)行編號，編號分別為001,002,…，799,800,

從中抽取80名進(jìn)行調(diào)查，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324377892345

若從表中第5行第6列開始向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則抽到的第5名員工的編號是()

A.007B.253

C.328D.736

【解析】由題意知，前五名員工的編號依次為253,313,457,736.007.故選A.

【答案】A

【歸納總結(jié)】

1.應(yīng)用隨機(jī)數(shù)法的兩個關(guān)鍵點(diǎn)

⑴確定以表中的哪個數(shù)(哪行哪列)為起點(diǎn)，以哪個方向?yàn)樽x數(shù)的方向；

(2)讀數(shù)時注意結(jié)合編號特點(diǎn)進(jìn)行讀取.若編號為兩位數(shù)字，則兩位兩位地讀取；若編

號為三位數(shù)字，則三位三位地讀取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去，這樣繼續(xù)

下去，直到獲取整個樣本.

【考點(diǎn)二】系統(tǒng)抽樣

【典型例題2]采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編

號為1,2,960,分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9,抽到的32

人中，編號落入?yún)^(qū)間口，450]的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B,其余

的人做問卷C,則抽到的人中，做問卷4的人數(shù)為()

A.7B.9

C.10D.15

【解析】從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則將整體分成32組，每組30人，

因?yàn)榈谝唤M抽到的號碼為9,則第二組抽到的號碼為39,第〃組抽到的號碼為為=9+3()?(〃

-1)=30〃-21,由451W30"-21W750,得譽(yù)會號,所以〃=16,17,…,25,共有25-

16+1=10(A).

【答案】C

【歸納總結(jié)】用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)？不為整數(shù)時，取2U],即先從總體中用

簡單隨機(jī)抽樣的方法剔除W—欣）個個體，且剔除多余的個體不影響抽樣的公平性.

【考點(diǎn)三】已知各層總數(shù)，確定某層的樣本數(shù)

【典型例題3】某市有A,B,。三所學(xué)校，共有高三文科學(xué)生1500人，且A,B,C三

所學(xué)校的高三文科學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，在三月進(jìn)行全市聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從

所有高三文科學(xué)生中抽取容量為120的樣本，進(jìn)行成績分析，則應(yīng)從B校學(xué)生中抽取

________人.

【解析】設(shè)4.B.C三所學(xué)校高三文科學(xué)生人數(shù)分別為此），，2,由題知工，），，2成

等差數(shù)列，所以x+z=2），，乂x+），+z=l500,所以y=500,用分層抽樣方法抽取B校學(xué)

生人數(shù)為?/爵x500=40（人）.

1X

【答案】40

【考點(diǎn)四】已知各層總數(shù)，某一層的樣本數(shù)，求另一層樣本數(shù)或總數(shù)

【典型例題4】某工廠生產(chǎn)甲，乙，丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)晟之比為3：5：7,現(xiàn)用

分層抽樣的方法抽出容量為〃的樣本,其中甲種產(chǎn)品有18件,則樣本容量〃=.

3

【解析】依題意得計(jì)一產(chǎn)2=18,解得〃=90,

即樣本容量為90.

【答案】90

【考點(diǎn)五］已知某層總數(shù)及某層的樣本數(shù)，求各層樣本數(shù)或總數(shù)

【典型例題5】某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,從C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，

企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：

產(chǎn)品類別ABC

產(chǎn)品數(shù)量（件）1300

樣本容量（件）130

由于不小心，表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被損壞，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量比

C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是.

【解析】設(shè)樣本的總?cè)萘繛槿藙t焉?<1V）O=I3O,所以丫=200.所以4產(chǎn)品和C產(chǎn)

品在樣本中共有30（）—130=170（件），設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為），則），+），+10=170,所以1y

Qnon

=80,所以C產(chǎn)品的數(shù)量為量x80=800.

【答案】800

【歸納總結(jié)】分層抽樣問題類型及解題思路

（I）求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算.

（2）已知某層個體數(shù)量，求總休容量或根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)

算.

樣本容量

（3）分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比==

各層樣本數(shù)量..

各層個體數(shù)量?

【考點(diǎn)六】莖葉圖

【典型例題6】已知甲，乙兩名籃球運(yùn)動員進(jìn)行罰球訓(xùn)練，每人練習(xí)1（）組，每組罰球40

個，每組投中個數(shù)的莖葉圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

3213489

654200113

A.甲投中個數(shù)的極差是29

B.乙投中個數(shù)的眾數(shù)是21

C.甲的投中率比乙高

D.甲投中個數(shù)的中位數(shù)是25

【解析】由莖葉圖可知甲投中個數(shù)的極差為37—8=29,故A正確；易知乙投中個數(shù)

8+12+13+20—22+24+25+26+27+37

的眾數(shù)是21,故B正確；甲的投中率為=0.535,

9+11+13+14+18+19+20+21+21+23

乙的投中率為=0.4225,所以甲的投中率比乙高,

22+24

C正確：甲投中個數(shù)的中;立數(shù)為一~$—=23,D不正確，故選D.

【答案】D

【歸納總結(jié)】莖葉圖中的三個關(guān)注點(diǎn)

（1）“葉'’的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一.

（2）重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.

（3）給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重，』下

移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.

【考點(diǎn)七】求樣本的頻率、頻數(shù)

【典型例題7］在某次賽車中，50名參賽選手的成績（單位：min）全部介于13到18之間（包

括13和18）,將比賽成績分為五組:第一組［13,14）,第二組［14,15）,...?第五組［17,同.其

頻率分布直方圖如圖所示，若成績在［13,15）內(nèi)的選手可獲獎，則這50名選手中獲獎的人

數(shù)為（）

C.15D.11

【解析】由頻率分布直方圖知成績在［15,18］內(nèi)的頻率為(0.38+0.32+0.08)xl=0.78.

所以成績在［13,15)內(nèi)的頻率為1-0.成=0.22.則成績在［13,15)內(nèi)的選手有50x0.22=11(人),

即這50名選手中獲獎的人數(shù)為11,故選D.

【答案】D

【考點(diǎn)八】求樣本的數(shù)字特征

【典型例題8】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將2DO只

小圓隨機(jī)分成小B兩組，每組100只，其中4組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離

子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值

為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中小。的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一蛆中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表).

【解析】⑴由已知得0.70=?+0.20+0.15,故。=0.35.

b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.104-7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3x0.05+4x().10+5xQ15+6x0.35+7x0.20+8x().15=6.00.

【答案】(1)。=0.35。=0.10(2)4.056.0C

【考點(diǎn)九】與概率結(jié)合

【典型例題9】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，決定盤活貧困村的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展要素，實(shí)施

了產(chǎn)業(yè)、創(chuàng)業(yè)、就業(yè)“三業(yè)并舉”工程.在實(shí)施過程中，引導(dǎo)某貧困村農(nóng)戶因地制宜開展種植

某經(jīng)濟(jì)作物.該類經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，

記其質(zhì)量指標(biāo)值為〃，其質(zhì)量指標(biāo)的等級劃分如表：

質(zhì)量指標(biāo)產(chǎn)品等

值A(chǔ)級

行90優(yōu)秀

80女<90良好

75必<80合格

R75不合格

為了解該類經(jīng)濟(jì)作物在當(dāng)?shù)氐姆N植效益，當(dāng)?shù)匾N了甲、乙兩個品種.并隨機(jī)抽取了甲、

乙兩個不同品種的各10000件產(chǎn)品，測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面產(chǎn)品質(zhì)量指

標(biāo)值頻率分布直方圖(圖中和圖乙).

(I)若將頻率視為概率，從乙品種產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出乙品種產(chǎn)品中

至少有1件優(yōu)等品(質(zhì)量指標(biāo)值Q80為優(yōu)等品)“為事件人求事件A發(fā)生的概率W)；(結(jié)果

保留小數(shù)點(diǎn)后3位)

(2)若甲、乙兩個品種的銷售利潤率y與質(zhì)量指標(biāo)值k滿足下表：

質(zhì)量指標(biāo)/c>80<k<75<k<k<

值女90908075

銷售利潤

3;5-產(chǎn)

率)，t

其中:?試分析，從長期來看，種植甲、乙哪個品種的平均利潤率較大？

【解析】(1)設(shè)“從乙品種產(chǎn)品中抽取1件為優(yōu)等品''的概率為P,則根據(jù)頻率分布直方

圖可得P=(0.03+0.08+0.04+0.02)x5=0.85,

則P(A)=1-d(l-P)3=1-0.15M.997.

(2)由頻率分布直方圖可得，甲品種產(chǎn)品的利潤率的分布列為

E(y)甲=0.2x31+0.7x5/2+0.1x/2=3.6尸+0.61；

乙品種產(chǎn)品的利潤率的分布列為

35//

22

/

00.00.

.355.105

￡(3?k=03x3z+0.55x5r+0.1x/24-0.05x(-/)=2.85/2+0.85z.

石()，)甲一七。，)乙=3.6尸+0.61—(2.85產(chǎn)+0.85。=0.75-一0.25，=0.25/(3/—1),

由于:所以E(.V)甲一或y)乙<0,即E(y).fi<E(y)i.

故種植乙品種的平均利潤率較大.

【答案】⑴0.997(2)乙品種的平均利潤率較大

【歸納總結(jié)】

頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法

頻率

⑴羽而x組距=頻率.

⑵樣頻熊數(shù)量=頻率,頻就數(shù)=樣本容量,樣本容量X頻率=頻數(shù).

【考點(diǎn)十】頻率分布直方圖的應(yīng)用

【典型例題101某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)的400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,

使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)按［20,30),

［30,40),…，［80,90］分成7組,并整理得到如圖所示的成率分布直方圖.

(1)估計(jì)總體的眾數(shù)；

(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間140,50)內(nèi)的人數(shù)；

⑶已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相

等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.

【解析】(1)由頻率分布直方圖可估計(jì)總體的眾數(shù)為=75.

⑵由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［5090)內(nèi)的人數(shù)為(0.01+0.02+004+

0.02)x10x100=90.

因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，

所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)旬［40,50)內(nèi)的人數(shù)為100—90—5=5.

設(shè)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為x,

5x

貝愉=而解得戶2。，

故估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在X間［40,50)內(nèi)的人數(shù)為20.

(3)由頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)為(0.04+0.02)x10x100=60.

因?yàn)闃颖局蟹謹(jǐn)?shù)不小于70的男女學(xué)生人數(shù)相等，

所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為30.

因?yàn)闃颖局杏幸话肽猩姆謹(jǐn)?shù)不小于70,所以樣本中男生的人數(shù)為60,女生的人數(shù)為

40.

由樣本估計(jì)總體，得總體中男生和女生人數(shù)的比例約為3：2.

【答案】(1)75(2)20(3)3：2

【考點(diǎn)十一】統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用

【典型例題II】(1)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從

業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中正確的是

()

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980?1989年之間出生，80前指1979年及

以前出生.

90后從孤互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布圖

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C..互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

(2)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好,

其對應(yīng)關(guān)系如下表：

AQI指數(shù)0?5051?100101~150151?200201?300>300

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

下圖是某市10月1日?20日AQI指數(shù)變化趨勢，則下列敘述正確的是()

3

200

50

200

150

00

150

A.這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占(

C.該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說，該市[。月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的好

【解析】(1)由餅狀圖可知互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)人員中90后占56%,一半以上，故A項(xiàng)正確;

由條形圖知，90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)為39.6%X56%=22.176%>20%,所以

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比大丁等丁22.176%,B項(xiàng)正確；由條形

圖知，90后從事運(yùn)營崗位的人數(shù)占互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)為17%x56%=9.52%,大于80前互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)

人數(shù)，C項(xiàng)正確；因?yàn)榧夹g(shù)所占比例80后未知，且90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)比22.176%〈

41%,所以D項(xiàng)不一定正確.

(2)A項(xiàng)，由題圖知排序后第10個數(shù)據(jù)、第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于10(),即中位數(shù)略高

f100；B項(xiàng)，中度污染及以上的天數(shù)為5天，占點(diǎn)由題圖知C錯誤;

D項(xiàng)，總體來說,

該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好.

【答案】(l)ABC(2)ABD

【考點(diǎn)十二】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

【典型例題12]有一組樣本數(shù)據(jù)K?二--------，——P[K2>k),...?

(。+b)(c+d)(a+c)(b+d)

畀&)%

s=75%由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)

^=4(X)(150x80-120x5()r=400>i()>6>635

其中

270x130x200x20039

M=Xj+c(i=l,2,…為非零常數(shù),則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【解析】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+cRc^O,故平均數(shù)不相同，錯誤；

B：若第一組中位數(shù)為七，則第二組的中位數(shù)為y=%+c,顯然不相同，錯誤；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為小然一/而，則第二組的極差為

[max-ymin=(Xmax+C)-(Xmin+C)=故極差相同，正確；故選：CD

【答案】CD

【歸納總結(jié)】利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)

(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平：標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動

的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的

離散程度越小，越穩(wěn)定.

(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.

【考點(diǎn)十三】相關(guān)關(guān)系的判斷

【典型例題13](1)對變量”,y有觀測數(shù)據(jù)?,>',)(/=1,210),得散點(diǎn)圖如圖①,對

變量小v有觀測數(shù)據(jù)(M，10),得散點(diǎn)圖如圖②.由這兩個散點(diǎn)圖可以判斷()

y

3060

2550

2040

1530

1020

510

O1234567*o1234567”

①

A.變量X與)，正相關(guān)，〃與I，正相關(guān)

B.變量x與)，正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C.變量x與)，負(fù)相關(guān)，〃與n正相關(guān)

D.變量x與)，負(fù)相關(guān)，〃與I，負(fù)相關(guān)

(2)某公司在2019年上半年的月收入x(單位：萬元)與月支出)，(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)資料

如表所示:

月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份

收入X12.314.515.()17.019.820.6

支Hly5.635.755.825.896.116.18

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則()

A.月收入的中位數(shù)是15,X與，，有正線性相關(guān)關(guān)系

B.月收入的中位數(shù)是17,%與)，有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

C.月收入的中位數(shù)是16,工與)，有正線性相關(guān)關(guān)系

D.月收入的中位數(shù)是16,%與)，有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

【解析】⑴由散戶:圖可得兩組數(shù)據(jù)均線性相關(guān)，且圖①的線性回歸方程斜率為負(fù),

圖②的線性回歸方程斜率為正，則由散點(diǎn)圖可判斷變量》與1y負(fù)相關(guān)，〃與u正相關(guān).

(2)月收入的中位數(shù)是"9衛(wèi)=16,收入增加，支出增加，

故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系.

【答案】(1)C(2)C

【歸納總結(jié)】判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法

如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如

散點(diǎn)圖法

果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系

相關(guān)系數(shù)法利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)仍越趨近于1時，相關(guān)性越強(qiáng)

【考點(diǎn)十四】線性回歸分析

【典型例題14】如圖是某企業(yè)2012年至2018年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖.

注：年份代碼1?7分別對應(yīng)年份2012?201X.

⑴由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合1y和/的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明：

⑵建立)，關(guān)于/的回歸方程，預(yù)測2021年該企業(yè)的污水凈化量；

(3)請用數(shù)據(jù)說明回歸方程預(yù)報(bào)的效果.

參考數(shù)據(jù)：y=54,Z(6—t)(>7—y)=21,V^3.74,Jj02=7.

Jpl1-1f

n

Z(Lt)tv,-y)

參考公式：相關(guān)系數(shù)「=//.

yj自(。一，「看(y—y)2

n

AAAAX(力一/)G'Ly)A_A_

線性回歸方程y=〃+R,b=L------7,-----二-----，a=y—bt.

nOf

nA

EGLV)2

反映回歸效果的公式為：爐=1————，其中A?越接近于1,表示回歸的效果越

28-亍)2

好.

【解析】⑴由折線圖中的數(shù)據(jù)得，7=4,(4-7)2=28,18一丁)2=18,

21

所以片強(qiáng)帚eg

因?yàn)閥與1的相關(guān)系數(shù)近似為0.935,說明)，與/的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，所以可以用線

性回歸模型擬合)，與，的關(guān)系.

7__

_A&(力―/)?！?，一,')3

(2)因?yàn)閥—54,b—~一7-----------2g—

￡*■-7)2

八一A—3

所以a=y—bI=54-4乂4=51,

AAAo

所以y關(guān)于/的線性回歸方程為丫=初+。=3+51.

將2021年對應(yīng)的/=10代入得（=310+51=58.5,

所以預(yù)測2021年該企業(yè)污水凈化量約為58.5噸.

Q8一州）2

17

（3）因?yàn)镽2=I=6=0.875,

4188o

I（y/-7）2

J?1

所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，這說明【可歸方程預(yù)報(bào)的效果是良好

【答案】(1)0.935(2)58.5噸(3)良好

【歸納總結(jié)】求線性回歸直線方程的步驟

(1)用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；

n____n____

AZ(即一x)G'Ly)X-W-nXyA_A_

(2)利用公式b=J-------———-----。=亍一力彳求得回歸系數(shù);

Z(Xi—X)2盲城一〃X2

(3)寫出回歸直線方程.

【考點(diǎn)十五】線形回歸方程及其應(yīng)用

【典型例題151隨著我國中醫(yī)學(xué)的發(fā)展，藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來愈多.每年春暖以后

至寒冬前，是昆蟲大量活動與繁殖的季節(jié)，易于采集各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)

卵數(shù)y(單位：個)與一定范圍內(nèi)的溫度工(單位：°C)有關(guān)，于是科研人員在3月份的31天中

隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的5組觀測數(shù)據(jù)如表：

27152230

日期

0日BHH

11

溫度城C13128

01

產(chǎn)卵數(shù)y122

302616

個35

(1)從這5天中任選2天，記這兩天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為〃?，〃，求事件“〃?，〃均不

小于25”的概率；

(2)科研人員確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中任選2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)建立)，

關(guān)于x的線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

①若選取的是3月2日與30日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)3月7日、15日和22日這三天的

數(shù)據(jù)，求出)，關(guān)于x的線性回歸方程；

(ii)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2個，則認(rèn)為

得到的線性回歸方程是可靠的，試問⑴中所得的線性回歸方程是否可靠？

n——

N(Xi—X)(57—y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為￡=一工——.^=7-

N(Xi-xy

A一

bx.

【解析】(1)依題意得,〃的所有情況有{23,25},{23,30},{23,26},{23,16},

!25,30},{25,26},{25,16},{30,26},{30,16},{26,16},共10個.

設(shè)“小，〃均不小于25"為事件A,則事件A包含的基本事件有{25,30},{25,26},{30,

26},共3個.

所以P(4)=行，即事件人的概率為存

(2)⑴由數(shù)據(jù)得；=12,7=27,

E(為一])(>v—y)=5,E(X,—xy=2,

A工(Xj—x)(yj—y)5

所以b=u

3—-?

A——A-5

”=y_〃x=27—臥12=_3,

所以)，關(guān)于x的線性回歸方程為￡=|x—3.

A5

(ii)由(i)知，)，關(guān)于X的線性回歸方程為尸京一3,

A5

當(dāng)x=10時，y=-x10-3=22,且|22—23|<2,

A5

當(dāng)x=8時，j=xx8-3=17,且|17—161V2.

所以所得到的線性回歸方程f=|x—3是可靠的.

3A5A5

【答案】(1)JQ(2)⑴y=/—3(ii)y=jr—3

【考點(diǎn)十六】相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用

【典型例題16］某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示,

該地周光照量X(單位：小時)都在30小時以上，其中不足50小時的有5周,不低于50小時

且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量

M千克)與使用某種液體肥料的質(zhì)量M千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.

小千克

024568千克

(I)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)k精確到0.01),并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合y

與x的關(guān)系.(若川＞0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)

(2)蔬菜大棚對光照要求較高，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但

每周光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系：

30<X<50<X<X>

周光照量X/小時

507070

光照控制儀運(yùn)行臺

321

數(shù)

對商家來說，若某臺光照控制儀運(yùn)行，則該臺光照控制儀產(chǎn)生的周利潤為3000元；若

某臺光照控制儀未運(yùn)行，則該臺光照控制儀周虧損1000元.若商家安裝了3臺光照控制儀,

求商家在過去50周的周總利潤的平均值.

相關(guān)系數(shù)公式:

參考數(shù)據(jù)：加短0.55,廊旬.95.

.,皿g—r/口一2+4+5+6+8_—3+44-4+4+5

【解析】（1）由1_?知數(shù)據(jù)可得x=5=5,y=5=4.

5__

因?yàn)椤?為一文)(>7-y)=(-3)X(—l)+0+()+0+3xl=6,

/=i

y￡(X,-7)2=yl(-3)24.(-1)2+02+12+32=2小,

yji.<>,，—7)2=A/(-1)2+O2+O2+O2+I2=^/2,

5__

X(XLK)(}Ly)

所以相關(guān)系數(shù)_J_八_=春=舟95.

￡(即-x)￡(y,—,v)2

因?yàn)閨/1>().75,所以可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系.

(2)由條件可得在過去50周里，

當(dāng)X>70時，共有10周，此時只有1臺光照控制儀運(yùn)行，

每周的周總利潤為lx3(X)()—2x100()=1()00(元).

當(dāng)50WXW70時，共有35周，此時有2臺光照控制儀運(yùn)行，

每周的周總利潤為2x3000-1x1000=5000(元).

當(dāng)30Vx<50時，共有5周，此時3臺光照控制儀都運(yùn)行，

每周的周總利潤為3>3000=9000(7E).

所以過去50周的周總利潤的平均值為

10(X)x10+5000x35-9000x5一

------------而------------=4600(兀)，

所以商家在過去50周的周總利潤的平均值為4600元.

【答案】(1)|/1>0,75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系(2)4600

【歸納總結(jié)】線性回歸分析問題的類型及解題方法

(1)求線性回歸方程

①利用公式，求出回歸系數(shù)〃，ax

②待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù).

(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值.

(3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)；決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)/

(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)H越趨近于1時，兩變量的線性相

關(guān)性越強(qiáng).

【考點(diǎn)十七】獨(dú)立性檢驗(yàn)

【典型例題17]某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到

某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

煉人次

空氣質(zhì)量贏、[0,200](200,400](400,600]

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為123,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為

3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表,

判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次人

<400次>400

空氣質(zhì)量

好

空氣質(zhì)量

不好

______兒)2____________

(a+b)(c+雙a+c)(A+d)'

（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表:

人次人